基于多種群遺傳算法的鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

周俊文,劉界鵬

（重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院；山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶 400045）

中國位于地震多發(fā)帶，受地震作用的影響，大量建筑物被損毀，造成了巨大的經(jīng)濟損失和人員傷亡[1-3]。據(jù)建筑業(yè)發(fā)展報告統(tǒng)計，2021 年上半年，中國建筑業(yè)企業(yè)完成建筑業(yè)總產(chǎn)值119 843.55 億元，同比增長18.85%，呈現(xiàn)出蓬勃向上的發(fā)展趨勢，建筑結(jié)構(gòu)的安全性和經(jīng)濟性成為重要的關(guān)注點。因此，研究高效的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，對保證建筑行業(yè)的快速發(fā)展具有重要的現(xiàn)實意義。

傳統(tǒng)的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計方法主要依賴PKPM 等設(shè)計軟件的力學(xué)計算分析結(jié)果，憑借專家經(jīng)驗對結(jié)構(gòu)進行人為調(diào)整，包括合理的構(gòu)件布置和截面取值等，使其滿足相關(guān)規(guī)范的要求，以實現(xiàn)優(yōu)化設(shè)計，在保證結(jié)構(gòu)安全性的同時降低建筑材料成本[4-8]，該方法受人為主觀因素的影響較大且耗時耗力，已無法滿足建筑行業(yè)快速發(fā)展的需求。以智能化方法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的自動建模分析和優(yōu)化設(shè)計，能有效改善傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計效率低下的問題，并保證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟有效性[9-12]。

與傳統(tǒng)的混凝土結(jié)構(gòu)、砌體結(jié)構(gòu)相比，鋼框架結(jié)構(gòu)具有輕質(zhì)高強、延性好、結(jié)構(gòu)形式簡單、施工方便等優(yōu)點，應(yīng)推廣其在地震區(qū)的應(yīng)用[1]，近年來，在鋼框架結(jié)構(gòu)的智能優(yōu)化設(shè)計方面已有大量學(xué)者進行了相關(guān)研究。Degertekin 等[13]考慮截面選型和位移約束，采用和聲搜索算法對鋼框架進行了優(yōu)化設(shè)計，降低了鋼框架的重量。Gholizadeh[14-15]采用智能算法對平面鋼框架結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，包括蝙蝠算法和海豚回聲算法，研究了結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)總質(zhì)量的降低，研究了剪力墻位置的優(yōu)化，得到了最優(yōu)布局。Talatahari 等[16]采用基于差分進化的鷹策略算法，?arba?[17]采用基于生物地理學(xué)的優(yōu)化算法，Kaveh 等[18]采用先進的充電系統(tǒng)搜索算法對鋼框架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)能夠滿足約束限值的要求，其材料總成本得到了有效地降低。智能算法已在結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究中有了廣泛的應(yīng)用，在每次優(yōu)化過程中，需要首先對算法參數(shù)進行相應(yīng)的設(shè)置，當(dāng)其取值不合理時，容易會引起算法的收斂性和優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)異性等問題，造成計算量大、耗時長、結(jié)果不理想、隨機性強等后果，如遺傳算法中的變異概率，當(dāng)其設(shè)定較大時，容易破壞原有優(yōu)秀個體的基因，當(dāng)其設(shè)定較小時，可能使優(yōu)化陷入局部最優(yōu)解而過早收斂。在單次優(yōu)化過程中，引入多種群的概念，每個種群設(shè)置不同參數(shù)值而表現(xiàn)出不同的優(yōu)化性能，通過信息共享來進行不同種群間的交流，從而發(fā)揮多種群算法的綜合性能優(yōu)勢，能夠有效提高搜索能力，降低優(yōu)化結(jié)果對參數(shù)設(shè)置的依賴性[19-20]。基于多種群思想的算法在優(yōu)化問題中存在一定的優(yōu)勢，已應(yīng)用到兵工、計算機等領(lǐng)域[21-22]，然而其在土木工程領(lǐng)域的應(yīng)用仍有限。對于建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計而言，優(yōu)化問題比較復(fù)雜，涉及非凸性、非線性、變量離散性、局部最優(yōu)解眾多等，優(yōu)化對象存在較大的結(jié)構(gòu)差異和較強的構(gòu)件相互作用，且優(yōu)化結(jié)果和收斂性高度依賴于算法的更新機制和搜索能力，因此，在實現(xiàn)高效的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方面，該算法的適用性仍有待研究。

