考慮SSI效應(yīng)的升降作業(yè)平臺慣容減振優(yōu)化設(shè)計

王 玨,張 瑩,黃 愫,葉會然,單 柯

(1. 河海大學(xué) 機電工程學(xué)院,江蘇 常州 213022; 2. 河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點實驗室,江蘇 南京 210098;3. 上汽大眾汽車有限公司,上海 310000)

0 引言

升降式作業(yè)平臺作為一種移動性強的多功能升降機械設(shè)備,工人作業(yè)或機器振動產(chǎn)生的干擾會使作業(yè)平臺發(fā)生振動,從而嚴(yán)重影響作業(yè)工人的穩(wěn)定舒適度及安全性,也會造成操作精度的降低。因此,對作業(yè)平臺進行減振設(shè)計、提高其動力穩(wěn)定性具有非常重要的意義[1-3]。當(dāng)升降平臺在野外工地、河灘等環(huán)境中高空作業(yè)時,作業(yè)平臺支腿底盤的明置基礎(chǔ)與軟土地基發(fā)生動力相互作用,從而改變野外作業(yè)平臺系統(tǒng)的動力特性,因此,土與結(jié)構(gòu)相互作用(soil-structure interaction, SSI)效應(yīng)在野外升降作業(yè)平臺的減振設(shè)計中不容忽視[4-8]。

動力吸振器(dynamic vibration absorber,DVA)可以通過消耗外部激勵作用在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生的能量,來實現(xiàn)對主結(jié)構(gòu)的被動控制。DEN HARTOG[9]最早提出了彈簧-質(zhì)量-阻尼(tuned mass damper, TMD)減振系統(tǒng),并提出了H∞準(zhǔn)則下計算最優(yōu)剛度比和阻尼比的固定點理論,這個理論已得到廣泛應(yīng)用。WARBURTON[10]提出了隨機白噪聲激勵下TMD減振結(jié)構(gòu)基于H2優(yōu)化的設(shè)計參數(shù)解析解。TMD雖然獲得了不錯的減振效果,但是為達到較好的減振效果,一般需要較大的附加質(zhì)量,再加上質(zhì)量塊的單端點特性,使得其在結(jié)構(gòu)中的安裝受到限制[11]。與傳統(tǒng)的質(zhì)量塊不同,2002年被提出用于F1賽車減振的慣容器[12]是一種雙端點機械元件,它將對質(zhì)量塊的直線運動轉(zhuǎn)化為慣容器中飛輪的旋轉(zhuǎn)運動,從而用很小的質(zhì)量實現(xiàn)了千倍級參振質(zhì)量的動力特性,因而在減振設(shè)計中受到了關(guān)注。IKAGO等[13]基于定點理論提出了含有慣容減振系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)H∞優(yōu)化參數(shù)優(yōu)化方法;HU等[14]對3種典型的慣容系統(tǒng):串聯(lián)型慣容系統(tǒng)(serial inertial system, SIS)、混聯(lián)1型慣容系統(tǒng)(SPIS-1)、混聯(lián)2型慣容系統(tǒng)(SPIS-2)進行了研究,基于固定點理論和極值理論分別推導(dǎo)了單自由度主結(jié)構(gòu)在H∞和H2優(yōu)化準(zhǔn)則下的最優(yōu)剛度比和阻尼比的解析解。李壯壯等[15]、隋鵬等[16]又基于固定點理論提出了多種不同類型慣容減振系統(tǒng)用于單自由度的主結(jié)構(gòu)在基于H∞優(yōu)化下的最優(yōu)剛度比和阻尼比。由此可見,慣容減振系統(tǒng)為工程減振提供了更大的發(fā)展空間[17-19]。

上述研究的慣容減振主結(jié)構(gòu)均被簡化為不含阻尼的質(zhì)量-彈簧模型,但當(dāng)主結(jié)構(gòu)含有不可忽略的阻尼時,不同阻尼比條件下頻響函數(shù)的固定點不再存在,此時難以得到減振系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化解析解[20]。潘超等[21]、ZHANG等[22]建立了含阻尼的單自由度以及多自由度的慣容減振模型,采用了數(shù)值優(yōu)化法提出了隨機地震下減震系統(tǒng)基于H2優(yōu)化的設(shè)計參數(shù),為解決復(fù)雜慣容減振系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化提供了新思路;CHEN等[23]、ZHAO等[24]建立了考慮SSI效應(yīng)的含阻尼主系統(tǒng)慣容減振模型,求解了地震激勵下主結(jié)構(gòu)在H2優(yōu)化準(zhǔn)則下的設(shè)計參數(shù)數(shù)值解,進而論證了SSI效應(yīng)的重要性。上述文獻主要是針對來自底部地震激勵下的結(jié)構(gòu)減振,因此并不需要考慮簡諧激勵下的H∞優(yōu)化。此外,底部加速度激勵與由機械荷載產(chǎn)生的直接作用在主系統(tǒng)上的動力激振減振問題并不完全等價[1],有必要進一步研究分析。

