基于改進(jìn)灰狼算法的宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器磁滯模型的參數(shù)辨識(shí)*

喻曹豐 陶雪楓 魏益軍 楊 坤 王 寧

（①安徽理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，安徽 淮南 232001；②流體動(dòng)力基礎(chǔ)件與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027）

高新工業(yè)科技的不斷發(fā)展使得高精度定位跟蹤技術(shù)成為工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)，具備大行程、高定位精度的驅(qū)動(dòng)器及其建模控制越發(fā)成為精密定位領(lǐng)域的重心[1]。傳統(tǒng)單級(jí)驅(qū)動(dòng)裝置因其結(jié)構(gòu)限制，較難同時(shí)實(shí)現(xiàn)高精度和大行程特性，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文提出宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)裝置的思路，即宏動(dòng)部分滿足大行程位移功能，微動(dòng)部分負(fù)責(zé)實(shí)現(xiàn)高精度跟蹤定位要求[2-3]。宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)方式主要有兩種，即堆棧疊加式（微動(dòng)臺(tái)堆疊于宏動(dòng)臺(tái)之上）和同軸對(duì)中式（微動(dòng)臺(tái)與宏動(dòng)臺(tái)在同一軸線上）。堆棧疊加式對(duì)位移的測(cè)定存在偏差，嚴(yán)重影響定位精度；而同軸對(duì)中式結(jié)構(gòu)保證了宏動(dòng)與微動(dòng)之間的軸線對(duì)齊[4]，有效避免了這種問(wèn)題。根據(jù)上述情況，本課題組將超磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器和音圈電機(jī)緊密結(jié)合，提出了集高速度、大行程和精密特性于一身的同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器，并搭建了試驗(yàn)平臺(tái)。該方案將宏動(dòng)部分與微動(dòng)部分集成在同一體中，避免了安裝時(shí)不能保證軸線對(duì)齊的問(wèn)題，同時(shí)也降低了堆棧疊加式中的阿貝誤差，提高了定位精度[5]。

作為微動(dòng)臺(tái)負(fù)責(zé)實(shí)現(xiàn)短行程精密定位的超磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器，超磁致伸縮材料（GMM）為核心部件，具有小體積、高能量轉(zhuǎn)換率和快速響應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)。但由于GMM 存在磁滯非線性現(xiàn)象，嚴(yán)重影響了GMA 的實(shí)際應(yīng)用。因此要想提升超磁致伸縮驅(qū)動(dòng)器的定位精度與控制效率，關(guān)鍵在于精確地構(gòu)建其位移輸出模型。1935 年，經(jīng)典Preisach 模型被提出，但模型會(huì)產(chǎn)生大量非物理參數(shù)，使得建模和控制過(guò)程較為復(fù)雜[6]。PI 模型主要通過(guò)加權(quán)疊加磁滯算子來(lái)描述鐵磁材料的磁滯非線性，但該模型對(duì)鐵磁材料的特性要求較高，因此很難滿足建模條件[7]?；阼F磁疇壁理論構(gòu)建的Jiles-Atherton（J-A）模型，是一種具備物理磁滯特性的模型，探討了鐵磁材料磁化強(qiáng)度與磁致伸縮的耦合作用，揭示了磁化過(guò)程機(jī)理[8-9]。但J-A 模型中參數(shù)互相耦合，在實(shí)際應(yīng)用中辨識(shí)較為困難。王珊珊運(yùn)用粒子群算法對(duì)J-A 模型進(jìn)行了分段的參數(shù)辨識(shí)與尋優(yōu)，得到最優(yōu)參數(shù)組合[10]。另外，劉慧芳將遺傳算法與模擬退火算法融合，進(jìn)行GMA 磁滯非線性模型的參數(shù)辨識(shí)[11]。

針對(duì)GMA 磁滯非線性模型中的J-A 模型參數(shù)辨識(shí)，一直缺乏能高效逼近參數(shù)真實(shí)值的算法。本文提出基于3 種改進(jìn)策略的灰狼優(yōu)化算法，采用Singer 混沌映射更新灰狼個(gè)體的初始位置，同時(shí)引入非線性控制因子策略、自適應(yīng)位置更新和動(dòng)態(tài)權(quán)重更新策略，可有效改善傳統(tǒng)灰狼算法尋優(yōu)后期易陷入局部最優(yōu)及求解精度不高的缺陷。仿真實(shí)驗(yàn)表明，提出的TGWO 算法具有更強(qiáng)的尋優(yōu)求解能力，辨識(shí)結(jié)果逼近非線性磁滯模型參數(shù)真實(shí)值。

