基于混合平衡優(yōu)化算法的疫苗配送路徑優(yōu)化

陳娟，倪志偉*，李華

（1.合肥工業(yè)大學管理學院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009）

0 引言

隨著社會及交通工具的發(fā)展，各個地區(qū)的人流量在不斷攀升，加速了傳染病在人群中的傳播。在各種預(yù)防措施中，注射疫苗被認為是最有效的方法［1-2］，研究疫苗的車輛路徑優(yōu)化問題（VRP）可以降低疫苗運輸過程的成本，具有重要現(xiàn)實意義。

我國人口眾多，在傳染病爆發(fā)時期，對疫苗的需求量極大，而在爆發(fā)初期，各地疫苗儲量往往難以滿足全部的需求，所以要研究車輛路徑優(yōu)化問題，第一步必須先確定各地區(qū)的疫苗實際配送量，當疫苗供小于求時，疫苗分配常遵循公平公正的原則［3］，本文在對儲量不足的疫苗進行分配時同樣采取此原則。在得到各地區(qū)的疫苗實際配送量后，則要面臨如何合理規(guī)劃疫苗分配路徑這一問題。在實際情境中，如果疫苗在規(guī)定的時間窗內(nèi)未能及時到達并接種，隨著到達時間的推遲，在相同的時間內(nèi)，感染傳染病的人數(shù)會加速增長［4］?；诖?，本文將疫苗延遲到達產(chǎn)生的時間窗懲罰函數(shù)設(shè)置為凹函數(shù)以便更貼合實際情景。因此，在傳染病爆發(fā)初期，面對疫苗儲量不足的情況，在遵循公平公正原則的前提下先確定各地區(qū)的疫苗實際配送量，然后在研究車輛路徑優(yōu)化問題時將時間窗懲罰函數(shù)設(shè)置為凹函數(shù)將使研究更具現(xiàn)實意義。

疫苗儲存對于溫度有極高要求，因而疫苗的配送路徑優(yōu)化屬于冷鏈物流車輛路徑優(yōu)化問題，屬于VRP 的變體，國內(nèi)外很多學者均對此進行了研究。在模型構(gòu)建方面：ZHAO等［5］研究了包括冷鏈配送成本、碳排放和客戶滿意度的多目標模型；JI等［6］為順應(yīng)低碳經(jīng)濟的趨勢，在研究冷鏈物流車輛路徑優(yōu)化問題時建立了3 個低碳魯棒優(yōu)化（RO）模型解決具有不確定性的問題；DENG等［7］建立了考慮貨損的最小化成本模型；馬成穎等［8］在考慮實時路況和客戶隨時需求的條件下，構(gòu)建了由最小化總成本和最大化滿意度組成的雙目標模型；杜琛等［9］在建立模型時同時兼顧了客戶滿意度、油耗成本以及易腐壞貨物損耗成本；王勇等［10］構(gòu)建了資源共享以及溫度控制下的最小化總成本的模型。在求解冷鏈物流車輛路徑優(yōu)化問題的算法方面，主要研究方向集中在用啟發(fā)式算法解決問題，也有少量學者使用學習類的有關(guān)方法解決問題：LI等［11］利用了基于智能優(yōu)化算法的改進粒子群優(yōu)化算法結(jié)合實際案例數(shù)據(jù)求解模型；LIU等［12］提出了局部搜索效率較高的模因算法；YU等［13］采用了混合粒子群算法；馬成穎等［8］通過改進的自適應(yīng)大規(guī)模鄰域搜索算法求解了雙目標模型；任騰等［14］利用融入了禁忌搜索算法和動態(tài)概率選擇的蟻群算法研究最小化總成本的模型；方文婷等［15］在求解最小化總成本的模型時，提出了A*算法和蟻群算法相結(jié)合的混合蟻群算法；雷坤等［16］為解決車輛路徑問題，提出了端到端的深度強化學習框架；WU等［17］設(shè)計了一個基于自注意力的深度架構(gòu)求解帶容量約束的車輛路徑優(yōu)化模型；LI等［18］利用了一種集成異構(gòu)注意機制的新型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以減少車輛的總運行時間。上述研究所建立的路徑優(yōu)化模型多是針對生鮮冷鏈物流，并且求解模型的算法存在難以跳出局部最優(yōu)、運行若干次后所求的最優(yōu)解的值波動較大等問題。為了拓寬冷鏈物流的研究視角和改進算法缺陷，本文提出使用混合平衡優(yōu)化算法求解疫苗冷鏈物流路徑優(yōu)化模型。

