基于4-PPPS并聯(lián)機構的機身艙段對接方法研究

李賀，祁若龍，，張珂，趙吉賓

(1.沈陽建筑大學機械工程學院，遼寧沈陽 110168；2.中國科學院沈陽自動化研究所機器人學國家重點實驗室，遼寧沈陽 110169)

0 前言

機身對接是飛機總裝的重要環(huán)節(jié)，其裝配質量將直接影響飛機壽命[1]。傳統(tǒng)的機身裝配多采用吊裝設備，依靠手工或工裝型架來完成作業(yè)，耗費大量勞動力，并且裝配質量和效率難以掌控。因此，建立數(shù)字化、柔性化的對接系統(tǒng)對飛機制造領域而言至關重要[2]。

機身對接機構可以等效為4-PPPS并聯(lián)機構，相比串聯(lián)機構而言，其結構更加緊湊，剛度和承載能力也有所提高，但相應的動力學解算也更加復雜。常用于并聯(lián)機構動力學解算的方法有：針對機構中每個部件，分析其受力狀態(tài)，計算各部件約束反力的牛頓歐拉法[3-5]；為了避免動力學函數(shù)求導運算過于繁瑣，用矢量的點積、叉積來代替的凱恩法[6-7]；從能量方面入手，消去約束反力，考慮部件動能和勢能的拉格朗日方法[8-9]等。

關于飛機對接機構的研究，馬志強等[10]針對3-PPPS并聯(lián)機構，提出一種以球鉸間距離不變的約束條件為突破口求解機翼位姿的方法。張斌等人[11]考慮到工程實際和工作效率要求，將關節(jié)速度、驅動力等作為約束條件，利用二分法得到了最優(yōu)時間。郭志敏等[12]通過牛頓歐拉法對機翼調姿系統(tǒng)的動力學展開分析，采用偽逆矩陣的方法得到了關節(jié)驅動力。在提高裝配精度方面，祁若龍等[13]針對4-PPPS機構，在空間位姿矩陣微分的基礎上對艙體對接系統(tǒng)運動學進行了標定。CHU等[14]使用牛頓歐拉法構建了對接系統(tǒng)無內力的動力學模型，消除了對接過程中托架間內力，并結合斐波那契搜索方法優(yōu)化了調整時間。

本文作者以4-PPPS并聯(lián)機構為研究對象，基于旋量理論將機身運動分解為繞任意軸的旋轉和平移，建立并聯(lián)機構運動學模型、確定各定位器驅動量。然后根據(jù)機構的結構特征，建立非冗余和冗余驅動系統(tǒng)的動力學模型，并在對定位器關節(jié)速度和加速度進行冗余性和非冗余性對比分析的基礎上，求解對接部件的角速度和角加速度等參數(shù)。針對冗余情況，以力二范數(shù)最小為目標，對冗余驅動力進行協(xié)調分配[15]。最后分別對兩種情況進行運動學和動力學仿真，并與數(shù)值計算結果進行對比分析。

1 對接系統(tǒng)運動學分析

1.1 坐標系建立

圖1所示對接系統(tǒng)由4個定位器構成，負責支撐托架和機身。定位器能夠完成3個正交方向的運動，并且具備安全可靠、工作平穩(wěn)等特點，通過球鉸與托架連接，托架與機身固連。分別在地面和機身上建立坐標系O0x0y0z0、O1x1y1z1，全局系O0x0y0z0坐標軸方向和定位器關節(jié)運動方向相同。艙體系原點位于托架和機身質心位置，初始時刻坐標軸的定義規(guī)則與全局系同，如圖2所示。

圖1 機身對接系統(tǒng)

1.2 位姿分析

對于定位器i(i=1，2，3，4)，初始時刻其頂部與托架相連的球鉸中心在全局系中的位置矢量為ci=[cix，ciy，ciz]T，運動過程中球鉸位置發(fā)生改變，在全局系內的坐標變?yōu)閝i=[qix，qiy，qiz]T。將托架視為剛體，則球鉸在艙體系內的坐標可以視為常數(shù)矢量，用bi=[bix，biy，biz]T表示。

將機身艙段在空間中的運動定義為沿著任意兩點A(a1，b1，c1)和B(a2，b2，c2)所確定直線平移L，然后繞空間中任意兩點C(a3，b3，c3)和D(a4，b4，c4)所確定的旋轉軸逆時針旋轉θ角。