1 同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)模型

1.1 同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)

同軸集成式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器宏動(dòng)部分主要由磁軛、永磁體、結(jié)合架等組成。6 個(gè)永磁體產(chǎn)生宏動(dòng)磁場(chǎng)，宏動(dòng)線圈通電后在磁場(chǎng)作用下帶動(dòng)驅(qū)動(dòng)器整體進(jìn)行位移，實(shí)現(xiàn)大行程功能。微動(dòng)部分由超磁致伸縮材料（GMM）棒、微動(dòng)線圈、隔磁筒等組成。宏動(dòng)部分定位完成后，微動(dòng)線圈通電產(chǎn)生微動(dòng)磁場(chǎng)，GMM 棒在磁場(chǎng)作用下伸長(zhǎng)產(chǎn)生位移，補(bǔ)償宏動(dòng)部分位移跟蹤誤差。

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖1 所示。

圖1 同軸式宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖

1.2 宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器微動(dòng)部分的位移磁滯非線性模型

鐵磁材料J-A 磁化理論模型中，磁化強(qiáng)度M與外加磁場(chǎng)H之間的關(guān)系如下：

式中：He為磁性材料的有效磁場(chǎng)；H=nI為外加磁場(chǎng)；α為鐵磁材料疇壁相互作用系數(shù)；a為鐵磁材料的形狀系數(shù)；Man為鐵磁材料的無(wú)磁滯磁化強(qiáng)度；Ms為飽和磁化強(qiáng)度；Mrev為可逆磁化強(qiáng)度；Mirr為不可逆磁化強(qiáng)度；δ為符號(hào)常數(shù)，當(dāng)dH/dt<0 時(shí)，δ=-1；dH/dt>0 時(shí)，δ=1；k為不可逆損耗系數(shù)；c為可逆分量系數(shù)。δM為去除負(fù)磁化系數(shù)的參數(shù)，表示為

磁場(chǎng)作用下超磁致伸縮棒的磁致伸縮系數(shù)λ及伸長(zhǎng)量ΔL為

式中：λ為鐵磁材料的磁致伸縮系數(shù)；λs為飽和磁致伸縮系數(shù)；ΔL為超磁滯伸縮棒的伸長(zhǎng)量；L為GMM 棒原長(zhǎng)。式（1）和式（3）構(gòu)成了宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器微動(dòng)部分的位移磁滯非線性模型，由輸入電流I可得到微動(dòng)部分的輸出位移。在非線性磁滯模型中辨識(shí)5 個(gè)參數(shù)，為θ=(Ms α a k c)。

2 TGWO 算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)灰狼算法

灰狼優(yōu)化（grey wolf optimization，GWO）算法主要通過(guò)模擬野外狼群社會(huì)的等級(jí)制度和捕獵形式實(shí)現(xiàn)優(yōu)化搜索的目標(biāo)[12]。GWO 算法將最優(yōu)目標(biāo)解設(shè)為α狼，次優(yōu)解設(shè)為β狼，第三優(yōu)解設(shè)為δ狼，由它們來(lái)領(lǐng)導(dǎo)狼群追捕獵物；所有其他解定義為γ狼。算法中灰狼追捕獵物行為分為四散包圍、展開(kāi)追捕與進(jìn)行攻擊。狼群四散包圍獵物如下：

式中：D為灰狼與目標(biāo)之間的距離；Xk(t)和Xp(t)為優(yōu)化算法迭代t次后第k只灰狼和目標(biāo)獵物的位置；A和C為干擾因子。當(dāng)|A|≤1 時(shí)，狼群展開(kāi)追捕，強(qiáng)調(diào)局部開(kāi)發(fā)；|A|>1 時(shí)，狼群放棄追捕并繼續(xù)向外散開(kāi)，突出全局尋優(yōu)。A和C的計(jì)算公式如下：