目前，中國正在大力推進經(jīng)濟有效結(jié)構(gòu)的發(fā)展，以最小的資源和成本，造出外觀美、空間分布合理并滿足安全性要求的建筑物，實現(xiàn)資源的最大化利用和經(jīng)濟性。筆者以遺傳算法為基礎(chǔ)，通過多種策略對其進行改進并引入多種群思想，將其應(yīng)用于鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題中，以驗證方法的有效性，旨在為鋼框架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計提供參考。

1 優(yōu)化問題

1.1 優(yōu)化對象

研究對象為4 跨10 層的平面鋼框架結(jié)構(gòu)，截面為工字型鋼，鋼號為Q235，跨度為4 m，層高為3 m，從下往上總共分為3 個標(biāo)準(zhǔn)層，其中1～4 層為標(biāo)準(zhǔn)層1，5～7 層為標(biāo)準(zhǔn)層2，8～10 層為標(biāo)準(zhǔn)層3。考慮荷載工況為1.3 倍重力荷載代表值+1.3 倍水平地震作用，前者由恒載4.5 kN/m2（樓面恒載2 kN/m2+樓板自重2.5 kN/m2）與活載2 kN/m2計算得到，將其等效為豎向線荷載作用在梁上；采用底部剪力法計算等效水平地震作用，地震設(shè)防烈度、地震動設(shè)計特征周期、地震影響系數(shù)最大值、阻尼比分別取為6度、0.35 s、0.04、0.04，將其等效為水平荷載作用到每一層柱頂節(jié)點上。通過MSC.Marc 軟件建立鋼框架結(jié)構(gòu)的有限元模型，見圖1，梁柱構(gòu)件均采用梁單元，結(jié)構(gòu)底部和梁柱節(jié)點均為剛接。由于本文旨在研究智能算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的有效性，而優(yōu)化過程最耗時部分為結(jié)構(gòu)的有限元分析，因此，為了節(jié)約計算時間，僅考慮彈性分析，鋼材密度取為7 850 kg/m3，彈性模量取為206 GPa。

圖1 鋼框架結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.1 Finite element model of steel frame structure

1.2 約束條件

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》（GB 50011—2010）[23]和《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）[24]規(guī)定，在鋼框架的優(yōu)化設(shè)計中考慮以下結(jié)構(gòu)約束條件。

最大層間位移角約束

式中：dri為第i層的層間位移角；dru為最大層間位移角限值，取為1/250；ns為樓層數(shù)量。

應(yīng)力約束

式中：σi為第i組構(gòu)件的最大應(yīng) 力；σu為鋼 材的屈服強度值，取為235 MPa；ng為構(gòu)件的組數(shù)。

穩(wěn)定性約束

式中：Ei、Ai、Wxi、Wyi、Ni、Mxi、Myi分別為構(gòu)件i的材料彈性模量、截面面積、x向毛截面模量、y向毛截面模量、軸力、x向最大彎矩、y向最大彎矩；λxi、λyi分別為構(gòu)件i對x軸、y軸的長細(xì)比；λxi、λyi為構(gòu)件i的截面塑性發(fā)展系數(shù)；φxi、φyi分別為構(gòu)件i對x軸、y軸的軸心受壓整體穩(wěn)定系數(shù)；βmxi、βmyi為構(gòu)件i按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）第8.2.1 條彎矩作用平面內(nèi)穩(wěn)定計算采用的等效彎矩系數(shù)；βtxi、βtyi為構(gòu)件i按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》（GB 50017—2017）第8.2.1 條彎矩作用平面外穩(wěn)定計算采用的等效彎矩系數(shù)；f為構(gòu)件i的材料強度設(shè)計值；η為截面影響系數(shù)，取為1；nm為構(gòu)件的總數(shù)。

尺寸約束

計算后約束：

式中：hbi、tbwi分別為第i組框架梁的腹板高度和腹板厚度；ρi為第i組框架梁的最大軸壓比；λci為第i組框架柱的長細(xì)比；λu為框架柱最大長細(xì)比限值，取為100ε，ε為鋼號修正系數(shù)。此類約束需要在有限元分析后由其結(jié)果計算得到，包括框架梁的腹板寬厚比和框架柱的長細(xì)比。

計算前約束

式中：bci、hci、tcfi、tcwi分別為第i組框架柱的翼緣外伸部分寬度、腹板高度、翼緣厚度、腹板厚度；bbi、tbfi分別為第i組框架梁的翼緣外伸部分寬度、翼緣厚度，ngc、ngb分別為框架柱、框架梁的組數(shù)。此類約束可以在進行有限元分析前計算得到，包括框架柱的翼緣外伸部分和腹板寬厚比、框架梁的翼緣外伸部分寬厚比。

