獨(dú)立事件的理解與教學(xué)

關(guān)鍵詞：獨(dú)立事件；新、舊教材；多個(gè)事件的獨(dú)立性；教學(xué)建議

事件的獨(dú)立性、試驗(yàn)的獨(dú)立性、隨機(jī)變量的獨(dú)立性都是概率論中的重要概念，高中階段主要討論兩個(gè)事件的獨(dú)立性. 獨(dú)立性與條件概率有著緊密的聯(lián)系，但《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》） 中將隨機(jī)事件的獨(dú)立性安排在必修部分，而將條件概率安排在選擇性必修部分，這就意味著不需要借助條件概率來理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性，需要教師重新理解和審視獨(dú)立事件，以便實(shí)施后續(xù)相關(guān)教學(xué).

文獻(xiàn)［2］對(duì)新、舊兩版人教A版教材中“事件的相互獨(dú)立性”的內(nèi)容編排進(jìn)行了詳細(xì)地對(duì)比討論，說明了從條件概率入手進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，分析了人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版新教材”） 中“事件的相互獨(dú)立性”呈現(xiàn)出的三個(gè)特征（提前、升級(jí)、內(nèi)容重構(gòu)），強(qiáng)調(diào)了要認(rèn)識(shí)到“獨(dú)立性”具有特殊性和重要性的雙重特征，給出了相關(guān)的教學(xué)建議，為教師理解知識(shí)、理解教材、實(shí)施教學(xué)提供了重要的參考視角.

在教學(xué)調(diào)研中，筆者明顯感受到許多一線教師對(duì)獨(dú)立事件的理解和教學(xué)存在較大困惑. 針對(duì)其中反饋較多的困惑點(diǎn)，筆者進(jìn)行了思考并整理成文，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、新、舊兩版教材中獨(dú)立事件的設(shè)置對(duì)比

不同版本的教材在“概率”模塊中對(duì)獨(dú)立事件的設(shè)置大致相同，現(xiàn)以蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“蘇教版新教材”） 為例，說明新、舊兩版教材對(duì)獨(dú)立事件的設(shè)置.

蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“蘇教版舊教材”） 將事件的獨(dú)立性放在了選修課程中. 在事件的獨(dú)立性之前，安排了隨機(jī)變量及其概率分布、超幾何分布、條件概率；在事件的獨(dú)立性之后，安排了二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布. 由蘇教版舊教材的“本章回顧”（如圖1） 可以看出：為了邏輯的完整性，蘇教版舊教材將事件的獨(dú)立性放在條件概率之后. 條件概率的學(xué)習(xí)為事件的獨(dú)立性的學(xué)習(xí)作鋪墊，事件的獨(dú)立性的學(xué)習(xí)又為二項(xiàng)分布的學(xué)習(xí)作鋪墊.

蘇教版新教材將事件的獨(dú)立性放在了必修課程中. 在事件的獨(dú)立性之前，安排了隨機(jī)事件和樣本空間、隨機(jī)事件的概率、互斥事件；而條件概率、離散型隨機(jī)變量及其分布列、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布等內(nèi)容則安排在了選擇性必修課程中.

由蘇教版新教材的“本章回顧”可以看出：獨(dú)立事件是事件運(yùn)算和概率運(yùn)算的概念之一，將它放在必修課程中，凸顯了它的基礎(chǔ)性和重要性. 蘇教版新教材的“本章回顧”，如圖2所示.

二、各版本教材對(duì)獨(dú)立事件的定義

蘇教版舊教材選修2-3第59頁給出的事件的獨(dú)立性的定義為：一般地，若事件 A，B滿足P（A |B） = P（A），則稱事件A，B 獨(dú)立. 且由條件概率分析后約定：兩個(gè)事件 A，B 相互獨(dú)立的充要條件是 P（AB） = P（A）P（B） .《標(biāo)準(zhǔn)》將條件概率放在了選擇性必修部分，意味著不能再用條件概率定義事件的獨(dú)立性.