本文提出了考慮SSI效應(yīng)下含有3種不同慣容減振系統(tǒng)(SIS, SPIS-1,SPIS-2)的升降作業(yè)平臺動力學(xué)模型,推導(dǎo)了作業(yè)平臺在簡諧激勵下的振幅放大因子以及在隨機激勵下的響應(yīng)均方值的表達式。利用遺傳算法(genetic algorithm, GA)求解了含慣容減振系統(tǒng)的作業(yè)平臺針對簡諧激勵的H∞和隨機激勵的H2優(yōu)化準(zhǔn)則下的最優(yōu)剛度比和阻尼比,評價了SSI效應(yīng)對減振效果的影響。給出了適用于野外升降作業(yè)平臺的慣容減振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)解的經(jīng)驗公式,為升降作業(yè)平臺的減振研發(fā)與應(yīng)用提供了理論參考。

1 模型建立及分析

升降作業(yè)平臺設(shè)備如圖1(a)所示,將升降作業(yè)平臺及其下部基座部分等效為兩自由度系統(tǒng),下部基座與上部平臺簡化為集中質(zhì)量m1和m2;兩側(cè)升降剪叉機構(gòu)簡化為彈簧k。升降平臺的支腿底盤與地基間的動力相互作用可采用振動阻抗來描述兩者交界面的力和位移間的關(guān)系,即剛度系數(shù)kf和阻尼系數(shù)cf。上部平臺受到頻率為ω,幅值為F的豎向簡諧激振Fsin(ωt)的作用,其中t為時間。為實現(xiàn)作業(yè)平臺的減振,上部平臺和下部基座之間分別連接含有慣容mi、彈簧kd和阻尼cd的3種不同組合形式的減振系統(tǒng):串聯(lián)型慣容系統(tǒng),如圖1(b)所示;混聯(lián)1型慣容系統(tǒng),如圖1(c)所示;混聯(lián)2型慣容系統(tǒng),如圖1(d)所示。各節(jié)點自由度用位移xn(n=0,1,2,3)表示。其中,x1為基座的位移,x2為升降平臺的位移,x0和x3為慣容減振系統(tǒng)中各節(jié)點的位移。

圖1 升降作業(yè)平臺及其3種考慮SSI效應(yīng)的慣容減振力學(xué)模型Fig.1 Lifting platform and its three different dynamic vibration absorber mechanical models considering SSI effect

根據(jù)達朗貝爾原理,分別列出考慮SSI效應(yīng)的3種含有不同慣容減振系統(tǒng)的升降作業(yè)平臺運動控制方程為

SIS系統(tǒng):

(1a)

SPIS-1系統(tǒng):

(1b)

SPIS-2系統(tǒng):

(1c)

(2)

1.1 簡諧激勵下的平臺位移H∞范數(shù)

在簡諧激振力作用下,定義升降作業(yè)平臺位移幅值隨頻率變化的振幅放大因子Gi(λ),根據(jù)式(2)可進一步整理得到3種減振模型的振幅放大因子為

(3)

式(3)中的相關(guān)系數(shù)如下:

(4a)

(4b)

(4c)

1.2 隨機激勵下的平臺位移H2范數(shù)

在實際工程中,機器振動、工人作業(yè)產(chǎn)生的振動多為隨機激勵。因此本文進一步研究了隨機激勵下,3種含慣容減振系統(tǒng)的作業(yè)平臺位移響應(yīng)的均方值。假設(shè)輸入的隨機激勵為高斯白噪聲,其功率譜密度為Sf(ω)=S0,則升降平臺的功率譜密度函數(shù)為

Sx,i(ω)=|Hi(ω)|2S0

(5)

進而得到升降平臺位移響應(yīng)的均方值的表達式為

(6)

(7)

