基于模擬退火粒子群算法與小沖桿試驗(yàn)確定材料塑性性能的方法

單應(yīng)強(qiáng)， 鐘繼如， 王瓊琦， 關(guān)凱書(shū)

（華東理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院, 承壓系統(tǒng)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200237）

近年來(lái)，長(zhǎng)距離油氣輸送管道發(fā)展迅猛，管道在高溫、高壓、易腐環(huán)境中長(zhǎng)期工作極易出現(xiàn)力學(xué)性能下降、脆化、甚至開(kāi)裂等失效情況。為了保證管道在役期間的安全工作，需要對(duì)其力學(xué)性能進(jìn)行測(cè)試評(píng)價(jià)。雖然常用的測(cè)試手段如單軸拉伸試驗(yàn)、緊湊拉伸試驗(yàn)等已較為成熟，但其所需的試樣尺寸均較大，取樣對(duì)管道的破壞不可避免，在一些特定的區(qū)域部位，甚至無(wú)法獲得所需尺寸的試樣。小沖桿試驗(yàn)作為一種可以在在役管道上，以近乎“無(wú)損評(píng)價(jià)”的測(cè)試方法獲得了越來(lái)越多的關(guān)注[1-2]，其試樣尺寸一般為?10 mm×0.5 mm，通過(guò)對(duì)圓形試樣中心進(jìn)行擠壓加載直至斷裂，得到小沖桿試驗(yàn)的載荷-位移曲線，從而對(duì)材料性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。

目前通過(guò)小沖桿試驗(yàn)評(píng)價(jià)材料的單軸拉伸力學(xué)性能已有了很大的進(jìn)展。在強(qiáng)度方面，韓浩[3]、Zhong[4]、徐亮[5]等分別通過(guò)經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)、數(shù)據(jù)庫(kù)和試驗(yàn)標(biāo)定的逆向有限元方法，獲得了材料的屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度。但在材料塑性指標(biāo)上卻鮮有報(bào)道，目前從小沖桿試驗(yàn)中獲取斷面收縮率和斷后伸長(zhǎng)率，一般采用與小沖桿試樣斷口厚度和中心最大位移進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)的方法[6-7]，然而由于試驗(yàn)條件不統(tǒng)一，且試樣存在尺寸效應(yīng)[8-9]、幾何非線性等問(wèn)題，獲得的經(jīng)驗(yàn)公式并不能通用。

本文提出了一種基于模擬退火粒子群算法（SAPSO），從小沖桿試驗(yàn)的載荷-位移曲線中，結(jié)合有限元模擬獲取材料斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的方法。通過(guò)對(duì)小沖桿試驗(yàn)曲線的反演標(biāo)定，獲取材料的Johnson-Cook（J-C）本構(gòu)模型參數(shù)，再利用獲得的材料參數(shù)模擬單軸拉伸試驗(yàn)，從而得到材料的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率。通過(guò)與單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，證明了該方法獲取塑性性能參數(shù)的可靠性。且相較于經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)的方法，本文提出的方法無(wú)需進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，更為高效，成本更低。

1 試驗(yàn)部分

1.1 試驗(yàn)材料

本文使用的材料是X65 和X70 管線鋼，試樣取自X65 和X70 管線鋼弧板。在垂直、平行軋制方向分別切取拉伸試樣；沿厚度方向切取小沖桿試樣。取樣方式如圖1 所示。

圖1 試樣切割示意圖Fig.1 Schematic diagram of sample cutting

1.2 單軸拉伸試驗(yàn)及結(jié)果

單軸拉伸試樣選擇光滑圓棒，根據(jù)GB/T 228.1—2010 進(jìn)行加工，其標(biāo)距段尺寸為 ? 5 mm×25 mm。試樣的具體尺寸如圖2 所示。由于材料體積受限，因此每個(gè)方向只進(jìn)行2 次平行試驗(yàn)。采用平行試驗(yàn)取平均值的方法，在型號(hào)為MTS Landmark 370.10 的拉伸試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行試驗(yàn)，獲取X65 和X70管線鋼的強(qiáng)度和塑性性能。

圖2 拉伸試樣尺寸圖（單位：mm）Fig.2 Size diagram of tensile specimen (Unit: mm)

X65 及X70 管線鋼的強(qiáng)度和塑性性能如表1所示。從表中結(jié)果可知，X65、X70 管線鋼不同取樣方向上的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率較為接近，因此在后文中取不同取樣方向上的平均值作為參考。