本文在遵循公平公正的原則下確定各地疫苗供小于求時的實際配送量，構(gòu)建懲罰函數(shù)為凹函數(shù)以及包含碳排放成本的總成本最小化的模型。在平衡優(yōu)化器中加入模擬退火算法，并且引入可變參數(shù)確定這兩種算法進行粒子更新的概率，從而構(gòu)建一個新的算法進行模型的求解。最后，通過對比實驗驗證混合平衡優(yōu)化算法在求解本文所提模型上的優(yōu)勢。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題描述

本文提出的冷鏈物流車輛路徑優(yōu)化問題描述如下：在傳染病爆發(fā)初期，疫苗由一個配送中心向N個需求點進行配送，但配送中心的疫苗儲量不足以滿足全部需求點的需求，配送中心也僅擁有有限的疫苗冷藏運輸車，在對各需求點進行配送時，不免出現(xiàn)配送延遲的情況。本文研究的目標，一是在疫苗儲量不足的情況下，公平公正地為各地分配疫苗，二是求解出包括固定成本、運輸成本、制冷成本、碳排放成本和懲罰成本在內(nèi)的最小總成本和最優(yōu)配送路徑。

關(guān)于本文所研究問題的假設(shè)如下：

1）所有疫苗冷藏運輸車均為一種車型，最大裝載量相同且始點和終點均為配送中心。

2）疫苗在配送途中始終保持活性，呈無損耗狀態(tài)。

3）車輛始終中速行駛即保持勻速，避免因為劇烈顛簸造成疫苗損耗。

4）各需求點位置和需求量已知，且沒有任何一個需求點的需求量大于疫苗冷藏運輸車的最大裝載量。

5）一個需求點僅由一輛疫苗冷藏運輸車服務(wù)，但一輛疫苗冷藏運輸車可服務(wù)多個需求點。

6）各需求點都要求疫苗盡快送達，故當疫苗在約定的最晚時間之前到達時無懲罰成本，只有在約定的最晚時間之后到達才會產(chǎn)生與時間有關(guān)的懲罰成本。

1.2 已知參數(shù)

本文中所使用的參數(shù)及含義如下所示：

N：疫苗配送中心及需求點集合，N={1,2,…,i}；

K：疫苗冷藏運輸車集合，K={1,2,…,k}；

ri：第i個需求點被分配的疫苗量；

qi：第i個需求點的疫苗需求量；

f：啟動一輛疫苗冷藏運輸車所產(chǎn)生的固定成本；

s：整個配送過程中所啟動的疫苗冷藏運輸車的數(shù)量；

Q：疫苗冷藏運輸車的最大裝載量；

ti：需求點i接收到疫苗的時間；

tj：需求點j接收到疫苗的時間；

tij：疫苗冷藏運輸車從需求點i行駛到需求點j所使用的時間；

r：車輛行駛單位里程所需的油耗量；

dij：疫苗需求點i和j之間的距離；

g：單位時間內(nèi)制冷所需的油耗量；

e：單位油耗產(chǎn)生的碳排放量；

c：柴油單價；

p：碳交易所實時碳交易價格；

li：疫苗配送中心和需求點i約定的最晚到達時間。

1.3 各地疫苗實際配送量的確定

在傳染病爆發(fā)初期，當疫苗儲量不足時，本文為在對疫苗儲量分配后，得到的各地疫苗分配量遵從公平公正的原則，引入資源滿意度的概念。資源滿意度為各地分配量與需求量的比值［19］，如式（1）所示，其中，Mi表示第i個疫苗需求點的滿意度，ri代表第i個需求點被分配的疫苗量，qi代表第i個需求點的疫苗需求量。由極值思想可知，所有地區(qū)中最大滿意度和最小滿意度的差值可視為衡量公平性的標準，如式（2）所示，當差值趨近于0 時，便代表數(shù)據(jù)處理完成。

