基于最優(yōu)控制理論的國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘頻率控制算法*

宋會(huì)杰 董紹武3)? 王翔 姜萌 章宇 郭棟 張繼海

1) (中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心,時(shí)間頻率基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710600)

2) (時(shí)間基準(zhǔn)及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(中國(guó)科學(xué)院),西安 710600)

3) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

4) (西安工程大學(xué)電子信息學(xué)院,西安 710048)

5) (西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,西安 710054)

原子鐘頻率控制是時(shí)間保持工作中的關(guān)鍵技術(shù).當(dāng)前守時(shí)工作中的頻率控制主要針對(duì)國(guó)外微波鐘采用開(kāi)環(huán)控制算法,但由于國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘(下稱(chēng)國(guó)產(chǎn)鐘)的工作原理和性能不同于國(guó)外同類(lèi)型原子鐘,因此該算法不能很好適應(yīng)國(guó)產(chǎn)鐘.為了提升我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的自主性和安全性,本文基于國(guó)產(chǎn)鐘的噪聲特性,在最優(yōu)控制理論的框架下研究了線性二次高斯控制算法,該算法屬于閉環(huán)控制算法,從同步時(shí)間、頻率控制準(zhǔn)確度和頻率控制穩(wěn)定度方面研究國(guó)產(chǎn)鐘性能,最后分析了不同控制間隔對(duì)國(guó)產(chǎn)鐘性能的影響.結(jié)果表明隨著二次損失函數(shù)中約束矩陣 WR 的增大,同步時(shí)間延長(zhǎng),控制準(zhǔn)確度降低,控制短期穩(wěn)定度提高.WR 相同情況下,隨著控制間隔的增大,同步時(shí)間延長(zhǎng),控制準(zhǔn)確度降低,控制短期穩(wěn)定度提高,對(duì)于 WR=1 時(shí),控制間隔為1 h的同步時(shí)間為5 小時(shí),控制準(zhǔn)確度為1.83 ns,1 h 的Allan 偏差為1.81×10–13;控制間隔為8 h 的同步時(shí)間為28 h,控制準(zhǔn)確度為4.48 ns,1 h 的Allan 偏差為1.48×10–13.控制國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘的中長(zhǎng)期穩(wěn)定度都得到提高.

1 引言

穩(wěn)定的系統(tǒng)時(shí)間在全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)、智能電網(wǎng)、電信、金融和科學(xué)實(shí)驗(yàn)等多個(gè)應(yīng)用中具有重要意義[1–3].一個(gè)國(guó)家的法定時(shí)間通常是由實(shí)驗(yàn)室生成的協(xié)調(diào)世界時(shí)(UTC)的實(shí)時(shí)本地物理實(shí)現(xiàn),物理實(shí)現(xiàn)是將本地原子鐘信號(hào)控制到UTC.此外,世界各地守時(shí)實(shí)驗(yàn)室都將本地時(shí)間尺度控制到協(xié)調(diào)世界時(shí)(UTC)[4–6].頻率控制可以利用精確的時(shí)間傳遞方法進(jìn)行遠(yuǎn)程時(shí)鐘的同步,比如基于衛(wèi)星雙向時(shí)間傳遞、全球定位系統(tǒng)的時(shí)間傳遞和基于光纖時(shí)間傳遞[7].

原子鐘的輸出頻率用于產(chǎn)生時(shí)間標(biāo)準(zhǔn),但是原子鐘輸出頻率的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度通常不能滿(mǎn)足時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)的性能,需要對(duì)原子鐘頻率進(jìn)行控制.時(shí)間保持工作中,頻率控制也稱(chēng)為頻率駕馭、頻率修正等,通過(guò)將單臺(tái)原子鐘的頻率控制到時(shí)間尺度實(shí)現(xiàn)守時(shí).時(shí)間尺度是根據(jù)原子時(shí)算法計(jì)算的多臺(tái)原子鐘測(cè)量數(shù)據(jù)的加權(quán)平均,時(shí)間尺度的產(chǎn)生過(guò)程包括數(shù)據(jù)異常檢測(cè)、鐘差預(yù)報(bào)、權(quán)重計(jì)算,同時(shí)還要考慮時(shí)間尺度的穩(wěn)健性.文獻(xiàn)[8–10]研究了原子鐘數(shù)據(jù)異常的不同檢測(cè)方法.文獻(xiàn)[11–13]研究了原子鐘鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)算法和權(quán)重算法.文獻(xiàn)[14,15]研究了原子鐘噪聲變化時(shí)改進(jìn)的Kalman 濾波時(shí)間尺度算法.時(shí)間尺度應(yīng)用中,為給時(shí)間尺度提供物理上可實(shí)現(xiàn)的輸出,原子鐘需要控制到時(shí)間尺度.因此原子鐘的頻率控制是時(shí)間保持工作中非常重要的一項(xiàng)研究工作.頻率控制算法是影響產(chǎn)生實(shí)時(shí)時(shí)間尺度穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性的重要因素.

