基于MATLAB的六極并聯(lián)齒輪泵優(yōu)化設(shè)計(jì)及分析

胡延平，陳志鵬，尹浩然，李旭辰

(合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽合肥 230009)

0 前言

齒輪泵結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可靠性高，操作維護(hù)方便，被廣泛用來(lái)作為液壓系統(tǒng)的液壓源。自工業(yè)2.0～4.0以來(lái)，齒輪泵是眾多學(xué)者研究的對(duì)象，但由于泵內(nèi)部嚙合齒輪本身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的限制，在其基本結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面的研究并沒(méi)有取得較大的進(jìn)展與成果[1-2]。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外針對(duì)齒輪泵的相關(guān)研究主要集中在以下兩方面：(1)齒輪泵結(jié)構(gòu)的參數(shù)化研究；(2)多齒輪泵結(jié)構(gòu)原理研究[3-8]。

目前學(xué)者對(duì)三極、四極并聯(lián)齒輪泵的研究已經(jīng)比較深入，而對(duì)更多極的并聯(lián)齒輪泵研究較少。為此，本文作者設(shè)計(jì)一六極并聯(lián)齒輪泵并進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。首先，分析其結(jié)構(gòu)及工作原理；之后，分析瞬態(tài)流量特性曲線；再后，借助MATLAB對(duì)目標(biāo)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化；最后，對(duì)相同理論流量和額定進(jìn)出口壓差下的六極并聯(lián)齒輪泵及普通外嚙合齒輪泵進(jìn)行瞬態(tài)流量仿真和齒輪泵特性計(jì)算，并將結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，以證明該類型的六極并聯(lián)齒輪泵可滿足對(duì)齒輪泵高壓力、低脈動(dòng)、低噪聲的要求，并為多齒輪泵的設(shè)計(jì)及原理研究提供參考。

1 結(jié)構(gòu)與工作原理

六極并聯(lián)齒輪泵的齒輪嚙合分布情況如圖1所示：在齒輪泵的殼體中心安裝1個(gè)主動(dòng)輪，在主動(dòng)輪的周圍均布6個(gè)尺寸參數(shù)相同的從動(dòng)輪。當(dāng)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)齒輪泵旋轉(zhuǎn)，假設(shè)主動(dòng)輪繞轉(zhuǎn)軸中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則與其相嚙合的6個(gè)從動(dòng)輪在主動(dòng)輪的驅(qū)動(dòng)下分別繞自身的軸心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

圖1 六極并聯(lián)齒輪泵原理

每對(duì)嚙合齒輪副的兩側(cè)分別在泵的殼體上開(kāi)有吸油腔和排油腔，當(dāng)主動(dòng)輪和每個(gè)從動(dòng)輪嚙合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，殼體空腔內(nèi)便會(huì)形成密閉空間，借助于嚙合齒輪相互轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)齒間容積的變化來(lái)實(shí)現(xiàn)吸油和排油動(dòng)作。因此，從理論上看，該六極并聯(lián)齒輪泵相當(dāng)于6個(gè)普通齒輪泵的并聯(lián)。

2 瞬態(tài)流量建模

文獻(xiàn)[9]中具有一對(duì)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪的普通外嚙合齒輪泵的瞬態(tài)流量公式推導(dǎo)如下：

(1)

將變量代入式(1)并化簡(jiǎn)，得：

(2)

為方便以下步驟的計(jì)算，取：

(3)

若6個(gè)從動(dòng)輪如圖1所示分布，當(dāng)主動(dòng)輪齒數(shù)為6k±1(k為自然數(shù))，從動(dòng)輪齒數(shù)為2k時(shí)，重疊系數(shù)取εα=1，并對(duì)該齒輪泵開(kāi)雙對(duì)稱型卸荷槽，則6個(gè)從動(dòng)輪的瞬態(tài)流量之間便會(huì)產(chǎn)生一定的相位差[10]，相位差大小為π/(3z2)，各從動(dòng)輪瞬態(tài)流量關(guān)系圖如圖2所示。

圖2 6對(duì)嚙合齒輪的瞬態(tài)流量曲線

如圖2中所示，曲線1—6分別為每對(duì)嚙合齒輪的瞬態(tài)流量曲線，則該六極并聯(lián)齒輪泵流量公式推導(dǎo)如下：

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第1段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(4)

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線2：q2(t)=a1-b1[φ-π/(3z2)]2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

曲線6：q6(t)=a1-b1[φ+π/(3z2)]2

第2段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(5)

曲線1：q1(t)=a1-b1φ2

曲線2：q2(t)=a1-b1[φ-π/(3z2)]2

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第3段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(6)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第4段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(7)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第5段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(8)

