凸顯“角度”價(jià)值，感悟度量本質(zhì)

劉琳娜 謝紅霞 劉加霞

摘 要：《角的度量》單元第一課時(shí)的教學(xué)，介紹古代器具的功能，讓學(xué)生體會(huì)角度的價(jià)值，激發(fā)“度量角”的需求；基于“歷史相似性”，讓學(xué)生用“特殊角”量角，感受“單位越小，度量結(jié)果越精確”；在介紹360°分度體系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生數(shù)1°角、在量角器上找角，感受度量單位的累加，熟悉量角器的結(jié)構(gòu)；借助現(xiàn)代生活情境，讓學(xué)生再次感悟角度的價(jià)值。由此，為下一課時(shí)正確使用量角器量角、畫角做好操作經(jīng)驗(yàn)和思想方法上的積累與鋪墊。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)史；角度；度量；單位累加

一、課前思考

角概念的本質(zhì)在于角的大小（角度）。小學(xué)數(shù)學(xué)中，四年級(jí)《角的度量》單元是在二年級(jí)《初步認(rèn)識(shí)角》單元的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)規(guī)范地測(cè)量角，培養(yǎng)學(xué)生的量感。感悟角度在生產(chǎn)、生活中的作用，才能激發(fā)“度量角”的需求，進(jìn)而體驗(yàn)定義度量單位以及創(chuàng)造量角器的必要性，感悟度量本質(zhì)。

對(duì)此，我們思考了以下問(wèn)題：（1）借助什么情境更能凸顯角度的重要性，引發(fā)度量角的需求，同時(shí)滲透中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化？（2）在量角器產(chǎn)生前，古人是如何量角的？這些方法的本質(zhì)是什么？是否在第一課時(shí)就直奔“用量角器量角”的主題？（3）量角器是如何產(chǎn)生的？學(xué)生用量角器量角會(huì)遇到哪些困難？怎樣幫助學(xué)生突破這些難點(diǎn)？

現(xiàn)行各版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有的直接比較兩個(gè)角的大小，沒(méi)有設(shè)計(jì)引發(fā)度量需求的情境；有的借助“滑梯”情境引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注角度的作用，這一情境雖然貼近學(xué)生生活，但還不能體現(xiàn)角度在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用，也不能讓學(xué)生感受到勞動(dòng)人民的智慧。事實(shí)上，早在兩千多年前，我國(guó)古代科技典籍《考工記》一書就記載了古人在生產(chǎn)活動(dòng)中如何處理所遇到的角度問(wèn)題。因此，我們選擇中國(guó)古代兵器、樂(lè)器、農(nóng)具上的“角度”作為引入情境，既激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，又讓學(xué)生加深對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)技藝的了解，感悟勞動(dòng)人民的智慧。

進(jìn)一步查閱文獻(xiàn)可知，中國(guó)古人對(duì)角度概念，首先是以矩（直角）為基礎(chǔ)構(gòu)造出一些特殊角，用特殊角來(lái)創(chuàng)生其他角度概念；隨著利瑪竇與徐光啟合作編譯的《幾何原本》的傳入，中國(guó)古人才真正從360°分度體系的角度認(rèn)識(shí)一般意義的角，而量角器（《幾何原本》中提到的“有度之圓界”）就是360°分度體系的產(chǎn)物?！皻v史為教學(xué)提供了一面鏡子。” ?［1］ 從歷史相似性的視角看，感悟度量本質(zhì)有兩條關(guān)鍵的路徑：一是借助“特殊角”測(cè)量并刻畫未知角度，二是通過(guò)1°角累加得到更多新的角度。

會(huì)用量角器量角只是一種基本技能，為了培養(yǎng)學(xué)生的量感，還必須讓學(xué)生思考量角器是怎樣形成的，理解量角的本質(zhì)是“要量的角”與“量角器上的角”重合，量角器上的角是各個(gè)單位角“有序”累加得到的。由此就能知道學(xué)生量角時(shí)的真困難：在量角器上找不到角，難以將量角器上的角與要量的角疊合；量角器有兩圈刻度，不知道何時(shí)讀外圈、何時(shí)讀內(nèi)圈的刻度。突破這些難點(diǎn)，絕不僅僅是記住量角的口訣（點(diǎn)對(duì)點(diǎn)，線對(duì)線，從零開(kāi)始看），再把口訣轉(zhuǎn)化為操作的流程，而需要了解量角器的結(jié)構(gòu)本質(zhì)，看到量角器上“密布著”一個(gè)又一個(gè)的“角”。