各版本教材對(duì)兩個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性定義的處理不盡相同. 人教A 版教材、人教B版教材、湘教版教材、鄂教版教材、滬教版教材、蘇教版新教材對(duì)兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義基本一致：一般地，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件 A，B，如果 P（AB） = P（A）P（B），那么稱 A，B為相互獨(dú)立事件. 北師大版教材和蘇教版舊教材對(duì)兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義基本一致：事件A （或B）是否發(fā)生對(duì)事件B （或A） 發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫作相互獨(dú)立事件. 之后，蘇教版舊教材將 P（AB） = P（A）P（B） 作為兩個(gè)事件相互獨(dú)立的充要條件.

事實(shí)上，大學(xué)教材基本都是在條件概率的基礎(chǔ)上分析、引入兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義的. 例如，文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］將兩個(gè)事件相互獨(dú)立定義為：如果 P（AB） =P（A）P（B）成立，那么稱事件 A，B相互獨(dú)立.

三、兩個(gè)事件相互獨(dú)立的教學(xué)

對(duì)于如何在不用條件概率的前提下給出兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義，編寫各版本教材的專家、學(xué)者的想法并不完全一致. 作為直接面對(duì)學(xué)生實(shí)施教學(xué)的一線教師，該如何選擇呢？筆者給出了如下思考，供大家商榷

1. 理解《標(biāo)準(zhǔn)》，融入主線

針對(duì)事件的獨(dú)立性，《標(biāo)準(zhǔn)》（必修部分） 的要求是：結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義. 結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率. 這里強(qiáng)調(diào)了以有限樣本空間為例，抽象并理解事件的獨(dú)立性；以古典概型為載體，利用獨(dú)立性簡化概率的計(jì)算. 雖然事件的獨(dú)立性不僅僅針對(duì)有限樣本空間和古典概型，但是囿于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律并考慮知識(shí)的循序漸進(jìn)，教學(xué)中要謹(jǐn)慎使用無限樣本空間、非古典概型等內(nèi)容討論事件的獨(dú)立性.

對(duì)于選擇性必修課程，《標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)業(yè)要求中提出：能夠結(jié)合具體實(shí)例，理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系. 這里要求在學(xué)習(xí)條件概率之后，教師要重新審視事件的獨(dú)立性，建立條件概率與事件獨(dú)立性的關(guān)聯(lián)，加深學(xué)生對(duì)事件獨(dú)立性的認(rèn)知和理解.

《標(biāo)準(zhǔn)》中的表述簡潔而不簡單. 教師需要明確，理解兩個(gè)事件相互獨(dú)立是建立在直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上、經(jīng)歷從特殊到一般的數(shù)學(xué)抽象得到的，結(jié)合具體且適合的案例理解兩個(gè)事件的獨(dú)立性就是“兩個(gè)事件發(fā)生的概率互不影響”， P（AB） = P（A）P（B） 是對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá). 條件概率的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生直觀理解事件的獨(dú)立性.

可能性的大小是隨機(jī)現(xiàn)象最本質(zhì)的特征，而概率就是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的度量. 在對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化的研究中，學(xué)生經(jīng)歷了“抽象概念—定義運(yùn)算、尋找關(guān)系、研究性質(zhì)—推廣應(yīng)用”的過程. 其中，運(yùn)算和關(guān)系為性質(zhì)服務(wù)，性質(zhì)則為了化難為易、轉(zhuǎn)化概率進(jìn)行求解. 事件的獨(dú)立性是事件最基本、最重要的一種關(guān)系，由此得到的運(yùn)算性質(zhì)極大地方便了相關(guān)概率問題的求解，為研究二項(xiàng)分布提供了邏輯基礎(chǔ).

2. 以直觀經(jīng)驗(yàn)為抓手

受學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力，以及課程整體安排等的限制，高中的概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，既不要求也不可能從理論上做到系統(tǒng)完整. 教學(xué)時(shí)，教師務(wù)必以直觀經(jīng)驗(yàn)為抓手，在定性描述的基礎(chǔ)上，抽象相關(guān)概念，進(jìn)行必要的定量刻畫.