2 優(yōu)化方法

2.1 設(shè)計變量

如圖1 所示，鋼框架結(jié)構(gòu)總共設(shè)有3 個標(biāo)準(zhǔn)層，將每個標(biāo)準(zhǔn)層中的構(gòu)件劃分3 組，包括角柱、中柱和梁，總共有9 組構(gòu)件，每組構(gòu)件設(shè)置4 個參數(shù)，包括工字型鋼截面的翼緣寬度b、總高度h、腹板厚度t1、翼緣厚度t2，記為（b、h、t1、t2），單位為mm，因此，該優(yōu)化問題中總共考慮36 個設(shè)計變量，變量的取值范圍見表1。

表1 設(shè)計變量取值范圍Table 1 Range of design parameters

2.2 目標(biāo)函數(shù)

以結(jié)構(gòu)的鋼材總質(zhì)量最小化為目標(biāo)函數(shù)，包括所有的框架梁柱構(gòu)件，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：li分別為構(gòu)件i的長度。

采用外部罰函數(shù)法計算懲罰后的結(jié)構(gòu)總質(zhì)量，構(gòu)造輔助函數(shù)對約束條件進行處理，其表達(dá)式為

通過輔助函數(shù)，將約束條件考慮到目標(biāo)函數(shù)中，得到懲罰后的目標(biāo)函數(shù)，稱為偽目標(biāo)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：gi為約束條件值，由式(1)～式(6)計算得到；n為約束條件總數(shù)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)滿足所有的約束條件時，式（12）第2 項為0，偽目標(biāo)函數(shù)等于結(jié)構(gòu)總質(zhì)量；當(dāng)結(jié)構(gòu)存在約束超限的情況時，式（12）第2 項將遠(yuǎn)大于0，偽目標(biāo)函數(shù)大于結(jié)構(gòu)總質(zhì)量。因此，偽目標(biāo)函數(shù)值越小，則結(jié)構(gòu)更好，其既能滿足所有的約束條件，又能實現(xiàn)經(jīng)濟性。

偽目標(biāo)函數(shù)是一項考慮結(jié)構(gòu)原始總質(zhì)量和所有約束條件的綜合指標(biāo)，可以將有強約束的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題轉(zhuǎn)換為無約束問題，通過種群個體函數(shù)值之間的對比，能夠反映出結(jié)構(gòu)違反約束條件的程度、超限數(shù)量、材料質(zhì)量和結(jié)構(gòu)相對優(yōu)劣等信息，以實現(xiàn)對個體的比較選擇。

2.3 優(yōu)化算法

以遺傳算法為基礎(chǔ)，引入多種改進策略和多種群思想，結(jié)合結(jié)構(gòu)和設(shè)計變量特征，基于規(guī)范要求對鋼框架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，旨在說明多種群遺傳算法的有效性。采用的所有算法都具有相同的種群初始化、適應(yīng)度評估步驟，在設(shè)計變量生成和更新時都采用了基于約束的策略，將先對其進行統(tǒng)一描述。

基于約束的策略見圖2。遺傳算法是一種隨機性較強的算法，在初始化和迭代過程中生成種群時不具有方向性，通常存在新個體無法滿足約束條件或原本滿足要求的個體在變量更新后出現(xiàn)超限的情況，這會增加無效個體（存在超限情況的個體）的數(shù)量，從而導(dǎo)致計算時間的增加。為了減少該情況發(fā)生的可能性，以構(gòu)件組為單位，采用基于約束的策略來改善該問題，僅針對計算前約束條件。在初始化過程中或在迭代過程中通過交叉、變異操作后，當(dāng)有新個體生成時，遍歷每個構(gòu)件組，均通過式（7）～式（9）對其截面參數(shù)進行相關(guān)驗算，當(dāng)滿足要求時，該構(gòu)件組生成有效，否則重復(fù)進行相同操作，直至滿足要求為止，為了避免某些構(gòu)件組始終無法滿足要求而陷入死循環(huán)的情況，設(shè)置最大重復(fù)操作的次數(shù)，在超過30 次后，將該構(gòu)件組的4 個參數(shù)在取值范圍內(nèi)重新隨機生成，直到滿足要求。該策略將應(yīng)用于包括種群初始化、交叉、變異、重生成等所有會生成新個體的步驟中。

