基于譜元法的Rayleigh波頻散特征計(jì)算與模態(tài)疊加耦合機(jī)理研究

楊 博,張 萌,夏江海,龍友明,吳 憂

(1. 重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶 400074; 2. 浙江大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院, 浙江 杭州 310027; 3. 重慶交通大學(xué) 交通土建工程材料國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400074)

0 引言

成層結(jié)構(gòu)中Rayleigh波(R波)頻散曲線的正演計(jì)算是應(yīng)用R波進(jìn)行工程勘探的基本前提[1-2],代表性的有Thomson-Haskell法[3-4]、Schwab-Knopoff法[5]、δ矩陣法[6]和Abo-Zena法[7]等。在這些基礎(chǔ)上,CHEN[8]通過定義反射與透射波傳遞系數(shù),建立了基于廣義反射-透射系數(shù)的R波頻散曲線正演算法。袁臘梅等[9]通過無量綱化處理,進(jìn)一步提高了廣義反射-透射系數(shù)法的計(jì)算效率和穩(wěn)定性。凡友華等[10-11]通過采用3個(gè)五階矩陣的乘積作為傳遞矩陣,建立了快速矢量傳遞算法,同時(shí)探討了R波頻散方程高頻近似分解和多模式激發(fā)數(shù)目。對(duì)于“上軟下硬”的規(guī)則成層結(jié)構(gòu),大量研究表明:R波中的基階模態(tài)能量占主導(dǎo)地位,此時(shí)R波頻散特征就是其基階頻散曲線[12],而對(duì)于“上硬下軟”、或含“硬夾層”和含“軟夾層”的非規(guī)則復(fù)雜成層結(jié)構(gòu),R波頻散方程變?yōu)閺?fù)數(shù)方程[13],相應(yīng)頻散特征則是多階模態(tài)在特定頻帶共同作用的結(jié)果。對(duì)此,張碧星等[14]通過構(gòu)建不同激振源下R波多模態(tài)相應(yīng)的位移計(jì)算方法,以此解譯非規(guī)則復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)中R波頻散曲線出現(xiàn)的“之”字形回折現(xiàn)象。楊天春等[15]通過對(duì)比規(guī)則成層結(jié)構(gòu)與含“硬夾層”和含“軟夾層”中R波譜比特征,建議實(shí)際勘探過程中須考慮R波高階模態(tài)的影響。由此可見,探索復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)中R波多階模態(tài)疊加耦合機(jī)理對(duì)其應(yīng)用于工程勘探技術(shù)精細(xì)化提升具有重要理論意義。

譜元法(spectral element method, SEM)是一種可用于分析結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的半解析方法[16-17]。其基于波動(dòng)方程,通過積分變換推導(dǎo)應(yīng)力與位移各分量在頻域-波數(shù)域的解析式,在此基礎(chǔ)上,結(jié)合有限元思想建立結(jié)構(gòu)各單元的動(dòng)力剛度矩陣[18],按邊界條件組裝總體剛度矩陣從而計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)[19],具有計(jì)算精度高和速度快等優(yōu)點(diǎn)。顏可珍等[20]基于SEM計(jì)算了半無限土基和雙層土基中R波基階與一階模態(tài)的頻散曲線。為此,本研究通過理論分析和對(duì)比計(jì)算,基于SEM建立R波可考慮高階模態(tài)頻散曲線的計(jì)算方法。同時(shí),結(jié)合沖擊振源特點(diǎn),通過SEM計(jì)算R波多階模態(tài)頻散曲線的位移響應(yīng),進(jìn)一步揭示復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)中R波多階模態(tài)之間的疊加耦合頻散特征。

1 基于SEM的R波頻散方程

1.1 模型定義

本研究以軸對(duì)稱條件下的彈性層狀半無限結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象,其每層結(jié)構(gòu)介質(zhì)視為均勻、各向同性的彈性體,各層沿水平方向無限且分界面相互平行,層間位移與應(yīng)力完全連續(xù),最下一層為厚度無限的彈性半無限體,如圖1(a)所示。其中,r為水平徑向;z為深度方向;θ為切向;E為介質(zhì)的彈性模量;υ為泊松比;ρ為介質(zhì)的密度;h為層厚度;N為總層數(shù); 所有符號(hào)的下標(biāo)數(shù)字及m為層序號(hào),取1～N。

