導(dǎo)數(shù)選擇題的常用解題策略

■安徽省阜陽(yáng)第一中學(xué) 趙 慧

在高考試卷中,選擇題占有相當(dāng)大的比例,而有關(guān)導(dǎo)數(shù)的選擇題一般有一定的綜合性與深度,對(duì)知識(shí)與素養(yǎng)要求較高。因此,做好導(dǎo)數(shù)選擇題對(duì)取得高分尤為必要。

解導(dǎo)數(shù)選擇題的基本原則是準(zhǔn)確、迅速。在解答時(shí),應(yīng)結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)本身的特點(diǎn),盡量減少書(shū)寫(xiě)過(guò)程,靈活、快速地得出答案。下面是解導(dǎo)數(shù)選擇題的常用策略。

一、按部就班,常規(guī)處理

例1(2022年新高考Ⅰ卷)(多選)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則( )。

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

對(duì)于選項(xiàng)C,驗(yàn)證知f(-x)+f(x)=2成立,于是選項(xiàng)C正確。

令g(x)=x3-x,g(x)是奇函數(shù),關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱。而y=g(x)的圖像向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=f(x)的圖像,所以y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱。

令f'(x)=2,得x=±1。當(dāng)x=1 時(shí),切線為y=2x-1;當(dāng)x=-1時(shí),切線為y=2x+3。選項(xiàng)D 錯(cuò)誤。

故選AC。

評(píng)注:大部分選擇題會(huì)使用此策略。

二、數(shù)形結(jié)合,直觀快捷

例2(2021年新高考Ⅰ卷)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( )。

A.eb＜aB.ea＜b

C.0＜a＜ebD.0＜b＜ea

解 析:如圖1,作出函數(shù)y=ex的圖像。

圖1

函數(shù)y=ex的圖像與x軸把坐標(biāo)平面分成如圖1 的三個(gè)區(qū)域。

當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于區(qū)域1時(shí),作不出切線;

當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于區(qū)域2 時(shí),可作兩條切線;

當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于區(qū)域3 時(shí),可作一條切線。

選 D。

評(píng)注:此題數(shù)形結(jié)合明顯比常規(guī)做法快捷。

三、構(gòu)造函數(shù),妙用結(jié)論

評(píng)注:選擇題只求結(jié)果,不考過(guò)程,解題時(shí)應(yīng)用積累的結(jié)論可節(jié)省時(shí)間。

四、選取對(duì)數(shù),簡(jiǎn)化運(yùn)算

例4若 任 意x,a∈(0,+ ∞),eax+2ab≥a2x,則b的取值范圍為( )。

解析:不等式eax+2ab≥a2x,兩邊取對(duì)數(shù)得ax+2ab≥lna2+lnx,即ax-lnx+2ba-2lna≥0。

評(píng)注:數(shù)學(xué)中取對(duì)數(shù)可降低運(yùn)算級(jí)別,達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的效果。

五、局部入手,先分后合

評(píng)注:解題有時(shí)需先研究局部,再進(jìn)行整合,以達(dá)到化整為零,各個(gè)擊破的目的。

六、換元、同構(gòu),化難為易

故選B。

例7已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,g(x)=(1-e)x,若ef(x)≥g(x),則a的取值范圍為( )。

解析:ef(x)≥g(x)可化為ex+lna+e(x+lna)≥elnx+elnx。令φ(x)=ex+ex,即φ(x+lna)≥φ(lnx)。而φ(x)單調(diào)遞增,所以x+lna≥lnx,即lna≥lnxx。易得h(x)=lnx-x的最大值為-1,于是lna≥-1,解得。故選B。

評(píng)注:解題時(shí)通過(guò)換元,構(gòu)建同構(gòu)式,可化繁為簡(jiǎn),使問(wèn)題得到較快解決。