圖2 基于約束的策略Fig.2 Constraint-based strategy

種群初始化。個體的所有設(shè)計變量在相應(yīng)的取值范圍內(nèi)隨機選擇，以構(gòu)件組為單位，采用基于約束的策略生成最終個體，最大限度地保證初始種群在可行域內(nèi)均勻分布和算法的全局搜索能力。

適應(yīng)度評估。采用式（12）計算每個個體的偽目標(biāo)函數(shù)值，進而得到其適應(yīng)度。

2.3.1 遺傳算法

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是基于大自然中生物體進化規(guī)律，模擬達(dá)爾文生物進化論的自然選擇法則和遺傳學(xué)機理的生物進化過程思想的一種優(yōu)化算法，具體為將優(yōu)化問題以基因的形式對種群中所有個體進行編碼，通過自然選擇、遺傳和變異過程實現(xiàn)新種群的更新迭代，最終獲得適應(yīng)性高的個體，即最優(yōu)個體，該方法已被廣泛應(yīng)用于機器學(xué)習(xí)、信號處理、組合優(yōu)化等領(lǐng)域。該算法的主要流程（見圖3）如下。

圖3 遺傳算法流程Fig.3 Process of genetic algorithm

1）個體編碼。采用實數(shù)編碼方式將求解問題轉(zhuǎn)換為可供遺傳算法進行后續(xù)操作的帶有數(shù)據(jù)信息的染色體或個體，建立問題解空間和算法參數(shù)搜索空間的映射關(guān)系。

2）選擇算子。根據(jù)遺傳算法中“適者生存”的思想，從上一代種群的適應(yīng)度選擇出優(yōu)質(zhì)個體作為交叉和變異操作的基礎(chǔ)。采用輪盤賭策略對個體進行選擇，即通過計算所有個體的適應(yīng)度，其值越高，則被選擇的概率越大。

3）交叉算子。在荷載作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件具有較強的相互作用關(guān)系，存在著荷載的分配問題，如應(yīng)力不僅與該構(gòu)件的截面尺寸相關(guān)，還與其他構(gòu)件的剛度以及分配的荷載相關(guān)，若在所有設(shè)計變量之間采用多點交叉，容易導(dǎo)致原本滿足應(yīng)力要求的構(gòu)件發(fā)生超限的情況，使算法的收斂速度降低等問題。為了提高算法的性能，采用基于構(gòu)件層次的多點交叉策略，即在每一組構(gòu)件的4 個參數(shù)中隨機選擇一個點位進行交叉，突出相同構(gòu)件組之間父代特性的繼承和遺傳。

4）變異算子。與交叉算子相似，采用基于構(gòu)件層次的多點變異策略，即在每一組構(gòu)件的4 個參數(shù)中隨機選擇一個點位，在其取值范圍內(nèi)隨機生成，提高對構(gòu)件組的局部搜索能力，增加種群的多樣性并避免“早熟”現(xiàn)象的發(fā)生。

5）終止準(zhǔn)則。設(shè)置最大迭代次數(shù)和最優(yōu)解保持在誤差范圍內(nèi)的最大連續(xù)次數(shù)，當(dāng)滿足任意一種情況時，優(yōu)化過程終止，輸出最優(yōu)解。

2.3.2 改進遺傳算法

經(jīng)典遺傳算法存在著一些弊端，在基于輪盤賭策略的選擇操作中，迭代后期的個體差異較小，由于適應(yīng)度相近較難選擇出真正的優(yōu)質(zhì)個體，在交叉和變異操作中，概率固定且缺乏搜索方向的引導(dǎo)，對設(shè)計變量的取值擾動較大，容易破壞構(gòu)件層次的優(yōu)質(zhì)基因，使算法的局部搜索能力降低，整體未設(shè)置精英保留策略，可能造成優(yōu)質(zhì)個體基因的浪費。因此，考慮采用適應(yīng)度尺度變換、基于方向的交叉算子、非均勻變異算子、自適應(yīng)概率、精英保留策略、重復(fù)項替代機制對其進行改進，稱為基于方向的自遺傳算法（genetic algorithm，DBAGA），其主要流程見圖4。