因此，我們決定在《角的度量》單元的第一課時(shí)，不急于讓學(xué)生用量角器測(cè)量角的大小，而創(chuàng)設(shè)“古人沒(méi)有量角器怎么辦”的問(wèn)題情境，從“特殊角”入手，在“用小角量大角”的活動(dòng)中引發(fā)學(xué)生對(duì)“單位累加”“度量值不夠精確時(shí)要使用更小單位”等度量本質(zhì)（思想）的深層次體驗(yàn)，繼而介紹360°分度體系來(lái)得到1°角，通過(guò)“180個(gè)1°角累加”“在量角器上找角”等活動(dòng)，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)度量本質(zhì)，更為清晰地看到量角器的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，為下節(jié)課正確使用量角器量角、畫角做好鋪墊。需要指出的是，幾個(gè)版本的教材都設(shè)計(jì)了“用小角量大角”的活動(dòng)，但是，其中要量的角都是銳角；我們用鈍角替換教材中的銳角，

從而讓學(xué)生可以用到“矩”（直角）這個(gè)特殊角進(jìn)行度量。

基于上述思考，我們確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：（1）能在了解古人兵器、樂(lè)器、農(nóng)具功能的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到“角的大小”決定了角在生活中應(yīng)用廣泛；（2）能在“用小角量大角”的活動(dòng)中，體會(huì)度量單位的作用，感知單位越小度量結(jié)果越精確；了解1°角的產(chǎn)生過(guò)程，會(huì)用1°角的累加得到其他角度，形成和發(fā)展量感；（3）能經(jīng)歷量角器產(chǎn)生的過(guò)程，認(rèn)識(shí)量角器的結(jié)構(gòu)，會(huì)在量角器上找出大小不同的角，讀出畫在量角器上的角的度數(shù)；（4）能感受角度與古今生活的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的眼光和應(yīng)用意識(shí)，感受古人的智慧。

二、課堂實(shí)踐

（一）介紹古代器具的功能，體會(huì)角度的價(jià)值

師 ??生活中常常會(huì)用到“角”，在古代也是如此。 （出示下頁(yè)圖1—圖4） 圖1、圖2是古代的兩種兵器，分別叫作戈和戟；圖3是古代的一種打擊樂(lè)器，叫作磬，它被敲打后可以發(fā)出好聽(tīng)的聲音；圖4是古代的一種農(nóng)具，叫作耒耜，用來(lái)翻土，播種莊稼。

（學(xué)生觀察圖片。）

師 ???圖中的這些器具，在制造的過(guò)程中都用到了角度。 （同步指圖） 比如，如果戈這個(gè)地方的角度太大，攻擊敵人時(shí)就打不進(jìn)去；如果角度太小，給敵人造成的傷害就太小。在農(nóng)具的使用上，不同角度的耒耜適應(yīng)耕種軟硬程度不同的土地?？戳诉@幾幅圖片，聽(tīng)了老師的介紹，你有什么感受？

生 ??生活中經(jīng)常能看到角，制造不同的東西要用不同的角度。

師 ??看樣子角度非常重要，生活中用到不同的角實(shí)際上是角度在起作用。

借助古人制造兵器、樂(lè)器、農(nóng)具等應(yīng)用角度的情境，讓學(xué)生知道角度在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)角度的興趣。

（二）用“特殊角”量角，感受“單位越小，度量結(jié)果越精確”

師 ??古人要想制造這些器具，怎么確定這些角的大小？

生 ??可以用量角器量。

師 ??古代還沒(méi)有量角器，怎么辦呢？

生 ??可以用三角板上的角去量。

師 ??我們可以找到一些特殊的角來(lái)量一量。大屏幕上的圖中標(biāo)出了4個(gè)器具中的4個(gè)角。我們請(qǐng)一位同學(xué)上來(lái)選一個(gè)角，用三角板上的角來(lái)量一下。