表1 材料單軸拉伸性能Table 1 Uniaxial tensile properties of materials

1.3 小沖桿試驗(yàn)及結(jié)果

按照GB/T 29459.1—2012 從弧板中切割小沖桿試樣，加工并研磨至 ? 10 mm×(0.5±0.01) mm。將研磨后的小沖桿試樣在11 μm(1 200 目)砂紙上稍稍打磨，以確保試樣表面粗糙度相同。隨后，每種材料在SPT-10 型微試樣測(cè)試機(jī)上進(jìn)行3 次小沖桿試驗(yàn)。本文采用的小沖桿試驗(yàn)裝置的示意圖如圖3所示。小沖桿試驗(yàn)中采用氮化硅陶瓷珠，直徑為2.5 mm。下夾具孔徑為4 mm 且有0.2 mm 的倒角。加載速度為0.2 mm/min，試樣在陶瓷珠的壓力下發(fā)生變形直至開(kāi)裂，并通過(guò)傳感器記錄此期間的載荷-位移曲線。圖4 所示為小沖桿試驗(yàn)典型的載荷-位移曲線，小沖桿試驗(yàn)的載荷-位移曲線和常規(guī)拉伸試驗(yàn)的曲線類似，可分為4 個(gè)不同的階段[7,10-11]：Ⅰ為彈性彎曲變形階段；Ⅱ?yàn)閺椝苄詮澢A段；Ⅲ為塑性強(qiáng)化階段；Ⅳ為材料損傷軟化和斷裂階段。

圖3 小沖桿試驗(yàn)裝置示意圖Fig.3 Schematic diagram of small punch test device

圖4 小沖桿試驗(yàn)典型載荷-位移曲線及分段Fig.4 Typical load-deflection curves and segments of small punch test

在X65 和X70 管線鋼弧板上分別切取3 個(gè)小沖桿試樣，進(jìn)行平行試驗(yàn)。其載荷-位移曲線如圖5 所示。從圖中可以看出，兩種材料的3 條平行試驗(yàn)曲線重合度較高，說(shuō)明制樣精良，所測(cè)得的載荷-位移曲線穩(wěn)定可靠。在后文中，采用3 條曲線中的中間條作為目標(biāo)曲線進(jìn)行試驗(yàn)。

圖5 X65 和X70 管線鋼小沖桿載荷-位移曲線Fig.5 Load-deflection curves of small punch test for X65 and X70 pipeline steels

2 基于模擬退火粒子群算法的反演方法

2.1 模擬退火粒子群算法

智能算法在有限元模擬的迭代計(jì)算當(dāng)中負(fù)責(zé)改變輸入有限元模型的材料參數(shù)，優(yōu)秀的算法能夠以更快的速度和準(zhǔn)確度確定材料的J-C 本構(gòu)參數(shù)。粒子群算法由Kennedy 和Eberhart 在1995 年提出[12-13]，其主要特點(diǎn)為信息共享，粒子群不斷調(diào)整自身的位置、前進(jìn)方向和前進(jìn)速度，最終逐漸收斂至最優(yōu)解。粒子群算法的缺點(diǎn)在于多極值的情況下，易收斂至局部最優(yōu)解[14]。模擬退火算法由Kirkpatrick 等在1983 年提出[15]，其模擬了固體物質(zhì)升溫、保溫和冷卻3 個(gè)階段，具有良好的搜索全局最優(yōu)解的能力。本文采用模擬退火粒子群智能算法作為材料參數(shù)迭代的基礎(chǔ)。模擬退火粒子群算法的優(yōu)越性已有多位學(xué)者進(jìn)行測(cè)試論述，劉愛(ài)軍等[16]采用了7 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)模擬退火粒子群算法進(jìn)行了測(cè)試。結(jié)果表明在連續(xù)單峰函數(shù)方面，相比遺傳算法，模擬退火粒子群算法搜索精度比其大2 個(gè)數(shù)量級(jí)、且收斂時(shí)間是其1/3；在復(fù)雜非線性多峰函數(shù)方面，對(duì)比遺傳算法、粒子群優(yōu)化算法、量子粒子群優(yōu)化算法、協(xié)同粒子群優(yōu)化算法，模擬退火粒子群算法收斂速度及精度依舊具有明顯優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[17-19]的研究結(jié)果也均表明模擬退火粒子群的優(yōu)越性。

模擬退火粒子群算法的原理與粒子群算法基本一致，但在粒子的更新迭代方式上存在差異，其粒子更新法則如下所示：

式中：pi,j為個(gè)體極值，下標(biāo)i、j分別為第j維度空間的第i個(gè)粒子， ω 為慣性權(quán)重，c為學(xué)習(xí)因子，r為[0,1]間的隨機(jī)數(shù)， υi、xi分別為粒子的速度向量和位置，t為迭代次數(shù)，pg_plus∈pi，按照Metropolis準(zhǔn)則接受差解的方法更新粒子[20]：