圖1 構(gòu)造及單元模型Fig.1 Configuration and element models

對(duì)于圖1(a)中1～N-1層有限厚層結(jié)構(gòu),可視為雙節(jié)點(diǎn)單元,如圖1(b)所示,考慮有限厚度底部界面反射波的影響,其單元?jiǎng)偠染仃嘢2-node可寫為[21]

(1)

式中:μ為剪切模量;l、g和K為

(2)

式中:ω為角頻率;k為圓波數(shù);VP和VS為介質(zhì)的橫波速度和縱波速度。其中,VP和VS與E、ρ及υ的關(guān)系為

(3)

對(duì)于圖1(a)中第N層半無限體,可視為單節(jié)點(diǎn)單元,如圖1(c)所示,由于無限深處不存在反射波,其單元?jiǎng)偠染仃嘢1-node可以表示為

(4)

1.2 剛度矩陣的組裝

相鄰m層與m+1層單元在分界面zm上節(jié)點(diǎn)力與位移完全連續(xù)的可表達(dá)為

(5)

根據(jù)式(5),則完全連續(xù)相鄰2個(gè)雙節(jié)點(diǎn)單元的S2-node組裝方式為

(6)

同理,第N層半無限體單節(jié)點(diǎn)單元S1-node與第N-1層雙節(jié)點(diǎn)單元的S2-node組裝方式為

(7)

1.3 頻散方程的構(gòu)建

根據(jù)式(6)和式(7),按層間接觸狀態(tài)拼裝N層介質(zhì)結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣Sglobal,則所有節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系可表達(dá)為

(8)

det(Sglobal)=0

(9)

同時(shí),令Sglobal中的圓波數(shù)k表示為

(10)

式中:VR為R波的相速度;f為自然頻率。

將式(10)代入式(9)即得到基于SEM的R波理論頻散方程。這樣在式(9)中只要輸入各層的彈性模量E、密度泊松比ρ、泊松比υ和厚度h,就可以得到VR隨f變化的R波理論頻散曲線。

2 頻散曲線對(duì)比計(jì)算

為了研究SEM計(jì)算R波頻散曲線的可靠性,以文獻(xiàn)[20,22]中的彈性半無限體和“上軟下硬”2種規(guī)則土層為計(jì)算模型,參數(shù)如表1中1號(hào)和2號(hào)模型。其中,第八列為第五至第七列按式(3)計(jì)算得到的相應(yīng)土層材料的VS。

表1 成層模型的力學(xué)參數(shù)Table 1 Mechanic parameters of regular layered soil models

據(jù)此,將1號(hào)和2號(hào)模型相應(yīng)參數(shù)代入基于SEM的R波頻散方程式(9)中,利用二分法求根計(jì)算相應(yīng)的R波理論頻散曲線并與快速矢量傳遞法相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖2所示。

由圖2(a)可知:對(duì)于1號(hào)模型半無限體而言,R波不會(huì)發(fā)生頻散現(xiàn)象,SEM計(jì)算得到的VR在各個(gè)頻率上都為241.9 m/s,與按解析式(11)計(jì)算的VR等于242.0 m/s之間的相對(duì)誤差為0.03%;對(duì)于2號(hào)模型“上軟下硬”的規(guī)則地層,SEM計(jì)算各階模態(tài)的VR結(jié)果如圖2(b)所示。除基階外,其余一至七階模態(tài)的VR均存在截止頻率,計(jì)算結(jié)果與快速矢量傳遞法相應(yīng)的結(jié)果高度吻合,相對(duì)誤差均在0.05%以下,具有很高的計(jì)算精度,如式(11)所示:

(11)

