一類(lèi)帶有非線性阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的解的整體存在性

李林銳 ,洪明理 ,鄭琳

(1.防災(zāi)科技學(xué)院基礎(chǔ)部,河北 三河065201 2.華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

1.引言

本文將考慮如下帶有非線性阻尼項(xiàng)的不可壓縮磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的初始值問(wèn)題

其中u表示流體的速度場(chǎng),b表示磁場(chǎng),流體的速度場(chǎng)u和磁場(chǎng)b是二維的自由散度場(chǎng),p表示壓力,ν ≥0表示流體的粘性系數(shù),κ ≥0表示磁場(chǎng)的擴(kuò)散系數(shù),阻尼項(xiàng)系數(shù)a>0和指標(biāo)函數(shù)α>1,阻尼項(xiàng)一般來(lái)自于流體運(yùn)動(dòng)對(duì)外力的抵抗,可以描述諸如多孔介質(zhì)的流體的運(yùn)動(dòng),摩擦力和拖拽力以及一些耗散項(xiàng)對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的影響等[1-4].當(dāng)a=0 時(shí),系統(tǒng)(1.1)退化成常規(guī)意義下的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組,該系統(tǒng)是流體力學(xué)的基本宏觀模型之一,已經(jīng)得到廣泛而深入的研究[2-6].系統(tǒng)(1.1)中第一個(gè)方程表示動(dòng)量守恒方程；第二個(gè)方程是電磁感應(yīng)方程,這個(gè)方程組描述了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的耦合作用.磁流體動(dòng)力學(xué)偏微分方程組(magnetohydrodynamics,簡(jiǎn)稱(chēng)MHD方程組)描述了導(dǎo)電流體在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),在空氣動(dòng)力學(xué)、天體物理、地球物理以及宇宙等離子物理學(xué)等領(lǐng)域具有非常重要的應(yīng)用,與其相關(guān)的漸近極限問(wèn)題因其物理背景的重要性、復(fù)雜性,其數(shù)學(xué)方面的挑戰(zhàn)性,吸引了許多知名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的研究興趣,同時(shí)也取得了很多很好的結(jié)果.基本的數(shù)學(xué)問(wèn)題比如解的適定性問(wèn)題、整體正則性和解的爆破性有很多深入的研究和結(jié)果,在多孔介質(zhì)中帶有非線性阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)模型更多的物理背景可參見(jiàn)文[7-9,14-15].

