基于頻域和時域法的電池包隨機振動疲勞計算對比研究

吳光強 ，李超 ，丁豐 ，章蕾

［1.同濟大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804；2.卡特彼勒技術(shù)研發(fā)（中國）有限公司，江蘇 無錫 214000］

隨著我國電動汽車的推廣普及，動力電池包的振動疲勞性能已經(jīng)成為制約電動汽車發(fā)展的一個重要因素.現(xiàn)階段，對試制樣品的振動疲勞耐久性試驗校核是電池包開發(fā)流程的典型環(huán)節(jié)，但其存在研發(fā)成本高、開發(fā)周期長的缺點.如果在開發(fā)設(shè)計階段利用計算機輔助工程（Computer Aided Engineering，CAE）技術(shù)進行產(chǎn)品的振動疲勞性能校核，可大大縮短研發(fā)周期、降低研發(fā)成本［1-2］.

目前，利用CAE 進行電池包隨機振動疲勞壽命預(yù)測的方法主要分為時域法和頻域法［3-4］.二者都包含三部分內(nèi)容，即載荷作用下結(jié)構(gòu)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)歷程、單個載荷循環(huán)下的疲勞損傷和疲勞損傷累積模型［5］.不同之處在于時域法是基于結(jié)構(gòu)振動的應(yīng)力時域信號，利用雨流計數(shù)法對結(jié)構(gòu)應(yīng)力實際循環(huán)次數(shù)進行統(tǒng)計［6］；而頻域法則是基于結(jié)構(gòu)振動的應(yīng)力功率譜密度（Power Spectral Density，PSD）信號，利用應(yīng)力幅分布模型對結(jié)構(gòu)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)進行近似估計，其中Dirlik 模型是與實際情況吻合較好且應(yīng)用最廣泛的模型［7］.時域法由于具有較高的結(jié)構(gòu)累積損傷預(yù)測精度和處理非高斯平穩(wěn)隨機過程的能力，被認(rèn)為是與實際最為接近的一種方法［8］，但存在隨機過程模擬計算量大的缺點；而頻域法不需要循環(huán)計數(shù)，計算量小，其應(yīng)用逐漸受到工程界的重視［9］.

在實際工程設(shè)計中，頻域法和時域法雖然廣泛用于對電池包振動疲勞性能的驗證分析，但是有關(guān)二者的綜合對比研究比較缺乏，這種缺乏會帶來以下問題：

1）如果只注重頻域法計算簡單、快速的優(yōu)勢，而忽視其與時域法預(yù)測值的差距，可能會導(dǎo)致頻域法預(yù)測的疲勞壽命值與實際壽命差距過大.

2）頻域法基于振動均方根（Root Mean Square，RMS）加速度值和正態(tài)分布“3σ”原則，可能存在對電池包最大振動加速度估計不足的缺點.

為了避免類似情況的發(fā)生，本文分別利用頻域法和時域法對某款動力電池包進行隨機振動疲勞分析，并對二者分析結(jié)果進行對比，為頻域法和時域法更好應(yīng)用于工程設(shè)計提供一定參考.

1 基本理論

1.1 時域法

電池包結(jié)構(gòu)振動屬于線性小阻尼多自由度振動系統(tǒng)，其模態(tài)運動方程為：

式中：m為系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣；c為模態(tài)阻尼矩陣；k為模態(tài)剛度矩陣；q為模態(tài)坐標(biāo)；Q為模態(tài)力矢量.

在時域載荷激勵下，振動系統(tǒng)的位移響應(yīng)X可由模態(tài)振型矩陣Ф和模態(tài)坐標(biāo)q求出，其表達式為：

電池包結(jié)構(gòu)在隨機振動載荷作用下會呈現(xiàn)出復(fù)雜的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，其疲勞裂紋萌生和擴展將在圖1所示材料臨界平面上發(fā)生，并且應(yīng)力大小和方向會隨構(gòu)件位置和載荷作用時間不斷變化［10］.