當(dāng)前,頻率控制研究的原子鐘類(lèi)型主要是微波鐘,比如銫原子鐘5071A、氫原子鐘VCH1003M等國(guó)外原子鐘,頻率控制算法為基于信號(hào)的開(kāi)環(huán)控制算法,即經(jīng)典控制算法.比如UTC 生成中使用的控制算法[16,17].經(jīng)典控制算法通過(guò)原子鐘與時(shí)間尺度的相位偏差估計(jì)控制量,通常用于補(bǔ)償頻率偏差,必要時(shí)還用于補(bǔ)償原子鐘的確定性頻率漂移.目前國(guó)內(nèi)原子鐘的研制和研究也取得了重大進(jìn)展[18–20],國(guó)產(chǎn)鐘已用于時(shí)間保持工作,但由于國(guó)產(chǎn)鐘的工作原理、材料、制造工藝與國(guó)外原子鐘不同,導(dǎo)致噪聲特性存在一定差異,經(jīng)典的控制算法不能很好適應(yīng)國(guó)產(chǎn)鐘.本文研究的國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘工藝較美國(guó)磁選態(tài)小銫鐘顯著簡(jiǎn)化,其優(yōu)點(diǎn)是原子利用率高,理論性能遠(yuǎn)高于磁選態(tài)小銫鐘.然而,光抽運(yùn)小銫鐘因引入了激光而受到光頻移影響,長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度還有待提升.目前,探索抑制和評(píng)估光頻移的新方法是光抽運(yùn)小銫鐘技術(shù)的重要研究方向.在這種情況下,本文提出了一種可有效提升光抽運(yùn)小銫鐘中長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度的方法,并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.

基于國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘(下稱(chēng)國(guó)產(chǎn)鐘)的性能特點(diǎn),研究基于國(guó)產(chǎn)鐘的控制算法,解決我國(guó)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間自主產(chǎn)生和時(shí)間基準(zhǔn)保持的核心技術(shù)是當(dāng)前面臨的迫切問(wèn)題.文中結(jié)合國(guó)產(chǎn)鐘的噪聲特性,建立控制模型,采用平滑控制盡量降低對(duì)國(guó)產(chǎn)鐘短期穩(wěn)定度的影響.線性二次高斯(LQG)控制是最優(yōu)控制理論框架下的一種算法,可用于原子鐘的平滑控制.任何控制系統(tǒng)都需要處理一定數(shù)量的不確定性,包括測(cè)量噪聲、過(guò)程模型誤差等.線性二次高斯控制(LQG)算法用于設(shè)計(jì)不確定物理過(guò)程的最優(yōu)控制系統(tǒng).該算法的一個(gè)重要特點(diǎn)是: 只要系統(tǒng)參數(shù)具有可觀測(cè)性和可控性,就能保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由于原子鐘數(shù)據(jù)包括測(cè)量噪聲和原子鐘模型噪聲,需要同時(shí)考慮最優(yōu)估計(jì)和最優(yōu)控制.在這種情況下,LQG 算法可將最優(yōu)控制問(wèn)題和最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題分開(kāi)來(lái)處理,根據(jù)控制理論中的分離定理,可以在設(shè)計(jì)控制器時(shí)直接利用系統(tǒng)狀態(tài)變量.而在研究原子鐘狀態(tài)變量的最優(yōu)估計(jì)時(shí),則可假定控制量是已知的確定性函數(shù).最后將控制量中原子鐘的狀態(tài)變量用其估計(jì)值代替,就得到隨機(jī)線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制.LQG 控制算法結(jié)合了卡爾曼濾波來(lái)估計(jì)時(shí)間和頻率誤差,這些誤差被用作計(jì)算駕馭量.LQG 控制是Kalman 濾波器(即線性二次估計(jì)器)和線性二次調(diào)節(jié)器(LQR)的組合.Kalman 濾波可以從時(shí)間尺度和國(guó)產(chǎn)鐘的噪聲參數(shù)的先驗(yàn)信息中求得最優(yōu)狀態(tài)估計(jì).這些噪聲參數(shù)信息可以從頻率穩(wěn)定度圖中提取.與Kalman 濾波相反,LQR不使用關(guān)于信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性的信息,在LQR 中,二次損失函數(shù)使得相位和頻率平方誤差和控制量的和最小.LQR 通過(guò)最小化二次損失函數(shù)來(lái)計(jì)算控制量.二次損失函數(shù)中,約束矩陣影響控制性能.本文研究線性二次高斯算法控制國(guó)產(chǎn)鐘,根據(jù)不同的約束矩陣和控制間隔,分析了控制國(guó)產(chǎn)鐘的同步時(shí)間,控制準(zhǔn)確度和控制穩(wěn)定度,為實(shí)現(xiàn)國(guó)產(chǎn)化守時(shí)提供了理論基礎(chǔ)和技術(shù)支撐.

本文結(jié)構(gòu)如下: 第2 節(jié)在控制理論下建立國(guó)產(chǎn)鐘的控制模型,第3 節(jié)控制測(cè)試部分,結(jié)合國(guó)產(chǎn)鐘的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),驗(yàn)證控制性能,第4 節(jié)給出結(jié)論.