獨(dú)立事件的教學(xué)，要從具體典型的實(shí)例（如拋硬幣、擲骰子、摸球等） 入手，通過直觀經(jīng)驗(yàn)分析事件A是否發(fā)生不影響事件B 發(fā)生的可能性，體會(huì)“事件A，B互不影響”，通過計(jì)算 P（AB），P（A），P（B）發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)表達(dá)關(guān)系式 P（AB） = P（A）P（B），得到兩個(gè)事件相互獨(dú)立的一般定義.

這是從事件的關(guān)系和運(yùn)算角度出發(fā)，基于直觀經(jīng)驗(yàn)、從特殊到一般、從感性到理性的定義抽象過程.該過程讓學(xué)生得到了充分的經(jīng)歷和體驗(yàn). 抓住典型實(shí)例，抽象出定義后，再回到更多實(shí)例中，讓學(xué)生體會(huì)實(shí)例與抽象概念的典型范例之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而感悟定義的普適性.

值得關(guān)注的是，對(duì)事件A，B 獨(dú)立的直觀理解是“事件A，B 互不影響”，這里的“不影響”指的是“概率”，即其中一方是否發(fā)生不影響另一方發(fā)生的概率，而不是其中一方是否發(fā)生不影響另一方的發(fā)生（ A，B 有可能同時(shí)發(fā)生）. 這一點(diǎn)，要讓學(xué)生通過具體實(shí)例（如蘇教版新教材必修第二冊(cè)第278頁例3） 體會(huì)并感悟用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)對(duì)事件的獨(dú)立性進(jìn)行定義的必要性.

總之，事件的獨(dú)立性的教學(xué)本質(zhì)上是概念教學(xué)（不是公式解題教學(xué)），學(xué)生需要經(jīng)歷歸納、概括、抽象的探究過程，相關(guān)定義的得出始于學(xué)生對(duì)具體實(shí)例的直觀分析，終于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá).

3. 有效整合，嘗試創(chuàng)新

梳理概率的知識(shí)結(jié)構(gòu)和研究路徑會(huì)發(fā)現(xiàn)，條件概率與互斥事件、獨(dú)立事件一樣，都是為了得到概率的性質(zhì)、簡化概率的運(yùn)算而抽象出的概念.《標(biāo)準(zhǔn)》將隨機(jī)事件的獨(dú)立性置于條件概率之前，是對(duì)課程的選擇性、知識(shí)的層次性、學(xué)生的認(rèn)知能力等多方因素綜合考量的選擇，一線教師可以針對(duì)具體學(xué)情對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合，實(shí)施個(gè)性化教學(xué)方案. 例如，教師可以根據(jù)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的一般路徑“抽象概念—尋找關(guān)系、定義運(yùn)算、研究性質(zhì)—應(yīng)用”，抓住概率學(xué)習(xí)探究的關(guān)鍵點(diǎn)——關(guān)系下的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合圖形語言（如圖3）及具體實(shí)例組織教學(xué)，抽象出互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件、條件概率等概念，并得到加法公式、乘法公式、全概率公式等重要的概率運(yùn)算公式.

事件的獨(dú)立性的教學(xué)是在一般路徑指導(dǎo)下的教學(xué)中的一環(huán). 教師只要明確這一點(diǎn)，就可以在大觀念和大單元教學(xué)觀的引領(lǐng)下組織教學(xué).

四、關(guān)于多個(gè)事件的獨(dú)立性

雖然《標(biāo)準(zhǔn)》沒有對(duì)多個(gè)事件的獨(dú)立性提出要求，但是在后續(xù)的二項(xiàng)分布的研究中要用到相關(guān)知識(shí). 因此，教師需要關(guān)注此類問題.