圖1 材料臨界面及法向nFig.1 Normal（n）of a material plane

為此，基于不同轉(zhuǎn)角θ坐標(biāo)系平面應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式，時域法通過對不同轉(zhuǎn)角平面應(yīng)力時間歷程進行計算和雨流統(tǒng)計，并結(jié)合材料的疲勞特性實現(xiàn)臨界面求解和結(jié)構(gòu)最大損傷時的疲勞壽命計算，應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式為：

式中：σxx和σyy為平面正應(yīng)力；τxy為平面切應(yīng)力.

通過對空間不同方向應(yīng)力狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)損傷進行計算，臨界面法可以準(zhǔn)確預(yù)測復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)疲勞失效問題，因此得到工程界廣泛認(rèn)可［11-12］.

1.2 頻域法

式（1）可轉(zhuǎn)化為頻域數(shù)學(xué)表達式：

式中：Sx（ω）為輸入載荷PSD 矩陣；Sp（ω）為隨機響應(yīng)PSD 矩陣；H（ω）為頻響函數(shù)矩陣；HH（ω）為H（ω）的共軛轉(zhuǎn)置.

頻響函數(shù)矩陣H（ω）表達式為：

當(dāng)載荷以PSD 輸入時，結(jié)構(gòu)振動位移、加速度和應(yīng)力響應(yīng)均可由式（4）和式（5）求出.

在連續(xù)加載時間T內(nèi)，幅值為S的結(jié)構(gòu)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)N（S）由Dirlik模型式（6）和式（7）求出.

式中：E（P）為峰值概率期望.

1.3 RMS值

雖然隨機振動的不確定性狀態(tài)無法用振幅、頻率和相位進行描述，但可用RMS 值對隨機振動統(tǒng)計特征進行描述.

RMS 值是與結(jié)構(gòu)振動能量大小有關(guān)的物理量.在時域內(nèi)，振動信號x（t）的RMS計算公式為：

在頻域內(nèi)，振動信號x（t）的RMS 值可經(jīng)PSD 譜在頻率上積分求面積S后開根號求出，即

當(dāng)結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)服從正態(tài)分布時，基于“3σ”原則，可將3XRMS作為結(jié)構(gòu)振動最大幅值的近似估計［13］.

2 電池包模型及模態(tài)驗證

2.1 有限元模型

基于某型號電池包的實體結(jié)構(gòu)和幾何模型，建立如圖2 所示的有限元模型.在建模過程中，按照不改變結(jié)構(gòu)力學(xué)性能和計算精度的要求，為減小計算資源，對模型進行局部簡化和修正，例如去除了較小倒角、螺栓、小圓孔等［14］.約束邊界按照實車裝配對安裝吊耳孔進行全約束.

圖2 某型號電池包實物及有限元模型Fig.2 Physical structure and finite element model

2.2 模態(tài)測試

為了驗證有限元模型精度，采用LMS 模態(tài)測試系統(tǒng)進行電池包約束模態(tài)的敲擊測試.測試系統(tǒng)主要由激振部分、數(shù)據(jù)采集部分和分析計算部分組成，如圖3所示.

圖3 LMS模態(tài)試驗測試系統(tǒng)組成Fig.3 LMS modal test system

圖中PCB 力錘對電池包進行敲擊激勵，LMS 數(shù)據(jù)采集儀和PCB 加速度傳感器用于振動信號采集，筆記本電腦利用采集信號完成約束模態(tài)參數(shù)的識別.

此次電池包模態(tài)測試共布置了46 個振動數(shù)據(jù)采集點，采用如圖4 所示的5×5 布點形式，力錘敲擊點分別位于圖5 所示電池包下箱體拐角、上箱蓋拐角以及上箱蓋中央三個位置.

圖4 電池包5×5測點布置Fig.4 Battery pack 5×5 measuring point layout

圖5 模態(tài)試驗力錘激勵點Fig.5 Force hammer excitation point of modal test

2.3 模態(tài)驗證

模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有屬性，與結(jié)構(gòu)自身的材料屬性、幾何形狀以及約束條件等有關(guān).固有頻率、模態(tài)振型是模態(tài)的兩個重要特征參數(shù)［15-16］，反映了結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布，可用于有限元建模精度的驗證.