3 模態(tài)疊加耦合機(jī)理分析

對(duì)于“上硬下軟”、含“軟夾層”和含“硬夾層”這三類復(fù)雜成層結(jié)構(gòu),具體參數(shù)[22]采用表1中的3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)模型。其中,“上硬下軟”結(jié)構(gòu)以工程中常見的路面結(jié)構(gòu)[24]為例,通過速度-應(yīng)力有限差分方法[25]模擬豎向沖擊點(diǎn)源作用下60道不同徑向距離r對(duì)應(yīng)的豎向振動(dòng)記錄。其中,激勵(lì)采用Ricker子波,其歸一化的振幅S(f)如式(12)所示,在模擬過程中為了使高頻帶能夠獲得較完整的頻散信息,則最小波長(zhǎng)λmin不得超過各模型表層h,同時(shí)為了保證在最大頻率fmax處激勵(lì)振幅S(f)衰減不小于0.01即-40 dB,則fm須滿足式(13)。據(jù)此,結(jié)合表1中的3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)模型具體參數(shù),本研究將模型3號(hào)的fm取為2600 Hz[24],4號(hào)和5號(hào)模型的fm取為20 Hz,結(jié)果如圖3所示。在此基礎(chǔ)上運(yùn)用相位移法[26]提取相應(yīng)R波頻散能量團(tuán)與SEM計(jì)算的各階頻散曲線對(duì)比,以模型3號(hào)為例,結(jié)果如圖4(a)所示,此時(shí)R波頻散特征能量團(tuán)不再以單一模態(tài)的頻散曲線表征,而是多階模態(tài)疊加耦合共同作用的結(jié)果。為了確定疊加耦合后的頻散特征,以往研究根據(jù)R波為沿表面?zhèn)鞑ツ芰繛橹鞯囊环N波導(dǎo),按式(14)計(jì)算各階模態(tài)頻散曲線對(duì)應(yīng)的頻域位移[15],以各頻率表面位移能量占優(yōu)模態(tài)的VR作為R波各模態(tài)疊加耦合后的頻散特征,表達(dá)式為

圖3 速度-應(yīng)力有限差分模擬結(jié)果Fig.3 Simulation results of speed-stress finite difference method

(12)

(13)

式中:fm為Ricker子波主頻;VS1為表層橫波大小。

(14)

然而,式(14)是一個(gè)將R波響應(yīng)當(dāng)成平面波處理的積分漸進(jìn)式,其求解過程中須考慮各階模態(tài)VR所對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)和相應(yīng)留數(shù),因此十分復(fù)雜,且只有當(dāng)r取較大時(shí)才有較好的精度。為此,本研究另從表面振動(dòng)位移能量分解的角度出發(fā),通過分析R波各模態(tài)VR對(duì)表面振動(dòng)能量的貢獻(xiàn),建立一種確定復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)中R波多模態(tài)疊加耦合機(jī)理的半解析新方法。首先定義軸對(duì)稱坐標(biāo)下一個(gè)表面作用半徑為a的豎向沖擊荷載p(t,r)作為激勵(lì),具體表達(dá)為

(15)

式中:Q為豎向力大小;δ(t)為狄拉克脈沖函數(shù)。

相應(yīng)p(t,r)的Fourier與0階Hankel積分變換式為

(16)

當(dāng)a趨于0,則激勵(lì)為集中力,通過取極限和L’Hopital’s法則進(jìn)一步可表達(dá)為

(17)

(18)

式中 |Uz|為各階模態(tài)VR對(duì)表面位移即能量的貢獻(xiàn)。

按式(18)求解各階模態(tài)VR對(duì)應(yīng)的|Uz|,歸一化后得到各階模態(tài)頻散曲線對(duì)表面豎向位移貢獻(xiàn)大小,如圖4(b)所示。據(jù)此,以各頻率對(duì)應(yīng)表面豎向位移貢獻(xiàn)最大相應(yīng)模態(tài)的VR作為該結(jié)構(gòu)中R波多階模態(tài)疊加耦合的結(jié)果,如圖4(a)中黑圈符號(hào)所示。結(jié)果表明,按此方法確定疊加耦合后的頻散特征與波場(chǎng)數(shù)值仿真的能量團(tuán)幅值能非常好地吻合在一起,不難看出基于SEM通過計(jì)算|Uz|以此確定R波多階模態(tài)疊加耦合后的頻散特征,不僅計(jì)算結(jié)果合理,與式(14)相比,形式較為簡(jiǎn)單且物理意義明確。

圖4 3號(hào)路面結(jié)構(gòu)模型中的R波頻散特征Fig.4 Dispersion characteristics of Rayleigh wave in No.3 pavement structure model