2 國(guó)產(chǎn)鐘的頻率控制建模

原子鐘的頻率控制過(guò)程,需要描述系統(tǒng)的輸入、狀態(tài)和輸出之間的關(guān)系.這些關(guān)系通常以微分方程的形式給出.原子鐘頻率控制是指在給定輸出的情況下計(jì)算輸入量,使系統(tǒng)的狀態(tài)滿(mǎn)足一定的要求.首先最基本要求是控制信號(hào)與參考信號(hào)同步,其次還要考慮駕控制信號(hào)的其他性能,主要包括準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度性能.下面建立國(guó)產(chǎn)鐘的狀態(tài)模型:

2.1 國(guó)產(chǎn)鐘的狀態(tài)模型

對(duì)于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的兩狀態(tài)模型可由下式給出[21,22]:

狀 態(tài)變量x1(t),x2(t)分別表示相位 偏差和 頻率偏差.隨機(jī)過(guò)程w1(t)和w2(t) 是均值為零,自相關(guān)函數(shù)為獨(dú)立高斯白噪聲,k=1,2和δ(t) 表示Dirac delta 函數(shù).根據(jù)原子鐘的噪聲特點(diǎn),隨機(jī)過(guò)程w1(t)和w2(t) 可表示不同類(lèi)型的噪聲過(guò)程,通常情況下w1(t) 表示調(diào)頻白噪聲,w2(t) 表示調(diào)頻隨機(jī)游走噪聲.但是當(dāng)原子鐘也表現(xiàn)調(diào)頻閃變?cè)肼暻闆r下,w1(t) 需要同時(shí)考慮調(diào)頻白噪聲和調(diào)頻閃變?cè)肼?

對(duì)自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的模型進(jìn)行離散化,假設(shè)采樣間隔為τ0,x[k] 表示kτ0時(shí)刻原子鐘的狀體向量.(1)式對(duì)應(yīng)的原子鐘的離散狀態(tài)模型為

分量w1[k]和w2[k] 仍然是零均值高斯隨機(jī)過(guò)程,當(dāng)噪聲過(guò)程為調(diào)頻白噪聲和調(diào)頻隨機(jī)游走噪聲時(shí),協(xié)方差矩陣表示為

當(dāng)噪聲過(guò)程為調(diào)頻白噪聲、調(diào)頻閃變?cè)肼暫驼{(diào)頻隨機(jī)游走噪聲時(shí),協(xié)方差矩陣表示為

(5)式和(6)式中,h0,h-1和h-2分別表示調(diào)頻白噪聲冪律譜系數(shù),調(diào)頻閃變?cè)肼晝缏勺V系數(shù)和調(diào)頻隨機(jī)游走噪聲冪律譜系數(shù),可以通過(guò)Allan 方差估計(jì).τ0表示相鄰k時(shí)刻和k+1 時(shí)刻的時(shí)間間隔.

2.2 兩個(gè)自由運(yùn)行原子鐘的鐘差模型

假設(shè)兩臺(tái)自由運(yùn)行的原子鐘,鐘a 和鐘b,相互獨(dú)立.鐘a 為參考鐘,鐘b 為控制原子鐘.鐘a 和鐘b 的離散狀態(tài)變量分別為xa[k]和xb[k] .假 設(shè)z[k] 是離散時(shí)間輸出,也就是兩臺(tái)時(shí)鐘之間測(cè)量的相位差:

其中e[k] 是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程,表示測(cè)量噪聲,假定是均值為零,方差為的白噪聲.

控制原子鐘與參考原子鐘的狀態(tài)向量差表示為

對(duì)應(yīng)的離散狀態(tài)模型為

這里wz[k] 是高斯白噪聲,具有零均值和協(xié)方差陣為

其中Σa和Σb是影響鐘a 和鐘b 的噪聲協(xié)方差矩陣,由(5)式或(6)式給出.

2.3 國(guó)產(chǎn)鐘控制系統(tǒng)方程及控制算法

線性二次高斯理論下,國(guó)產(chǎn)鐘控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程能夠表示為狀態(tài)向量和控制向量的線性函數(shù):

測(cè)量方程表示為

其中,xz,u[k] 向量中的第1 個(gè)分量表示控制國(guó)產(chǎn)鐘與參考原子鐘的相位偏差,第2 個(gè)分量表示控制國(guó)產(chǎn)鐘與參考原子鐘的頻率偏差.控制量的轉(zhuǎn)移矩陣為

Kalman 濾波狀態(tài)估計(jì)通過(guò)下式計(jì)算:

其中Kg[k] 是Kalman 增益陣,通過(guò)極小化均方誤差陣得到.均方誤差陣由下式給出:

Kalman 增益計(jì)算可表示為

P-[k]R[k]

其中 表示預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差陣,表示測(cè)量協(xié)方差陣.