圖4 DBAGA 算法流程Fig.4 Process of DBAGA

適應(yīng)度尺度變換[25]。適應(yīng)度對算法的收斂性有一定的影響，為了在優(yōu)化初期對少數(shù)適應(yīng)度較高的個體進行控制，降低其與其他個體的差異，以維護種群多樣性，在優(yōu)化后期適當(dāng)放大個體之間的差異，提高優(yōu)質(zhì)個體的競爭性，采用線性尺度變換策略對適應(yīng)度進行處理，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：f、f ′分別為尺度變換前后的適應(yīng)度值；a、b為系數(shù)，由式（14）～（15）計算得到，即尺度變換后的適應(yīng)度平均值f ′ave和最大值f ′max應(yīng)分別等于尺度變換前的適應(yīng)度平均值fave和其指定倍數(shù)；c為最佳個體期望復(fù)制系數(shù)，一般取為1～2。

基于方向的交叉算子[26]。智能算法如粒子群算法中通常通過較優(yōu)個體來引導(dǎo)種群中其他個體的搜索方向，從而使其向更好的方向移動，采用基于方向的交叉算子來實現(xiàn)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：、分別為第k次迭代中選擇出的第i個和第j個個體；λ為步長，取為1；R1、R2為取值為[0,1]且與維度設(shè)計變量相同的隨機數(shù)向量；D為和中較優(yōu)個體與較差個體的向量差，即交叉方向。

非均勻變異算子[27]。通過基因位隨機數(shù)替代可能導(dǎo)致優(yōu)質(zhì)個體被破壞，采用非均勻變異算子，僅在所選點位附近作一微小隨機擾動，可以提高對重 點區(qū)域的局部搜索，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：x、xu、xl分別為基因位對應(yīng)參數(shù)的當(dāng)前取值、最大取值、最小取值，r為[0,1]的隨機數(shù)；t為當(dāng)前迭代數(shù)；T為最大迭代數(shù)；b為系數(shù)。

自適應(yīng)概率。固定概率的設(shè)置會影響算法的性能，當(dāng)其過大時，優(yōu)質(zhì)個體的基因被破壞的可能性變大，從而增加算法的隨機性，當(dāng)其過小時，會使搜索過程緩慢，陷入局部最優(yōu)解，采用自適應(yīng)概率可以改善該問題。根據(jù)適應(yīng)度的不同，在交叉操作中，設(shè)置2 階段概率[25]；在常見的2 階段變異操作中，較大概率值通常較小，難以達(dá)到變異作用，為了增加種群的多樣性，增加變異的可能性，設(shè)置3 階段概率。當(dāng)適應(yīng)度低于設(shè)定適應(yīng)度時，說明個體較差，采用較大的交叉和變異概率，當(dāng)適應(yīng)度高于設(shè)定適應(yīng)度時，采用較小的交叉和變異概率，以自適應(yīng)概率的方式增加個體的競爭，提高算法的收斂速度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中：pc1、pc2分別為較大和較小交叉概率；pm1、pm2、pm3分別為較大、一般和較小變異概率。

精英保留策略[25]。為了避免精英個體的丟失，提高子代個體對父代個體優(yōu)質(zhì)基因的繼承特性，將歷史最優(yōu)解保存并在每一次迭代過程中用于替代最劣解，可以有效保證最優(yōu)個體不會被破壞，提高算法的收斂性，但同樣存在某個局部最優(yōu)解不易被淘汰而使優(yōu)化過早收斂的問題，因此與重復(fù)項替代機制配合使用。

重復(fù)項替代機制[26]。由于算法的遺傳特性，經(jīng)過選擇、交叉和變異操作后，種群中很可能存在重復(fù)個體，為了避免重復(fù)計算和降低優(yōu)化時間，用變異后的精英個體來替代重復(fù)項，能夠有效增加種群的多樣性，同時提高對精英個體參數(shù)取值附近的局部搜索，改善因精英保留策略帶來的過早收斂和陷入局部最優(yōu)解問題。

2.3.3 多種群遺傳算法

優(yōu)化算法的性能和結(jié)果受到算法中參數(shù)的影響，如遺傳算法中的交叉概率等，基于固定參數(shù)的優(yōu)化隨機性較強、魯棒性較差，采用基于多種群的思想可以改善此類問題。在同一次優(yōu)化中，同時生成多個初始種群或者將整體群體劃分為多個子群體，每個子群體設(shè)置不同的算法參數(shù)，各自同時進行優(yōu)化，在一定的迭代次數(shù)后，通過移民算子將各子種群在進化過程中出現(xiàn)的最優(yōu)個體引入相鄰的子種群中，實現(xiàn)種群之間的信息交換。該方法能夠有效降低的單一種群算法的隨機性和提高魯棒性，減少對參數(shù)設(shè)置的依賴性。對上述GA 和DBAGA都進行多種群的設(shè)置，即多種群遺傳算法（Multi Population GA，MPGA）和基于方向的多種群遺傳算法（Direction-based MPGA，DMPGA），以MPGA為例進行說明，見圖5。在多種群算法中，各參數(shù)值不固定，只給定各自的取值范圍，在每次優(yōu)化開始時隨機得到。