1）固有頻率.相似振型模態(tài)的固有頻率之間的接近程度可用相對誤差δ來考察［17］，其計算公式為

式中：fTest為試驗?zāi)B(tài)頻率；fFEA為有限元模態(tài)頻率.

由表1統(tǒng)計的電池包前4階模態(tài)頻率值可知，有限元模態(tài)與試驗?zāi)B(tài)之間的固有頻率相近，相對誤差均小于5%.

表1 電池包前4階模態(tài)固有頻率Tab.1 Natural frequency of the first four modes

2）模態(tài)振型.模態(tài)置信準(zhǔn)則（Modal Assurance Criteria，MAC）可用于驗證有限元模態(tài)振型和試驗?zāi)B(tài)振型的相似程度［18］，即：MAC 值等于1，表示兩個模態(tài)振型完全一樣；等于0，表示兩個振型不相關(guān).其計算式為：

式中：Φej為試驗?zāi)B(tài)第j階振型向量；Φfk為有限元模態(tài)的第k階振型向量.

圖6 和圖7 分別為電池包試驗?zāi)B(tài)和有限元模態(tài)的前4 階振型圖，二者振型的MAC 值分別為0.93、0.86、0.89和0.87，表明同階振型之間相似度水平高.

圖6 電池包試驗?zāi)B(tài)前4階振型Fig.6 First 4 test modes of battery pack

圖7 電池包有限元模態(tài)前4階振型Fig.7 First 4 finite element modes of the battery pack

由于有限元模態(tài)的固有頻率和模態(tài)振型計算結(jié)果與模態(tài)試驗結(jié)果相近，表明電池包有限元模型的質(zhì)量分布和剛度分布與實際結(jié)構(gòu)相符合，可用于隨機振動疲勞分析.

3 隨機振動疲勞分析

3.1 載荷的輸入

輸入載荷是影響時域法和頻域法計算結(jié)果的重要因素，二者載荷PSD 譜統(tǒng)計特征相匹配是能夠進行計算結(jié)果對比的前提.

頻域法的輸入載荷為國標(biāo)GB 38031—2020 推薦加速度載荷PSD 譜，如表2 所示.基于表2 的功率譜密度值，利用傅里葉逆變換和Python 編程技術(shù)計算得到時域法的加速度輸入載荷，如圖8所示.

表2 頻域法加速度載荷PSD譜Tab.2 Acceleration PSD load of frequency domain method

圖8 加速度時域載荷Fig.8 Acceleration time domain load

由圖9 所示的輸入載荷PSD 曲線對比可知，時域法和頻域法的輸入載荷統(tǒng)計特征相匹配，二者的計算結(jié)果可進行對比.

圖9 輸入載荷PSD的對比Fig.9 Comparison of load PSD

3.2 有限元分析計算

本文基于達索公司的ABAQUS軟件，通過時域瞬態(tài)響應(yīng)分析和頻域隨機振動分析來計算電池包有限元模型單元積分點的應(yīng)力響應(yīng)，并利用Python編程完成結(jié)構(gòu)疲勞危險位置的壽命計算，分析流程見圖10.

圖10 隨機振動疲勞CAE分析流程Fig.10 CAE analysis process of random vibration fatigue

4 結(jié)果及討論

4.1 振動加速度

圖11為頻域法計算的電池包加速度RMS值分布云圖.由圖11可知，箱蓋中央A6位置振動加速度最大.

圖11 頻域法RMS加速度分布云圖Fig.11 RMS acceleration contour of frequency domain method

為了與頻域法對比，除了取箱蓋中央A6測點外，另取圖12 安裝吊耳和模組承載梁處的A1至A5測點進行時域法分析，加速度響應(yīng)結(jié)果如圖13所示.

圖12 時域法加速度測點位置Fig.12 Acceleration gage map of time domain method

圖13 加速度時域響應(yīng)Fig.13 Acceleration time domain response

由表3的振動加速度統(tǒng)計值可知，頻域法與時域法的加速度RMS值接近，最大相對誤差為5.8%，表明二者所預(yù)測的電池包總振級相近；頻域法“3σ”計算最大加速度與時域法最大加速度存在較大差距，相對誤差范圍為24.8%～30.1%，表明頻域法“3σ”計算值對電池包振動最大加速度幅值的估計精度不足.