曲線4：q4(t)=a1-b1(φ-π/z2)2

第6段區(qū)間內(nèi)泵的總流量為

(9)

結(jié)合式(4)—(9)可知該泵在一個(gè)周期內(nèi)的瞬態(tài)流量為

(10)

由式(10)可知該齒輪泵的瞬態(tài)流量曲線是以T=π/(3z2)為周期的周期函數(shù)，且瞬態(tài)流量的極大值、極小值及瞬態(tài)流量均值分別為

(11)

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

本文作者以公稱排量q=360 mL/r，進(jìn)出口壓差Δp=25 MPa；額定轉(zhuǎn)速n1=2 000 r/min；容積效率ηVB=95%的齒輪泵參數(shù)設(shè)計(jì)該六極并聯(lián)齒輪泵。

3.1 建立多目標(biāo)函數(shù)

3.1.1 流量脈動(dòng)系數(shù)δ

流量脈動(dòng)系數(shù)是描述齒輪泵流量脈動(dòng)大小的參數(shù)，流量脈動(dòng)系數(shù)過(guò)大，將導(dǎo)致整體液壓系統(tǒng)壓力和速度的不穩(wěn)定，引發(fā)噪聲。結(jié)合式(11)可得出流量脈動(dòng)系數(shù)的表達(dá)式如下：

(12)

3.1.2 流量脈動(dòng)頻率fQ

齒輪泵的流量脈動(dòng)頻率是指齒輪泵在單位時(shí)間內(nèi)的流量脈動(dòng)次數(shù)。齒輪泵每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)齒時(shí)產(chǎn)生一次流量脈動(dòng)[11]，即：

(13)

3.1.3 泵體體積V

為了降低生產(chǎn)成本及泵體質(zhì)量，還應(yīng)以齒輪泵的體積最小為設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)。對(duì)于該齒輪泵，泵體體積主要由齒輪泵殼體上7個(gè)齒輪齒頂圓裝配孔決定，因此在實(shí)際運(yùn)算中，可將泵殼體上7個(gè)齒輪齒頂圓裝配孔的體積V作為目標(biāo)函數(shù)之一[12]。

該六極并聯(lián)齒輪泵的齒頂圓裝配油孔示意如圖3所示。在齒輪泵的殼體中，齒頂圓裝配孔的體積V就是圖示中7個(gè)齒輪安裝孔相交后的面積St和齒寬B的乘積，即：

圖3 裝配孔面積示意

V=St·B

(14)

圖3中：ra1為主動(dòng)輪齒頂圓半徑，ra1=m(z1+2)/2；ra2為從動(dòng)輪齒頂圓半徑，ra2=m(z2+2)/2。

如圖3所示的7個(gè)齒輪齒頂圓裝配孔相交后的面積St可分為S、Si(i=1，2，…，6)7部分，由于Si各部分的尺寸和形狀完全相同，則有：

根據(jù)圖3中所示的裝配位置關(guān)系，將未知變量代入式(14)并化簡(jiǎn)，得：

(15)

每個(gè)目標(biāo)函數(shù)對(duì)齒輪泵的性能影響程度不同，影響程度從大到小依次為：流量脈動(dòng)系數(shù)、齒輪泵體積、流量脈動(dòng)頻率[13]，故分別取流量脈動(dòng)系數(shù)、流量脈動(dòng)頻率、齒輪泵體積的影響因子pj(j=1，2，3)分別為0.6、0.1、0.3，即：

f(X)=0.6δ+0.1fQ+0.3V

(16)

3.2 選取設(shè)計(jì)變量

齒輪是齒輪泵的核心零部件，而決定齒輪零件參數(shù)的主要是其齒數(shù)、模數(shù)和齒寬。在工程設(shè)計(jì)中，因齒輪材料、精度等級(jí)、載荷條件對(duì)目標(biāo)函數(shù)無(wú)明顯影響，所以常取其為定量，由此來(lái)限制設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)[14]。故對(duì)于該齒輪泵問(wèn)題，綜合考慮其整體性能和齒輪加工工藝等因素，并結(jié)合式(12)(13)(15)選取z1、z2、m、B為設(shè)計(jì)變量，即：

X=[x1x2x3x4]T=[z1z2mB]T

(17)