隨著計(jì)算的進(jìn)行，退火溫度Tr逐漸降低，算法接受差解的概率也隨之下降直至為0，其退火溫度的控制由以下函數(shù)控制：

式中： γ 為退火系數(shù)。

2.2 J-C 本構(gòu)模型參數(shù)的獲取

Johnson 等[21]在1983 年對(duì)多種材料的本構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了標(biāo)定，其提出的模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，意義明確，被大量應(yīng)用于有限元軟件中。本文基于有限元反演方法，利用有限元模擬從小沖桿試驗(yàn)的載荷-位移曲線中確定材料的J-C 本構(gòu)模型參數(shù)。J-C 本構(gòu)方程分為兩部分，第1 部分描述材料的彈塑性變化：

其中： σ 為等效應(yīng)力，Q為屈服應(yīng)力，B為硬化模量，εp為真實(shí)塑性應(yīng)變，n為硬化指數(shù)，C為應(yīng)變率指數(shù)， ε 為應(yīng)變率， ε0為參考應(yīng)變率，m為溫度指數(shù)，T為材料融化的開(kāi)爾文溫度。

第2 部分描述材料的損傷演化：

其中： εf為斷裂應(yīng)變，Di為材料參數(shù)， σ?為應(yīng)力三軸度。J=1 時(shí)，材料單元發(fā)生損傷演化， Δε 為塑性應(yīng)變?cè)隽?。?dāng)單元發(fā)生損傷演化時(shí)，還需確定材料的剛度退化參數(shù)Dc。

對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)的室溫小沖桿試驗(yàn)，不考慮應(yīng)變速率及溫度的影響，J-C 本構(gòu)方程可簡(jiǎn)化為以下形式：

因此需要確定的J-C 本構(gòu)模型參數(shù)分別為：Q、B、n、D1、D2、D3、Dc。為了求解方便，加快求解收斂速度，將以上未知參數(shù)分為塑性參數(shù)組和損傷參數(shù)組，對(duì)其依次進(jìn)行迭代提取，并假定D1=0 。其中塑性參數(shù)與小沖桿試驗(yàn)曲線中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ階段相關(guān)，損傷參數(shù)與Ⅳ階段相關(guān)，因此在迭代對(duì)比時(shí)采用不同區(qū)段的曲線。根據(jù)曲線趨勢(shì)，彈塑性參數(shù)對(duì)比段選用位移0～1.2 mm 間的曲線，損傷對(duì)比參數(shù)段則為位移從1.2 mm 至曲線末端。其具體分段對(duì)比如圖6 所示。

圖6 參數(shù)對(duì)比區(qū)段Fig.6 Parameter comparison section

使用模擬退火粒子群算法從小沖桿試驗(yàn)載荷-位移曲線中提取材料J-C 本構(gòu)模型參數(shù)的流程如圖7所示。首先隨機(jī)預(yù)設(shè)一組材料的塑性參數(shù)Q、B、n，將其輸入有限元軟件中模擬小沖桿試驗(yàn)，獲得對(duì)應(yīng)的載荷-位移曲線；然后將獲得的曲線與小沖桿試驗(yàn)彈塑性參數(shù)對(duì)比段進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算二者之間的偏差，其偏差可視為預(yù)設(shè)材料參數(shù)的函數(shù)，表示為：

圖7 有限元反演方法獲取材料參數(shù)流程圖Fig.7 Procedure of obtaining material parameters by inverse method

其中：f(Q,B,n) 表示試驗(yàn)曲線和模擬曲線的誤差，N為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)j,FE、Fj,Exp分別表示相同加載深度下的模擬載荷與試驗(yàn)載荷。

獲取兩條曲線誤差之后，判斷是否滿足要求（設(shè)為1%），若滿足要求，則計(jì)算終止，預(yù)設(shè)參數(shù)即為材料塑性參數(shù)；若不滿足要求，則通過(guò)智能算法改變輸入?yún)?shù)，進(jìn)行新一輪的對(duì)比計(jì)算，直至誤差低于1%。獲取材料塑性參數(shù)后，將其作為已知條件，代入有限元模擬，以小沖桿試驗(yàn)曲線的損傷參數(shù)對(duì)比段為目標(biāo)，迭代計(jì)算損傷參數(shù)，其具體計(jì)算流程與塑性參數(shù)組類似。