表3 結(jié)構(gòu)振動加速度對比Tab.3 Comparison of structural vibration acceleration

究其原因如下：

隨機振動載荷下的電池包加速度幅值服從正態(tài)分布，如表4 所示.由圖14 可知，正態(tài)分布“3σ”原則的0～99%估計范圍和時域法的最大加速度幅值分布范圍存在較大差距.

表4 A6加速度分布統(tǒng)計特征值Tab.4 Statistical characteristics of acceleration distribution at A6

圖14 A6振動加速度分布對比Fig.14 Comparison of acceleration distribution at A6

如果頻域法采用“4σ”原則，計算加速度的估計范圍將擴大到0～99.993 6%，與時域法的加速度最大分布范圍接近，相對誤差小于6.6%，見表5.

表5 頻域法“4σ”計算加速度Tab.5 The“ 4σ” acceleration of frequency domain method

4.2 振動應(yīng)力

利用頻域法計算得到電池包箱體和箱蓋的RMS應(yīng)力值，分別見圖15和圖16.

圖15 電池包箱體RMS應(yīng)力分布Fig.15 RMS stress contour of battery pack body

圖16 電池包箱蓋RMS應(yīng)力分布Fig.16 RMS stress contour of battery pack cover

由圖15 可知，箱體高應(yīng)力區(qū)主要分布在安裝吊耳孔附近、模組承載梁與側(cè)圍板連接位置；由圖16可知，箱蓋中央加強筋位置應(yīng)力最大.

根據(jù)RMS 應(yīng)力分布，利用式（3）和式（12）對圖15和圖16中5個危險位置的結(jié)構(gòu)最大損傷應(yīng)力和等效Von Mises 應(yīng)力進行時域法計算，應(yīng)力時域響應(yīng)結(jié)果如圖17和圖18所示.

圖17 結(jié)構(gòu)最大損傷應(yīng)力時域響應(yīng)Fig.17 Time domain response of maximum structural damage stress

圖18 等效Von Mises應(yīng)力時域響應(yīng)Fig.18 Time domain response of equivalent Von Mises

式中：σVM為時域等效Von Mises應(yīng)力.

由表6 電池包的振動應(yīng)力對比可知，頻域法和時域法的RMS 應(yīng)力值相近，最大相對誤差小于15.2%，表明二者所預(yù)測的平均動應(yīng)力相近.

表6 結(jié)構(gòu)振動應(yīng)力對比Tab.6 Comparison of structural vibration stress

由表7 可知，頻域法的“5σ”應(yīng)力值比“3σ”應(yīng)力值更接近時域法最大Von Mises 值，最大相對誤差小于13.1%.

表7 頻域法估算應(yīng)力峰值與時域法最大Von MisesTab.7 Stress peak of frequency domain method and maximum Von Mises of time domain method

4.3 疲勞壽命

基于應(yīng)力響應(yīng)，利用頻域法和時域法對圖15 和圖16 所示危險位置的疲勞壽命進行預(yù)測，并用 式（13）計算二者之間的誤差因子，結(jié)果見表8.

表8 振動疲勞壽命Tab.8 The vibration fatigue life

式中：Nfreq為頻域法計算疲勞壽命；Ntest為時域法計算疲勞壽命.

由表8 可知，頻域法計算的疲勞壽命為時域法計算值的3.7～5.3 倍，主要原因是Dirlik 模型和應(yīng)力響應(yīng)PSD譜差異的影響.

1）Dirlik 模型的影響.由雨流計數(shù)和Dirlik 模型得到的R2位置應(yīng)力幅循環(huán)次數(shù)曲線的對比可知，時域法和頻域法在同一應(yīng)力幅值處計算的循環(huán)次數(shù)存在一定差距，如圖19 所示.由表9 可知，Dirlik 模型造成的差距在1.2～1.5倍，誤差影響率的范圍為23%～41%，平均影響率為34%.