式中：r1、r2為[0,1]間隨機(jī)產(chǎn)生的向量；a為收斂因子，由式（6）可知其值隨灰狼算法迭代次數(shù)的增加而遞減。

式中：T為最大迭代次數(shù)。

灰狼個(gè)體追捕獵物位置的公式表達(dá)如下：

式中：Dα、Dβ、Dδ為α狼、β狼和δ狼與種群其他灰狼之間的距離；Xα(t)、Xβ(t)、Xδ(t) 為α狼、β狼和δ狼的所在位置。

在追獵階段，其余的γ狼向著α狼、β狼和δ狼的跟隨前進(jìn)：

其中灰狼個(gè)體位置的迭代更新公式如下：

2.2 Singer 混沌映射

標(biāo)準(zhǔn) GWO 算法產(chǎn)生的初始種群具有隨機(jī)性，可能分布不均使得種群多樣性差。文本采用的Singer 映射作為經(jīng)典混沌映射，具有長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)、整體穩(wěn)定等特性，生成的混沌序列具有普適性和分?jǐn)?shù)維持性等特征[13]，其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為

其中：λ∈[0.9,1.08]。

生成的序列sk∈[0,1]，用來(lái)更新GWO 種群的初始位置Xk，如下式所示：

其中：ub與lb為種群空間的上邊界與下邊界。

2.3 非線性收斂因子

標(biāo)準(zhǔn)GWO 算法通過(guò)添加收斂因子a更新位置公式里的參數(shù)A，從而平衡算法的全局搜索與局部開(kāi)發(fā)能力。傳統(tǒng)灰狼算法中收斂因子a線性遞減的更新策略使其跳出局部最優(yōu)值的能力較差，嚴(yán)重削弱了算法全局求解能力。因此本文采用基于Sigmoid函數(shù)結(jié)構(gòu)[14]的非線性收斂因子更新公式：

式中：abegin和afinal為收斂因子的起始值2 和終值0；t為迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。

相較于傳統(tǒng)GWO 算法的線性遞減策略，本文采用的非線性收斂因子使得算法前期保持大步長(zhǎng)全局尋優(yōu)，且速度相對(duì)較慢，保證種群多樣性的同時(shí)增強(qiáng)了全局尋優(yōu)能力；中期提升尋優(yōu)速率；后期小步長(zhǎng)搜索，速度相對(duì)變緩，提升算法的局部開(kāi)發(fā)能力和求解能力。

2.4 引入動(dòng)態(tài)權(quán)重與自適應(yīng)更新策略

傳統(tǒng)GWO 算法通過(guò)求X1、X2、X3平均值的方式更新種群位置，無(wú)法凸顯α、β、δ三者之間的重要性，因此本文引入了基于修訂動(dòng)態(tài)權(quán)重的位置更新策略[15]。

當(dāng)前灰狼個(gè)體到α、β、δ之間的距離權(quán)重：

同時(shí)，為了增強(qiáng)算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力，本文提出了一種效果更好的自適應(yīng)位置更新方法。最終的灰狼位置更新方程為

3 基于TGWO 算法的磁滯模型參數(shù)辨識(shí)

3.1 辨識(shí)算法流程圖

綜合以上算法優(yōu)化策略，設(shè)定改進(jìn)灰狼算法的步驟。

步驟1：設(shè)定種群規(guī)模大小N、目標(biāo)空間維度D、總迭代次數(shù)T、常數(shù)ε；初始化a、A、C。

步驟2：采用Singer 映射更新種群初始化位置。

步驟3：計(jì)算種群灰狼個(gè)體的適應(yīng)度值，挑選出前三優(yōu)解設(shè)為Xα、Xβ和Xδ。

步驟4：更新種群中其他灰狼的位置。

步驟5：更新非線性收斂因子a，確定a之后更新干擾因子A和C。

步驟6：判斷算法是否滿足結(jié)束條件，若滿足，輸出最優(yōu)解并結(jié)束算法；否則，重復(fù)執(zhí)行步驟3 至步驟5。

3.2 參數(shù)辨識(shí)原理

宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器微動(dòng)部分磁滯非線性模型參數(shù)辨識(shí)原理如圖2 所示?；谧钚《朔ㄔ斫?shù)辨識(shí)的目標(biāo)函數(shù)并求解極小值：

圖2 參數(shù)辨識(shí)原理圖

式中：R為采樣次數(shù)；k為第k個(gè)采樣時(shí)刻；y(k)為位移測(cè)量值；為模型位移計(jì)算值；θi為θ的第i個(gè)參數(shù)；ai、bi分別為 θi的下限與上限。