2.3 小沖桿試驗(yàn)有限元模型的建立

本研究采用的有限元軟件為ABAQUS。由于小沖桿試驗(yàn)的模型及邊界條件均具有軸對(duì)稱的性質(zhì)，因此將其簡(jiǎn)化為二維軸對(duì)稱模型。陶瓷珠及上、下夾具設(shè)置為剛體，試樣為變形體，泊松比為0.3，彈性模量設(shè)為200 GPa。上、下夾具、陶瓷珠與試樣間設(shè)置接觸，摩擦因數(shù)采用0.2。單元選擇四節(jié)點(diǎn)軸對(duì)稱縮減積分單元（CAX4R），網(wǎng)格尺寸為0.05 mm×0.05 mm。圖8 為小沖桿試驗(yàn)的有限元模型示意圖。

圖8 小沖桿試驗(yàn)有限元模型示意圖Fig.8 Schematic diagram of small punch test finite element model

2.4 模擬小沖桿曲線的計(jì)算結(jié)果

X65 管線鋼經(jīng)過(guò)多輪計(jì)算，彈塑性對(duì)比段最小誤差為1.24%，損傷對(duì)比段誤差為0.80%；X70 管線鋼經(jīng)過(guò)多輪計(jì)算，彈塑性對(duì)比段誤差為0.99%，損傷對(duì)比段誤差為0.44%。兩種管線鋼對(duì)比提取的J-C 本構(gòu)模型參數(shù)如表2 所示，其參數(shù)所對(duì)應(yīng)的模擬曲線如圖9 所示。從圖中可以看出，模擬曲線與試驗(yàn)曲線已相當(dāng)接近。在曲線末端，模擬曲線比試驗(yàn)曲線略微上翹，原因可能是在實(shí)際試驗(yàn)中，試樣由于并非完全均勻，裂紋一般在最薄弱處起裂，而在有限元模擬中，其裂紋擴(kuò)展仍是軸對(duì)稱的[22]。

表2 材料J-C 模型參數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 2 Parameter calculation results of J-C model for materials

圖9 模擬曲線與試驗(yàn)曲線的比較Fig.9 Comparison between simulation curve and test curve

3 單軸拉伸試驗(yàn)有限元模擬

為了將提取的J-C 本構(gòu)模型參數(shù)用于模擬單軸拉伸試驗(yàn)，從而獲取材料的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率，建立了如圖10 所示的有限元模型。模型及邊界條件均具有軸對(duì)稱特性，因此將其簡(jiǎn)化為二維1/2 平面模型，單元類型選用軸對(duì)稱單元（CAX4R）。模型尺寸與實(shí)際拉伸試樣尺寸相同。夾持端施加10 mm位移約束，平行段最右側(cè)施加x軸對(duì)稱約束。為了提高計(jì)算速度和精度，利用過(guò)渡網(wǎng)格對(duì)平行斷裂段進(jìn)行網(wǎng)格加密，細(xì)化前最大網(wǎng)格尺寸為0.3 mm×0.3 mm，由于J-C 本構(gòu)模型參數(shù)與網(wǎng)格尺寸相關(guān)，因此細(xì)化后網(wǎng)格尺寸仍為0.05 mm×0.05 mm。

圖10 單軸拉伸試驗(yàn)有限元模型Fig.10 Finite element model of uniaxial tensile test

模擬得到塑性性能指標(biāo)的計(jì)算參數(shù)如圖11 所示，圖中Lu為斷后標(biāo)距，Ru為斷后截面半徑。

圖11 塑性指標(biāo)的計(jì)算Fig.11 Calculation of plasticity index

斷后伸長(zhǎng)率（A）和斷面收縮率（Z）的計(jì)算公式見(jiàn)式（10）和式（11）。

式中：L0是原始標(biāo)距，S0為平行段原始橫截面積，Su為斷后試樣的最小橫截面積。

表3 所示為小沖桿試驗(yàn)與單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)得的材料塑性結(jié)果對(duì)比。從表3 中的數(shù)據(jù)可以看出，通過(guò)以上方法，從小沖桿試驗(yàn)的載荷-位移曲線獲得的材料塑性參數(shù)中，僅X65 管線鋼的斷后伸長(zhǎng)率與試驗(yàn)結(jié)果相差較大，相對(duì)誤差為23.58%，但其絕對(duì)誤差僅為4.48%；X65 管線鋼的斷面收縮率及X70 管線鋼的斷后伸長(zhǎng)率、斷面收縮率均與試驗(yàn)結(jié)果較為接近，誤差均在10%以內(nèi)，X65 管線鋼的斷面收縮率、X70 管線鋼的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率的絕對(duì)誤差分別為3.07%、1.91%和1.41%。

