合理布局圖象 嚴(yán)密代數(shù)推理
——一道多參量函數(shù)最大值的最小值的解法探究

唐宜鐘

(漢中市龍崗學(xué)校,陜西 漢中 723103)

函數(shù)是數(shù)學(xué)重要的載體之一,而函數(shù)圖象和性質(zhì)從不同的方面描述函數(shù).在較為復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題中,需合理布局圖象,嚴(yán)密代數(shù)推理,綜合調(diào)度,才能有效解決問(wèn)題.

1 題目呈現(xiàn)

引例已知函數(shù)f(x)=|x2+px+q|,對(duì)?p,q∈R,總?x0∈[1,5],使f(x0)≥m成立,則m的取值范圍是____.

該題以二次函數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)為背景,里面涉及p,q,x0,m四個(gè)未知量,同時(shí)存在全稱量詞和特稱量詞.題目敘述看似簡(jiǎn)潔,但限定條件眾多,且每個(gè)條件都需合理轉(zhuǎn)化.具體說(shuō)來(lái),可做如下轉(zhuǎn)化:①?x0∈[1,5],f(x0)≥m成立,即m≤f(x)max.②對(duì)?p,q∈R,m≤f(x)max,即選取適當(dāng)?shù)膒,q,使得m≤[f(x)max]min.③f(x)=|x2+px+q|,x∈[1,5],即將g(x)=x2+px+q在y軸下方的圖象翻折到上方.要解決本題,一方面需要合理布局函數(shù)圖象.f(x)=|x2+px+q|的最大值可能取得的三個(gè)點(diǎn)為左右端點(diǎn)和頂點(diǎn),問(wèn)題處理的核心就是布局這三個(gè)點(diǎn).另一方面,題目中涉及存在、任意、大于等于等諸多要求,故極易在解答過(guò)程中借助圖象進(jìn)行想當(dāng)然地描述,而弱化了代數(shù)推理.筆者嘗試以圖象的布局為突破口,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了探索.

2 解法探究

探究1取特殊值探究圖象.

為方便敘述,記g(x)=x2+px+q.考慮到p,q的任意性,取特殊值.當(dāng)p=0時(shí),f(x)=|x2+q|,需f(x)的最大值取得最小值.由g(x)的單調(diào)性和絕對(duì)值的性質(zhì),需g(5)和g(1)的值互為相反數(shù).g(5)>0,g(1)<0,g(5)=-g(1).則25+q=-1-q,即q=-13.此時(shí)[f(x)max]min=|g(5)|=12.

由以上探究可知,不同的p,q會(huì)對(duì)應(yīng)不同的最值,要求得[f(x)max]min,(p,q)應(yīng)為某組特值,不可直接特殊化p或q計(jì)算.另外,f(x)還有以下可能的七種情形:

①g(5)>0,g(1)<0,g(5)=-g(1);

②g(5)<0,g(1)>0,g(5)=-g(1).

即p∈(-10,-2)時(shí),

探究2 圖象的七種情形.

25+5p+q=-(1+p+q).

得q=-3p-13.

所以[f(x)max]min=|g(1)|=|1+p+q|=|1+p-3p-13|=|-2p-12|,當(dāng)p=-2或p=-10時(shí),[f(x)max]min=8.

25+5p+q=1+p+q.

則p=-6.

f(1)=f(5)=|-5+q|.

故p=-2時(shí),即對(duì)稱軸為x=1時(shí)取得最值.

歸結(jié)至p≥-2時(shí)的情形,有[f(x)max]min=8.

探究3 解法優(yōu)化與結(jié)論推廣.

通過(guò)以上探究不難發(fā)現(xiàn),對(duì)于二次函數(shù),在區(qū)間長(zhǎng)度固定的情況下,只需對(duì)稱軸取區(qū)間中點(diǎn),且兩端點(diǎn)及對(duì)稱軸處等值時(shí),就能取得[f(x)max]min.換言之,將拋物線平移至y軸為對(duì)稱軸時(shí),不影響[f(x)max]min的取值.故本題同解于對(duì)函數(shù)f(x)=|x2+q′|,x∈[-2,2]時(shí),任取q′,求[f(x)max]min.即f(-2)=f(2)=f(0),即4+q′=-q′,即q′=-2,故[f(x)max]min=2.

推廣函數(shù)f(x)=|x2+px+q|對(duì)?p,q∈R,x∈[m,m+2n](n>0)時(shí),[f(x)max]min的值與函數(shù)f(x)=|x2+q′|對(duì)q′∈R,x∈[-n,n]時(shí),[f(x)max]min的值相同.

由f(-n)=f(n)=f(0),得

探究4 三次函數(shù).

簡(jiǎn)證記A(m,f(x2)),B(x1,f(x1)),M(x0,f(x0)),C(x2,f(x2)),D(n,f(x1)).