線性狀態(tài)方程(15)是包含高階項(xiàng)的狀態(tài)建模方程的近似.為了給出線性近似的有效性,控制量是通過(guò)極小化二次損失函數(shù)

得到.(22)式中,求和的第1 部分是對(duì)控制國(guó)產(chǎn)鐘狀態(tài)向量的約束,第2 部分是對(duì)控制量的約束.矩陣WQ和WR是相應(yīng)的約束矩陣,影響控制的強(qiáng)度.對(duì)于給定的損失函數(shù),控制量通過(guò)下式給出:

基于(23)式計(jì)算的控制量在(22)式條件下是最優(yōu)的,并且當(dāng) (WQΦτ0) 是可觀測(cè)的,對(duì) (Φτ0Γk) 是可控的,Kalman 濾波系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

3 測(cè)試結(jié)果及分析

研究目標(biāo)是基于國(guó)產(chǎn)鐘實(shí)現(xiàn)紙面時(shí)間尺度,然而,為了降低對(duì)控制結(jié)果影響因素的數(shù)量,控制算法將國(guó)產(chǎn)鐘控制到參考原子鐘.下文首先根據(jù)穩(wěn)定度指標(biāo)(Allan 偏差)分析國(guó)產(chǎn)鐘穩(wěn)定度情況和噪聲特性,并與國(guó)外銫原子鐘5071A(簡(jiǎn)稱(chēng)5071A)進(jìn)行比較.然后基于線性二次高斯控制算法研究國(guó)產(chǎn)鐘性能,最后研究不同控制間隔對(duì)國(guó)產(chǎn)鐘性能的影響.

3.1 國(guó)產(chǎn)鐘的噪聲分析

根據(jù)Allan 偏差分析國(guó)產(chǎn)鐘的噪聲特性,首先利用氫原子鐘組建立參考時(shí)間尺度,然后利用建立的時(shí)間尺度測(cè)量國(guó)產(chǎn)鐘、5071A 和單臺(tái)氫原子鐘的穩(wěn)定度,最后比較分析國(guó)產(chǎn)鐘與5071A 的噪聲情況.分析周期內(nèi),氫原子鐘的穩(wěn)定度高于國(guó)產(chǎn)鐘和5071A.由多臺(tái)氫原子鐘建立的時(shí)間尺度的穩(wěn)定度能夠比單臺(tái)氫原子鐘的穩(wěn)定度提升倍,也就是時(shí)間尺度的Allan 偏差是單臺(tái)氫原子鐘的N表示氫原子鐘的數(shù)量[23].選取國(guó)家授時(shí)中心時(shí)間頻率基準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室的氫原子鐘,編號(hào)為VCH067,VCH112,H336,VCH116,H297,H340,VCH119,H339,H341,VCH085,VCH104,隨機(jī)選取數(shù)據(jù)時(shí)間 段2023 年2 月3 日0時(shí)至2023 年8 月25 日1 時(shí),MJD 為59978—60181.04,數(shù)據(jù)采樣間隔為1 h.每臺(tái)氫原子鐘扣除一個(gè)常數(shù)速率,通過(guò)取平均權(quán)算法計(jì)算時(shí)間尺度.選取國(guó)外銫原子鐘5071A,編號(hào)為Cs3102,Cs2962,Cs3437,國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘,編號(hào)為Cs3050,Cs2025.數(shù)據(jù)時(shí)間段與上述對(duì)應(yīng),采樣間隔為1 h.銫原子鐘同樣扣除一個(gè)常數(shù)速率,然后參考到氫原子鐘組產(chǎn)生的時(shí)間尺度,得到銫原子與時(shí)間尺度的相位差.

計(jì)算銫原子鐘相對(duì)于時(shí)間尺度的Allan 偏差,如圖1 所示,圖中還包括由氫原子鐘,編號(hào)為H117,相對(duì)于時(shí)間尺度的Allan 偏差.結(jié)果顯示,國(guó)產(chǎn)鐘1 d 內(nèi)的穩(wěn)定度與5071A 相當(dāng),主要表現(xiàn)為調(diào)頻白噪聲.取樣間隔大于1 d,國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度相比于5071A 的穩(wěn)定度降低.5071A 的噪聲主要表現(xiàn)為調(diào)頻白噪聲和調(diào)頻隨機(jī)游走噪聲,國(guó)產(chǎn)鐘的噪聲主要表現(xiàn)為調(diào)頻白噪聲、調(diào)頻閃變?cè)肼暫驼{(diào)頻隨機(jī)游走噪聲.因此國(guó)產(chǎn)鐘狀態(tài)模型中的噪聲協(xié)方差矩陣需根據(jù)(6)式計(jì)算.圖1 顯示,相應(yīng)取樣間隔內(nèi)氫原子鐘H117 的穩(wěn)定度優(yōu)于銫鐘的穩(wěn)定度,并且氫原子鐘長(zhǎng)期表現(xiàn)出明顯的漂移.

圖1 銫原子鐘與氫原子鐘的Allan 偏差曲線Fig.1.Allan deviation curves of cesium atomic clock and hydrogen atomic clock.

3.2 線性二次高斯控制應(yīng)用于國(guó)產(chǎn)鐘的控制

線性二次高斯控制應(yīng)用于國(guó)產(chǎn)鐘的頻率控制,控制模型考慮了國(guó)產(chǎn)鐘的噪聲類(lèi)型,將國(guó)產(chǎn)鐘的相位和頻率控制到參考鐘.圖2 表示國(guó)產(chǎn)鐘的控制結(jié)構(gòu)圖,系統(tǒng)的狀態(tài)是控制國(guó)產(chǎn)鐘的相位和頻率,控制量u(t) 輸入到相位微調(diào)儀,相位微調(diào)儀通過(guò)輸入的控制量連續(xù)的改正國(guó)產(chǎn)鐘的相位.自由運(yùn)行的國(guó)產(chǎn)鐘與參考?xì)湓隅姷南辔黄顪y(cè)量值為z(t),控制國(guó)產(chǎn)鐘與參考?xì)湓隅姷南辔黄顪y(cè)量值為zu(t),通過(guò)控制算法極小化zu(t) .