根據(jù)柯西留數(shù)定理,得到關(guān)于傳遞函數(shù)無窮積分的一般精確解形式為

(8)

式中,系數(shù)ai,m(m=0,1,…,6),bi,n(n=0,1,…,5)可由式(2)中的多項式系數(shù)Dm-i和Nn-i計算可得

(9)

(10)

1.3 慣容減振系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化

為分析SSI效應(yīng)對升降作業(yè)平臺振動的影響,并確定慣容減振系統(tǒng)的最佳減振效果,應(yīng)對圖1中3種減振系統(tǒng)中的剛度比β、阻尼比ξ2進行參數(shù)優(yōu)化。在考慮SSI效應(yīng)的慣容減振系統(tǒng)中,由于主系統(tǒng)存在阻尼效應(yīng),難以推導(dǎo)得到簡諧激勵下基于H∞優(yōu)化準(zhǔn)則與隨機激勵下基于H2優(yōu)化準(zhǔn)則的最優(yōu)參數(shù)解析解。因此本文采用數(shù)值優(yōu)化方法,優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束條件為

目標(biāo)函數(shù):

(11)

約束條件:

(12)

則上述問題即可轉(zhuǎn)化為一個單目標(biāo)多參數(shù)的優(yōu)化問題,本文選用遺傳算法(GA)對該優(yōu)化問題進行數(shù)值求解,其思路如圖2所示。遺傳算法是一種通過模擬自然進化過程來尋找最優(yōu)解的隨機搜索算法,其全局搜索能力強。該算法中的初始種群規(guī)模和終止迭代次數(shù)對計算精度有較大的影響,當(dāng)種群太小或迭代次數(shù)過短時不能提供足夠的采樣點,造成早熟收斂,影響全局搜索效果;而種群太大或迭代次數(shù)過長則會導(dǎo)致收斂速度緩慢、浪費資源、降低算法穩(wěn)健性。本文是僅含有2個優(yōu)化參數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化問題,且目標(biāo)函數(shù)隨設(shè)計參數(shù)的變化曲面平緩、峰值少、容易收斂。因此算例中設(shè)置初始種群數(shù)為50,最大迭代次數(shù)為200,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的誤差小于1×10-6時,輸出最優(yōu)解。同時,為避免遺傳算法在設(shè)計參數(shù)的參數(shù)規(guī)定范圍內(nèi)陷入局部最優(yōu)解,也設(shè)置多個200以內(nèi)的初始種群測試結(jié)果精度,通過循環(huán)計算確保了慣容減振系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)的數(shù)值解是全局最優(yōu)解。

圖2 遺傳算法的流程圖Fig.2 Flowchart of genetic algorithm

2 算例分析

為了研究不同地基條件下,慣容減振系統(tǒng)對升降作業(yè)平臺的減振效果,以下算例根據(jù)GB 50011—2010《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》[25],取中硬土、中軟土以及軟弱土3種地基條件下的土體基本參數(shù),如表1所示。升降作業(yè)平臺的計算參數(shù)取值為:m1=8000 kg,m2=3000 kg,A0=1.5 m2,k=0.8×108N/m。數(shù)值優(yōu)化中,根據(jù)實際工程中常關(guān)注的參數(shù)范圍取值為[0,1]。

表1 3種地基土的基本參數(shù)及振動阻抗系數(shù)Table 1 Basic parameters and impedance of three foundation soils

2.1 考慮SSI效應(yīng)的減振系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計

簡諧激勵下基于H∞范數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)是使升降作業(yè)平臺的最大振幅放大因子最小,采用GA數(shù)值優(yōu)化算法,取慣質(zhì)比為0.05、0.25、0.5時,分別對3種慣容減振系統(tǒng)在中硬土、中軟土和軟弱土3種不同土體條件下的設(shè)計參數(shù)進行數(shù)值優(yōu)化,如表2所示。由表可知,位于3種地基表面的各慣容減振系統(tǒng)在不同慣質(zhì)比下的最優(yōu)剛度比和阻尼比存在較小差異,說明SSI效應(yīng)對慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)影響較小。因此,可將簡諧激勵下的慣容減振系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計參數(shù)通過最小二乘法擬合成一個多項式經(jīng)驗公式。經(jīng)驗公式與基于遺傳算法的數(shù)值解的對比如圖3所示,可見兩者具有較高的一致性,其經(jīng)驗公式可為升降作業(yè)平臺減振優(yōu)化設(shè)計的工程實際提供參考。