由f′(x)=3ax2+2bx+c,得f″(x)=6ax+2b.

令f′(x)=0,其兩根為x1,x2,則

則2x1+n=x1+x0+x2.

即x1+n=x0+x2.

即x1,x0,x2,n成等差數(shù)列.

同理,m,x1,x0,x2也成等差數(shù)列.

故m,x1,x0,x2,n成等差數(shù)列.

類似地,對(duì)于三次函數(shù),利用其對(duì)稱性和等差性,合理布局圖象,就可以求得[f(x)max]min.

例1設(shè)函數(shù)f(x)=|x3-6x2+ax+b|.若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a和b,總存在x0∈[0,3],使f(x0)≥m成立,則m的取值范圍是____.

解析令g(x)=x3-6x2+ax+b,由g′(x)=3x2-12x+a,g″(x)=6x-12=0,得x=2.

即g(x)的對(duì)稱中心為(2,g(2)).

由三次函數(shù)圖象特征,需g(2)=0,g(3)=g(0)<0(g(1)=-g(3)>0)時(shí),[f(x)max]min=f(3)=f(1)=f(0).

由f(2)=2a+b-16=0,f(1)=f(0),即

a+b-5=-b.

則a=9,b=-2.

此時(shí),[f(x)max]min=f(0)=2,故m≤2.

探究5 無(wú)對(duì)稱性函數(shù).

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=|(x-1)lnx+ax+b|,a,b∈R,總存在x0∈[1,e],使得不等式f(x0)≥m成立,則實(shí)數(shù)m取得最大值時(shí),實(shí)數(shù)a的值為____.

顯然,φ(x)=(x-1)lnx+ax+b不具有對(duì)稱性,無(wú)法直接布局出其函數(shù)圖象.依據(jù)前面探索,影響取值點(diǎn)的有端點(diǎn)和極值點(diǎn).由于參數(shù)a的存在,極值點(diǎn)無(wú)法求得.此時(shí)考慮分離函數(shù),令

g(x)=(x-1)lnx,

h(x)=-ax-b,

則f(x)=|(x-1)lnx+ax+b|可看作g(x)=(x-1)lnx與h(x)=-ax-b在橫坐標(biāo)相等時(shí),縱坐標(biāo)的豎直距離.此時(shí),合理布局g(x)與h(x)的圖象即可.

解析由g(x)=(x-1)lnx,x∈[1,e],可取A(1,0),B(e,e-1),所以AB的直線方程為

l1:y=x-1.

由(x-1)-(x-1)lnx>0得,l1的圖象始終在g(x)上方.設(shè)l2與AB平行且與g(x)=(x-1)lnx相切于點(diǎn)C(x0,y0),

當(dāng)h(x)與l1,l2平行且與兩條直線的距離相等時(shí),即恰好在l1,l2的中間,此時(shí)

即f(x)=|g(x)-h(x)|

通過(guò)分離函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)不含參數(shù)的函數(shù)g(x)與一條直線h(x)縱坐標(biāo)的豎直距離.此時(shí),將函數(shù)g(x)介于兩端點(diǎn)連線l1與平行于l1的切線l2之間,h(x)即為l1與l2的“中位直線”.從而將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)與直線的問(wèn)題,拓寬了思路,降低了難度.

探究6特征點(diǎn).

不難發(fā)現(xiàn),分離函數(shù)后切點(diǎn)(即為原來(lái)函數(shù)的極值點(diǎn)),二次函數(shù)的對(duì)稱軸,三次函數(shù)有關(guān)的極值點(diǎn)、端點(diǎn),都影響著[f(x)max]min.這些極值點(diǎn)和端點(diǎn),我們統(tǒng)稱f(x)的“特征點(diǎn)”.如引例的特征點(diǎn)為1,3,5.例1的特征點(diǎn)為0,1,3.例2的特征點(diǎn)為1,x0,e.對(duì)于例1,利用特征點(diǎn),可做如下解答:

記f(x)max=M,則有

f(0)=|b|≤M,

f(1)=|-5+a+b|≤M,

f(3)=|-27+3a+b|≤M.

由待定系數(shù)法,設(shè)A,B,C為常數(shù),令A(yù)b+B(-5+a+b)+C(-27+3a+b)=(-5B-27C)+(B+3C)a+(A+B+C)b,令B+3C=0,A+B+C=0,其中(A,B,C)的一組解為(2,-3,1).由絕對(duì)值三角不等式,有

12=|2f(0)-3f(1)+f(3)|

≤2|f(0)|+3|f(1)|+|f(3)|=6M,

故M≥2.