顯然,當(dāng)方程組中的磁場(chǎng)b=0時(shí),系統(tǒng)(1.1)退化成帶有非線性阻尼項(xiàng)的不可壓的Navier-Stokes方程.近些年,帶有非線性阻尼項(xiàng)的Navier-Stokes方程吸引了很多國(guó)內(nèi)外專(zhuān)家學(xué)者的關(guān)注[5-10,18].蔡曉靜和酒全森[5]研究了帶有阻尼項(xiàng)a|u|α-1u(a>0)的Navier-Stokes方程弱解和強(qiáng)解的整體存在性,證明了當(dāng)α≥時(shí)強(qiáng)解的整體存在性和≤α ≤5時(shí)強(qiáng)解的唯一性;隨后,張族錦等[6]將α的下界降低到3,這個(gè)下界3具有重要的關(guān)鍵性作用也在文[7]中被周勇得到證實(shí).受到這些文獻(xiàn)的啟發(fā),我們將關(guān)于帶有阻尼項(xiàng)的Navier-Stokes的解的適定性問(wèn)題推廣到帶有阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組.在先前相關(guān)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的研究工作中,更多的專(zhuān)家學(xué)者聚焦于不帶有非線性阻尼項(xiàng)或者只帶有部分粘性項(xiàng)或者部分磁擴(kuò)散項(xiàng)的廣義的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組解的存在性和唯一性證明,其中陳文吉、章志飛和周建豐[11]研究了在周期性區(qū)域上帶有部分粘性擴(kuò)散項(xiàng)的三維磁流體動(dòng)力學(xué)方程組在初始速度充分小和初始磁場(chǎng)接近于背景磁場(chǎng)并且滿足Diophantine條件時(shí)的解整體適定性;潘榮華、周憶和朱憶[12]在歐拉坐標(biāo)系下利用帶有時(shí)間權(quán)函數(shù)的能量估計(jì)方法研究了在初始磁場(chǎng)接近于平衡狀態(tài)下并且初始條件具有某種對(duì)稱(chēng)性條件下三維磁流體動(dòng)力學(xué)方程組不帶有磁擴(kuò)散項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的古典解的整體存在性;吳家宏和翟曉平[13]研究了帶有真空的非電阻的可壓的三維磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的柯西問(wèn)題下局部強(qiáng)解的存在性,并首次給出了三維磁流體動(dòng)力學(xué)方程組在磁場(chǎng)滿足Diophantine條件下磁場(chǎng)接近于背景磁場(chǎng)時(shí)的解的整體存在性和穩(wěn)定性;Titi和Trabelsi[15]解決了在多媒介質(zhì)通道中三維磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的解的適定性問(wèn)題.綜合以上分析,在本文中我們將研究在多孔介質(zhì)意義下的一類(lèi)帶有非線性阻尼項(xiàng)的不可壓的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的解的整體存在性問(wèn)題,由于磁流體動(dòng)力學(xué)方程組有磁場(chǎng)的耦合作用,在用能量方法的過(guò)程中計(jì)算更復(fù)雜也更富有挑戰(zhàn)性,在計(jì)算過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)新的問(wèn)題、難度更大,面對(duì)的困難也將更多.同時(shí),在文[15]中作者證明了同時(shí)包含速度場(chǎng)方程和磁場(chǎng)方程中的帶有兩個(gè)非線性阻尼項(xiàng)下的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的強(qiáng)解的存在性,在本文中我們并不需要額外的磁場(chǎng)方向的阻尼項(xiàng)就獲得了解的存在性,此外,也給出了弱解的存在性,這同時(shí)也推廣了文[15]中的相關(guān)結(jié)果.

2.整體存在性結(jié)果

對(duì)于帶有阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組,首先給出方程組弱解的定義:

定義1如果(u,b,p) 滿足下列三個(gè)條件：

3) (x,t)∈R2×(0,T),都有?·u(x,t)=?·b(x,t)=0成立.

本文主要結(jié)果如下:

定理1假設(shè)初始條件(u0,b0)∈L2(R2)×L2(R2)且滿足divu0=divb0=0,令a,ν,κ>0且α ≥1,則帶有非線性阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組(I)有整體弱解(u(x,t),b(x,t))滿足

進(jìn)一步地,也可以得到帶有非線性阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的強(qiáng)解,結(jié)論如下:

3.預(yù)備知識(shí)

首先我們給出一些在證明過(guò)程中用到的引理:

引理1[8]若f,g ∈Hk ∩L∞,則

當(dāng)|α|≤k時(shí),有

如果F是光滑函數(shù)并且F(0)=0,則對(duì)于任意的f∈Hk ∩L∞,有

引理2[16](Agmon’s不等式) 若u ∈H2(?)∩H01(?),? ∈R2,則存在常數(shù)C使得

引理3[17](Gagliardo-Nirenberg不等式) 若f(x)是定義在R2上的光滑函數(shù),如果1≤q,r ≤∞,m是自然數(shù),假設(shè)實(shí)數(shù)α和自然數(shù)j滿足

其中s>0是任意數(shù),并且常數(shù)C1和C2僅僅依賴(lài)于?,m,j和s.

4.定理的證明

為了證明帶有非線性阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組弱解的整體存在性,首先用Faedo-Galerkin近似方法去獲得近似解的局部存在性,這一部分方法很經(jīng)典,可以參考文[8]中關(guān)于Navier-Stokes方程近似解的相關(guān)步驟,在此我們不在贅述.我們僅需要獲得關(guān)于解的一致先驗(yàn)估計(jì)去延拓局部解到整體解,并最終應(yīng)用Aubin緊性原理由近似解的先驗(yàn)估計(jì)獲得原始系統(tǒng)整體解的存在性.下面將通過(guò)以下幾個(gè)步驟分別獲得解的先驗(yàn)估計(jì)從而給出定理的證明.