3.3 確定約束條件

3.3.1 齒數(shù)約束

主動(dòng)輪上有6個(gè)嚙合區(qū)和6個(gè)壓力過(guò)渡區(qū)，每個(gè)嚙合區(qū)至少應(yīng)有2個(gè)齒參與嚙合過(guò)程，每個(gè)壓力過(guò)渡區(qū)至少應(yīng)有3個(gè)齒。按上述要求，則有z1min=6×3+6×2=30，又由文獻(xiàn)[10]可知，當(dāng)z1=6N±1時(shí)，齒輪泵的流量特性最好，因而主動(dòng)輪的最小可能齒數(shù)z1min=31。

從動(dòng)輪上有1個(gè)嚙合區(qū)和1個(gè)壓力過(guò)渡區(qū)，因此從動(dòng)齒輪最少齒數(shù)z2min=5。對(duì)于傳動(dòng)齒輪，當(dāng)其齒數(shù)小于17時(shí)，利用范成法加工標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪會(huì)產(chǎn)生根切現(xiàn)象，而適當(dāng)?shù)母杏欣诰徑獗皿w困油現(xiàn)象，所以在齒輪參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)允許有少量根切的存在，可按齒數(shù)必須大于等于14進(jìn)行約束。即：

(18)

3.3.2 模數(shù)約束

幾何排量一定的條件下，減小齒數(shù)z和增大模數(shù)m都是減小齒輪泵幾何尺寸的有效實(shí)施辦法。該六級(jí)并聯(lián)齒輪泵相較于傳統(tǒng)齒輪泵，其模數(shù)取值范圍可以適量放寬，但同時(shí)對(duì)于做動(dòng)力傳輸?shù)凝X輪，應(yīng)避免其模數(shù)太小，所以取模數(shù)大于等于2 mm，即：

g2(X)=2-x3≤0

(19)

3.3.3 幾何結(jié)構(gòu)約束

在輪系設(shè)計(jì)中，為了保證齒輪傳動(dòng)過(guò)程中從動(dòng)齒輪輪齒不發(fā)生碰撞和干涉，根據(jù)圖1中所示的齒輪嚙合幾何結(jié)構(gòu)，要求主、從動(dòng)齒輪嚙合中心距大于等于2個(gè)從動(dòng)輪齒頂圓半徑之和，即a≥2ra2，化簡(jiǎn)得：

g3(X)=2-x1/2+x2/2≤0

(20)

3.3.4 流量誤差約束

(21)

3.3.5 速度約束

為了防止氣蝕，保證泵的吸入能力，減小振動(dòng)和噪聲，齒輪的節(jié)圓圓周線速度應(yīng)不大于最大允許節(jié)圓線速度，即

(22)

其中：[vmax]為齒輪最大允許的節(jié)圓線速度，對(duì)于7級(jí)精度的直齒圓柱齒輪，一般工程實(shí)際要求[vmax]=10 m/s。

3.3.6 齒面接觸疲勞強(qiáng)度

對(duì)于外嚙合直齒圓柱齒輪泵，傳動(dòng)齒輪的齒面接觸疲勞強(qiáng)度應(yīng)滿足

(23)

其中：σH1為主動(dòng)輪齒面接觸疲勞強(qiáng)度；σH2為從動(dòng)輪齒面接觸疲勞強(qiáng)度；[σH]為齒輪的許用齒面接觸疲勞強(qiáng)度，[σH]=660 MPa。

3.3.7 齒根彎曲疲勞強(qiáng)度

傳動(dòng)齒輪的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度應(yīng)滿足：

(24)

其中：σF1為主動(dòng)輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度；σF2為從動(dòng)輪齒根彎曲疲勞強(qiáng)度；[σF]為齒輪的許用齒根彎曲疲勞強(qiáng)度，[σF]=398 MPa。

3.3.8 齒寬約束

由齒輪泵幾何排量qBv=2kπm2zB可知：增大齒寬B有利于增大幾何排量qBv和提高容積效率ηVB，但齒寬過(guò)大會(huì)使齒輪所受徑向力和軸承負(fù)荷過(guò)大。齒寬的取值一般根據(jù)模數(shù)大小確定，工程實(shí)際中要求6m≤B≤8m，對(duì)于該多極并聯(lián)齒輪泵，其齒輪齒寬比可適量放寬，取10m≤B≤15m即：

(25)

3.4 優(yōu)化實(shí)例與分析

3.4.1 優(yōu)化實(shí)例

根據(jù)該六極并聯(lián)齒輪泵結(jié)構(gòu)，取相應(yīng)設(shè)計(jì)變量初始化值X0，并利用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)對(duì)上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化迭代求解。變量初值X0及優(yōu)化結(jié)果X見(jiàn)表1。