圖5 多種群遺傳算法Fig.5 Multi population genetic algorithm

移民算子。在多種群算法中，將群體劃分為一些子種群，通過移民操作建立子種群之間的相互聯(lián)系并實現(xiàn)信息交流，具體步驟如下：設(shè)置子種群數(shù)、移民間隔（相鄰兩次移民的間隔迭代數(shù)）和移民率（每次被移民的個體數(shù)量）；每個子種群按一定的模式（即獨立優(yōu)化器，在圖5 中為GA）分別進行獨立優(yōu)化；當(dāng)?shù)螖?shù)滿足移民間隔時，相鄰子種群進行有序的移民操作。如設(shè)置子種群數(shù)為4，移民間隔為5，移民率為1，則將群體劃分為4 個子種群，每個子種群進行獨立優(yōu)化，每5 次迭代時，用子種群1 中歷史最優(yōu)的1 個個體替換子種群2 中當(dāng)代最差的1個個體，以此類推，按順序完成所有子種群間的移民操作（2→3，3→4，4→1）。

2.4 自動優(yōu)化過程

結(jié)構(gòu)體系的自動優(yōu)化設(shè)計過程主要包括結(jié)構(gòu)的有限元分析和智能算法的迭代更新兩步，搭建優(yōu)化算法框架，通過MSC.Marc 有限元軟件完成對初始化種群的力學(xué)分析，基于Python 二次開發(fā)技術(shù)對結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果進行提取和整理，得到個體的適應(yīng)度，再由優(yōu)化算法生成新一代種群，基于參數(shù)化建模方法和智能算法實現(xiàn)結(jié)構(gòu)設(shè)計的反復(fù)計算分析和自動尋優(yōu)過程，見圖6。為了節(jié)約結(jié)構(gòu)分析時間，利用多核CPU 設(shè)置并行計算。

圖6 結(jié)構(gòu)自動優(yōu)化設(shè)計過程Fig.6 Automatic structural optimization design process

采用4 種算法對鋼框架結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，各進行20 次優(yōu)化，在優(yōu)化過程中，各算法的參數(shù)設(shè)置保持不變，具體取值見表2。在2 種單種群算法中，因試算后發(fā)現(xiàn)種群規(guī)模設(shè)置較小時會出現(xiàn)過早收斂情況且優(yōu)化結(jié)果不理想，故均設(shè)置為100；在2 種多種群算法中，移民算子均設(shè)置為每1 次迭代后進行相應(yīng)操作，子種群均設(shè)置為5 個且每個子種群10 個個體。

表2 算法參數(shù)設(shè)置Table 2 Parameter setting of algorithms

3 結(jié)果分析

鋼框架結(jié)構(gòu)不同算法的優(yōu)化曲線和計算結(jié)果見圖7、圖8 和表3。對于GA，20 次優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，但最優(yōu)解呈現(xiàn)出較強的離散性，其標(biāo)準(zhǔn)差為1.79 t，其中，最優(yōu)解和最劣解分別為19.75、27.04 t，差值較大，達(dá)到7.29 t。從圖7（a）中可見，大多數(shù)優(yōu)化所需的分析次數(shù)在4 000 次左右，其中，有6 次優(yōu)化所需的分析次數(shù)小于2 800次，計算成本較小，但在1 000 次分析后，大多數(shù)優(yōu)化曲線進入平穩(wěn)階段且后期僅存在1～2 次下降，由此說明，該算法容易陷入局部最優(yōu)解而過早收斂，局部搜索能力較差，這是因為其交叉和變異策略都是針對每個構(gòu)件組的某一個隨機的基因位進行的相關(guān)操作，不確定性較高，缺乏一個搜索方向的引導(dǎo)，容易造成優(yōu)質(zhì)基因被破壞。

表3 不同算法的優(yōu)化結(jié)果Table 3 Optimization results of different algorithms

圖7 不同算法的優(yōu)化曲線Fig.7 Optimization curves of different algorithms

圖8 不同算法的最優(yōu)解計算結(jié)果Fig.8 Results of optimized solutions by different algorithms

