NSD 隨機(jī)陣列最大加權(quán)和的矩收斂性及應(yīng)用

何其慧

由于統(tǒng)計(jì)模型中很多估計(jì)量都是隨機(jī)變量加權(quán)和的形式，因此越來(lái)越多的學(xué)者開始重視隨機(jī)變量加權(quán)和的研究.近年來(lái)很多學(xué)者都對(duì)加權(quán)和的收斂性展開了研究，且取得了一系列的成果.如文獻(xiàn)［1?3］在獨(dú)立同分布的假設(shè)下建立了的一些強(qiáng)收斂性.文獻(xiàn)［4］在負(fù)相協(xié)的假設(shè)下建立了加權(quán)和的漸近性質(zhì).文獻(xiàn)［5］在獨(dú)立假設(shè)下建立了加權(quán)和的弱收斂性并應(yīng)用于EV 回歸模型的漸近性質(zhì)的研究中.文獻(xiàn)［6］利用AANA 隨機(jī)變量的矩不等式得到了AANA 序列加權(quán)和的矩收斂性，即

式中：{ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 需滿足

此外，文獻(xiàn)［6］對(duì)AANA 序列控制系數(shù)的限制較為嚴(yán)格且難以驗(yàn)證.本文基于NSD 的假設(shè)，在更弱的條件下得到較文獻(xiàn)［6］更強(qiáng)的結(jié)果.另外，基于所建立的矩收斂性的結(jié)果，進(jìn)一步研究了此誤差下非參數(shù)回歸模型中估計(jì)量的矩相合性和弱相合性.

本文引用如下一些記號(hào)：C>0 為一與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，a+=aI(a≥0)且a?=?aI(a<0).

1 預(yù)備工作

回顧一些基本概念.首先是由文獻(xiàn)［7］提出的關(guān)于NA 隨機(jī)變量的概念.

定義1 如果對(duì){ 1，2，…，n}的任意非空不交子集A與B都有

式中：f1與f2同時(shí)對(duì)各變?cè)獑握{(diào)非降或非增，則稱隨機(jī)序列{Xi，1 ≤i≤n} 是NA.此外，如果對(duì)?n≥2，X1，X2，…，Xn都是NA，則稱隨機(jī)序列{Xn，n≥1} 是NA.

基于超可加函數(shù)的概念，文獻(xiàn)［8］提出了NSD 隨機(jī)變量的概念且證明了NA 隨機(jī)變量都是NSD.

定義2 隨機(jī)向量(X1，X2，…，Xn) 稱 為NSD，如果

式中：X1*，X2*，…，Xn*是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且對(duì)任意的1 ≤i≤n，Xi*都與Xi有相同的分布，?是使得上式期望存在的超可加函數(shù).

關(guān)于NSD 隨機(jī)變量的一些最新結(jié)果，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［9?12］.為證明本文的主要結(jié)果，需要引入如下引理.

引理1［8］設(shè)隨機(jī)陣列{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}為NSD.若{fni(?)，1 ≤i≤n，n≥1} 為單調(diào)非降（或非增）函數(shù)陣列，那么{fni(Xni)，1 ≤i≤n，n≥1}仍為NSD.

引理2［8］令{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機(jī)陣列.假設(shè)存在q≥2，使得對(duì)所有的1 ≤i≤n，n≥1 都有E|Xni|q<∞，則

由引理2 和文獻(xiàn)［13］中定理2.1 的方法，可得如下關(guān)于NSD 隨機(jī)陣列的矩不等式.

引理3 假設(shè){Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機(jī)陣列且存在1

2 主要結(jié)果

定理1 令10，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1} 是一均值為 0 的 NSD 隨機(jī)陣列且假設(shè){ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1}是一定義在緊集A上的函數(shù)陣列，且滿足

證明 由于ani(zj)=(ani(zj))+?(ani(zj))?，不失一般性，假設(shè)對(duì)一切1 ≤i，j≤n，n≥1，都有ani(zj)≥0 和對(duì)任意的t>0，定義

由ε>0 的任意性，為證明式（5）成立，只需證明In1→0 和In2→0 成立.由的定義可知故由Cr不等式和式（3）可得

下面證明In1→0.

取q滿足p

由In2→0 的證明可知In12→0.最后，對(duì)于In11，同樣由式（3）和In2→0 的證明可得

定理2 令p≥2，α>0，{Xni，1 ≤i≤n，n≥1}是一均值為0的NSD隨機(jī)陣列且∞.假設(shè){ani(zj)，1 ≤i，j≤n，n≥1} 是一定義在緊集A上的函數(shù)陣列，且滿足

則依然有式（4）成立.

證明 由式（7）易知

由定理1 的證明可知，為證明定理2，只需在p≥2 的條件下證明In1→0 即可.

取q滿足q>p，由引理2 可得

對(duì)比文獻(xiàn)［6］的結(jié)果，定理1 和定理2 有如下改進(jìn)：①隨機(jī)控制的假設(shè)在本文中不再需要.②式（2）被減弱到式（3）和式（7）.③式（1）中關(guān)于隨機(jī)序列加權(quán)部分和的結(jié)果被改進(jìn)到式（4）中隨機(jī)陣列的最大值加權(quán)和的結(jié)果.因此，定理1 和定理2 改進(jìn)并推廣了文獻(xiàn)［6］中相應(yīng)的結(jié)果.

下面給出主要結(jié)果在回歸模型中的一個(gè)應(yīng)用.考慮如下非參數(shù)回歸模型：

式中：xni∈A是固定點(diǎn)列，回歸函數(shù)g定義在A上但未知，εni，1 ≤i≤n，n≥1 為隨機(jī)誤差.

考慮如下關(guān)于g的加權(quán)估計(jì)：

式中：權(quán)函數(shù)Wni(x)滿足以下三個(gè)條件：

上述加權(quán)估計(jì)最早由文獻(xiàn)［14］提出，隨后許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究.具體可參考文獻(xiàn)［15?18］.基于前面的主要結(jié)果，進(jìn)一步建立了估計(jì)量gn(x)的矩相合性和弱相合性.

定理3 假設(shè)條件①～③成立.令{εni，1 ≤i≤n，n≥1}是均值為0 的NSD 隨機(jī)陣列，滿足，其中p>1.如果o(1)，則對(duì)g(x)的所有連續(xù)點(diǎn)x都有

類似文獻(xiàn)［11］中式（3.7）的證明，可以由條件①～③推出

對(duì)任意1 ≤j≤n，取ani(zj)=Wni(x)，由條件②可得，當(dāng)1

從而式（3）和式（7）成立.故在定理1 和定理2中取Xni=εni，式（8）得證.

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用適當(dāng)?shù)慕匚卜椒?，結(jié)合NSD 隨機(jī)陣列的Rosenthal 型不等式，得到隨機(jī)陣列加權(quán)和的矩收斂性，推廣并且改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.作為主要結(jié)果的應(yīng)用，本文進(jìn)一步研究了非參數(shù)回歸模型加權(quán)估計(jì)量的矩相合性和弱相合性.