圖2 國(guó)產(chǎn)鐘的控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2.Control structure diagram of domestic clock.

國(guó)產(chǎn)鐘的實(shí)際測(cè)量鐘差數(shù)據(jù)用于控制研究,測(cè)量國(guó)產(chǎn)鐘Cs3050 與H117 的相位偏差.線性二次高斯控制方法控制國(guó)產(chǎn)鐘到氫原子鐘H117.建立國(guó)產(chǎn)鐘控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測(cè)量方程,如(15)式和(16)式所示.狀態(tài)方程中的向量包含控制的相位偏差狀態(tài)和頻率偏差狀態(tài),如(17)式所示.狀態(tài)方程中的噪聲協(xié)方差矩陣中的冪律譜系數(shù)基于Allan 方差計(jì)算.調(diào)頻白噪聲、調(diào)頻閃變?cè)肼暫驼{(diào)頻隨機(jī)游走噪聲的Allan 方差與相應(yīng)的冪律譜系數(shù)的關(guān)系為

其中τ表示Allan 方差對(duì)應(yīng)的平滑時(shí)間.

基于線性二次高斯控制方法控制國(guó)產(chǎn)鐘,通過(guò)控制時(shí)鐘的同步時(shí)間,控制準(zhǔn)確度(時(shí)間偏差)和控制穩(wěn)定度(Allan 偏差)的性能指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估.Allan 偏差是原子鐘穩(wěn)定性的最常見(jiàn)定義,并且,基于Allan 方差可以比較不同情況下的控制結(jié)果.根據(jù)約束矩陣WQ和WR的選擇,研究下面4 種情況的控制性能.

對(duì)于情況1—情況4,約束矩陣WQ不變,WR降低,算法中數(shù)據(jù)測(cè)量間隔為1 h,控制間隔也為1 h.國(guó)產(chǎn)鐘的同步時(shí)間,控制準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度如圖3所示.

圖3 不同 WR 值的控制同步時(shí)間比較Fig.3.Comparison of control synchronization time with different WR values.

圖3 表示基于上述4 種情況,控制國(guó)產(chǎn)鐘相對(duì)于參考H117 的時(shí)間偏差測(cè)量值.約束矩陣WR=104時(shí),控制測(cè)量值需要較長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到0 值附近,WR=1/2 時(shí),控制測(cè)量值需要較短的時(shí)間達(dá)到0 值附近.隨著WR的降低,控制測(cè)量值到達(dá)0 值附近的時(shí)間越短.控制測(cè)量值到達(dá)0 值附近表示控制國(guó)產(chǎn)鐘與參考原子鐘同步.圖4 表示控制國(guó)產(chǎn)鐘與參考H117 同步后的時(shí)間偏差測(cè)量值.為了做圖清晰,WR=1 的控制測(cè)量值加入5 ns 的常數(shù)值,WR=102的控制測(cè)量值加入10 ns 的常數(shù)值,WR=104的控制測(cè)量值加入18 ns 的常數(shù)值.從圖4 可以得出,隨著WR的增大,控制測(cè)量值波動(dòng)變大,WR=104時(shí)控制 測(cè)量值 波動(dòng)最大,WR=1/2 時(shí)控制 測(cè)量值波動(dòng)最小.計(jì)算控制測(cè)量值的3 倍標(biāo)準(zhǔn)差(3σ)評(píng)估控制國(guó)產(chǎn)鐘的準(zhǔn)確度,在正態(tài)分布中,大約99.73%的數(shù)據(jù)位于平均值加減3 倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi).計(jì)算結(jié)果如表1所示,WR=104時(shí)的 3σ為6.26ns,WR=1/2 時(shí)的 3σ為1.76 ns.

表1 同步后不同 WR 值的3 倍標(biāo)準(zhǔn)差(3σ)Table 1.Three times standard deviation of different WR values after synchronization.

圖4 同步后不同 WR 值的控制測(cè)量值Fig.4.Control measurements of different WR values after synchronization.

圖5 表示基于不同WR值的控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度,穩(wěn)定度的計(jì)算參考為時(shí)間尺度.圖中還表示了自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘Cs3050 的穩(wěn)定度和參考?xì)湓隅奌117 的穩(wěn)定度.WR=1/2 時(shí)和WR=1 時(shí),控制國(guó)產(chǎn)鐘的短期穩(wěn)定度(取樣間隔為1 h 和2 h)略差于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度.取樣間隔大于2 h,控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度優(yōu)于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度,并且長(zhǎng)期穩(wěn)定度與參考?xì)湓隅奌117 相符.對(duì)于WR=102,控制國(guó)產(chǎn)鐘取 樣間隔為1 h和2 h 的穩(wěn)定度與自由運(yùn)行小銫鐘的穩(wěn)定度相當(dāng),取樣間隔為4 h 的穩(wěn)定度略差于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘,取樣時(shí)間大于4 h 的穩(wěn)定度優(yōu)于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度.并且4 h 后的穩(wěn)定度差于WR=1/2 時(shí)和WR=1 時(shí)的情況,最后與參考?xì)湓隅奌117的穩(wěn)定度相符.對(duì)于WR=104時(shí),取樣間隔為1—32 h 控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度與自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度相當(dāng);大于32 h,穩(wěn)定度優(yōu)于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度,最終接近參考?xì)湓隅奌117 的穩(wěn)定度.