對于DBAGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)中有8 次無法滿足所有的約束條件，由于偽目標(biāo)函數(shù)中考慮了約束條件的影響，因此，受多個最劣解的影響，優(yōu)化結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均較差，分別達(dá)到89.35、89.11 t，在該算法參數(shù)的設(shè)置下呈現(xiàn)出較強的離散性和隨機性。從優(yōu)化所需的分析次數(shù)來說，有14 次算例小于3 000 次即可達(dá)到終止判別條件，計算代價較低，同樣存在容易陷入局部最優(yōu)解而過早收斂的問題。這是因為該算法的交叉策略是針對設(shè)計變量的所有維度，雖然通過較優(yōu)個體向較差個體提供了搜索方向的引導(dǎo)，但受到算法參數(shù)的設(shè)置影響，如果交叉的兩個個體都較差，其交叉后的子代個體則有較大可能無法得到好的改善，此外，在迭代后期，由于精英策略保留的歷史最優(yōu)個體將在種群中重要性增加，即使設(shè)置了重復(fù)項替代機制對該個體的重復(fù)項進行了變異且在其參數(shù)取值附近進行了局部搜索，但由于該個體本身質(zhì)量較差且每一次迭代僅存在少數(shù)重復(fù)項，算法的局部搜索能力仍不易尋到更優(yōu)質(zhì)的解。

對于MPGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，最優(yōu)解和最劣解分別為18.25、24.50 t，差值達(dá)到6.25 t，但除少數(shù)案例以外，其他優(yōu)化結(jié)果相對集中且標(biāo)準(zhǔn)差僅有1.56 t，表現(xiàn)出較大的離散性，但優(yōu)于GA。從圖7（c）中可見，大多數(shù)優(yōu)化所需的分析次數(shù)小于2 700 次，計算時間較短，在迭代前期能下降到接近最終解便進入到平穩(wěn)階段且后期出現(xiàn)下降的次數(shù)較GA 有所增加，說明算法的局部搜索能力較GA 更好，這是因為采用了多種群思想，部分改善了GA 存在的局部搜索能力較差的缺點。該算法的基礎(chǔ)是GA，同樣是基于構(gòu)件組進行的交叉操作，在迭代過程中容易破壞較優(yōu)個體，缺少搜索方向的引導(dǎo)，大多靠全局搜索來尋優(yōu)，具有一定的隨機性。

對于DMPGA，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足所有的約束條件，其中，最優(yōu)解和最劣解分別為13.27、17.52 t，標(biāo)準(zhǔn)差僅有1.17 t，該算法的魯棒性較好。從圖7（d）可見，優(yōu)化所需的分析次數(shù)大多集中于5 000 次左右，少數(shù)案例進行到了最大迭代次數(shù)才終止，受其影響，20 次優(yōu)化所需的平均分析次數(shù)達(dá)到6 403 次，所有的優(yōu)化曲線表現(xiàn)出較多次的下降，說明該算法的局部搜索能力較強。這是因為DMPGA設(shè)置了多個子種群，集合了多個不同參數(shù)設(shè)置且獨立的DBAGA，極大地降低了單種群算法對其參數(shù)取值的依賴性，由于自適應(yīng)概率和基于方向的交叉算子，每個DBAGA 都存在較差個體向較優(yōu)個體前進的機制，即使其歷史最優(yōu)解的質(zhì)量較差，但通過移民算子可以得到極大地改善。