1.4 疫苗配送路徑優(yōu)化模型

1.4.1 決策變量分析

本文中疫苗配送中心和疫苗需求點均由i,j表示，其 中，i,j?{0,1,…,n}，僅當i,j取0 時代表配送中心。

決策變量xijk和xik的取值如下所示：

當疫苗冷藏運輸車經(jīng)過i，j之間的路徑，從節(jié)點i駛離后的下一個到達節(jié)點即為j，此時xijk取值為1，否則取值為0；若由車輛k向需求點i配送疫苗，那么xik為1，否則為0。

1.4.2 成本函數(shù)

關(guān)于成本函數(shù)的描述如下：

1）固定成本

在啟動疫苗冷藏運輸車完成配送的過程中，會產(chǎn)生僅與啟動車輛數(shù)有關(guān)的固定成本，其中包括車輛的折舊費、保養(yǎng)費以及司機的工資［20］，啟動一輛疫苗冷藏運輸車所產(chǎn)生的固定成本為f，那么啟動K輛所產(chǎn)生的固定成本C1如式（3）所示。

2）運輸成本和制冷成本

疫苗冷藏運輸車在配送過程中行駛和制冷產(chǎn)生的油耗成本分別記為C2和C3，對應(yīng)運輸成本和制冷成本。車輛在需求點i和j之間的運輸成本可由行駛單位里程所需的油耗量r與車輛行駛距離dij的乘積得出，總的運輸成本計算如式（4）所示；制冷成本為單位時間制冷所需的油耗量g與制冷總時長的乘積，如式（5）所示。

3）碳排放成本

在疫苗配送路徑優(yōu)化模型中，碳排放由油耗產(chǎn)生，且碳排放量與油耗量的正相關(guān)系數(shù)已知［21］，在文中設(shè)定為e，那么碳排放量De可由疫苗冷藏運輸車所消耗的油耗量確定，如式（6）所示；在引入碳交易價格p后即可確定碳排放成本C4，如式（7）所示。

4）懲罰成本

根據(jù)文獻［22］得知，如果疫苗冷藏運輸車未能在約定的最晚時間到達，使得疫苗需求點延遲接種疫苗，那么傳染病會快速在人群中傳播，并且速度隨時間不斷增長，此時，懲罰函數(shù)為凹函數(shù)更符合實際。在傳染病爆發(fā)初期，疫苗應(yīng)盡快到達各需求點以便及時控制傳染病在人群中的傳播。因此：當疫苗冷藏運輸車到達需求點i的時間ti在約定的最晚時間點li之前，則符合各需求地訴求，此時懲罰成本為0；當?shù)竭_時間在約定的最晚時間點li之后，懲罰函數(shù)則為凹函數(shù)，如式（8）所示，懲罰成本C5如式（9）所示。

1.4.3 數(shù)學模型

本文構(gòu)建的是最小化總成本的路徑優(yōu)化模型，總成本包括固定成本C1、運輸成本C2、制冷成本C3、碳排放成本C4和懲罰成本C5，目標函數(shù)如式（10）所示。