圖5 約束矩陣 WR 取不同值時(shí)的控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度Fig.5.Stability of the controlled domestic clock with different values of the constrained matrix WR .

圖6 表示基于不同WR值的控制國(guó)產(chǎn)鐘相對(duì)于參考?xì)湓隅奌117 的穩(wěn)定度.圖中還包括自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度、參考?xì)湓隅姷姆€(wěn)定度.根據(jù)頻率標(biāo)準(zhǔn)同步的定義,只要兩個(gè)頻率標(biāo)準(zhǔn)同步,它們之間的相位差就不再發(fā)生變化.基于兩個(gè)頻率標(biāo)準(zhǔn)相位差的穩(wěn)定性分析,相位差的穩(wěn)定性主要受調(diào)相白噪聲的影響,這導(dǎo)致在Allan 偏差對(duì)數(shù)圖中斜率為–1,在大范圍的平均時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)該特性表明控制成功.圖6 表明,對(duì)于不同WR值,控制國(guó)產(chǎn)鐘相對(duì)于參考?xì)湓隅奌117 的穩(wěn)定度Allan 偏差圖在大范圍的平均時(shí)間內(nèi)的斜率近似為–1,對(duì)于上述不同WR值,國(guó)產(chǎn)鐘都能成功地控制到參考鐘.并且WR值越小,Allan 偏差圖斜率為–1 時(shí)的平均時(shí)間越小,斜率為–1 的平均時(shí)間的范圍越大,也就是同步時(shí)間越短.圖6 表明WR=1/2 時(shí)的同步時(shí)間最短,WR=104時(shí)的同步時(shí)間最長(zhǎng).

圖6 約束矩陣 WR 取不同值時(shí)控制測(cè)量值的穩(wěn)定度Fig.6.Stability of control measurement with different values of the constrained matrix WR .

約束矩陣WQ和WR是用來(lái)設(shè)置控制國(guó)產(chǎn)鐘狀態(tài)向量xz,u[k] 和控制向量u[k] 從0 變化時(shí)的相對(duì)懲罰.一般來(lái)說(shuō),WQ值不變,WR值增大,對(duì)系統(tǒng)的懲罰變大,控制量取到較小的值,系統(tǒng)將狀態(tài)向量緩慢地控制到0 值附近.系統(tǒng)的同步時(shí)間較長(zhǎng),控制原子鐘的短期穩(wěn)定度不受影響,但是控制原子鐘的準(zhǔn)確度降低.WR值減小,對(duì)控制系統(tǒng)的懲罰變小,控制量取到較大的值,系統(tǒng)的狀態(tài)向量將快速地控制到0 值附近.系統(tǒng)的同步時(shí)間較短,控制原子鐘的短期穩(wěn)定度受影響,但是控制原子鐘的準(zhǔn)確度提高.

3.3 不同控制間隔的國(guó)產(chǎn)鐘的性能分析

控制間隔也是影響原子鐘性能的重要因素.研究不同控制間隔對(duì)國(guó)產(chǎn)鐘的同步時(shí)間、控制準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度的影響,并給出具體分析.隨機(jī)選取控制間隔為1,2,4,8 h.約束矩陣隨機(jī)選取為情況3,即下面具體從同步時(shí)間、控制準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度方面進(jìn)行分析.圖7 表示不同控制間隔下國(guó)產(chǎn)鐘的同步時(shí)間,可以得出,控制間隔為1 h,同步時(shí)間約為5 h.控制間隔為2 h,同步時(shí)間約為10 h.控制間隔為4 h,同步時(shí)間約為20 h.控制間隔為8 h,同步時(shí)間約為28 h.隨著控制間隔的增大,同步時(shí)間延長(zhǎng).圖8 表示同步后不同控制間隔的時(shí)間偏差的測(cè)量值.為了做圖清晰,如前面所述,對(duì)測(cè)量值加入固定的常數(shù)值.可以得出隨著控制間隔的增大,控制測(cè)量值的隨機(jī)波動(dòng)增大,準(zhǔn)確度降低.計(jì)算控制測(cè)量值的3 倍標(biāo)準(zhǔn)差(3σ)評(píng)估不同控制間隔下國(guó)產(chǎn)鐘的準(zhǔn)確度,計(jì)算結(jié)果如表2 所列,控制間隔為1 h,測(cè)量值的 3σ為1.83 ns.控制間隔為8 h,測(cè)量值的 3σ為4.48 ns.隨著控制間隔的增大,準(zhǔn)確度降低.

表2 同步后不同控制間隔測(cè)量值的3 倍標(biāo)準(zhǔn)差(3σ)Table 2.Three times standard deviation of different control intervals after synchronization.

圖7 不同控制間隔的同步時(shí)間比較Fig.7.Comparison of synchronization time with different control interval.

圖8 同步后不同控制間隔的測(cè)量值Fig.8.Measurements at different control intervals after synchronization.