由圖7（e）可見，除DBAGA 之外，其他3 種算法優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)均能滿足約束條件。其中，GA、DBAGA 和MPGA 的平均優(yōu)化曲線分別在約1 000、2 000 和1 500 次分析后下降到較低水平，優(yōu)化前期的收斂速度較快，但隨后基本保持平穩(wěn)狀態(tài)，此外，由表3 可見，3 種算法所需的平均分析次數(shù)分別為4 195、3 305、3 205 次，整體表現(xiàn)為局部搜索能力不足，存在早期陷入局部最優(yōu)解而過早收斂的問題。相比之下，DMPGA 的平均優(yōu)化曲線在1 000～3 000次分析中仍有較大幅度的下降，約6 000 次分析后進入穩(wěn)定期，所需的平均分析次數(shù)為6 403 次，雖然遠(yuǎn)高于其他算法，但優(yōu)化前期和后期均能表現(xiàn)出較好的搜索能力且最終得到的優(yōu)化結(jié)果遠(yuǎn)好于其他算法，具體如下：從平均解來說，DMPGA 的結(jié)果為15.58 t，比GA、DBAGA、MPGA 的結(jié)果分別低33.3%、82.6%、29.2%；從最優(yōu)解來說，DMPGA 的結(jié)果為13.27 t，比GA、DBAGA、MPGA 的結(jié)果分別低32.8%、32.1%、27.3%；從標(biāo)準(zhǔn)差來說，DMPGA 的結(jié)果為1.17 t，比GA、DBAGA、MPGA的結(jié)果分別低34.7%、98.7%、25.2%；從最劣解來說，DMPGA 的 結(jié)果 為17.52 t，比GA、DBAGA、MPGA 的最優(yōu)解都小，分別低11.3%、10.3%、4.0%。因此，由于采用了并行計算技術(shù)，平均一次結(jié)構(gòu)分析所用時間約為1～2 s，一次結(jié)構(gòu)優(yōu)化所需的總體計算時間約為1～4 h，耗時較短，DMPGA 在計算效率方面雖有不足和有待改進之處，但在可接受范圍之內(nèi)，此外，該算法在搜索能力和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的質(zhì)量結(jié)果方面有明顯的優(yōu)勢。

由圖8 和表3 可見，不同算法的最優(yōu)解都能滿足約束條件，但最優(yōu)結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量參數(shù)值和性能指標(biāo)結(jié)果相差較大，這是因為每種算法都是基于遺傳算法的思想，具有一定的隨機性，即使結(jié)構(gòu)總質(zhì)量相近，但構(gòu)件尺寸和結(jié)構(gòu)性能仍存在較大差異。與GA 和DBAGA 相比，總體來說，基于多種群思想的MPGA 和DMPGA 最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)更接近限值，兩者相比，DMPGA 的結(jié)果更好，如最大層間位移角為0.003 98，基本等于限值1/250，多組構(gòu)件的穩(wěn)定性結(jié)果接近1，說明其優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)更優(yōu)，既能滿足約束條件，又具有較小的總質(zhì)量。

總體來說，DBAGA 比GA 的局部搜索能力更強，這是因為非均勻變異算子和重復(fù)項替代機制同時增加了種群的多樣性和歷史最優(yōu)個體參數(shù)取值附近的局部搜索，但優(yōu)化結(jié)果仍較差；基于多種群的算法能夠有效改善基于單種群的算法的隨機性和魯棒性，通過多組不同參數(shù)設(shè)置降低了優(yōu)化結(jié)果對其的依賴性，如在前面分析中提到的DBAGA 可能由于精英策略保留的個體質(zhì)量較差而不易尋到更優(yōu)質(zhì)的解，但通過多種群機制的移民算子，能夠有效建立起子種群之間多個歷史最優(yōu)解的聯(lián)系，有效彌補了單種群算法的不足；與MPGA 相比，由于增加了基于方向的交叉算子能夠引導(dǎo)較差個體向較優(yōu)個體學(xué)習(xí)，DMPGA 具有更強的全局和局部搜索能力。

4 結(jié)論

以結(jié)構(gòu)的材料用量最小化為目標(biāo)，通過罰函數(shù)法同時考慮多種結(jié)構(gòu)約束條件，以遺傳算法為基礎(chǔ)，結(jié)合鋼框架結(jié)構(gòu)的特征，建立了結(jié)構(gòu)的自動優(yōu)化設(shè)計流程，通過多種策略對算法進行了改進，引入多種群思想，驗證了多種群遺傳算法在鋼框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中的有效性，主要結(jié)論如下：

1）與GA 相比，DBAGA 由于引入了基于方向的交叉算子、非均勻變異算子和重復(fù)項替代機制，有效地提高了算法的局部搜索能力，但其優(yōu)化結(jié)果仍較差，多數(shù)優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)無法滿足所有的約束條件。

2）基于多種群思想的遺傳算法通過設(shè)置多個不同參數(shù)的子種群和移民算子，建立起子種群之間的聯(lián)系，降低了單種群遺傳算法對參數(shù)設(shè)置的依賴性，有效地改善了其隨機性較強的問題，提高了算法的魯棒性。

3）基于多種群思想的DMPGA 由于存在基于方向的交叉算子、非均勻變異算子、重復(fù)項替代機制，其局部搜索能力得到了較大的改善，優(yōu)化結(jié)果的最優(yōu)解為13.27 t，比GA、DBAGA、MPGA 的結(jié)果分別低32.8%、32.1%、27.3%。