（一名學(xué)生上臺(tái)，選擇了戟進(jìn)行測(cè)量，她將三角尺上的直角與戟中標(biāo)出的角進(jìn)行了比對(duì)。）

生 ???用三角尺上的直角去量戟的這個(gè)角，剛好一樣大，所以，戟的這個(gè)角應(yīng)該是直角。

師 ??這位同學(xué)找到了三角尺上的直角，用兩個(gè)角重合的方式量出戟的這個(gè)角也是一個(gè)直角。在我國(guó)古代并沒(méi)有“直角”這個(gè)詞，?（同步板書） 直角被稱為“矩”，鈍角被稱為“倨”，銳角被稱為“句”。對(duì)于古人來(lái)說(shuō)，在沒(méi)有量角器的情況下，直角是一個(gè)特別重要的存在，很多角度都是在直角的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得到的。

（出示學(xué)習(xí)單中的∠1，如圖5所示） 接下來(lái)，請(qǐng)大家用三角尺上的角去量一量學(xué)習(xí)單上的∠1有多大，想一想怎樣表達(dá)出、記錄下你測(cè)量的結(jié)果。

（學(xué)生獨(dú)立完成后同桌兩人交流。）

師 ??誰(shuí)來(lái)展示一下自己是怎么量的？完成這個(gè)任務(wù)的時(shí)候有什么困惑和問(wèn)題？

生 ???（展示量法，如圖6所示） 我發(fā)現(xiàn)用直角擺上去的時(shí)候，會(huì)缺一塊，說(shuō)明這個(gè)角比直角大。

生 ????（展示量法，如圖7所示） 我擺了一個(gè)三角板的直角之后，又找了一個(gè)30°的角放上去，發(fā)現(xiàn)多了，說(shuō)明這個(gè)角比90°+30°小一些。我估計(jì)了一下，可能是110°左右。

師 ??發(fā)現(xiàn)比90°大，又比90°+30°小一些，你為什么沒(méi)有用兩個(gè)直角來(lái)量呢？

生 ??用兩個(gè)直角，差得太大了，不準(zhǔn)確。

生 ???（展示量法，如圖8所示） 我還有一種方法，不用直角了，都用比直角小的角，這樣這個(gè)角的大小就是所用的三個(gè)角相加的結(jié)果。我發(fā)現(xiàn)，結(jié)果更精確了。

生 ??可還是有一點(diǎn)點(diǎn)縫隙，三角板上的角是固定的，不能調(diào)，所以怎么量都有誤差。

生 ??還可以用更小的角。

師 ??就是把標(biāo)準(zhǔn)或者單位變得更小。

生 ??可以用量角器。

在用三角板上的幾個(gè)特殊角相加來(lái)表示未知角的過(guò)程中，再現(xiàn)了我國(guó)古人表示角的方法，讓學(xué)生感悟度量的可加性，初步感知度量工具和度量方法引起的誤差;同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)把單位變小來(lái)得到更為精確的度量結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生的量感。

（三）借助量角器上的1°角，介紹角的360°分度計(jì)量體系

師 ??有同學(xué)提到了量角器，為什么用量角器量會(huì)更精確呢？是因?yàn)榱拷瞧魃嫌惺裁矗?/p>

生 ??有刻度線。

生 ??有小格，就像1厘米、1毫米一樣。

生 ??有1°角。

師 ??1°角是如何產(chǎn)生的？

生 ??把一個(gè)圓平均分成360份，1份就是1°。

師 ??意思到了，但是表達(dá)不夠準(zhǔn)確。

（教師播放視頻，介紹西方天文學(xué)上角的360°分度計(jì)量體系，讓學(xué)生感受到：有了統(tǒng)一的、更小的1°角這個(gè)單位，度量結(jié)果更精確。）

生 ??我發(fā)現(xiàn)，量角器上，10°對(duì)著的大約是1厘米，那1°就大約是1毫米。

師 ??角不能用一個(gè)固定的長(zhǎng)度來(lái)表示哦。

順應(yīng)學(xué)生在把度量單位變小的基礎(chǔ)上想到的量角器，提問(wèn)“為什么用量角器量會(huì)更精確”，引發(fā)學(xué)生對(duì)量角器結(jié)構(gòu)的思考。抓住學(xué)生回答的1°角，引出360°分度計(jì)量體系。這時(shí)，一名學(xué)生想到用角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)（也可能是弦長(zhǎng)）來(lái)刻畫角的大小，但是，教師沒(méi)有聽(tīng)懂，直接否定了該學(xué)生的想法。實(shí)際上，中國(guó)古人的“以規(guī)生度”就是用“弧長(zhǎng)”表示“角度”的。如果教師能肯定學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生在課后或在今后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)研究“長(zhǎng)度能否表示角的大小”這個(gè)問(wèn)題，就能為學(xué)生找到思維的生長(zhǎng)點(diǎn)。