同理,將4號(hào)含“軟夾層”和5號(hào)含“硬夾層”結(jié)構(gòu)模型按式(18)計(jì)算R波各階模態(tài)|Uz|,并以此確定各階模態(tài)疊加耦合后的頻散特征,如圖5所示,結(jié)果表明:路面結(jié)構(gòu)和含“軟夾層”成層結(jié)構(gòu)中R波各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的|Uz|在f較小的低頻帶以基階模態(tài)絕對(duì)占優(yōu),相應(yīng)頻散特征以基階模態(tài)的相速度VR表征,隨著頻率f增大,高頻帶的R波頻散特征將取決于高階模態(tài)對(duì)應(yīng)的相速度VR;而含“硬夾層”成層結(jié)構(gòu)中R波各階模態(tài)對(duì)位移的貢獻(xiàn)在高頻帶和低頻帶均以R波基階模態(tài)為主,相應(yīng)頻散特征以基階模態(tài)的VR表征,但在8～10 Hz范圍的位移以一階模態(tài)貢獻(xiàn)為主,相應(yīng)頻散特征以一階模態(tài)的VR表征。同時(shí),圖6結(jié)果表明,基于SEM確定疊加耦合后的頻散特征與速度-應(yīng)力有限差分方法仿真能量幅值對(duì)應(yīng)的頻散特征之間具有較好的一致性,平均相對(duì)誤差在2.57%以下。并且,從以上結(jié)果不難看出三類復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)的R波多階模態(tài)疊加耦合后的頻散特征在高頻帶均收斂并接近于表面層結(jié)構(gòu)的VS。因此,在計(jì)算過程中,僅需考慮基階直至高頻帶VR收斂于表層結(jié)構(gòu)VS的高階模態(tài)即可。

圖5 含“軟夾層”和含“硬夾層”成層結(jié)構(gòu)中R波各階模態(tài)疊加結(jié)果Fig.5 Modal superposition results of Rayleigh wave in soft-interlayer and hard-interlayer soil layered structures

圖6 基于SEM計(jì)算結(jié)果與有限差分仿真比對(duì)Fig.6 Comparison of results calculated by SEM with finite difference numerical simulation

將圖4～圖6中疊加后的頻散特征曲線通過半波長(zhǎng)理論轉(zhuǎn)換為VR與探深的關(guān)系,如圖7所示。結(jié)果顯示,3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)模型復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)模型沿深度的頻散特征均會(huì)出現(xiàn)“之”字形回折現(xiàn)象,這些可為利用R波頻散特征的拐點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分層提供理論參考。

圖7 基于SEM疊加頻散曲線沿深度特征Fig.7 Depth characteristics of stacked dispersion curve based on SEM

4 結(jié)論

本研究基于SEM建立了一種R波的頻散曲線計(jì)算方法,并揭示了復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)中R波多階模態(tài)之間的疊加耦合機(jī)理,主要結(jié)論如下:

1)本研究視軸對(duì)稱條件下層狀半無限結(jié)構(gòu)中的有限厚度層為雙節(jié)點(diǎn)單元,半無限體視為單節(jié)點(diǎn)單元,以此構(gòu)建各層結(jié)構(gòu)的單元?jiǎng)偠染仃?并結(jié)合層間接觸邊界條件,建立了基于SEM的R波理論頻散方程。

2)針對(duì)彈性半無限體和“上軟下硬”規(guī)則成層結(jié)構(gòu),通過SEM計(jì)算R波多階頻散曲線和快速矢量傳遞解析算法對(duì)比發(fā)現(xiàn)所有結(jié)果與解析法計(jì)算相應(yīng)結(jié)果之間的相對(duì)誤差在0.05%以下,具有較高的精度。

3)針對(duì)“上硬下軟”的路面結(jié)構(gòu)、含“軟夾層”和含“硬夾層”的復(fù)雜成層結(jié)構(gòu),通過SEM求解各階模態(tài)VR對(duì)豎向位移的貢獻(xiàn)值,建立了一種確定R波各模態(tài)耦合疊加耦合頻散特征的新方法,并通過速度-應(yīng)力有限差分?jǐn)?shù)值仿真計(jì)算予以驗(yàn)證。

4)基于SEM計(jì)算疊加耦合后的頻散特征曲線,通過半波長(zhǎng)理論轉(zhuǎn)換為VR與探深的關(guān)系發(fā)現(xiàn),“上硬下軟”的路面結(jié)構(gòu)、含“軟夾層”和含“硬夾層”的復(fù)雜成層結(jié)構(gòu)沿深度的頻散特征均會(huì)出現(xiàn)“之”字形回折現(xiàn)象,可為利用R波頻散特征的拐點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分層分析提供參考。