式（10）為目標函數(shù)，由所有參加配送的疫苗冷藏運輸車的運輸總成本構(gòu)成。式（11）～式（18）為約束條件，其中：式（11）表示任何一個配送路線的總需求量都不大于車輛的滿載量；式（12）表示每個需求點都只被服務(wù)一次；式（13）表示所有車輛的始點和終點都是配送中心；式（14）和式（15）表示各需求點僅允許車輛出發(fā)到達一次；式（16）表示車輛k從客戶點i到客戶點j服從0-1 變量；式（17）表示車輛k服務(wù)客戶點i服從0-1 變量；式（18）可保證配送過程連續(xù)。

2 算法設(shè)計

2.1 平衡優(yōu)化器算法原理

平衡優(yōu)化器（EO）算法［23］是一種受物理現(xiàn)象啟發(fā)得到的新型優(yōu)化算法，目的是使得容積質(zhì)量動態(tài)平衡，求得最優(yōu)的平衡濃度，目前成功應(yīng)用于基準函數(shù)和工程問題［24］。在算法中，每一個粒子都對應(yīng)著一個濃度，不同的粒子構(gòu)成種群，初始種群隨機產(chǎn)生，由前4 項最優(yōu)解及其平均值構(gòu)成5 個候選解，形成平衡狀態(tài)池，由于粒子的更新均與候選解有關(guān)，因此該算法容易陷入局部最優(yōu)進而處于停滯狀態(tài)。算法的具體步驟如下：

1）初始化種群。在明確優(yōu)化變量的可變化范圍[Cmin，Cmax]后，在該范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生包含N個粒子的初始種群：

在式（19）中：Cmin和Cmax分別為優(yōu)化變量可變范圍的下界和上界；ri為隨機向量，維度與種群中的粒子數(shù)量一致，向量中的每個元素均為［0，1］之間的隨機數(shù)。

2）構(gòu)建平衡狀態(tài)池。初始化種群后，可通過計算各粒子的適應(yīng)度值確定前4 項最優(yōu)解，然后通過計算這4 個解的平均值確定構(gòu)成平衡狀態(tài)池的5 個候選解，進行粒子更新時可從中隨機選取一個，每個候選解被選擇的概率一致，這在一定程度上可避免粒子進行低質(zhì)量的更新和緩解算法容易陷入局部最優(yōu)的困境。平衡狀態(tài)池的具體構(gòu)成如下：

3）確定指數(shù)項系數(shù)。指數(shù)項系數(shù)與迭代次數(shù)有關(guān)，通過設(shè)置不同的參數(shù)可平衡算法全局搜索和局部尋優(yōu)的能力，如式（21）所示。

其中：t可由最大迭代次數(shù)和當前迭代次數(shù)計算得出，具體如式（22）所示。

在式（22）中：a1和a2分別為控制全局搜索能力和局部尋優(yōu)能力的系數(shù)，常取值為2 和1，可根據(jù)問題取不 同的值；r和γ是與ri形式相 同的向 量；IIter和IMax_Iter為當前迭代次數(shù)和算法設(shè)置的最大迭代次數(shù)。

4）確定質(zhì)量生成速率。為使得算法在局部開采時得到高質(zhì)量的解，EO 算法引入質(zhì)量生成速率G，可由式（23）計算得出。

在上式中：Ceq是在平衡狀態(tài)池中隨機選出的一個候選解；C為當前待更新的解；r1和r2為［0，1］之間的隨機數(shù)；PGP為生成概率。

5）進行解的更新。在經(jīng)過上述4 個步驟之后，EO 算法通過下式對當前解進行更新：

其中：V常取值為1。

2.2 混合平衡優(yōu)化算法

由于EO 算法的全局搜索能力較差，而模擬退火（SA）算法擁有較強的全局搜索能力，因此可在EO算法中融入SA 算法，使得改進后的EO 算法在保證解的質(zhì)量的前提下，可跳出局部最優(yōu)。SA 算法是依據(jù)固體退火原理提出的一種算法。在該算法中，由于固體初始溫度足夠高，固體中的粒子呈無序運動狀態(tài)，后隨著溫度的降低，固體中的粒子逐漸趨于穩(wěn)定，當溫度降低至終止溫度Tf時的固體能量即為最優(yōu)解。在這個過程中的每個溫度下，都要進行L次迭代，如果迭代后的能量變小，則直接接受，否則根據(jù)Metropolis 準則，以可變概率更新固體的能量。