（四）數(shù)1°角，感受度量單位的累加

師 ???回憶一下，我們?cè)跍y(cè)量長(zhǎng)度時(shí)，找到的單位長(zhǎng)度是1 cm、1 dm、1 m……在測(cè)量面積時(shí)，找到的面積單位是1 cm 2、 ??1 dm 2 、

1 m 2……所以剛才有同學(xué)聯(lián)想到了角的度量可以選擇1°角作為度量單位。這個(gè)想法可真棒！我們把1°角進(jìn)行累加，看看會(huì)發(fā)生什么？

（教師出示1°角。）

生 ??1°角太小了！

（教師累加5個(gè)1°角，同時(shí)讓學(xué)生計(jì)數(shù)，得到“5個(gè)1°是5°”的結(jié)論；繼續(xù)累加，繼續(xù)計(jì)數(shù)，得到“10個(gè)1°是10°”；然后10°、10°地累加得到180°。教師讓學(xué)生指認(rèn)所有角的頂點(diǎn)，學(xué)生知道頂點(diǎn)就在半圓的中心。這時(shí)，教師才呈現(xiàn)出量角器。整個(gè)過(guò)程如圖9所示。）

度量的本質(zhì)是單位的累加。帶領(lǐng)學(xué)生從1°角到180個(gè)1°角，開(kāi)展數(shù)角及找角活動(dòng)，初步感受角的大小是1°角的累加；再借助180個(gè)1°角累加起來(lái)的模型，初識(shí)量角器的結(jié)構(gòu)，初步感知量角器上的角。

（五）在量角器上找角，熟悉量角器的結(jié)構(gòu)

師 ??剛上課就有同學(xué)說(shuō)用量角器量角，量角器就是測(cè)量角的大小的工具。觀察一下量角器，上面都有什么？

生 ??量角器上有數(shù)，有刻度。

師 ??外面這圈叫外圈刻度，里面這圈叫內(nèi)圈刻度。為什么會(huì)有兩圈刻度呢？

生 ???（上臺(tái)同步比畫） 量的時(shí)候，如果角沖這邊，就從這邊開(kāi)始數(shù)；如果從角沖那邊，就從那邊開(kāi)始數(shù)。

師 ??角的大小就是1°角的累加，我們?cè)跀?shù)刻度的時(shí)候要看清楚1°角在哪里，從哪個(gè)方向來(lái)數(shù)。量角器上還有什么？

生 ??量角器上還有許多線。每一條線都對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的刻度。

（教師布置在量角器上找角的任務(wù)：①在量角器上找出一個(gè)30°的角，說(shuō)一說(shuō)你是怎樣找到這個(gè)角的；②在量角器上任意找出一個(gè)角，并在印著量角器的學(xué)習(xí)單上畫出來(lái)。學(xué)生活動(dòng)。）

生 ???（上臺(tái)同步比畫） 我是從左邊0刻度線開(kāi)始，

（順時(shí)針） 數(shù)出30°的。

師 ??還有別的方法嗎？

生 ??我從30°開(kāi)始找，數(shù)到60°，這個(gè)角也是30°。

師 ??這說(shuō)明我們不一定要從0刻度線開(kāi)始找，而只要通過(guò)累加數(shù)出30°就可以了。誰(shuí)來(lái)展示一下畫出的角？

（一位學(xué)生展示了如圖10所示的角，引發(fā)了爭(zhēng)議：有同學(xué)說(shuō)是150°，有同學(xué)說(shuō)是30°。）