此解法利用絕對(duì)值三角不等式,使得解答看起來(lái)簡(jiǎn)潔迅速.但事實(shí)上,式子中必須包含函數(shù)所有的“特征點(diǎn)”.合理布局“特征點(diǎn)”的位置和系數(shù),才能求得[f(x)max]min.而“特征點(diǎn)”的尋找,是破題的關(guān)鍵.

特征點(diǎn)法:在處理函數(shù)的最大值的最小值問(wèn)題時(shí),我們可以采取“三點(diǎn)控制”或者“四點(diǎn)控制”法,結(jié)合函數(shù)圖象的特征,幾個(gè)“特征點(diǎn)”如下:

①對(duì)于二次函數(shù)而言,采用“三點(diǎn)控制法”,這三個(gè)點(diǎn)分別是兩區(qū)間端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn).

②對(duì)于三次函數(shù)而言,一般采用“四點(diǎn)控制法”,這四點(diǎn)分別是兩區(qū)間端點(diǎn)和分別靠近兩個(gè)端點(diǎn)的四等分點(diǎn).但有些三次函數(shù)也只需“三點(diǎn)控制”,求解時(shí)需要靈活處理.

③對(duì)于平口(端點(diǎn)同高)的對(duì)勾函數(shù)而言,這三點(diǎn)分別是兩端點(diǎn)與極值點(diǎn);對(duì)于一般的對(duì)勾函數(shù)而言,這三點(diǎn)除了端點(diǎn)外,就是平行于兩端點(diǎn)連線的直線與該曲線的切點(diǎn)[2].

3 背景探究

事實(shí)上,上述問(wèn)題都源于切比雪夫逼近問(wèn)題.

由多倍角公式,我們知道cos(nx)可以表示成cosx的多項(xiàng)式,具體如下:

cos0=1,

cosx=cosx,

cos2x=2cos2x-1,

cos3x=4cos3x-3cosx,

cos4x=8cos4x-8cos2x+1,

cos5x=16cos5x-20cos3x+5cosx.

從而,我們得到:

3.1 切比雪夫多項(xiàng)式

定義1Tn(x)=cos(narccosx)是一個(gè)n次多項(xiàng)式,稱為n次切比雪夫多項(xiàng)式,其中x∈[-1,1],n∈N.

T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2-1,T3(x)=4x3-3x,T4(x)=8x4-8x2+1,T5(x)=16x5-20x3+5x.

3.2 最佳逼近直線

如果f(x)不是n次多項(xiàng)式,以上方法還適用嗎?為了解決此類問(wèn)題,需給出如下定義與定理.

性質(zhì)3 若函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),則f(x)的最佳逼近直線存在且唯一.

性質(zhì)4直線g(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)(x∈[a,b])的最佳逼近直線的充要條件是g(x)至少具有三個(gè)偏差點(diǎn),且它們依次輪流為正、負(fù)偏差點(diǎn).

注定理2告訴我們,可根據(jù)如下步驟作出凹、凸函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最佳逼近直線g(x).

(1)連接MN;

(2)在函數(shù)圖象上找一點(diǎn)C,使得在該點(diǎn)處的切線與直線MN平行;

(3)過(guò)線段MC的中點(diǎn)D作直線MN的平行線l.

這樣的直線l就是所求的最佳逼近直線g(x),點(diǎn)M,C,N依次輪流為正、負(fù)偏差點(diǎn)[3].

4 真題賞析

縱觀近年來(lái)各地高考模擬、強(qiáng)基、高聯(lián)試題,都有以上述問(wèn)題為模板的題目,或者直接出現(xiàn),或者變換函數(shù),或者變換設(shè)問(wèn)方式.簡(jiǎn)錄幾個(gè)如下:

題1(2010年全國(guó)高聯(lián))已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),當(dāng)0≤x≤1時(shí),|f′(x)|≤1,試求a的最大值.

(1)當(dāng)a=0,b=1時(shí),寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4],使不等式f(x0)≥m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

題4(2021年競(jìng)賽模擬)對(duì)于區(qū)間I=[a,b](a

題5(2022年強(qiáng)基模擬)已知函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+bx+c),x∈[-1,1],記|f(x)|的最大值為M(b,c).當(dāng)b,c變化時(shí),求M(b,c)的最小值.

題6(2023年紹興期末)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x2+b|,x∈[0,1].設(shè)f(x)的最大值為M,若M的最小值為1時(shí),a的值可以是( ).

