聲空化條件下傳動液體積彈性模量的時空演變

陳益宏，許滄粟，李孝祿，李運堂，陳源，金杰，龐文

(1.中國計量大學(xué)機電工程學(xué)院，浙江杭州 310018；2.浙江省智能制造質(zhì)量大數(shù)據(jù)溯源與應(yīng)用重點實驗室，浙江杭州 310018；3.浙江大學(xué)能源工程系，浙江杭州 310027；4.中廣核太陽能德令哈有限公司，青海德令哈 817000)

0 前言

體積彈性模量是指液體所受壓力與體積變化量的比值，表征了傳動系統(tǒng)中傳動液的抗壓縮能力[1]。體積彈性模量的值越大，傳動液的抗壓縮性能力越強。當(dāng)系統(tǒng)處于高速運作的啟停環(huán)節(jié)時，體積彈性模量會直接影響傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性，甚至?xí)斐蓹C器零部件的損壞[2]。因此，需引入有效體積彈性模量來準確反映系統(tǒng)實際工況。而有效體積彈性模量主要受傳動液工作壓力、含氣率和溫度的影響[3-4]。由于空化效應(yīng)、低壓和高溫會導(dǎo)致傳動管中的氣體含量升高，有效體積彈性模量變小，從而對壓力精準傳遞產(chǎn)生影響[5]。

傳動液壓力和含氣率的時空演變過程較為復(fù)雜。CATANIA等[6]使用均相流模型，避免了計算氣相和液相之間的滑移速度，比較了預(yù)測數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)(利用Moehwald-Bosch MEP2000-CA4000高性能試驗臺)，結(jié)果表明：即使在空化引起的不連續(xù)情況下，也可以高精度地模擬壓力波傳播。CATANIA等[7]還利用流體控制方程，考慮壓縮效應(yīng)引起的溫度變化，提出了一種新的正壓空化模型來預(yù)測壓力波動、含氣率和溫度的變化，并與實驗結(jié)果進行了比較，結(jié)果證實了所研究的模型在模擬聲空化開始和結(jié)束時的有效性和魯棒性。在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)ERRARI[8]提出一種將Zielke層流頻率相關(guān)摩擦模型擴展到湍流的原始方法，并將其應(yīng)用于動量平衡方程，結(jié)果表明：所提出的模型能正確地預(yù)測壓力波振幅相對于時間的衰減。

傳動液壓力和含氣率的預(yù)測對研究體積彈性模量的時空演變起到關(guān)鍵作用。魏超等人[9]為提升油液壓縮與膨脹過程動態(tài)特性分析的準確性，將含氣量變化納入有效體積彈性模量的動態(tài)模型中，并對比了4種穩(wěn)態(tài)模型(Wylie、Nykanen、Ruan和AMESim模型)在高、低壓時的適用性和變化特性，結(jié)果表明：在Henry定律下，動態(tài)模型預(yù)測的精度更高。唐東林等[10]推導(dǎo)了含氣油液有效體積彈性模量理論模型，并將理論模型的數(shù)值模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)對比，結(jié)果表明：在油液壓力小于空氣分離壓時，有效彈性模量隨初始含氣量升高而降低；在大于空氣分離壓的范圍內(nèi)，有效彈性模量隨升壓時間的增加而降低。李孝祿等[11-12]基于有效體積彈性模量理論模型，利用高速攝像機獲得不同類別流體(泡狀流、彈狀流、塞狀流和環(huán)狀流)的狀態(tài)圖，通過圖像處理分析了含氣率和有效彈性模量之間的關(guān)系，結(jié)果表明：制動液的有效彈性模量隨含氣率的升高而降低，且在含氣率大于1%時，為滿足制動效果需提高其制動壓力。袁曉明等[13]基于完全空化模型，以改進的Henry定律提出了更高精度的動態(tài)體積彈性模量預(yù)測模型(Model 1)，與3種穩(wěn)態(tài)模型和Sakama動態(tài)模型進行對比，并和實驗數(shù)據(jù)進行比較，結(jié)果表明：Model 1動態(tài)模型與實驗結(jié)果更接近，提高了預(yù)測的準確性。