圖9 表示不同控制間隔的國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度,圖中還表示了自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘Cs3050 的穩(wěn)定度和參考?xì)湓隅奌117 的穩(wěn)定度.控制間隔為1 h,國(guó)產(chǎn)鐘控制平均時(shí)間為1 h 的Allan 偏差為1.81×10–13,自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的Allan 偏差為1.48×10–13,說(shuō)明控制算法使得平均時(shí)間為1 h 的穩(wěn)定度降低,其余平均時(shí)間的穩(wěn)定度得到改善,最后控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度服從參考?xì)湓隅奌117 的穩(wěn)定度.控制間隔為2 h,控制國(guó)產(chǎn)鐘平均時(shí)間為2 h 的Allan 偏差為9.86×10–14,自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的Allan 偏差為9.36×10–14,控制算法對(duì)平均時(shí)間為2 h 的穩(wěn)定度影響不大.隨著平均時(shí)間的延長(zhǎng),控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度得到提高,直到穩(wěn)定度與參考?xì)湓隅娤嗤?控制間隔為4 h,控制國(guó)產(chǎn)鐘平均時(shí)間為4 h 的Allan 偏差為8.37×10–14,自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的Allan偏差為6.85×10–14,平均時(shí)間為1 h 和2 h 的Allan偏差與相應(yīng)平均時(shí)間的自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的Allan基本相同.控制間隔為4 h 主要降低了平均時(shí)間為4 h 的國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度,隨著平均時(shí)間的延長(zhǎng),控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度提高,最后與參考鐘保持一致.控制間隔為8 h,控制國(guó)產(chǎn)鐘平均時(shí)間為8 h的Allan 偏差為7.55×10–14,自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的Allan 偏差為5.00×10–14,平均時(shí)間為1,2,4 h 的Allan 偏差與相應(yīng)時(shí)間的自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的Allan基本相同.控制間隔為8 h 主要降低了平均時(shí)間為8 h 的國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度,對(duì)于平均時(shí)間大于8 h,控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度改善,最后達(dá)到參考?xì)湓隅姷姆€(wěn)定度.

圖9 基于不同控制間隔的國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度Fig.9.Stability of the domestic clock based on different control intervals.

圖10 表示基于不同控制間隔的國(guó)產(chǎn)鐘相對(duì)于參考?xì)湓隅奌117 的穩(wěn)定度.圖中包括自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度和參考?xì)湓隅姷姆€(wěn)定度.可以得出,對(duì)于不同控制間隔的測(cè)量值計(jì)算Allan 偏差,較大的平均時(shí)間斜率為–1,穩(wěn)定性主要受調(diào)相白噪聲的影響,說(shuō)明不同控制間隔的國(guó)產(chǎn)鐘都能與參考?xì)湓隅奌117 同步.然而,隨著控制間隔的增大,兩個(gè)時(shí)鐘之間同步的平均時(shí)間出現(xiàn)得較晚,也就是將國(guó)產(chǎn)鐘控制到參考需要更長(zhǎng)的時(shí)間.

圖10 基于不同控制間隔的控制測(cè)量值的穩(wěn)定度Fig.10.Stability of control measurements based on different control intervals.

通過(guò)上述分析,當(dāng)平均時(shí)間小于控制間隔時(shí),即τ<τc時(shí)(其中τ表示平均時(shí)間,τc表示控制間隔),控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定性受控制過(guò)程影響較小,與自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定性相當(dāng).在τ=τc時(shí),控制時(shí)鐘的穩(wěn)定性較差.當(dāng)平均時(shí)間大于控制間隔時(shí),即τ>τc時(shí),控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定性就會(huì)偏離其自由運(yùn)行狀態(tài).在控制間隔附近,控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定性收斂到參考?xì)湓隅娭?通常可以觀察到穩(wěn)定性的波動(dòng).然后經(jīng)過(guò)一些平均時(shí)間,兩個(gè)信號(hào)的穩(wěn)定性在Allan 偏差中對(duì)齊.

3.4 控制國(guó)產(chǎn)鐘的長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度和漂移率的分析

下面驗(yàn)證本文算法對(duì)于國(guó)產(chǎn)鐘長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度和頻率漂移的影響,根據(jù)3.1 節(jié)的氫原子鐘測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)間尺度,選取數(shù)據(jù)時(shí)間段2023 年2 月3日0 時(shí)至2023 年11 月30 日23 時(shí),MJD 為59978—60278.96,數(shù)據(jù)采樣間隔為1 h.根據(jù)國(guó)際權(quán)度局(BIPM)每月公布的原子鐘速率公報(bào)扣除相應(yīng)的原子鐘的速率,結(jié)合原子鐘每月速率的變化取權(quán)重計(jì)算時(shí)間尺度,測(cè)量國(guó)產(chǎn)鐘Cs3050 與時(shí)間尺度的相位偏差.線性二次高斯算法控制國(guó)產(chǎn)鐘到時(shí)間尺度,約束矩陣隨機(jī)選取為情況3,即WR=1 .根據(jù)BIPM 發(fā)布的快速協(xié)調(diào)世界時(shí)(UTCr)分別評(píng)估控制Cs3050 和自由運(yùn)行Cs3050 的性能,UTCr 數(shù)據(jù)為協(xié)調(diào)世界時(shí)每天0 時(shí)的測(cè)量相位偏差.分別抽取控制國(guó)產(chǎn)鐘的測(cè)量數(shù)據(jù)和自由運(yùn)行的國(guó)產(chǎn)鐘測(cè)量數(shù)據(jù)與UTCr 測(cè)量時(shí)刻相對(duì)應(yīng),通過(guò)做差得到UTCr 與控制國(guó)產(chǎn)鐘的相位偏差,UTCr 與自由運(yùn)行的國(guó)產(chǎn)鐘的相位偏差,測(cè)量間隔為1 d.控制結(jié)果如圖11 所示,控制國(guó)產(chǎn)鐘與UTCr 保持在5 ns 以?xún)?nèi).長(zhǎng)期穩(wěn)定度如圖12 和表3 所示,對(duì)于取樣間隔為10,20,30,40 d,控制國(guó)產(chǎn)鐘的Allan偏差明顯小于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的Allan 偏差,說(shuō)明控制國(guó)產(chǎn)鐘的穩(wěn)定度提高,本文算法有效提高了國(guó)產(chǎn)鐘的長(zhǎng)期穩(wěn)定度.