物體繞任意軸旋轉的問題，可以理解為先將物體隨轉軸一起旋轉、平移，直至與坐標軸重合，再繞坐標軸旋轉，最后做相反的旋轉平移運動，使轉軸回到初始位置。對一般情況進行分析，如圖3所示，任意兩點確定的軸線既不通過原點，也不與坐標軸平行。將轉軸移至原點，得OE，再繞y軸順時針旋轉α角，至yOz平面，得到OF。隨后OF繼續(xù)繞x軸逆時針旋轉β角，與z軸重合，再繞z軸逆時針旋轉θ角，最終執(zhí)行上述變換的逆過程，可得繞空間中不過原點的直線旋轉的變換矩陣。

圖3 任意軸線旋轉推導圖

不難發(fā)現(xiàn)，物體繞通過坐標軸原點的軸線旋轉是繞任意軸線旋轉的特殊情況，其變換矩陣為

R(θ)=Ry(α)Rx(-β)Rz(θ)Rx(β)Ry(-α)=

(1)

繞空間中不過原點的轉軸旋轉比過原點的情況多了平移至原點的過程，其變換矩陣可以表示為

R′(θ)=T(a3，b3，c3)R(θ)T(-a3，-b3，-c3)

(2)

對于機身艙段在空間中的運動而言，其在繞空間中某軸線旋轉前有一個平移過程，即沿某直線方向平移距離L，可分解為沿全局系軸線方向的平移，此過程總的變換矩陣為

T1=R′(θ)·T(ax，ay，az)

(3)

結合以上分析可知，機身艙段在空間中運動后，球鉸點在全局系中的位置矢量可以表示為

[qix，qiy，qiz，1]T=T1[cix，ciy，ciz，1]T

(4)

關節(jié)位移用li=[lix，liy，liz]T表示，結合三坐標定位器的工作原理和構型特點可知，機身艙段進行位姿調整后，球鉸點在全局系中的位置矢量可以表示為qi=[cix+lix，ciy+liy，ciz+liz]T，由此可以求解出機身旋轉平移運動后，各定位器關節(jié)的驅動量。

運動學正解，即在已知各定位器關節(jié)驅動量的基礎上，求解機身艙段位姿。機身運動后，艙體系原點在全局系內的位置矢量P可通過之前推導的變換矩陣求得，則球鉸點在全局系中的坐標qi為

(5)

將球鉸在全局系和艙體系中的坐標以及艙體系原點在全局系的位置矢量代入公式(5)，并結合旋轉矩陣的如下性質：

(6)

(7)

機身位姿可用U=[px，py，pz，φ，φ，γ]T來表示，其中：px、py、pz為O1在全局系中位置；φ、φ、γ分別表示艙體相對全局系的滾動角、俯仰角和偏轉角。求解艙體相對全局系的姿態(tài)矩陣公式如下：

(8)

聯(lián)立式(7)和式(8)，可得RPY角：

(9)

1.3 速度分析

(10)

利用式(10)，可得定位器各關節(jié)速度為

(11)

(12)

式中：j=1，2，3，分別代表定位器的3個運動方向。

姿態(tài)矩陣是正交陣，因此有如下性質：

(13)

式(13)兩邊同時對時間求導，得到

(14)

(15)

1.4 加速度分析

對機身對接機構進行加速度分析，旨在建立起各定位器驅動關節(jié)加速度與機身艙段加速度的關系方程，利用式(10)可求球鉸點的加速度為

(16)

(17)

對式(15)求導，得姿態(tài)矩陣和角加速度的關系

(18)

上式化簡，得機身艙段在全局系下的角加速度

(19)

2 對接系統(tǒng)動力學分析

2.1 非冗余驅動情況動力學建模

非冗余驅動情況，各定位器主動驅動數(shù)目不同，按3-2-1-0的分配方式分布，其余關節(jié)隨動，能夠完成三維空間六自由度的運動，構成了一個非冗余4-PPPS并聯(lián)機構，如圖4所示。

圖4 非冗余驅動調姿機構

2.1.1 數(shù)控定位器的動力學模型

如圖5所示，對于定位器i，它能夠實現(xiàn)3個相互正交方向的平動。底層托板、上托板及其內部構件以及伸縮柱的質量分別為m1、m2、m3。

圖5 三坐標數(shù)控定位器結構

在非冗余情況下，由于定位器主動驅動的數(shù)量和位置不同，所以各自動力學模型的建立也略有不同。根據(jù)非冗余情況對接機構的工作原理和結構特征，忽略摩擦，則單個定位器的動力學方程為