上述學(xué)者僅在時間域上對體積彈性模量進行了預(yù)測，并未在空間上進行預(yù)測。因此，本文作者考慮空氣空化、蒸汽空化和偽空化3種空化效應(yīng)和由壓縮效應(yīng)引起的溫度變化，分別建立了傳動管中體積彈性模量均相流模型和動態(tài)模型，利用氣液混合物的流體狀態(tài)方程來連接壓力項，并結(jié)合Roe格式分解和Steger Warming通量分裂方法，提出一種新的數(shù)值求解方法來預(yù)測不同空化區(qū)中的壓力波傳播和瞬態(tài)氣體含量的變化，并預(yù)測體積彈性模量的時空演變。討論壓力、含氣率和溫度對動態(tài)體積彈性模量的影響，并比較兩種模型的區(qū)別。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 均相流模型

在傳動管中，考慮傳動管內(nèi)壓縮前后傳動液的質(zhì)量守恒以及流動對管壁剪切應(yīng)力的影響，以密度ρ和動量ρu作為守恒變量，采用質(zhì)量守恒方程和動量守恒方程對可壓縮氣液兩相流動進行數(shù)學(xué)建模，得到守恒型流體動力學(xué)方程組，并用矩陣的形式表達：

(1)

式中：ρ為混合物流體密度，kg/m3；u為傳動液流速，m/s；p為傳動液壓力，Pa；t為時間變量，s；f為傳動液流動阻力系數(shù)，當(dāng)雷諾數(shù)Re≤2 000時，流動為層流，f=64/Re；當(dāng)雷諾數(shù)Re>2 000時，流動為紊流，f=0.316/Re0.25。

為研究動態(tài)體積彈性模量與傳動液在壓縮膨脹過程中氣體含量的關(guān)系，引入含氣率的表達式：

(2)

式中：χ是指空氣g或蒸汽v；α為含氣率，%；ρl為傳動液密度，kg/m3。

傳動液的密度按照流型的不同可分別表示為均勻泡狀流和分層流的函數(shù)：

(3)

理想氣體的狀態(tài)方程由氣體實驗定律和阿伏伽德羅定律給出：

P=ρχrχT

(4)

式中：r為氣體常數(shù)，J/(mol·K)；T為溫度，K。

對于正壓流流動，通常在空化區(qū)，溫度T是壓力p的函數(shù)，T=T(p)。在式(3)中傳動液的密度是壓力p和溫度T的函數(shù)，ρl=ρl(T,p)。

對于可壓縮流體的一維流動，在忽略邊界交換熱量的前提下，溫度場用能量守恒方程來表示：

(5)

式中：h為系統(tǒng)單位質(zhì)量的焓，J/kg；Q為系統(tǒng)內(nèi)單位質(zhì)量的黏性功率耗散，J/(kg·s)。

在等熵條件下，考慮純液體流動時液壓管內(nèi)的壓縮帶來溫度的變化，將任何過程中液體的壓力與溫度聯(lián)系起來，得到以下關(guān)系式[14]：

(6)

式中：Cp為定壓比熱容，J/(kg·K)；γT為等溫聲速，m/s；φ為熱膨脹系數(shù)，1/K；ET為等溫體積彈性模量，Pa。

傳動液聲速γ與體積彈性模量E有著密切關(guān)系，因此給出純液體流動、空氣空化和蒸汽空化時的聲速表達式：

(7)

在氣液兩相條件下，給出體積彈性模量E與聲速γ和含氣率α之間的關(guān)系：

(8)

均相流模型需要增加氣液混合物的狀態(tài)方程，才能使得方程組封閉。此研究中，將流體看作是純液體和一定量的空氣和蒸汽的均質(zhì)混合物，為求解氣液兩相流中的壓力項，需要用氣液混合物流體狀態(tài)方程連接。給定一個氣液質(zhì)量流量比μ，那么混合物流體密度ρ、氣體密度ρχ和含氣率α均為壓力p和溫度T的函數(shù)。式(6)給出了壓力與溫度的關(guān)系，從而可以得出混合物流體密度和壓力p、溫度T之間的關(guān)系：

(9)

式中：μ為氣液質(zhì)量流量比，%。

通過混合物流體狀態(tài)方程將壓力p與混合物流體密度ρ聯(lián)系起來，由于管內(nèi)流動會產(chǎn)生壓降，為此需給出壓力梯度的表達式：

(10)

1.2 體積彈性模量動態(tài)模型

在實際工作過程中，有效體積彈性模量表征傳動液的抗壓縮性，其定義為

E=-V(dp)/(dV)

(11)