更新概率可由下式計算得出：

其中：E1為未迭代更新前的能量；E2為迭代更新后的能量；T為當前溫度，隨著溫度的降低，接受較高能量的概率也在逐步降低，直至最后不接受較差解。

在EO 算法中融入SA 算法后，為平衡算法的全局搜索能力和局部尋優(yōu)能力，在算法中引入可變參數(shù)R：以概率R選擇SA 算法更新解，進行全局搜索；以概率1-R選擇EO 算法更新解，進行局部尋優(yōu)。

綜上，混合平衡優(yōu)化算法的具體流程如下：

Step1設(shè)置相關(guān)參數(shù)。

Step2在優(yōu)化變量范圍內(nèi)初始化種群，并將全局最優(yōu)解Mnf設(shè)置為無窮大。

Step3計算種群中各粒子的適應(yīng)度值。

Step4確定平衡狀態(tài)池Ceq,pool，并將當前最優(yōu)解mnf記為Ceq。

Step5比較全局最優(yōu)解Mnf和當前最優(yōu)解Ceq(1)的大小，若Ceq(1)＜Mnf，則將Ceq(1)的值賦給Mnf，否則Mnf不變。

Step6判斷是否滿足終止條件，是則輸出最優(yōu)解，流程結(jié)束，否則轉(zhuǎn)至Step7。

Step7通過rand(0,1)函數(shù)生成隨機數(shù)a，若a＞R，則根據(jù)EO 算法中的平衡候選解更新粒子，否則根據(jù)SA 算法更新粒子。

Step8判斷種群中的粒子是否更新完畢，是則轉(zhuǎn)至Step3，否則轉(zhuǎn)至Step7。

以上流程對應(yīng)的流程圖如圖1 所示。

圖1 混合平衡優(yōu)化算法流程圖Fig.1 Flowchart of hybrid equilibrium optimization algorithm

3 實例求解及分析

本文實驗在Matlab 2019b 上進行編碼，在Windows 10 系統(tǒng)下操作完成?；旌掀胶鈨?yōu)化算法的初始種群設(shè)置為100，迭代總次數(shù)設(shè)置為200 次，生成概率取值為0.5，SA 算法中初始溫度設(shè)置為3 000，降溫系數(shù)設(shè)置為0.997。實例中疫苗需求點的坐標采用各地實際經(jīng)緯度表示，兩地距離通過Haversine法計算得出。

為了驗證算法的性能以及其在不同規(guī)模算例下的有效性，本文在2 種規(guī)模算例下分別進行20 次實驗：以安徽省內(nèi)由合肥市向各市配送疫苗作為小規(guī)模算例，其中包括1 個配送中心（合肥市）、15 個疫苗需求點；以廣東省內(nèi)由廣州市向各市配送疫苗作為大規(guī)模算例，其中包括1 個配送中心（廣州市）、20 個疫苗需求點?，F(xiàn)設(shè)置小規(guī)模算例中的配送中心（合肥市）擁有疫苗150 萬劑，大規(guī)模算例中的配送中心（廣州市）擁有疫苗200 萬劑，除此之外，2 種算例中參數(shù)的設(shè)置均保持一致，即疫苗冷藏運輸車行駛速度為60 km/h，啟動一輛疫苗冷藏運輸車所產(chǎn)生的固定成本為200 元，車輛行駛單位路程油耗費用為1.5元/km，單位時間的制冷成本為0.5元/h，柴油單價為8.18元/L，單位油耗產(chǎn)生的碳排放量為0.002 7 t/L，碳交易所實時碳交易價格為80 元/t，懲罰函數(shù)系數(shù)設(shè)置為150 元/h，本文用最多載重30 萬劑疫苗的疫苗冷藏運輸車?？紤]到篇幅限制，本文僅展示小規(guī)模算例的基本信息，如表1 所示。