5 幾點(diǎn)感悟

5.1 合理布局函數(shù)圖象是破題關(guān)鍵

從某種意義上講,函數(shù)解析式是隱性的,函數(shù)圖象是顯性的.函數(shù)的性質(zhì)是抽象的,函數(shù)的圖象是具象的.函數(shù)的性質(zhì)為函數(shù)設(shè)定了“邊界”,使函數(shù)只能滿足某些特定的屬性,而不能擁有與之相悖的屬性.但在這指定的“邊界”內(nèi),函數(shù)依舊有著多樣的可能性.如何在這些“可能性”中恰當(dāng)選擇,我們需要一個(gè)可視化的操作對(duì)象.函數(shù)圖象就是這個(gè)操作對(duì)象.利用函數(shù)的零點(diǎn)、特殊點(diǎn)、極值、最值、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、單調(diào)性、奇偶性、周期性等,結(jié)合圖象的平移、翻折、伸縮、旋轉(zhuǎn)等變換,合理調(diào)整、布局函數(shù)的圖象,是破題的關(guān)鍵.如在引例中,通過(guò)對(duì)二次函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱性、最值,以及絕對(duì)值函數(shù)圖象變換規(guī)律,最終在七種圖象中,通過(guò)對(duì)比、調(diào)整,選定了f(1)=f(5)=f(3)形式的圖象.而在例2中,無(wú)法直接作出φ(x)=(x-1)lnx+ax+b的圖象時(shí),通過(guò)轉(zhuǎn)化,再合理布局g(x)=(x-1)lnx與h(x)=-ax-b的圖象,才實(shí)現(xiàn)了題目的突破.同時(shí),合理布局的函數(shù)圖象,還能實(shí)現(xiàn)題目幾何意義的表達(dá),借助幾何關(guān)系,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的直觀和路徑通暢.在例2中,正是利用切線和割線,完成了從最大值的最小值到“中位平行線”的轉(zhuǎn)化.

5.2 嚴(yán)密代數(shù)推理盡顯解答之妙

雖然函數(shù)圖象能夠快速直觀地解決問(wèn)題,但在說(shuō)理過(guò)程中,其依舊有著諸多缺陷.由于圖象的具象性,具體函數(shù)圖象只是列舉了函數(shù)的某些可能性,而滿足某種性質(zhì)的函數(shù)是無(wú)限的.如函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,可以是一次函數(shù),可以是三次函數(shù),也可以是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)等.當(dāng)然,如果情形是有限的,可以使用圖象結(jié)合分類討論的方法解決問(wèn)題.函數(shù)圖象的說(shuō)理具有不嚴(yán)密性,如從函數(shù)的意義上講,函數(shù)上的點(diǎn)是無(wú)限的,而所作出的圖象是有限的.圖象甚至具有誤導(dǎo)性,如在例1的探究過(guò)程中,筆者在最初作圖探究時(shí)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的左右端點(diǎn)處等值,三次函數(shù)的對(duì)稱中心處值為0就能得到最大值的最小值,進(jìn)而進(jìn)行了忽略三次函數(shù)中端點(diǎn)、極值點(diǎn)、對(duì)稱中心橫坐標(biāo)等差性的限定.另外,圖象還有局限性和冗余性等特點(diǎn),而代數(shù)推理高度概括的特點(diǎn)使之具有更廣的操作空間.

5.3 高位知識(shí)是活水之源

所謂高位知識(shí),是指在學(xué)生知識(shí)體系之外,高于學(xué)生認(rèn)知的知識(shí),其包括高等數(shù)學(xué)的弱化、初等數(shù)學(xué)的升華、跨學(xué)科的融合等.高位知識(shí)并非深不可測(cè),他只需學(xué)生在現(xiàn)有知識(shí)體系內(nèi),往前邁出一小步.如本文中的切比雪夫逼近直線所用的知識(shí)全是高中知識(shí),只是將解答流程規(guī)范化、名詞化.立足高位知識(shí),更容易建立起知識(shí)的體系性.如通過(guò)切比雪夫多項(xiàng)式和最佳逼近直線,很容易建立起一元n次多項(xiàng)式和一般連續(xù)函數(shù)在最大值的最小值問(wèn)題上的遞進(jìn)性關(guān)系.立足高位知識(shí),更容易發(fā)現(xiàn)解法之間的關(guān)聯(lián),如對(duì)于例1,布局函數(shù)圖象,轉(zhuǎn)化為一個(gè)三次函數(shù)與一條直線縱坐標(biāo)差值,或者特征點(diǎn)法三種方法,其實(shí)都是關(guān)于三個(gè)特征點(diǎn)的處理.高位知識(shí)是命題的活水之源,只要是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù),且f″(x)在[a,b]上不變號(hào),就能通過(guò)最佳逼近直線求得最大值的最小值.只要掌握高位知識(shí),就能達(dá)到解一題知一類,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的通達(dá)和思維的深化.

6 結(jié)束語(yǔ)

總之,合理布局函數(shù)圖象是解題的切入點(diǎn),嚴(yán)密代數(shù)推理是解題的基本素養(yǎng).初等方法是解題的必須要求,高位知識(shí)是思維貫穿的保障.綜合并用,方能更好抵達(dá).