平行共軸圓線圈互感系數(shù)的測(cè)量與計(jì)算

張克生

（江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院，江蘇 徐州）

引言

互感系數(shù)簡(jiǎn)稱互感，其單位與自感相同，為亨利，簡(jiǎn)稱亨。它的大小取決于兩個(gè)線圈的幾何形狀、大小、相對(duì)位置、各自的匝數(shù)以及他們周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率?；ジ邢禂?shù)的計(jì)算一般都比較復(fù)雜，常通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定。目前已有不少學(xué)者對(duì)不同幾何形狀線圈的互感系數(shù)進(jìn)行理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量，其中吳德會(huì)等[1]給出了任意兩個(gè)平面多邊形螺線線圈間互感系數(shù)的解析模型，隗群梅[2]采用LCR 數(shù)字電橋測(cè)量出同軸等大圓線圈互感系數(shù)，鄺向軍等[3]根據(jù)諾依曼公式計(jì)算兩共軸矩形載流線圈間的互感系數(shù)，龔禔[4]給出兩共軸圓線圈間互感系數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算方法，岑敏銳[5]給出兩個(gè)同軸等大方形線圈的互感系數(shù)的近似解析式，張星輝等[6]給出了任意兩共軸圓線圈間的互感系數(shù)及磁感線的分布。本文在前期研究[7]的基礎(chǔ)上，通過(guò)理論模型與數(shù)值模擬，計(jì)算出兩平行共軸矩形截面圓線圈的互感系數(shù)。利用常見(jiàn)的普通物理實(shí)驗(yàn)器材，采用三種實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量互感系數(shù)，可加深對(duì)互感系數(shù)、感抗、阻抗等概念的理解，再將實(shí)驗(yàn)值與理論計(jì)算值進(jìn)行比較，并進(jìn)一步分析兩平行共軸圓線圈耦合系數(shù)隨距離的變化關(guān)系，對(duì)設(shè)計(jì)互感線圈能提供理論參考。

1 兩平行共軸圓線圈的互感系數(shù)

如圖1 所示，兩平行共軸圓線圈L1和L2的半徑為r1、r2，兩圓線圈之間的距離為d，根據(jù)諾依曼公式，兩平行同軸圓線圈的互感系數(shù)為

圖1 兩平行共軸圓線圈

式中:r12為圓線圈上兩微元 dl與 dl之間的距離，利用坐標(biāo)變換，式(1)可化簡(jiǎn)為[8]

2 線圈模型與數(shù)值計(jì)算

如圖2 所示的兩平行共軸矩形截面圓線圈，其實(shí)物原型為杭州精科Fb516 型磁場(chǎng)描繪儀中的亥姆霍茲線圈。根據(jù)實(shí)際線圈的幾何尺寸及繞制方式，將左右兩個(gè)圓線圈分別看成獨(dú)立的單匝線圈密繞而成。線圈平均半徑R 為10 cm，線圈導(dǎo)線的半徑a 為0.3 mm，每層10 匝，共10 層密繞，總匝數(shù)為100 匝。每個(gè)圓線圈可以看成是100 個(gè)獨(dú)立的單匝圓線圈平行共軸緊密排列，整個(gè)線圈繞組的截面為0.6 cm×0.6 cm的正方形。以兩圓線圈的中心軸線為坐標(biāo)軸，幾何中心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩組線圈之間的距離為d。利用諾依曼公式和數(shù)值積分軟件，由式(2)可以計(jì)算左右兩側(cè)任意兩個(gè)單匝線圈之間的互感系數(shù)，然后對(duì)所有的互感系數(shù)累加求和，即可得到兩平行共軸矩形截面圓線圈的互感系數(shù)M。

圖2 兩平行共軸矩形截面圓線圈及其截面示意

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

3.1 電感表測(cè)量互感系數(shù)

兩組線圈自身的電感分別為L(zhǎng)1和L2，互感為M12。如圖3 所示，當(dāng)兩組線圈順接時(shí)，總電感為L(zhǎng)順，兩組線圈逆接，總電感為L(zhǎng)逆。