表1 小規(guī)模算例的基本信息Table 1 Basic information of small-scale examples

3.1 各地疫苗實際配送量的獲取

在兩種算例中各疫苗需求點的需求總和均大于配送中心的儲量，此時按照公平分配原則確定的各疫苗需求點的配送量如表2 所示。由表2 可知，安徽省內(nèi)各地區(qū)最大資源滿意度和最小資源滿意度的差值為0.000 031 231，廣東省內(nèi)各地區(qū)最大資源滿意度和最小資源滿意度的差值為0.000 033 566，差值極小，已達到公平分配。

表2 各地區(qū)實際疫苗配送量Table 2 Actual vaccine distribution by region 單位：劑

3.2 消融實驗

在確定各個地區(qū)的實際疫苗配送量后，即可進行車輛路徑優(yōu)化實驗，在此之前，為了驗證本文所提的兩處算法改進點的有效性，使用上述兩種規(guī)模的算例分別進行20 次實驗，以配送成本的最優(yōu)值、均值和標準差，以及實驗運行的平均時間作為衡量標準，比較EO 算法、在EO 算法中融入SA 算法得到的改進平衡優(yōu)化算法和在改進平衡優(yōu)化算法中加入可變參數(shù)得到的混合平衡優(yōu)化算法的性能，最終的實驗結(jié)果如表3 和表4 所示。

表3 配送成本的對比結(jié)果Table 3 Comparative results on delivery costs 單位：元

表4 平均運行時間的對比結(jié)果Table 4 Comparison results on average running time 單位：s

由表3 可知，以小規(guī)模算例為例，改進平衡優(yōu)化算法相較于基本的EO 算法在配送成本的最優(yōu)值、平均值和標準差上分別降低了62.9%、56.0%和53.2%，同時，混合平衡優(yōu)化算法相較于改進平衡優(yōu)化算法在配送成本的最優(yōu)值、平均值和標準差上又分別降低了10.1%、29.2%和28.3%。由表4 可知，改進平衡優(yōu)化算法相較于基本的EO 算法并沒有因為加入了SA 算法使得算法的復(fù)雜度增加而造成實驗運行時間增加的情況，混合平衡優(yōu)化算法相較于改進平衡優(yōu)化算法也沒有出現(xiàn)實驗運行時間增加的情況，相反，實驗的運行時間還有所減少。由此可知，本文所提的兩處算法改進點均能在不延長實驗運行時間，甚至是在減少實驗運行時間的情況下有效提升算法的性能，提高算法的尋優(yōu)能力，使得算法能夠穩(wěn)定求出更高質(zhì)量的解。

EO 算法、改進平衡優(yōu)化算法和混合平衡優(yōu)化算法針對小規(guī)模和大規(guī)模算例計算出的最優(yōu)路徑對應(yīng)的迭代過程如圖2 和圖3 所示。

圖2 迭代過程（小規(guī)模算例）Fig.2 Iterative proces（ssmall-cale example）

圖3 迭代過程（大規(guī)模算例）Fig.3 Iterative proces（slarge-scale example）

由圖2 和圖3 可知，無論是針對何種規(guī)模的算例，在基礎(chǔ)的EO 算法中依次加入兩處改進點后，不僅算法的收斂速度在逐漸提高，算法跳出局部最優(yōu)的能力也在逐漸提高，這更加證明了本文所提兩處改進點的有效性，證明了混合平衡優(yōu)化算法的有效性。

綜上，采用本文所提的兩處改進點改進EO 算法后得到的混合平衡優(yōu)化算法具有較好的性能，并且能夠更快收斂到一個較優(yōu)值。

3.3 對比實驗及結(jié)果分析

3.3.1 混合平衡優(yōu)化算法與Cplex求解器的對比實驗

將混合平衡優(yōu)化算法與Cplex 求解器針對同一算例進行對比實驗，算例的基本信息如表5 所示，對比實驗的結(jié)果如表6 所示，表6 中使用混合平衡優(yōu)化算法求得的配送成本為算法運行20 次后得到的平均配送成本。