表3 小沖桿試驗(yàn)和單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)得的材料塑性指標(biāo)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of the results of material plasticity index measured by small punch test and uniaxial tensile test

采用此種方法獲得的X65 管線鋼斷后伸長(zhǎng)率誤差偏大的原因是：在基于模擬退火粒子群算法，對(duì)小沖桿試驗(yàn)曲線進(jìn)行迭代逼近時(shí)，模擬的X65 管線鋼小沖桿曲線的彈塑性對(duì)比段與實(shí)際曲線的相對(duì)誤差為1.24%，未能如同X70 管線鋼一樣收斂至1%以下，且損傷對(duì)比段曲線誤差也大于X70 管線鋼。這是由于J-C 本構(gòu)模型作為一個(gè)用于金屬大變形、高應(yīng)變率和高溫情況的理想剛塑性強(qiáng)化模型[23-24]，實(shí)際鋼材的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與理想模型存在一定的差異。最終導(dǎo)致所獲取的J-C 本構(gòu)參數(shù)及塑性參數(shù)仍與實(shí)際值存在一定誤差。從X70 管線鋼的數(shù)據(jù)也可以看出，通過(guò)智能算法，誤差函數(shù)收斂值越小，最終獲得的J-C 本構(gòu)模型參數(shù)及模擬獲得的塑性參數(shù)結(jié)果將越接近實(shí)際值。除此之外，X65 管線鋼實(shí)際斷后伸長(zhǎng)率為19%，模擬獲得的斷后伸長(zhǎng)率與實(shí)際值的絕對(duì)誤差值小于5%，但由于本身對(duì)比值較小，因此相對(duì)誤差比較大。

在有限元模擬小沖桿試驗(yàn)以及單軸拉伸試驗(yàn)的過(guò)程中，本文采用了Johnson-Cook 模型來(lái)描述材料的本構(gòu)關(guān)系，且假設(shè)單軸拉伸試驗(yàn)以及小沖桿試驗(yàn)的真應(yīng)力-應(yīng)變曲線一致，即描述小沖桿試樣變形的真應(yīng)力-應(yīng)變曲線也能用于描述單軸拉伸試樣的變形。這兩種假設(shè)均廣泛應(yīng)用于小沖桿試驗(yàn)的研究[25-29]，因此認(rèn)為本文建立的從小沖桿試驗(yàn)評(píng)價(jià)材料塑性性能的方法具有普適性。

因此，借助模擬退火粒子群算法，從小沖桿試驗(yàn)的載荷-位移曲線中，通過(guò)有限元反演方法可以較為準(zhǔn)確地獲取材料J-C 模型本構(gòu)參數(shù)，并可用于有限元模擬，從而準(zhǔn)確高效地評(píng)價(jià)金屬材料的塑性性能。

4 結(jié) 論

由于小沖桿試驗(yàn)存在尺寸效應(yīng)以及幾何非線性的問(wèn)題，從小沖桿試驗(yàn)獲取材料的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率一直是一個(gè)難題，以往的少數(shù)研究均采用經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)的方法，適用范圍有限。本文借助了有限元模擬和模擬退火粒子群算法，實(shí)現(xiàn)了從小沖桿曲線中提取材料J-C 本構(gòu)參數(shù)，并通過(guò)模擬單軸拉伸試驗(yàn)獲得材料的斷后伸長(zhǎng)率和斷面收縮率，從而建立了小沖桿試驗(yàn)評(píng)價(jià)材料塑性性能的方法。該方法基于被廣泛采用的單軸拉伸試驗(yàn)與小沖桿試驗(yàn)真應(yīng)力應(yīng)變曲線一致假設(shè)，因此具有普適性。

通過(guò)這個(gè)方法獲得的X65 管線鋼的斷后伸長(zhǎng)率的絕對(duì)誤差為4.48%，由于比對(duì)值相對(duì)較小，其相對(duì)誤差為23.58%，斷面收縮率絕對(duì)誤差為3.07%，相對(duì)誤差為3.70%；X70 管線鋼的斷后伸長(zhǎng)率絕對(duì)誤差為1.91%，相對(duì)誤差為8.20%，斷面收縮率的絕對(duì)誤差為1.41%，相對(duì)誤差為1.72%。說(shuō)明通過(guò)該方法從小沖桿試驗(yàn)曲線中獲取的材料塑性參數(shù)具有一定的工程參考價(jià)值，為評(píng)價(jià)材料塑性性能提供了另一種可靠途徑。