圖3 兩線圈順接和逆接示意

其中：L順=L1+L2+ 2M，L=L1+L2-2M，可得

如圖4 所示，將兩組平行共軸圓線圈順接或逆接，利用電感表測(cè)量不同距離的總自感系數(shù)L，利用式(3)可計(jì)算出互感系數(shù)M。

圖4 電感表測(cè)量線圈電感系數(shù)實(shí)物

3.2 伏安法測(cè)量互感系數(shù)

由于實(shí)際線圈自身具有一定的直流電阻，同時(shí)在交流電路中具有感抗，在測(cè)量其電感系數(shù)前，需要精確測(cè)量?jī)蓤A線圈串聯(lián)時(shí)直流電阻R。對(duì)于實(shí)際使用的線圈，為了測(cè)量準(zhǔn)確起見(jiàn)，可以采用常用的電橋法進(jìn)行測(cè)量，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到串聯(lián)時(shí)兩線圈的總電阻R 為8.92 Ω。如圖5 所示，將兩線圈順接或逆接后兩端接入信號(hào)源，信號(hào)選擇正弦交流信號(hào)，頻率f 設(shè)置為400 Hz，利用數(shù)字萬(wàn)用表交流電壓檔測(cè)量電壓有效值U，交流電流檔測(cè)量回路中的電流有效值I，當(dāng)整個(gè)RL 電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，根據(jù)U、I 以及信號(hào)源的頻率f，可按式(4)計(jì)算兩線圈順接或逆接后電感系數(shù)L。

圖5 伏安法測(cè)互感系數(shù)電路

再根據(jù)式(3)計(jì)算出互感系數(shù)M。

3.3 電磁感應(yīng)法測(cè)量互感系數(shù)

如圖6 所示，將兩圓線圈平行共軸放置，距離為d，其中線圈1 接入信號(hào)源，輸出信號(hào)選擇正弦交流信號(hào)，頻率f 設(shè)置為400 Hz，串聯(lián)一臺(tái)數(shù)字萬(wàn)用表，用交流電流檔測(cè)電流有效值I，另一臺(tái)數(shù)字萬(wàn)用表交流電壓檔測(cè)量線圈2 兩端電壓有效值U。當(dāng)整個(gè)電路穩(wěn)定時(shí)，左側(cè)回路的正弦交流電流在右側(cè)線圈兩端感應(yīng)出正弦交流電壓，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，可得

圖6 感應(yīng)法測(cè)互感系數(shù)電路

將兩萬(wàn)用表測(cè)量出的U、I 以及信號(hào)源的頻率f 帶入式(5)，即可計(jì)算出兩平行共軸圓線圈在距離d 處的互感系數(shù)M。

4 結(jié)果分析與總結(jié)

將理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較，數(shù)據(jù)如表1 所示。實(shí)驗(yàn)的誤差主要來(lái)自于儀器儀表(數(shù)字萬(wàn)用表、電感表、信號(hào)源等)自身的誤差，連接導(dǎo)線的電阻以及接線柱的接觸電阻等。實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值之間的相對(duì)誤差均低于5%，兩者十分吻合，彼此相互驗(yàn)證。

表1 理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果對(duì)比

根據(jù)互感耦合系數(shù)K 的定義

利用電感表直接測(cè)得單個(gè)圓線圈的自感系數(shù)L1=L2=4.66 mH，根據(jù)(6)式即可得到兩平行共軸圓線圈的耦合系數(shù)M?；ジ邢禂?shù)M 與耦合系數(shù)K 隨兩線圈之間距離d 的變化曲線如圖7 所示，由圖可知實(shí)驗(yàn)曲線與理論計(jì)算曲線幾乎重合。當(dāng)d=R=10 cm，即兩線圈之間的距離剛好等于線圈時(shí)，兩線圈組成亥姆赫茲線圈，由計(jì)算數(shù)據(jù)可知此處兩線圈的互感耦合系數(shù)約為0.1。

圖7 互感系數(shù)與耦合系數(shù)隨兩線圈之間距離的變化曲線

本文利用大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)常用的實(shí)驗(yàn)器材，采用三種實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量了平行共軸圓線圈的互感系數(shù)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中可以加深相關(guān)物理概念的理解，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論計(jì)算值進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)與理論計(jì)算模型相互驗(yàn)證，并進(jìn)一步分析耦合系數(shù)隨距離的變化關(guān)系，對(duì)設(shè)計(jì)互感線圈能提供理論參考。