表1 設(shè)計(jì)變量初始值及優(yōu)化結(jié)果

對(duì)表1中的優(yōu)化結(jié)果X的值進(jìn)行校正：由于主動(dòng)輪和從動(dòng)輪齒數(shù)應(yīng)滿足相應(yīng)齒數(shù)約束要求，所以取主動(dòng)輪齒數(shù)z1=36，從動(dòng)輪齒數(shù)z2=14；其次，齒輪模型要符合國(guó)標(biāo)值，取模數(shù)m=2.75 mm；前3個(gè)變量已經(jīng)確定，根據(jù)流量要求計(jì)算齒寬并圓整為：B=35 mm。

3.4.2 優(yōu)化分析

利用MATLAB軟件分別對(duì)相同理論流量下的普通外嚙合齒輪泵(當(dāng)齒輪參數(shù)取z1=z2=22、m=8 mm、B=27 mm時(shí)，齒輪泵流量特性最好)及優(yōu)化前、后的六極并聯(lián)齒輪泵進(jìn)行瞬態(tài)流量仿真。仿真結(jié)果如圖4所示，優(yōu)化后六極并聯(lián)齒輪泵瞬態(tài)流量局部放大圖如圖5所示，齒輪泵性能參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 齒輪泵性能參數(shù)

圖4 齒輪泵瞬態(tài)流量曲線

圖5 優(yōu)化后六極并聯(lián)齒輪泵瞬態(tài)流量局部放大圖

由圖4、圖5可知：與普通外嚙合齒輪泵相比較，該六極并聯(lián)齒輪泵的瞬態(tài)流量周期更短，流量脈動(dòng)更穩(wěn)定，瞬態(tài)流量的最大、最小值之差更小。優(yōu)化后的六極并聯(lián)齒輪泵流量最大值為7.289×108mm3/min，流量最小值為7.268×108mm3/min，瞬態(tài)流量均值為7.278 5×108mm3/min，流量誤差為1.09%。

由表2可知：優(yōu)化后該六級(jí)并聯(lián)齒輪泵的流量脈動(dòng)系數(shù)為0.094 33%，是普通外嚙合齒輪泵流量脈動(dòng)系數(shù)的0.95%；齒輪泵體積是普通外嚙合齒輪泵體積的40.42%；從動(dòng)輪側(cè)面積是普通外嚙合齒輪泵從動(dòng)輪側(cè)面積的26.52%。流量脈動(dòng)系數(shù)的減小，有利于維持齒輪泵壓力和速度的穩(wěn)定，降低齒輪泵噪聲、振動(dòng)等問(wèn)題；齒輪泵體積的減小，有利于節(jié)約生產(chǎn)制造成本以及降低普通泵的質(zhì)量。

從動(dòng)輪側(cè)面積S=πz2mB的大小與泵所受的徑向力大小成正比關(guān)系。由表2可知六極并聯(lián)齒輪泵的從動(dòng)輪側(cè)面積比普通外嚙合齒輪泵的從動(dòng)輪側(cè)面積小，因此該六極并聯(lián)齒輪泵相應(yīng)的徑向力就小，并且由于結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，所以該齒輪泵主動(dòng)輪所受的齒輪嚙合力及徑向液壓力是平衡的?？梢?jiàn)六極并聯(lián)齒輪泵對(duì)減小齒輪泵流量脈動(dòng)、減小泵的制造成本和質(zhì)量、減小泵體振動(dòng)和噪聲、提高工作性能及力學(xué)性能、提高使用壽命等方面有著重要作用。

4 結(jié)論

(1)本文作者先推導(dǎo)六極并聯(lián)齒輪泵的瞬態(tài)流量曲線函數(shù)，并建立多目標(biāo)函數(shù)，再借助MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，最后進(jìn)行流量特性仿真及分析。

(2)優(yōu)化后的六極并聯(lián)齒輪泵流量誤差為1.09%，其流量脈動(dòng)系數(shù)、齒輪泵體積和從動(dòng)輪側(cè)面積分別是普通外嚙合齒輪泵的0.95%、40.42%、26.52%，理論上減小了制造成本，提高了流量脈動(dòng)品質(zhì)，提高了齒輪泵的工作性能及使用壽命。

(3)經(jīng)過(guò)理論分析，該種齒輪泵較普通外嚙合齒輪泵的流量脈動(dòng)低，且具有中心輪徑向力平衡、傳動(dòng)平穩(wěn)性高、體積小等優(yōu)點(diǎn)，可廣泛運(yùn)用在高壓、大排量、工作環(huán)境惡劣以及對(duì)傳動(dòng)平穩(wěn)性和流量品質(zhì)要求較高的場(chǎng)合，比如可用作紡絲計(jì)量泵、熔體泵，以及可用于機(jī)床的多點(diǎn)潤(rùn)滑上。