抗壓縮特性主要受流體的壓力、含氣率和溫度影響，且隨著流體被壓縮，其溫度會增高，流體趨于膨脹，進而產(chǎn)生附加壓力。因此，出于對上述3種因素的考慮，將純傳動液(不含空氣與蒸汽)的有效體積彈性模量[15]簡化為

Ec=E0+κΔp+ηΔT

(12)

式中：Ec為純傳動液的有效體積彈性模量，Pa；E0為標準狀態(tài)下的有效體積彈性模量，Pa；κ為壓力變化系數(shù)；η為溫度變化系數(shù)。

在傳動液傳動過程中，由于傳動液本身溶解了部分空氣和傳動管中存在著部分空氣，在空化過程中產(chǎn)生的空氣與蒸汽會使含氣率升高，導(dǎo)致由壓力變化引起的傳動液體積改變，影響有效體積彈性模量。

考慮到純傳動液、空氣和蒸汽3種成分在過程中的變化，且壓力、含氣率和溫度隨時間變化，引入動態(tài)體積彈性模量的表達式，將式(11)改寫為

(13)

在標準大氣壓p0下的氣體壓縮方程為

(14)

式中：Vg0和Vv0分別為標準大氣壓p0下的空氣體積和蒸汽體積，m3。

純傳動液的體積由以下表達式[16]給出：

Vl(t)=Vl0e(p-p0)/Ec

(15)

將式(14)、(15)關(guān)于壓力p求導(dǎo)，代入式(13)得：

(16)

2 求解方法

(17)

采用Roe格式分解，對特征向量進行處理，得到流速u和密度ρ的平均表達式：

(18)

采用Steger-Warming通量分裂法在空間上進行流通量的離散，對時間項采用歐拉向前差分。差分格式如下：

(19)

3 數(shù)值結(jié)果與分析

3.1 傳動液的物性參數(shù)

CATANIA等[7]以高壓燃油噴射系統(tǒng)為研究對象，包括燃油泵、壓力管和單彈簧噴油器，并利用ISO 4113試驗油模擬柴油。在燃油泵出口和噴油器進口附近設(shè)置了一個壓阻傳感器，通過實驗收集兩端的壓力數(shù)據(jù)。在此研究中，ISO 4113試驗油[7]用于模擬純傳動液的密度、聲速和熱膨脹系數(shù)，這些參數(shù)是溫度T和壓力p的函數(shù)。

式(1)的初值條件為

(20)

此研究使用了圖1所示的壓力邊界條件[7]。

圖1 壓力邊界條件[7]

模擬中使用的其他參數(shù)如表1所示。初始氣體含量設(shè)置為1.425%，包括溶解在傳動液中的氣體和氣泡形式存在的氣體。模擬中使用的網(wǎng)格大小為0.01 m×2.5 μs(480萬個網(wǎng)格)。通過入口和出口壓力波的壓力差來模擬傳動液的壓縮和膨脹過程。

表1 模擬計算所需的參數(shù)

3.2 體積彈性模量的時空演變

為了清晰地表達傳動液體積彈性模量的時空演變，在圖2中繪制了沿時間和管道軸向方向的體積彈性模量變化的三維表示和映射投影。可以看出：體積彈性模量最大達到1 570 MPa。體積彈性模量主要受壓力、含氣率和溫度的影響，在時空中發(fā)生變化，且在空化區(qū)域的變化尤為劇烈。在x=0～0.51 m、t=0.1～0.14 s以及t=0～0.06 s、t=0.16～0.24 s的部分區(qū)域，體積彈性模量為較低值。

圖2 體積彈性模量變化的三維表示和映射投影

3.3 壓力對動態(tài)體積彈性模量的影響

圖3為傳動液壓力變化的三維表示和映射投影。可以看出：壓力波在傳動管中傳播，在傳動液初始壓力為0.6 MPa的條件下，最大壓力可達到約50 MPa。當(dāng)t=0.1～0.14 s、x=0～0.51 m時，傳動液壓力顯著下降，其壓力接近甚至低于飽和蒸汽壓，蒸汽的局部空化效應(yīng)發(fā)生在傳動管入口附近。隨后，沿著管道軸向方向，傳動液壓力開始增加。從壓力波動的角度來看，傳動液壓力的變化趨勢與CATANIA等[7]的結(jié)果相同。

