計數(shù)原理單元測試卷(A 卷)

■河南省鄭州實驗高中 曲海勝

一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.從4名男生與3名女生中選2人去參加一場數(shù)學(xué)競賽,則男女生各1 人的不同的選派方法數(shù)為( )。

A.7 B.12 C.18 D.24

2.2023年夏天貴州榕江的村超聯(lián)賽火爆全國,吸引了國內(nèi)眾多業(yè)余球隊參賽。現(xiàn)有6 個參賽隊伍代表站成一排照相,其中貴陽折耳根隊與柳州螺螄粉隊必須相鄰,同時南昌拌粉隊與溫江烤肉隊不能相鄰,那么不同的站法共有( )種。

A.144 B.72 C.36 D.24

A.14 B.15 C.13 D.12

4.北斗七星是夜空中的七顆亮星,我國漢代緯書《春秋運斗樞》就有記載,它們組成的圖形像我國古代舀酒的斗,故命名北斗七星。北斗七星不僅是天上的星象,也是古人藉以判斷季節(jié)的依據(jù)之一。如圖1 所示,用點A,B,C,D,E,F,G表示某一時期的北斗七星,其中B,D,E,F看作共線,其他任何3個點均不共線,過這7個點中任意2個點作直線,所得直線的條數(shù)為( )。

圖1

A.4 B.13 C.15 D.16

5.如圖2所示,古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界,畫出形狀相同的兩個陰陽魚,陽魚的頭部有個陰眼,陰魚的頭部有個陽眼,表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化,互相滲透,陰中有陽,陽中有陰,陰陽相合,相生相克,蘊含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律。由八卦模型圖可抽象得到正八邊形,從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構(gòu)成四邊形,其中梯形的個數(shù)為( )。

圖2

A.16 B.20 C.24 D.28

A.-20 B.5 C.15 D.35

7.某學(xué)校派出5名教師去3所鄉(xiāng)村學(xué)校支教,其中有一對教師夫婦參與支教活動。根據(jù)相關(guān)要求,每位教師只能去1 所學(xué)校參與支教,并且每所學(xué)校至少有1 名教師參與支教,同時要求這對教師夫婦必須去同所學(xué)校支教,則不同的安排方案有( )。

A.18種 B.24種

C.36種 D.48種

8.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中,對同余除法有較深的研究,設(shè)a,b,m(m＞0)均為整數(shù),若a和b被m除得的余數(shù)相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(modm)。如9 和21 被6 除 得 的 余 數(shù) 都 是3,則記9≡21(mod6)。若a≡b(mod10),且,則b的值可以是( )。

A.2 019 B.2 020

C.2 021 D.2 022

二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.下列結(jié)論正確的是( )。

11.2021年7月24日,中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》,要求各地區(qū)各部門結(jié)合實際認(rèn)真貫徹落實。同年8月,國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)專門通知,擬對各省“雙減”工作落實進(jìn)度每半月通報一次。2021 年10 月,全國人大表示:“雙減”擬明確入法,避免加重義務(wù)教育階段學(xué)生負(fù)擔(dān)。2021年11月3日,市場監(jiān)管總局等八部門發(fā)布《關(guān)于做好校外培訓(xùn)廣告管控的通知》,堅決杜絕地鐵、公交站臺等所屬廣告牌、廣告位刊發(fā)校外培訓(xùn)廣告。在“雙減”政策的推動下,某市教育局提出了教師輪崗制度,讓更多的學(xué)生享受到更好、更優(yōu)質(zhì)的師資,充分體現(xiàn)教育的公平性?，F(xiàn)從該市某中學(xué)調(diào)8名不同科目的教師到另一所中學(xué)的4個不同班級任教,要求每個班級至少分配1名教師,至多分配3名教師,則( )。

B.有2個班級分配1 名教師,另2 個班級分配3名教師,有種分配方法

C.根據(jù)班級實際情況,(1)班需要1名教師,(2)班和(3)班均需要2名教師,(4)班需要3名教師,則有種分配方法

D.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗分析,甲、乙、丙3 名教師分配到1 個班級才可達(dá)到教學(xué)效果最優(yōu),則有種分配方法

12.在某城市中,A,B兩地之間有如圖3所示的道路網(wǎng),甲隨機沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑,從A地出發(fā)到B地,則下列結(jié)論正確的是( )。

圖3

A.不同的路徑共有31條

B.不同的路徑共有41條

C.若甲途經(jīng)C地,則不同的路徑共有18條

D.若甲途經(jīng)C地,且不經(jīng)過D地,則不同的路徑共有8條

三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分。)

13.已知(1-x)9+m(x+1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,若a9=a10,則a2=_____。

14.若(1-ax+x2)4的展開式中x5的系數(shù)為-56,則實數(shù)a=____。

16.已知a,b∈{-1,0,2,3},則關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為_____。

四、解答題(本題共6 小題,共70 分,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(本小題10 分)電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴(yán)酷環(huán)境下,中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利,著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景?，F(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片,他們的座位在同一排且連在一起。

(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種?

(2)女生互不相鄰的坐法有多少種?

(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種? (列出算式,并計算出結(jié)果)

18.(本小題12分)(1)解關(guān)于x的不等式Ax8＜6Ax-28。

19.(本小題12分)已知集合A={x|1＜log2x＜3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}。

(1)從A∪B中取出3 個不同的元素組成三位數(shù),則可以組成多少個?

(2)從集合A中取出1 個元素,從集合B中取出3個元素,可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比4 000大的正整數(shù)?

(1)求n和a的值。

(2)展開式中是否存在常數(shù)項? 若存在,求出常數(shù)項;若不存在,請說明理由。

21.(本小題12分)用1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字,可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的:

(1)四位偶數(shù)?

(2)數(shù)字1、3、5互不相鄰的六位數(shù)?

(3)六位數(shù)? 其中數(shù)字6、4、1 按自左至右的順序保持不變(如634 512,562 431)。

注:所有結(jié)果均用數(shù)值表示。

22.(本小題12分)已知(a-2x)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,其中實數(shù)a＞0,且x2的系數(shù)為81 648。

(1)求實數(shù)a的值。

(2)計算:(ⅰ)(a0+a2+a4+a6+a8)·(a1+a3+a5+a7);

(ⅱ)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|。(結(jié)果用冪的形式表示)