表9 Dirlik模型的影響Tab.9 Influence of Dirlik model approach

圖19 雨流計數(shù)與Dirlik模型的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)對比Fig.19 Comparison of stress cycles between rain-flow counting method and Dirlik model

2）應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜差異的影響.由式（3）可知，時域法的疲勞壽命計算基于臨界面正應(yīng)力的雨流計數(shù)，而頻域法疲勞壽命計算基于Von Mises 等效應(yīng)力PSD譜，其計算表達式為：

式中：Gσσ(fm)為應(yīng)力響應(yīng)PSD 矩陣；A為Von Mises的二次計算式.

臨界面正應(yīng)力與Von Mises 等效應(yīng)力的差異是導(dǎo)致時域法和頻域法計算的應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜出現(xiàn)差異的主要原因，如圖20所示.

圖20 R2應(yīng)力響應(yīng)PSD譜對比Fig.20 Comparison of stress response PSD at R2

應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜的差異通過應(yīng)力循環(huán)次數(shù)影響結(jié)構(gòu)疲勞壽命的計算值，如圖21所示.由表10可知，應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜差異導(dǎo)致的誤差因子在2.5～4.3倍，誤差影響率的范圍為59%～77%，平均影響率為66%.

表10 應(yīng)力PSD譜差異的影響Tab.10 Influence of stress PSD difference

圖21 應(yīng)力PSD譜差異的影響Fig.21 Influence of stress PSD difference

4.4 計算效率和精度

4.4.1 計算效率分析

時域響應(yīng)信號的采樣頻率是影響時域法分析精度的重要因素，為了保證時域響應(yīng)信號在關(guān)心頻率帶寬內(nèi)無混疊和不失真，根據(jù)Shannon 采樣定理，采樣頻率至少為關(guān)心信號最高頻率的2倍［20］.

由表2 可知，電池包的最高分析頻率為200 Hz，因此時域法最低采樣頻率應(yīng)為400 Hz，采樣時間間隔為0.002 5 s，完成一次總時長為200 s 的分析至少需要80 000 個迭代步，而在同樣頻率分辨率的情況下，頻域法只需要595 個迭代步，計算效率比時域法高了約134倍.

4.4.2 計算精度驗證

為了驗證時域法和頻域法的計算精度，基于表2加速度PSD 譜，利用LDS 振動臺對電池包進行12 h隨機振動測試，如圖22 所示.試驗結(jié)果顯示，R2位置處的最低振動疲勞壽命為12 h目標(biāo)壽命的16.4%，見圖23.

圖22 電池包隨機振動疲勞測試Fig.22 The random vibration fatigue test of battery pack

圖23 R2疲勞測試壽命Fig.23 The test fatigue life of R2

由表8可知，頻域法R2疲勞壽命為29 300 s，占12 h目標(biāo)壽命的67.8%，而時域法疲勞壽命為5 540 s，占12 h 目標(biāo)疲勞壽命的12.8%，與試驗測試結(jié)果更接近，計算精度更高.

5 結(jié)論

1）頻域法和時域法在電池包振動總級、應(yīng)力RMS 值以及疲勞壽命預(yù)測趨勢上相近，但與復(fù)雜的時域臨界面法相比，頻域法計算效率更高，約高134倍.

2）考慮到頻域法“3σ”計算值與時域法最大幅值的差距較大，推薦頻域法采用“4σ”或“5σ”原則對加速度和應(yīng)力的最大幅值進行估算.

3）Dirlik 模型和應(yīng)力響應(yīng)PSD 譜的差異是造成頻域法和時域法的疲勞壽命值產(chǎn)生較大差距的主要原因，其中Dirlik模型造成的差距小于1.5倍，平均影響率約為34%.

4）與頻域法相比，時域法計算精度更高，因此為了對電池包結(jié)構(gòu)振動的疲勞性能進行更快和更精確的驗證，可先利用頻域法對結(jié)構(gòu)振動疲勞危險位置進行快速預(yù)測，再利用時域法對危險位置的疲勞壽命進行精確計算.