圖3 壓力變化的三維表示和映射投影

圖4為均相流模型與動態(tài)模型下的動態(tài)體積彈性模量在管內(nèi)不同位置隨壓力的變化?？梢钥闯觯寒?dāng)壓力小于1 MPa，管內(nèi)任意位置的動態(tài)體積彈性模量隨著壓力的變化相同；當(dāng)壓力在1～10 MPa內(nèi)時，動態(tài)體積彈性模量隨壓力增大而快速增大，其變化率在不斷減??；當(dāng)壓力大于10 MPa時，在均相流模型中，動態(tài)體積彈性模量隨壓力緩慢增加，而動態(tài)模型下的動態(tài)體積彈性模量最終穩(wěn)定在1 290 MPa。

圖4 管內(nèi)不同位置的體積彈性模量隨壓力的變化

圖5為均相流模型與動態(tài)模型下的動態(tài)體積彈性模量比較結(jié)果。可以看出：在空氣空化后的高壓區(qū)，均相流模型得到的動態(tài)體積彈性模量要高于動態(tài)模型。這是由于均相流模型直接以能量守恒方程得到溫度變化，在這個階段，壓力從低壓區(qū)快速傳播至高壓區(qū)，溫度迅速升高；而動態(tài)模型以升溫系數(shù)與溫差的比例關(guān)系得到溫度變化，在這個階段溫度趨于平穩(wěn)。這使得純液體的有效體積彈性模量在低壓區(qū)向高壓區(qū)轉(zhuǎn)變的過程中會有較大差異，最終影響混合物的動態(tài)體積彈性模量。在低壓區(qū)，兩種模型的預(yù)測結(jié)果吻合，而在蒸汽空化后的高壓區(qū)，兩種模型的預(yù)測結(jié)果存在較小的差別。

3.4 含氣率對動態(tài)體積彈性模量的影響

圖6為含氣率變化的三維表示和映射投影，其被分為3個區(qū)域。深黃色區(qū)域代表空氣空化區(qū)，主要發(fā)生在整個管道的0～0.04 s和0.2～0.24 s時間間隔內(nèi)。壓力下降至空氣分離壓以下，氣泡迅速產(chǎn)生，最大含氣率約為1.425%。橙紅色區(qū)域表示蒸汽空化區(qū)。這一過程主要發(fā)生在x=0～0.51 m、t=0.1～0.14 s。隨著時間的推移，空化區(qū)移動到管的中部并不斷收縮，蒸汽空化程度在x= 0.45 m左右達到最大，含氣率最大達到1.925%，這與文獻[7]中的最大含氣率相近。紫色區(qū)域代表偽空化區(qū)，占據(jù)了大部分時空區(qū)域，含氣率隨壓力增大而減小。

圖6 含氣率變化的三維表示和映射投影

圖7為均相流模型與動態(tài)模型下的動態(tài)體積彈性模量在不同初始含氣率下隨壓力的變化?？梢钥闯?，給定初始含氣率的條件下，動態(tài)體積彈性模量隨著壓力的增大而增大。當(dāng)壓力小于1 MPa時，動態(tài)體積彈性模量變化率隨初始含氣率增大而減小。當(dāng)壓力在1～10 MPa內(nèi)時，動態(tài)體積彈性模量隨壓力增大而快速增大，其變化率逐漸減小。當(dāng)初始含氣率小于5%，動態(tài)模型下的動態(tài)體積彈性模量的變化曲線要比均相流模型所得曲線更加平滑。而當(dāng)初始含氣率為10%，動態(tài)模型下的動態(tài)體積彈性模量變化率在5 MPa和7.5 MPa的壓力下突增。當(dāng)壓力大于10 MPa，均相流模型中，動態(tài)體積彈性模量隨壓力緩慢增加。而在動態(tài)模型中，隨著初始含氣率的降低，動態(tài)體積彈性模量更快趨于平穩(wěn)，這與文獻[9]中的趨勢一致。

圖7 不同初始含氣率下動態(tài)體積彈性模量隨壓力的變化

圖8為均相流模型與動態(tài)模型下管內(nèi)不同位置的動態(tài)體積彈性模量隨含氣率的變化?？芍汗艿廊肟谂c出口附近的動態(tài)體積彈性模量隨含氣率的增加而逐漸減小。當(dāng)α<0.2%時，管道中間部分的動態(tài)體積彈性模量迅速降低，這是因為這些位置的壓降過快。當(dāng)α=0.2%～1%時，動態(tài)體積彈性模量隨含氣率的增加呈線性下降的趨勢。當(dāng)α>1%時，管內(nèi)任意位置的動態(tài)體積彈性模量變化一致。由此可以看出：在偽空化區(qū)，含氣率會影響動態(tài)體積彈性模量的變化率，而在空氣和蒸汽空化區(qū)幾乎沒有影響。但在空氣和蒸汽空化區(qū)的動態(tài)體積彈性模量更低，更不利于壓力的傳遞。