(20)

2.1.2 機身托架的動力學模型

(21)

2.1.3 對接系統(tǒng)的動力學模型

聯(lián)立式(20)和式(21)，得對接系統(tǒng)動力學模型：

(22)

2.2 冗余驅動情況動力學建模

如圖6所示的冗余驅動對接系統(tǒng)，定位器各個關節(jié)驅動均為主動，通過協(xié)調控制定位器關節(jié)間運動來完成機身艙段的對接工作。

圖6 冗余驅動調姿機構

2.2.1 數(shù)控定位器的動力學模型

冗余情況下，定位器構造相同，各部分質量信息與非冗余情況一致，則單個定位器動力學方程為

(23)

2.2.2 機身托架的動力學模型

(24)

式中各參數(shù)含義與非冗余驅動情況中一致。

2.2.3 對接系統(tǒng)的動力學模型

對接系統(tǒng)由定位器、托架和機身共同組成，通過協(xié)調控制定位器關節(jié)運動來完成艙段的調姿對接。綜合考慮式(23)(24)，得系統(tǒng)的動力學模型：

JF=H

(25)

式中，

H=

2.2.4 驅動力優(yōu)化

由于冗余情況下調姿機構是一個冗余4-PPPS并聯(lián)機構，驅動數(shù)多于其自由度數(shù)，調姿機構在每種運動狀態(tài)下，都有無數(shù)組驅動力的組合，故此需要對關節(jié)驅動力進行協(xié)調分配。

力優(yōu)化問題也就是在滿足等式約束JF=H的前提下，求解力，使得目標函數(shù)Z=FTWF最小。

可用如下方程表示：

(26)

其中：W為定位器權值。構造拉格朗日函數(shù)：

L(F，λ)=FTWF+λT(JF-H)

(27)

將優(yōu)化問題變?yōu)槔窭嗜粘藬?shù)法求條件極值問題，λ={λ1，λ2，…，λ6}T∈R6×1為拉格朗日乘數(shù)，分別對F、λ求偏導：

(28)

(29)

式中：I為單位矩陣。函數(shù)L(F，λ)存在極小值則必須滿足以上兩個必要條件，由式(28)化簡可得：

(30)

將上式代入式(29)中可得：

λ=-2(JW-1JT)-1H

(31)

將上式代入式(30)中可得：

F=W-1JT(JW-1JT)-1H

(32)

取W為單位矩陣，則目標函數(shù)變?yōu)閆=FTF，即優(yōu)化目標為各關節(jié)驅動力二范數(shù)最小，得驅動力

F=JT(JJT)-1H

(33)

3 數(shù)值算例分析與仿真驗證

針對非冗余和冗余驅動4-PPPS并聯(lián)機構的運動學和動力學部分，借助ADAMS開展仿真驗證，與文中所建立的運動學和動力學模型所求解的各參數(shù)進行比較分析。

已知機身和托架的質量mc為1 173.76 kg，初始位置重心在全局系下的坐標為(266.06，0.34，2 781.05)mm，球鉸在全局和艙體系下的坐標如表1所示。

表1 初始狀態(tài)球鉸點坐標 單位：mm Tab.1 Spherical hinge point coordinates in initial state Unit：mm

U0=[266.06，0.34，2 781.05，0，0，0]Tmm是機身初始位姿，其運動過程可描述為先沿A(80，100，100)mm、B(-210，320，300)mm兩點確定的軸線平移550 mm，然后繞C(1 000，1 000，-500)mm、D(3 000，3 000，5 500)mm所確定的旋轉軸逆時針旋轉10°。

對接過程盡可能要求平穩(wěn)，避免啟止時的沖擊，所以采用五次多項式插值來擬合位姿軌跡。且在實際對接過程中，為保證裝配精度和效率，對其速度、加速度等有一定要求，見表2。

表2 對接過程約束條件

考慮上述條件，采用黃金分割法求解最優(yōu)時間為34.907 41 s，這里取34.9 s，如圖7所示。

圖7 最優(yōu)時間

在機身位姿軌跡的基礎上，借助機構逆運動學可以求出各關節(jié)的位移曲線，如圖8所示。

圖9為數(shù)值計算得到的定位器速度和加速度曲線。將調姿機構定位器的所有驅動關節(jié)均采用位置驅動進行仿真，得到的關節(jié)速度、加速度如圖10所示。圖8—10中：x1表示定位器1在x方向上對應參數(shù)曲線，其他變量定義規(guī)則類似。

