一類超臨界Sobolev不等式的最佳常數(shù)與極值函數(shù)

陳 媛，柳彥軍

（重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶 401331）

0 引言

眾所周知，Sobolev空間理論是數(shù)學家Sobolev在20世紀30年代初發(fā)展起來的，這些空間是由弱可微函數(shù)所組成的 Banach 空間，并建立一系列新的概念，例如廣義解、廣義導數(shù)、嵌入定理等.在Sobolev 空間理論不斷發(fā)展中，人們對Sobolev 空間中的不等式也作了大量推廣，Sobolev 不等式最初是由Sobolev 給出，但不包括p=1 的情形.不等式的證明依賴于Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式.1958 年，Gagliardo 與Nirenberg 對此進行了完善，得到了一般Sobolev 不等式.Sobolev 空間的核心內(nèi)容是Sobolev 嵌入定理，其基本內(nèi)容包含在Sobolev 的工作中，后來，Morrey及Aubin等對其進行了完善.與此同時，隨著非線性彈性力學等學科的迅速發(fā)展，非標準增長條件的橢圓形偏微分方程以及相關的變分問題引起了人們的廣泛興趣，因此，大量理論和應用上的問題被提出.變指數(shù)的非線性橢圓問題是一個全新的研究課題，它反映了“逐點異性”的物理現(xiàn)象，其包含有p-Laplacian問題，主要介紹非線性彈性力學、電子流變流體模型和圖像恢復模型，并有著十分重要的應用背景，許多重要的物理現(xiàn)象和幾何問題都可以用橢圓方程來表示其數(shù)學模型.例如Laplace 問題、非線性擴散理論、熱力學中的氣體燃燒理論、量子場論和統(tǒng)計力學以及星體的引力平衡理論等都與此有著極大的聯(lián)系.此外，p-Laplacian問題描述了物理和化學中一類穩(wěn)態(tài)的反應擴散現(xiàn)象，并在彈性力學和電流體力學等問題中有重要的應用背景，利用廣泛的物理背景來研究橢圓問題的解（或弱解）及其相關性質(zhì)，具有重要的現(xiàn)實意義.

1 主要研究結(jié)果

變分法中對于一些非標準增長條件的方程，有時候無法對偏微分方程直接求解.因此，一些最佳先驗估計顯得十分重要.同時，最佳的幾何不等式也一直是許多分析學家關注的主要問題，除了其內(nèi)在價值外，幾何不等式最佳常數(shù)的確定與底層空間幾何結(jié)構密切相關，變分法中有很多經(jīng)典的理論，如山路引理、環(huán)繞定理及指標理論等.20 世紀60 年代，Palais 和Smale 對泛函引入了著名的Palais-Smale（簡稱PS）序列，得到PS 序列后，往往希望該PS 序列有強收斂的子列（即PS 序列有緊性），為此，第一步就需要保證PS 序列的有界性，如著名的 Ambrosetti-Rabinowitz（簡稱A-R）條件.Ambrosetti 和Rabinowitz 建立了著名的山路引理，并且應用于半線性微分方程的多解存在性的研究，這是現(xiàn)在極大極小方法的開端，完全改變了研究具有變分結(jié)構的非線性問題的方法.

一些嵌入不等式的最佳常數(shù)往往是極值函數(shù)存在的關鍵，如等周不等式、特征值比較定理、預定曲率方程、解的存在性等，極值函數(shù)的研究可以更加豐富流形上Sobolev 空間理論，從而解決一些預定曲率問題.

當N≥3和1

其中B是RN中的單位球.Lions 等［1］研究了邊界部分消失函數(shù)的Sobolev 常數(shù)，對于一般有界域，ΣN，p不能達到.對于嵌入到變指數(shù)空間Lq(x)(B)范數(shù)有

為了討論最佳性和極值問題，定義

然后可以得到以下結(jié)果：

定理1

下邊的結(jié)果提供了最佳常數(shù)ΛN，p，α可達的判斷準則.

定理2

假設N>2以及ΛN，p，α>ΣN，p，那么最佳常數(shù)ΛN，p，α是可達的.

2 定理1的證明

受文獻［2］的啟發(fā)，基于文獻［5］中給出的Bliss型函數(shù)，可以定義

于是有以下結(jié)論：

引理1

令δ，分別由（6）和（7）給出，有

定理1的證明，對于任意的ε>0，且ε足夠小，可證明存在一個常數(shù)C>0，有

事實上，可以有下面的相關表達

找到足夠小的C>0和ε>0.再結(jié)合（14）和（15），可完成（10）的證明.

另結(jié)合（8）和（9），有

最后，利用（10）與（16），有

由此完成了定理1的證明.

3 定理2的證明

引理2

假設‖ ?uj‖p=1和ΛN，p，α不能達到，那么ΛN，p，α的任何最大化序列都集中在原點.

證明

從而得出矛盾，因此，有u≡0，下面還需要證明(uj)滿足

當區(qū)間[r0，1]代替(0，1 ]時，對于q≥p時，可以得到下面的緊嵌入

要證明（20），首先看算子H：Lp[r0，1]→Lq[r0，1]定義為

對于1 ≤p≤q，算子H是緊的當且僅當滿足下面的三個條件

（參見［7］中定理7.4）.

計算表明(i)，(ii) 和 (iii)是滿足的，說明H是緊的.在（20）中的嵌入可以看作T?H，其中是由Tu=-u′給出.T是一個連續(xù)算子，因此緊的嵌入（20）就證畢.

當p*>p，在（20）和引理2的幫助下，可得到

利用Ekeland的原理（［8］中定理3.1），由于(uj)是一個最大化序列，對于一些乘數(shù)λj有

選擇一個平滑的截斷函數(shù)

并在（22）中令v=ξuj，利用（21），可得到

從而，證明了（19）.

引理3

如果N>p，對于任意的0

（23）證畢.

其次，通過引理3，可得到

對于任意的r∈(δ(ε)，1)，有

當存在某個C2=C2(N，p)使得

注意，當j→∞，ζj→0時，對于足夠大的j，可以得到