4 辨識(shí)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量

宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖3 所示，主要包括精密程控電源、高精度位移傳感器、功率放大器和宏微復(fù)合驅(qū)動(dòng)器。驅(qū)動(dòng)器關(guān)鍵部件GMM 棒尺寸為?8×80 mm。以5 A 為最大工作電流Imax，步長(zhǎng)為0.2 A，測(cè)量電流由0 增加到Imax再減小到0 的GMM棒伸長(zhǎng)量。

圖3 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)物圖

4.2 數(shù)值仿真

設(shè)定種群規(guī)模p=100，最大迭代次數(shù)T=150。采用傳統(tǒng)灰狼算法和TGWO 算法分別進(jìn)行3 次參數(shù)辨識(shí)，如圖4 和圖5 所示，參數(shù)辨識(shí)結(jié)果見(jiàn)表1。結(jié)果表明傳統(tǒng)灰狼算法在求解目標(biāo)函數(shù)值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)早熟和停止現(xiàn)象，易陷入局部最優(yōu)解；同時(shí)辨識(shí)結(jié)果中個(gè)別參數(shù)出現(xiàn)撞擊邊界的情況。而TGWO算法擁有更高的穩(wěn)定性和全局收斂能力，能更好地脫離局部最優(yōu)，使辨識(shí)目標(biāo)快速地向全局最小值收斂。經(jīng)過(guò)150 代運(yùn)算目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到0.462，相比于傳統(tǒng)灰狼算法只收斂到2.146 有了較大提升。

表1 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖4 傳統(tǒng)灰狼算法

圖5 TGWO 算法

分別利用傳統(tǒng)灰狼算法和TGWO 算法辨識(shí)出的結(jié)果計(jì)算復(fù)合驅(qū)動(dòng)器GMM 棒的伸長(zhǎng)量，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較，結(jié)果如圖6 所示，平均相對(duì)誤差分別為9.8%和4.6%。因此，TGWO 算法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合程度更高，辨識(shí)出的參數(shù)更逼近真實(shí)值。

圖6 仿真結(jié)果與測(cè)量結(jié)果比較

為了檢驗(yàn)任意變化趨勢(shì)的輸入電流控制下，利用優(yōu)化算法辨識(shí)結(jié)果計(jì)算GMA 位移的準(zhǔn)確性，本文改變輸入電流的幅值進(jìn)行仿真，電流最大值取4 A 和2.4 A，并與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)做對(duì)比，結(jié)果如圖7和圖8 所示。電流幅值為4 A 時(shí)，傳統(tǒng)灰狼算法與TGWO 算法計(jì)算結(jié)果平均誤差分別為7.9%和4.5%。電流幅值為2.4 A 時(shí)，傳統(tǒng)灰狼算法與TGWO 算法計(jì)算結(jié)果平均誤差分別為7.3%和4.2%。由此可見(jiàn)，TGWO 算法的辨識(shí)結(jié)果能更好地反映參數(shù)真實(shí)值，位移計(jì)算值與實(shí)際測(cè)量值吻合程度更高，可以用作位移模型的計(jì)算。

圖7 電流幅值為4 A 時(shí)仿真結(jié)果與測(cè)量結(jié)果比較

圖8 電流幅值為2.4 A 時(shí)仿真結(jié)果與測(cè)量結(jié)果比較

5 結(jié)語(yǔ)

（1）本文所提出的TGWO 算法在傳統(tǒng)灰狼算法的基礎(chǔ)上，引入混沌映射、非線性收斂因子、修訂動(dòng)態(tài)權(quán)重和自適應(yīng)更新位置策略；有效抑制了GWO 算法全局收斂難、易陷入局部最優(yōu)及參數(shù)易撞擊設(shè)定邊界的缺點(diǎn)，提高了辨識(shí)精度和最優(yōu)解質(zhì)量。

（2）經(jīng)過(guò)多次辨識(shí)計(jì)算證明，改進(jìn)后的算法求解效果較好。電流幅值為5 A 時(shí)，三次仿真GMA 模型位移計(jì)算值與測(cè)量值平均誤差分別為4.68%、4.62%、4.65%；電流幅值為4 A 時(shí)，平均誤差為4.52%、4.46%、4.48%；電流幅值為2.4 A時(shí)，平均誤差為4.11%、4.25%、4.16%。因此，算法辨識(shí)參數(shù)可以應(yīng)用于后續(xù)驅(qū)動(dòng)器的建?？刂?。