基于貝葉斯濾波理論的目標(biāo)命中概率估計(jì)與判決方法研究

井沛良, 段 宇, 蔣雙雙, 高 宏

(1. 中國(guó)人民解放軍 32180部隊(duì)，北京 100072；2. 中國(guó)人民解放軍 第四軍醫(yī)大學(xué) 空軍特色醫(yī)學(xué)中心，北京 100037)

1 引 言

作為攻擊類武器打擊精度的重要評(píng)估指標(biāo)之一,目標(biāo)命中概率指標(biāo)[1～3]在武器裝備試驗(yàn)與評(píng)估活動(dòng)中被廣泛應(yīng)用。目前工程中大量采用假設(shè)檢驗(yàn)方法,比如序列概率比檢驗(yàn)方法[4～7],對(duì)目標(biāo)命中概率指標(biāo)進(jìn)行評(píng)估。這些方法存在一個(gè)顯著缺陷,即僅在目標(biāo)命中概率可能取值區(qū)間[0,1]上選取2個(gè)數(shù)值點(diǎn)構(gòu)建假設(shè)進(jìn)而依據(jù)觀測(cè)進(jìn)行判決。而僅選取2個(gè)數(shù)值點(diǎn)難以構(gòu)成完備假設(shè)空間[8～13](目標(biāo)命中概率在區(qū)間[0,1]上任一取值對(duì)應(yīng)一個(gè)假設(shè),其取滿區(qū)間[0,1]上所有點(diǎn)的假設(shè)集合,即為假設(shè)空間)?，F(xiàn)實(shí)中目標(biāo)命中概率恰好為所選的2個(gè)參數(shù)點(diǎn)之一的概率極低,這意味著假設(shè)檢驗(yàn)操作依據(jù)觀測(cè)事實(shí)僅對(duì)假設(shè)空間中無窮多個(gè)假設(shè)中的有限個(gè)假設(shè)進(jìn)行可能性計(jì)算和判決,其結(jié)果缺乏嚴(yán)密的理論支撐。因此,傳統(tǒng)假設(shè)檢驗(yàn)類方法在對(duì)目標(biāo)命中概率指標(biāo)進(jìn)行判決時(shí)其錯(cuò)誤率較高。

針對(duì)上述問題,首先對(duì)目標(biāo)命中概率問題進(jìn)行了分析,假設(shè)目標(biāo)命中概率為一先驗(yàn)分布未知的隨機(jī)變量,并給出了統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)建模;其次基于貝葉斯濾波理論[14～17],推導(dǎo)了目標(biāo)命中概率這一指標(biāo)參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式,并進(jìn)一步推導(dǎo)得到目標(biāo)命中概率的最小均方誤差估計(jì)量的解析表達(dá)式;最后提出了基于最小均方誤差估計(jì)量的目標(biāo)命中概率判決方法。與傳統(tǒng)假設(shè)檢驗(yàn)類判決方法相比,所提方法判決錯(cuò)誤率有明顯的降低。

2 實(shí)驗(yàn)原理及過程

2.1 目標(biāo)命中概率統(tǒng)計(jì)建模

影響目標(biāo)命中概率的因素除了特定裝備和目標(biāo)命中條件外,還包括氣候環(huán)境、裝備隨時(shí)間的磨損老化等,以上因素均可作為試驗(yàn)條件進(jìn)行明確。使用變量x∈[0,1]來表征目標(biāo)命中概率,x為一個(gè)可能取值遍布于區(qū)間[0,1]的隨機(jī)變量。

觀測(cè)結(jié)果僅依附于目標(biāo)命中這一事件的相關(guān)要求和條件。每一次射擊試驗(yàn)或目標(biāo)定位試驗(yàn)結(jié)束后,便依據(jù)目標(biāo)命中事件的要求和條件對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行判定,得出目標(biāo)命中與否的觀測(cè)結(jié)果。用z[n]表征第n次試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果,z[n]=1表示目標(biāo)命中,z[n]=0表示目標(biāo)未命中。

使用伯努利試驗(yàn)對(duì)目標(biāo)命中概率與觀測(cè)結(jié)果的邏輯關(guān)系進(jìn)行建模,具體關(guān)系如下:

(1)

假設(shè)不同次試驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,即當(dāng)m≠n時(shí),z[m]和z[n]之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。對(duì)于多次觀測(cè)(設(shè)觀測(cè)總次數(shù)為N),目標(biāo)命中概率x與觀測(cè)結(jié)果之間的邏輯關(guān)系可以使用二項(xiàng)分布進(jìn)行表達(dá),即:

p(z[1],z[2],…,z[N],N;x)

(2)

2.2 最小均方誤差估計(jì)量的求解

貝葉斯相關(guān)理論已經(jīng)證明待估計(jì)參數(shù)的最小均方誤差估計(jì)量就是后驗(yàn)均值估計(jì)量[10]。因此,為了求取最小均方誤差估計(jì)量,必須首先求解其后驗(yàn)概率密度函數(shù)。其先驗(yàn)概率密度函數(shù)可設(shè)置為:

f(x)=1,x∈[0,1]

(3)

式(3)為固定觀測(cè)結(jié)果時(shí),目標(biāo)命中概率的似然函數(shù),依據(jù)貝葉斯后驗(yàn)概率式可以求解目標(biāo)命中概率的后驗(yàn)概率密度函數(shù),具體過程如下:

f(x|z[1],z[2],…,z[N],N)