表5 需求點及各配送點的基本信息Table 5 Basic information of demand points and various delivery points

表6 針對同一算例的對比實驗結(jié)果Table 6 Results of comparative experiment for one example 單位：元

由表6 可知，混合平衡優(yōu)化算法所求得的配送成本相較于Cplex 求解器求得的配送成本減少了17.5%，證明了混合平衡優(yōu)化算法所求解的質(zhì)量高于Cplex 求解器求得的精確解的質(zhì)量。

3.3.2 混合平衡優(yōu)化算法與其他5種算法的對比實驗

針對上文所提的兩個規(guī)模的算例，將混合平衡優(yōu)化算法與并行平衡優(yōu)化算法［24］、知識型蟻群算法［14］、混合變鄰域搜索算法［25］、改進混合粒子群算法［26］和基本的平衡優(yōu)化器算法在每個算例上分別運行20 次進行對比實驗，實驗結(jié)果如表7 和表8 所示，表7 中數(shù)據(jù)表示最小配送成本。

表7 針對不同規(guī)模算例的對比實驗結(jié)果Table 7 Results of comparative experiment for different scale examples 單位：元

表8 不同算例規(guī)模下的平均運行時間Table 8 Average running time at different example scales 單位：s

由表7 可知，無論是針對小規(guī)模算例還是大規(guī)模算例，利用本文所提出的混合平衡優(yōu)化算法求得的最小配送成本都明顯小于利用其他5 種算法求得的最小配送成本。以小規(guī)模算例為例，混合平衡優(yōu)化算法求得的最小配送成本分別為其他5 種算法的73.5%、53.9%、69.1%、64.1%和33.4%，混合平衡優(yōu)化算法在20 次實驗中求得的配送成本的均值和標準差也是6 種算法中最小的。由此可知，混合平衡優(yōu)化算法不僅在不同規(guī)模的算例上具有有效性，其所求解的穩(wěn)定性和質(zhì)量也明顯優(yōu)于一些改進后的算法和基礎(chǔ)算法。

由表8 可知，無論針對何種規(guī)模的算例，混合平衡優(yōu)化算法的平均運行時間總是最小的，這表明混合平衡優(yōu)化算法的計算效率更高、計算速度更快。

綜上，混合平衡優(yōu)化器算法不僅所求解的質(zhì)量較高，其在求解時還具有較好的穩(wěn)定性和較高的計算效率，因此該算法可用于求解疫苗配送車輛路徑優(yōu)化問題并且具有一定優(yōu)勢。

在本文實驗中，以小規(guī)模算例和混合平衡優(yōu)化算法為例，其求得的最優(yōu)配送路徑如圖4 所示(彩色效果見《計算機工程》官網(wǎng)HTML 版)。

圖4 最優(yōu)配送路徑Fig.4 Optimal delivery route

4 結(jié)束語

針對當前冷鏈物流車輛路徑優(yōu)化問題的研究多以研究生鮮配送為主。本文提出了包含碳排放成本在內(nèi)的配送總成本最小化的疫苗配送路徑優(yōu)化模型。針對平衡優(yōu)化器算法容易陷入局部最優(yōu)的缺點，本文在平衡優(yōu)化器算法中融入模擬退火算法，并引入起平衡作用的可變參數(shù)求解模型，得到疫苗最優(yōu)配送路徑。最后通過對比實驗驗證了混合平衡優(yōu)化算法在求解本文所提模型上的優(yōu)勢，利用該算法求解可以較大程度地降低疫苗配送成本。下一步擬研究多配送中心和多車型情況下的疫苗配送路徑優(yōu)化問題，并將持續(xù)改進平衡優(yōu)化器算法，提高算法的求解性能和穩(wěn)定性。