表2 簡諧激勵下考慮SSI效應(yīng)的各減振模型的擬合公式Table 2 Fitting formula of the vibration reduction models considering SSI effect under harmonic excitation

圖3 簡諧激勵下考慮SSI效應(yīng)的I-DVA模型參數(shù)設(shè)計經(jīng)驗公式與數(shù)值解的對比Fig.3 Comparison of empirical formula and analytical solution for I-DVA models under harmonic excitation considering SSI effect

隨機激勵下基于H2范數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)是使升降作業(yè)平臺的位移均方值最小。對考慮SSI效應(yīng)的各慣容減振模型在不同慣質(zhì)比下的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)進行數(shù)值優(yōu)化,如表3所示。由表可知,考慮SSI效應(yīng)的各慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)值存在差異,但是非常小。因此,隨機激勵下置于不同土體條件的各減振模型的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)同樣可以通過最小二乘法近似擬合成同一多項式用于實際工程。對SPIS-2系統(tǒng),其主結(jié)構(gòu)位移均方值隨剛度比β和阻尼比ξ2變化的三維曲面和等高線圖如圖4所示。由圖可知,位移均方值在剛度比取值區(qū)間內(nèi)呈單調(diào)遞減趨勢,剛度比取1時位移均方值取得最小。如需剛度比不趨向于區(qū)間上限,則可以加入成本控制、性能需求、耗能增效等其他約束條件進一步優(yōu)化。將擬合得到的經(jīng)驗公式和考慮SSI效應(yīng)的各減振模型的數(shù)值解進行對比,如圖5所示。由圖可知,本文擬合的經(jīng)驗公式與考慮SSI效應(yīng)的數(shù)值解幾乎完全重合,對實際工程具有一定的指導(dǎo)意義。

表3 隨機激勵下考慮SSI效應(yīng)的各模型的擬合公式Table 3 Fitting formula of the models considering SSI effect under random excitation

圖5 隨機激勵下考慮SSI效應(yīng)的I-DVA模型參數(shù)設(shè)計經(jīng)驗公式與數(shù)值解的對比Fig.5 Comparison of empirical formula and analytical solution for I-DVA models under random excitation considering SSI effect

2.2 簡諧激勵下升降平臺的減振效果對比

簡諧激勵下,為評價本文選取的3種慣容減振結(jié)構(gòu)的減振效果,選擇中軟土情況下的3種慣容減振系統(tǒng)與傳統(tǒng)的動力吸振器(TMD)進行對比,得到3種減振模型在最優(yōu)設(shè)計參數(shù)下,其振幅放大因子曲線如圖6所示。由圖6可知:對于同一減振模型,其振幅放大因子隨著慣質(zhì)比的增大而降低,減振效果隨之增強;對于不同減振模型,通過將圖6(a)和(b)中的曲線與圖6(b)中的紅點線對比可知,SIS系統(tǒng)和SPIS-1系統(tǒng)與TMD系統(tǒng)對主結(jié)構(gòu)振幅的減振程度相當(dāng),但是SIS和SPIS-1可以使用很小的質(zhì)量實現(xiàn)TMD所需的同等參振質(zhì)量;而圖6(c)中的曲線明顯低于圖6(b)中的紅點線,說明SPIS-2系統(tǒng)相較于TMD系統(tǒng)能有效地降低主結(jié)構(gòu)振幅,實現(xiàn)更好的減振性能。同一慣質(zhì)比下,SPIS-2系統(tǒng)的振幅放大因子與SPIS-1和SIS系統(tǒng)相比更低,減振效果更明顯。

圖6 簡諧激勵下頻幅特性的比較Fig.6 Comparison of frequency and amplitude characteristics under harmonic excitation

為分析SSI效應(yīng)對作業(yè)平臺幅頻特性的影響,取慣質(zhì)比δ=0.2,得到不考慮SSI效應(yīng)和考慮SSI效應(yīng)(中硬土、中軟土、軟弱土)的3種慣容減振系統(tǒng)處于最優(yōu)狀態(tài)下的幅頻特性曲線如圖7所示。由圖可知:SSI效應(yīng)不會對幅頻特性的變化趨勢造成改變,依然可以使作業(yè)平臺的幅頻特性維持雙峰等高的特征。但是,SSI效應(yīng)會明顯地降低幅頻曲線的共振峰值,且軟弱土條件下降低程度最明顯,這是由于地基在振動過程中也消耗了升降作業(yè)平臺傳遞下來的能量。