(4)

依據(jù)二項(xiàng)式定理,對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)m,有下列式子成立:

(5)

(6)

(7)

將式(6)和式(7)分別代入式(4),可得求解目標(biāo)命中概率的后驗(yàn)概率密度函數(shù)為:

f(x|z[1],z[2],…,z[N],N)

x∈[0,1]

(8)

目標(biāo)命中概率后驗(yàn)均值估計(jì)量為:

(9)

及估計(jì)量xEAP的均方誤差為:

eMS(xEAP)

(10)

圖1 不同觀測(cè)結(jié)果求取概率密度函數(shù)曲線Fig.1 The derived probability density function curves of different observation results

對(duì)應(yīng)的最小均方誤差估計(jì)量及其均方誤差分別如表1和表2所示。

表1 不同觀測(cè)結(jié)果下最小均方誤差估計(jì)量估計(jì)結(jié)果Tab.1 The minimum mean square error estimation results of different observation results

表2 不同觀測(cè)結(jié)果下最小均方誤差估計(jì)量的均方誤差Tab.2 The minimum mean square error of the estimation results of different observation results

2.3 基于后驗(yàn)均值估計(jì)的判決方法

相較于序列概率比檢驗(yàn)方法,基于目標(biāo)命中概率后驗(yàn)均值估計(jì)的判決操作較為簡(jiǎn)單。對(duì)于預(yù)先設(shè)置的目標(biāo)命中概率最低可接受門限值p,當(dāng)依據(jù)公式(9)求解xEAP大于等于p時(shí),即可判決目標(biāo)命中概率指標(biāo)合格;反之則判決不合格。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

為了評(píng)估所提方法的應(yīng)用性能,以文獻(xiàn)[7, 8]為參照進(jìn)行了對(duì)比實(shí)驗(yàn)。文獻(xiàn)[7, 8]中算法設(shè)置鑒別比為1.3,生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)為0.26,使用方風(fēng)險(xiǎn)為0.26。依據(jù)不同的真實(shí)目標(biāo)命中概率生成觀測(cè)數(shù)據(jù)(觀測(cè)總次數(shù)N=8),設(shè)置不同的最低可接受門限值p,得到傳統(tǒng)方法與所提方法的判決錯(cuò)誤率分別如圖2和圖3所示。判決錯(cuò)誤包含2種情況:1) 真實(shí)目標(biāo)命中概率大于等于p,但判決方法依據(jù)生成觀測(cè)數(shù)據(jù)判決目標(biāo)命中概率指標(biāo)不合格;2) 真實(shí)目標(biāo)命中概率小于p,但判決方法依據(jù)生成觀測(cè)數(shù)據(jù)判決目標(biāo)命中概率指標(biāo)合格。進(jìn)行多次判決試驗(yàn),并把判據(jù)錯(cuò)誤次數(shù)與判決試驗(yàn)總次數(shù)的比值即定義為判決錯(cuò)誤率。為了保證判決錯(cuò)誤率的統(tǒng)計(jì)精度,在每一真實(shí)目標(biāo)命中概率與最低可接受門限組合條件下,均對(duì)2種對(duì)比算法進(jìn)行了20 000次試驗(yàn)。同時(shí)為了保證對(duì)比的公平性,使用了完全相同的生成數(shù)據(jù)對(duì)2種算法進(jìn)行試驗(yàn)。在生成觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí),真實(shí)的目標(biāo)命中概率取值范圍為[0.1,0.9],步長(zhǎng)為0.005。最低可接受門限值p取值范圍為[0.7,0.9],步長(zhǎng)為0.005。

圖2 傳統(tǒng)方法與所提方法在不同命中概率與最低可接受門限組合條件下的錯(cuò)誤曲面圖Fig.2 The wrong judging rate surf of the proposed method and the traditional method under different target hit probability and the lowest acceptable threshold

對(duì)比圖2(a)和圖2(b)可發(fā)現(xiàn),圖2(a)中曲面高度整體要高于圖2(b)中曲面高度,這說明傳統(tǒng)算法的判決錯(cuò)誤率整體大于本文所提算法。對(duì)圖2(a)和圖2(b)中曲面分別進(jìn)行積分,并除以曲面在水平面上的投影面積,從而得曲面平均高度分別為0.542 4和0.154 3,即傳統(tǒng)算法和本文所提算法在平均意義上的判決錯(cuò)誤率分別是54.91%和15.43%,說明所提算法的平均判決錯(cuò)誤率約為傳統(tǒng)算法的1/3(0.5491/0.1543=3.5594),性能優(yōu)勢(shì)較為明顯。

4 結(jié) 論

通過分析傳統(tǒng)序列概率比檢驗(yàn)方法在目標(biāo)命中概率估計(jì)時(shí)所存在的理論缺陷,基于目標(biāo)命中概率為先驗(yàn)未知隨機(jī)變量的前提假設(shè)和貝葉斯濾波理論,推導(dǎo)了目標(biāo)命中概率后驗(yàn)概率密度函數(shù)和后驗(yàn)均值估計(jì)的解析表達(dá)式,提出了基于目標(biāo)命中概率后驗(yàn)均值估計(jì)的判決方法。與傳統(tǒng)序列概率比檢驗(yàn)方法相比,所提方法的判決錯(cuò)誤率明顯降低。