表3 自由運(yùn)行Cs3050 與駕馭后Cs3050 相對(duì)于UTCr 的頻率穩(wěn)定度Table 3.Frequency stability of free running Cs3050 and controlled Cs3050 relative to UTCr.

圖11 控制后Cs3050 與UTCr 的相位偏差Fig.11.Phase deviation of the controlled Cs3050 from the UTCr.

圖12 自由運(yùn)行Cs3050 與駕馭后Cs3050 相對(duì)于UTCr 的頻率穩(wěn)定度Fig.12.Frequency stability of free running Cs3050 and controlled Cs3050 relatived to UTCr.

估計(jì)控制國(guó)產(chǎn)鐘的頻率漂移,分別以UTCr 為參考估計(jì)控制國(guó)產(chǎn)鐘的頻率漂移和自由運(yùn)行的國(guó)產(chǎn)鐘的頻率漂移.計(jì)算周期為30 d,所研究數(shù)據(jù)共分10 個(gè)周期,通過(guò)對(duì)每個(gè)周期相位偏差數(shù)據(jù)做二次線性擬合估計(jì)頻率漂移,估計(jì)結(jié)果如表4 和表5所列.表4 表示自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘的頻率漂移,表5表示控制國(guó)產(chǎn)鐘的頻率漂移.比較表4 與表5,控制國(guó)產(chǎn)鐘的頻率漂移相對(duì)于自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)鐘明顯降低,說(shuō)明本文算法有效降低了國(guó)產(chǎn)鐘的頻率漂移.

表4 自由運(yùn)行 Cs3050 相對(duì)于UTCr 的頻率漂移Table 4.Frequency drift of free-running Cs3050 with respect to UTCr.

表5 控制Cs3050 相對(duì)于UTCr 的頻率漂移Table 5.Frequency drift of controlled Cs3050 relative to UTCr.

4 結(jié)論

基于噪聲類(lèi)型,研究了國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘的控制模型.利用線性二次高斯控制理論,研究了不同約束矩陣條件下的國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘的同步時(shí)間,控制準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度.當(dāng)二次損失函數(shù)中控制量約束矩陣選取較小時(shí),控制國(guó)產(chǎn)鐘同步需要的時(shí)間短,控制國(guó)產(chǎn)鐘的準(zhǔn)確度高,但是短期穩(wěn)定度較差.當(dāng)二次損失函數(shù)中控制量約束矩陣選取較大時(shí),控制國(guó)產(chǎn)鐘同步需要的時(shí)間較長(zhǎng),控制國(guó)產(chǎn)鐘的準(zhǔn)確度降低,但是短期穩(wěn)定度高,與自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘的短期穩(wěn)定度相當(dāng).因此結(jié)合文中的研究結(jié)果,選取適合的約束矩陣以滿(mǎn)足實(shí)驗(yàn)室需求的守時(shí)指標(biāo),比如同步時(shí)間、控制準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度.

基于國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘的控制模型,研究了不同控制間隔的鐘的性能.對(duì)于不同的控制間隔,本文給出了國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘的同步時(shí)間,控制準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度.對(duì)于較小的控制間隔,需要的同步時(shí)間較短,控制準(zhǔn)確度高,但是短期穩(wěn)定度降低.對(duì)于較大的控制間隔,需要的同步時(shí)間較長(zhǎng),控制準(zhǔn)確度降低,但短期穩(wěn)定度高.根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),給定控制間隔范圍內(nèi),控制準(zhǔn)確度優(yōu)于5 ns.控制后的中長(zhǎng)期穩(wěn)定度得到改善.

根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù),基于最優(yōu)控制理論的國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘頻率控制算法的研究結(jié)果,當(dāng)約束矩陣控制間隔為2 h,控制準(zhǔn)確度為2.29 ns,短期穩(wěn)定度接近自由運(yùn)行國(guó)產(chǎn)光抽運(yùn)小銫鐘,中長(zhǎng)期穩(wěn)定度得到明顯提高,能夠較好地滿(mǎn)足各項(xiàng)守時(shí)指標(biāo).