圖9 數(shù)值計算得到的定位器速度(a)、加速度(b)曲線

圖10 仿真得到的定位器速度(a)、加速度(b)曲線

為了進行后續(xù)的動力學解算，需對調姿過程中機身的角速度和角加速度進行解算，數(shù)值計算和仿真得到的角速度和角加速度分別如圖11、12所示。

圖11 調姿過程中數(shù)值計算得到的角速度(a)、角加速度(b)

圖12 調姿過程中仿真得到的角速度(a)、角加速度(b)

分析比較圖9—12，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值計算的關節(jié)速度、加速度等數(shù)據(jù)和仿真得到的一致。

當作者按3-2-1-0的方式分配定位器的主動驅動，此時構成了一個非冗余4-PPPS機構，能夠運動到預期目標位姿，但驅動力分配不均。圖13、14分別為數(shù)值計算和仿真得到的驅動力。對比發(fā)現(xiàn)：仿真和理論計算得到的非冗余驅動力偏差不大，證明了文中構建的動力學模型的正確性。

圖13 數(shù)值計算得到的非冗余驅動力

圖14 仿真得到的非冗余驅動力

為提高對接機構的承載能力，讓各支鏈的驅動力分配更加均衡，艙段對接機構采用冗余驅動，并使用二范數(shù)最小方法優(yōu)化驅動力，分配優(yōu)化后的定位器各關節(jié)驅動力如圖15所示。

圖15 數(shù)值計算得到的冗余驅動力

各關節(jié)均采用主動驅動時，構成一個冗余并聯(lián)機構，可采用力位混合方式來完成機身對接工作。通過位置驅動關節(jié)控制艙段的運動軌跡，力驅動關節(jié)調整受力狀態(tài)，對驅動力進行協(xié)調分配，以期望的驅動力來實現(xiàn)機身對接。選取定位器1的xyz向、2的xz向和3的z向為位置關節(jié)，其余關節(jié)驅動力為主動變量，采用力驅動，從而完成驅動力的協(xié)調分配。仿真取得的位置關節(jié)的驅動力見圖16。

圖16 仿真得到的位置驅動關節(jié)的驅動力

比較分析圖13、15可以發(fā)現(xiàn)：非冗余情況定位器各關節(jié)受力很不均衡，對機身的支撐力大部分由定位器1、3所承受，定位器2僅承擔了小部分，且豎直方向最大最小瞬時驅動力差值較大；而冗余情況，豎直方向最大驅動力明顯減小，各分支的力變得更加均衡，系統(tǒng)的承載能力也顯著提升。

由圖15、16可知：力位混合驅動的方式，系統(tǒng)施加于各位置驅動關節(jié)處的驅動力與理論計算得到的基本相同，說明力位混合方式對對接系統(tǒng)而言確實是一種有效的控制方式，也證明了文中動力學建模的準確性。

4 結論

(1)依據(jù)對接系統(tǒng)的結構特征，得到機身艙段在空間中繞任意軸線旋轉平移后的位姿以及各定位器驅動量。為避免系統(tǒng)啟停時的沖擊，采用5次多項式生成機身艙段的運動學軌跡，并通過運動學分析計算得到各關節(jié)的運動軌跡、速度和加速度以及機身艙段角速度和角加速度等參數(shù)。

(2)采用牛頓歐拉法分別對非冗余和冗余驅動情況的定位器和機身進行動力學建模，針對冗余情況以力二范數(shù)最小為目標，協(xié)調分配了關節(jié)驅動力，改善了機構受力狀態(tài)，分析了驅動力協(xié)調分配機制。分析比較了這兩種情況的驅動力大小，發(fā)現(xiàn)相比非冗余驅動，冗余狀態(tài)各關節(jié)驅動力分配更加均衡，承載能力也有明顯提升。

(3)利用ADAMS對非冗余驅動和力位混合驅動情況進行仿真，仿真結果表明：理論計算和軟件仿真得到的非冗余驅動力基本相同，力位混合驅動情況仿真得到的被動驅動力與優(yōu)化后計算的驅動力進行對比分析，發(fā)現(xiàn)兩組結果相差不大。