圖8 管內(nèi)不同位置的動態(tài)體積彈性模量隨含氣率的變化

3.5 溫度對動態(tài)體積彈性模量的影響

圖9為傳動液溫度變化的三維表示和映射投影。溫度隨時間變化的最大幅值接近6 K，而CATANIA等[7]獲得了約7 K的溫度變化。在此研究中，未考慮空化區(qū)氣液相變和外部交換熱產(chǎn)生的熱量，但模擬溫度變化的最大幅值接近CATANIA等的結(jié)果。映射投影表明，正向流動中的溫度增速比反向流動更快。此外，蒸汽空化區(qū)中的溫度變化小于偽空化區(qū)中溫度變化。

圖9 溫度變化的三維表示和映射投影

圖10為均相流模型與動態(tài)模型下的動態(tài)體積彈性模量在不同初始溫度下隨壓力的變化?？芍?dāng)壓力小于1 MPa時，均相流模型中，不同初始溫度下的動態(tài)體積彈性模量變化相差不大。在動態(tài)模型中，初始溫度為293.15、353.15 K時，動態(tài)體積彈性模量呈線性增長，而初始溫度為308.15、323.15、338.15 K時，動態(tài)體積彈性模量僅在0～ 0.4 MPa內(nèi)呈線性增長。當(dāng)壓力在1～7.5 MPa內(nèi)時，均相流模型中，動態(tài)體積彈性模量隨初始溫度增大而減??；而在動態(tài)模型中，當(dāng)壓力在0.4～1.0 MPa內(nèi)時，初始溫度在338.15～353.15 K內(nèi)，動態(tài)體積彈性模量隨初始溫度增大而增大。當(dāng)壓力大于7.5 MPa時，均相流模型中，動態(tài)體積彈性模量呈緩慢線性增長；而在動態(tài)模型中，動態(tài)體積彈性模量趨于穩(wěn)定。

圖10 不同初始溫度下體積彈性模量隨壓力的變化

4 結(jié)論

傳動液中常含有空氣和蒸汽，在壓力波動的情況下傳動液含氣率隨之發(fā)生變化。含氣率的變化影響傳動液動態(tài)體積彈性模量，進而影響傳動系統(tǒng)的精準調(diào)控。為此，建立了均相流模型預(yù)測體積彈性模量的時空演化以及動態(tài)模型預(yù)測動態(tài)體積彈性模量，分析壓力、含氣率和溫度對動態(tài)體積彈性模量的影響，并將均相流模型和動態(tài)模型的預(yù)測結(jié)果進行對比。結(jié)果表明，均相流模型適用于低壓條件，而動態(tài)模型在高壓區(qū)也同樣適用。

(1) 當(dāng)壓力小于1 MPa時，動態(tài)體積彈性模量隨壓力增大而增大。當(dāng)壓力在1～10 MPa內(nèi)時，動態(tài)體積彈性模量隨壓力增大而快速增大，其變化率不斷減小。當(dāng)壓力大于10 MPa時，在均相流模型中，動態(tài)體積彈性模量隨壓力增大而呈線性緩慢增長趨勢；而在動態(tài)模型中，氣體將不斷溶解，動態(tài)體積彈性模量隨壓力增大而穩(wěn)定在1 290 MPa。

(2) 動態(tài)體積彈性模量隨含氣率增大而減小，其變化率不斷減小。當(dāng)初始含氣率小于5%時，動態(tài)模型預(yù)測動態(tài)體積彈性模量-壓力曲線相比均相流模型更平滑，而初始含氣率在10%的情況下，均相流模型的預(yù)測曲線更平滑。

(3) 動態(tài)體積彈性模量隨溫度增大而減小，其變化率不斷減小。在低壓區(qū)，當(dāng)初始溫度為293.15 、353.15 K時，兩種模型預(yù)測結(jié)果相同。當(dāng)壓力大于7.5 MPa，均相流模型中，動態(tài)體積彈性模量呈緩慢線性增長，而在動態(tài)模型中，動態(tài)體積彈性模量趨于穩(wěn)定。