對一道橢圓試題的解題反思

■安徽省安慶市洪汪寶名師工作室 洪汪寶

在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,有些同學(xué)喜歡大量刷題,但數(shù)學(xué)成績并不理想,而有些同學(xué)平時(shí)做題并不多,數(shù)學(xué)成績卻很好,對比發(fā)現(xiàn),后者更喜歡問為什么。數(shù)學(xué)是一門思維很強(qiáng)的學(xué)科,同學(xué)們解數(shù)學(xué)題時(shí)一定要養(yǎng)成解題反思的習(xí)慣,不能就題論題。如何進(jìn)行解題反思呢? 解題反思要思考什么? 下面結(jié)合一道具體的橢圓試題談?wù)勅绾芜M(jìn)行解題反思。

一、題目呈現(xiàn)

題目:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)M在橢圓上,當(dāng)△MF1F2的面積最大 時(shí),∠F1MF2=120°,且 最 大 面 積 為2 3。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線l:x=2 與橢圓C交于第一象限點(diǎn)N,A是第四象限的點(diǎn)且在橢圓C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與橢圓C交于另一點(diǎn)D,求證:ON//AD。

分析:本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系等多個(gè)知識(shí)點(diǎn),對同學(xué)們的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、分析問題和解決問題等多種思維能力要求比較高,考查基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查基本技能與基本方法,考查待定系數(shù)法、坐標(biāo)法等解題方法,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等數(shù)學(xué)思想方法,基礎(chǔ)性與綜合性并舉。

第一問是常規(guī)問題,結(jié)合圖形分析發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M位于短軸端點(diǎn)時(shí),△MF1F2的面積最大,即可得到a,b,c之間的等量關(guān)系。第二問先根據(jù)題意,作出圖形,要證ON//AD,只需證明兩者的斜率相等即可。又點(diǎn)N的坐標(biāo)(2,1)確定,直線ON的斜率等于,故只需證明直線AD的斜率為即可,第二問實(shí)際上是一道定值問題。

二、解題反思

2.1思考解法

解:(1)當(dāng)△MF1F2的面積最大時(shí),點(diǎn)M是橢圓短軸的端點(diǎn)。

評注:第二問的解法1 抓住直線ND與NA關(guān)于直線x=2對稱,得到這兩條直線的斜率互為相反數(shù),將直線ND的方程與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理求出點(diǎn)D的坐標(biāo),即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo),于是利用斜率公式即可求出直線AD的斜率,體會(huì)設(shè)而不求的解題思路。解法2直接設(shè)直線AD的方程,借助N,D,B三點(diǎn)共線得到向量關(guān)系,體會(huì)設(shè)而不求的解題思路。

2.2思考變式

條件中的直線x=2比較特殊,還有其他直線嗎? 于是得到下面的變式。

變式:直線l:x=x0(0＜x0＜2 2)與橢圓C:交于第一象限點(diǎn)N,A是第四象限的點(diǎn)且在橢圓C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與橢圓C交于另一點(diǎn)D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

解析:設(shè)N(x0,y0),則,即4y20-8=-x20。

所以存在定直線l:x=2,使得ON//AD。

評注:在以上推導(dǎo)過程中,發(fā)現(xiàn)直線存在,而且唯一,同時(shí)發(fā)現(xiàn)定值:kON·kAD=。于是進(jìn)一步思考,是否蘊(yùn)含一般結(jié)論呢?

2.3思考推廣

推廣:直線l:x=x0(0＜x0＜a)與橢圓)交于第一象限點(diǎn)N,A是第四象限的點(diǎn)且在橢圓C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與橢圓C交于另一點(diǎn)D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

解析:設(shè)N(x0,y0),則,即a2y20-a2b2=-b2x20。

設(shè)直線ND:y=k(x-x0)+y0,即y=kx-kx0+y0,則NA:y=-kx+kx0+y0。

設(shè)D(x1,y1),A(x2,y2)。

2.4思考拓展

拓展1:直線l:x=x0(x0＞a)與雙曲線交于第一象限點(diǎn)N,A是第四象限的點(diǎn)且在雙曲線C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與雙曲線C交于另一點(diǎn)D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

拓展2:直線l:x=x0(x0＞0)與拋物線C:y2=2px(p＞0)交于第一象限點(diǎn)N,A是第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在拋物線C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與拋物線C交于另一點(diǎn)D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

在以上推導(dǎo)過程中,使用的方法基本相同,推導(dǎo)的過程基本類似,雖然雙曲線和拋物線中均沒有類似橢圓的一般結(jié)論,但得到了斜率之間的關(guān)系,收獲不小。所以同學(xué)們在解題過程中既要分析試題所考查的知識(shí)點(diǎn)、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本能力,還要學(xué)會(huì)思考試題的多種解法,對其進(jìn)行變式、推廣、拓展等多個(gè)方面探究,長期堅(jiān)持,一定會(huì)提升思維層次和思維質(zhì)量,從而讓我們的學(xué)習(xí)更輕松,對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心也更大。