圖7 SSI效應(yīng)對作業(yè)平臺的幅頻特性影響Fig.7 Influence of SSI effect on the frequency and secondary characteristics of the lifting platform

2.3 隨機激勵下升降平臺的減振效果對比

本算例討論SSI效應(yīng)對隨機激勵下含有不同減振系統(tǒng)的升降作業(yè)平臺位移均方值的影響。計算中各減振系統(tǒng)的模型參數(shù)均為基于H2優(yōu)化得到的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。取慣質(zhì)比δ=0.2,將本文3種慣容減振系統(tǒng)與傳統(tǒng)動力吸振器(TMD)的作業(yè)平臺位移均方值系數(shù)相比較,如表4所示。橫向?qū)Ρ瓤梢钥闯?對于同一模型,SSI效應(yīng)會使升降平臺位移均方值降低,且土體越軟,降低程度越大,因此考慮SSI效應(yīng)是非常必要的?？v向?qū)Ρ瓤梢钥闯?對于不同模型,SIS的位移均方值最大,其減振效果不及傳統(tǒng)的TMD,而SPIS-2的位移均方值最小,其減振效果顯著優(yōu)于SPIS-1和TMD。因此,在隨機激勵下,SPIS-2系統(tǒng)可以取得更好的減振效果。

表4 本文I-DVA模型與傳統(tǒng)TMD模型的比較結(jié)果Table 4 Comparison results between the present I-DVA model and traditional TMD model

由升降作業(yè)平臺在簡諧和隨機激勵下的減振效果對比可知,相比SPIS-1和SIS系統(tǒng),SPIS-2能更好地控制升降作業(yè)平臺的振動。造成這3種減振系統(tǒng)存在明顯差異的主要原因是:慣容元件表現(xiàn)出的負(fù)剛度特性能夠輔助與之共同作用的黏性阻尼器的運動,提高阻尼元件的耗能效率,產(chǎn)生阻尼放大效應(yīng)。當(dāng)慣容元件與阻尼器并聯(lián)用于減振結(jié)構(gòu)時能產(chǎn)生比與阻尼器串聯(lián)時更大的阻尼放大效應(yīng),從而實現(xiàn)更好的減振效果。

3 結(jié)論

本文提出了考慮SSI效應(yīng)的含3種不同慣容減振系統(tǒng)(SIS、SPIS-1、SPIS-2)的升降作業(yè)平臺動力學(xué)模型,推導(dǎo)了其在簡諧激勵下的振幅放大因子以及在隨機激勵下的響應(yīng)均方值的解析表達式。利用遺傳算法分別求解了位于不同地基表面的作業(yè)平臺在H∞和H2優(yōu)化準(zhǔn)則下慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)剛度比和最優(yōu)阻尼比,并擬合成適用于工程的經(jīng)驗公式。當(dāng)升降作業(yè)平臺上激振力的作用形式滿足簡諧特性時建議采用基于H∞范數(shù)的優(yōu)化公式對慣容減振系統(tǒng)進行設(shè)計,而當(dāng)激振力的作用形式表現(xiàn)出隨機特性時建議采用基于H2范數(shù)的優(yōu)化參數(shù)經(jīng)驗公式。對最優(yōu)狀態(tài)下的各減振系統(tǒng)進行減振效果對比分析,得出主要結(jié)論如下:

1)SPIS-2減振系統(tǒng)與傳統(tǒng)TMD系統(tǒng)、SIS系統(tǒng)以及SPIS-1系統(tǒng)相比,在簡諧激振力作用下不僅能更好地抑制升降作業(yè)平臺的共振峰值,且更大程度地拓寬作業(yè)平臺的減振頻帶范圍;在隨機激勵下,SPIS-2也能最大程度地降低作業(yè)平臺位移響應(yīng)的均方值。

2)SSI效應(yīng)對簡諧激勵和隨機激勵下作業(yè)平臺慣容減振系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計參數(shù)有一定的影響,但差異很小。因此,可將這些最優(yōu)設(shè)計參數(shù)近似擬合成一個適用于工程減振設(shè)計的經(jīng)驗公式。

3)SSI效應(yīng)會降低作業(yè)平臺振幅放大因子的共振峰值和位移均方值,且地基土剪切波速越小,這種影響越顯著。