定理1的證明步1 (u,b)的L2估計(jì)

對(duì)(1.1)的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以u(píng)(x,t),然后在R2上積分可得

對(duì)(1.1)的第二個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以b(x,t),然后在R2上積分可得

將上式(4.1)和(4.2)式相加可得,

將上式(4.3)式從0到t上積分可得

在上面最后的兩個(gè)式子中分別令(4.5)、(4.6)式子中t →+∞,則有

由上面的能量估計(jì)可得

進(jìn)一步地,應(yīng)用H¨older不等式和Young不等式,可得

利用Poincar′e不等式,(4.2)式可變形為

通過(guò)Gronwall’s引理可得,對(duì)于任意的t ≥0,

下面令η ∈(0,1),則有

將(4.16)代入(4.1)式并加上(4.2)式可得

利用Poincar′e不等式,在(4.17)式中扔掉2ν∥?u,則有

由于η ∈(0,1),從而可得

由Gronwall不等式,可得

從而可得

對(duì)式子(4.2)兩邊同時(shí)從(m,t)上積分可得

在(4.22)中不等式左邊是有界的并且是關(guān)于時(shí)間t是單調(diào)的,首先令t →∞,然后令m →∞,則可以得到:

步2 (u,b)的H1估計(jì)

在(1.1)的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以-?u,并在R2上分部積分可得

另一方面,由于α>3,利用H¨older不等式和Young不等式可得

對(duì)于(4.24)式右邊最后一項(xiàng)利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式可得

在上面式子中最后兩步的估計(jì)式中用到引理3中的Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式.

接下來(lái),在(1.1)中第二個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以-?b并在R2上積分可得

下面估計(jì)(4.28)式子右邊的第一項(xiàng),通過(guò)分部積分可得

綜合上式可得

下面類(lèi)似于在(4.28)式右邊第二項(xiàng)的估計(jì)可得

聯(lián)合(4.24)-(4.31)可得

應(yīng)用Gronwall不等式,通過(guò)上面式子(4.31)可得

綜合上面的能量估計(jì)式(4.9)、(4.10)、(4.14)、(4.21)、(4.23)和(4.34)式可知,定理1得到證明.

定理2的證明首先對(duì)(1.1)的第一個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以?tu并在區(qū)域R2上積分可得

對(duì)于(4.35)式左端第二項(xiàng)和第三項(xiàng)分別有估計(jì)式

將(4.36)、(4.37)式分別代入(4.35)式可得

兩邊同時(shí)關(guān)于時(shí)間t積分可得

利用Young不等式可以估計(jì)

同理可估計(jì)

在上面最后一步應(yīng)用到引理2中的Agmon不等式.

由于上面的估計(jì)式(4.32)可得

將上式(4.42)代入(4.38)式可得

下面用同樣的方法證明?tb ∈([0,+∞),L2(R2)).

對(duì)(1.1)式的第二個(gè)方程兩邊同時(shí)乘以?tb并在區(qū)域R2上積分可得

對(duì)(4.44)式兩邊從0到t上積分可得

再次應(yīng)用Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式可得

對(duì)于上式中左邊第二項(xiàng),利用Stroock-Varopoulos不等式可得

另一方面,對(duì)于上式中右邊的項(xiàng),估計(jì)式如下:

聯(lián)合(4.49)、(4.50)和(4.51)式,并代入(4.48)式可得

由于先驗(yàn)估計(jì)式(4.6)可知u ∈Lα+1([0,+∞);Lα+1(R2)),從而有

注由于系統(tǒng)(1.1)為同時(shí)具有粘性項(xiàng)、磁耗散項(xiàng)和非線性阻尼項(xiàng)的磁流體動(dòng)力學(xué)方程組,因此現(xiàn)有文獻(xiàn)如文[18–21]中定理都不適用于系統(tǒng)(1.1),從而說(shuō)明本文的定理推廣、改進(jìn)且豐富了現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于磁流體動(dòng)力學(xué)方程組的結(jié)果,尤其是完善了之前相關(guān)文獻(xiàn)中的一些數(shù)值分析結(jié)果,為磁流體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展和持續(xù)研究提供了理論依據(jù).