人教A版新教材必修第二冊(cè)第250頁在旁注部分提到：當(dāng)三個(gè)事件 A，B，C 兩兩獨(dú)立時(shí)，等式 P（ABC） =P（A）P（B）P（C）一般不成立，并在隨后的練習(xí)和習(xí)題中分別設(shè)置了相關(guān)問題. 蘇教版新教材必修第二冊(cè)第278 頁中提到：獨(dú)立事件可以推廣到n 個(gè)事件的情形 （n ∈N，n gt;2） . 一般地，如果事件 A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么 P（A1A2…A ） n = P（A1）P（A2）…P（A ） n . 其他版本的教材則在事件的獨(dú)立性這節(jié)內(nèi)容中沒有對(duì)多個(gè)事件的獨(dú)立性問題進(jìn)行論述.

僅憑直觀經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很容易將多個(gè)事件的相互獨(dú)立誤認(rèn)為是兩兩獨(dú)立. 事實(shí)上，對(duì)于多個(gè)事件，相互獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立，但兩兩獨(dú)立未必相互獨(dú)立. 這里需要先明確多個(gè)事件相互獨(dú)立的定義. 例如，三個(gè)事件A，B，C 相互獨(dú)立不僅要求事件A，B，C 兩兩獨(dú)立，即滿足P（AB） = P（A）P（B），P（AC） = P（A）P（C），P（BC） = P（B）P（C），還要滿足 P（ABC） = P（A）P（B）P（C） ，即需要上述4個(gè)等式都成立才能定義三個(gè)事件相互獨(dú)立. 若要定義n個(gè)事件獨(dú)立，則需要2n - n - 1個(gè)等式同時(shí)成立：設(shè)A1，A2，…，An 為 n 個(gè)事件，如果對(duì)于任意的 k （1lt;k≤n）和任意一組1≤i1 lt; i2 lt; … lt; ik ≤n都有等式P（A ） i1Ai2…Aik=P（A ） i1P（A ） i2 …P（A ） ik成立，則稱事件A1，A2，…，An 是n 個(gè)相互獨(dú)立的事件.

由以上分析可以看出，對(duì)于蘇教版新教材中關(guān)于多個(gè)事件相互獨(dú)立的結(jié)論，需要教師加強(qiáng)認(rèn)知，在理解“相互獨(dú)立”含義的基礎(chǔ)上實(shí)施教學(xué)，不能認(rèn)為該結(jié)論只是兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義的“想當(dāng)然”推廣.

此外，隨機(jī)試驗(yàn)的獨(dú)立性直觀描述為各次試驗(yàn)的結(jié)果之間互相不受影響；兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性直觀描述為其中一個(gè)變量取任何值都不影響另一個(gè)變量的分布. 高中階段，不要求學(xué)生對(duì)多個(gè)事件的獨(dú)立性、隨機(jī)試驗(yàn)的獨(dú)立性、隨機(jī)變量的獨(dú)立性進(jìn)行嚴(yán)格的定義，只要求學(xué)生進(jìn)行直觀描述和判斷.

五、后記

筆者在進(jìn)行教學(xué)調(diào)研時(shí)，與一線教師討論概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)，得到的普遍反饋是“概率與統(tǒng)計(jì)這條主線的內(nèi)容不好教”，很多教師甚至?xí)?duì)難以駕馭的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容采取學(xué)生自學(xué)、教師講解題目的方式實(shí)施教學(xué)

教師理不清概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)細(xì)節(jié)、無法構(gòu)建完善的知識(shí)體系、不理解其中蘊(yùn)含的思想方法、探尋不到知識(shí)的探究路徑，且未采取積極主動(dòng)的思考和行動(dòng)面對(duì)課程改革，固守以“應(yīng)試解題”為核心的教學(xué)模式，自然難以適應(yīng)“三新”（新課標(biāo)、新教材、新高考） 背景下的教學(xué). 事實(shí)上，只有教師善學(xué)習(xí)、能改變，才能從根本上促進(jìn)課程理念的落實(shí)和課程目標(biāo)的達(dá)成，從而全面提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).