師 ??到底是多少度？

（多數(shù)學(xué)生認(rèn)可是150°。）

師 ??為什么是150°？

生 ??因?yàn)殚_(kāi)口沖左，所以讀外圈。

師 ??讀的時(shí)候，我們要看是從哪里開(kāi)始數(shù)、沿哪個(gè)方向數(shù)。

對(duì)這個(gè)角，我們要從0刻度線順時(shí)針一直數(shù)到150°。能讀30°嗎？

生 ??不可能是30°，因?yàn)橐豢淳捅戎苯谴蟆?/p>

師 ??對(duì)！通過(guò)與直角比較，也能判斷這個(gè)角不可能是30°。

（教師又邀請(qǐng)幾位學(xué)生展示自己畫出的角，讀出角的度數(shù)。）

用量角器量角就是將“要量的角”與“量角器上的角”重合。學(xué)生之所以在量角時(shí)出現(xiàn)困難，是因?yàn)檎也坏搅拷瞧魃系慕?，或不知道?yīng)該順時(shí)針還是逆時(shí)針讀出度數(shù)。為了破解這個(gè)難點(diǎn)，教師基于學(xué)生數(shù)角的經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)在量角器上找角的活動(dòng)，幫助學(xué)生進(jìn)一步感受角的大小是1°角的累加，熟悉量角器的構(gòu)造，從而合理得到度量結(jié)果。教師還借助學(xué)生讀數(shù)錯(cuò)誤、產(chǎn)生沖突的契機(jī)，再次幫助學(xué)生澄清了從哪里開(kāi)始數(shù)，沿哪個(gè)方向數(shù)。

（六）借助現(xiàn)代生活情境，再次感悟角度的價(jià)值

師 ??角度在古人的生活中很有用，在我們現(xiàn)在的生活中應(yīng)用也非常廣泛。請(qǐng)你舉出生活中的實(shí)例。

（學(xué)生舉出建造大樓、發(fā)射火箭等都需要用到角度。）

師 ???（出示圖11） 這是什么？

生 ??是滑雪的雪道。

師 ??對(duì)。北京剛剛成功舉辦了冬奧會(huì)，很多同學(xué)對(duì)雪上項(xiàng)目都有一定的了解。結(jié)合剛剛的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你估一估兩種

雪道這兩個(gè)角的度數(shù)分別是多少度？

生 ??30°、45°。

（教師抽象出雪道中的角，給出角的確切度數(shù)，分別是20°和45°。）

師 ??雪道的角度是有一定標(biāo)準(zhǔn)的。哪位同學(xué)來(lái)讀一讀關(guān)于雪道的小知識(shí)？

生 ???（朗讀） 一般來(lái)說(shuō)，初級(jí)道（綠道） 14°以下，中級(jí)道（藍(lán)道） 14°—21.8°，高級(jí)道（黑道） 21.8°以上。大眾滑雪

雪道的角度原則上限制在30°之內(nèi)。

師 ??請(qǐng)你根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷兩個(gè)雪道分別屬于什么級(jí)別的雪道。

生 ??1號(hào)雪道屬于中級(jí)道，2號(hào)雪道屬于高級(jí)道。

師 ??角度是判斷雪道級(jí)別的依據(jù)。生活中很多地方都

會(huì)用到角度的知識(shí)，比如椅背的傾斜角度、無(wú)障礙通道與地面形成的夾角，等等。課

后，同學(xué)們可以自己去查閱資料，看看這些角是多少度。只要用數(shù)學(xué)的眼光去觀察生活，就會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中有很多的數(shù)學(xué)奧秘。

現(xiàn)代生活中應(yīng)用角度的真實(shí)情境與課始

引入的古人生活情境起到呼應(yīng)作用，幫助學(xué)生感悟角度從古至今都在生活中發(fā)揮著重要的價(jià)值，再一次意識(shí)到角度的重要性；也搭建了數(shù)學(xué)與生活之間的橋梁，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與能力。

三、課后反思

本節(jié)課借鑒古代數(shù)學(xué)中角度概念和角度計(jì)量的發(fā)展歷史，將古人認(rèn)識(shí)角度的路徑與學(xué)生認(rèn)知角度的難點(diǎn)建立聯(lián)系。從介紹古人制造的器具的特點(diǎn)入手，極大地引發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！坝锰厥饨橇拷恰钡幕顒?dòng)再現(xiàn)了古人用特殊角來(lái)刻畫其他角度的思想，讓學(xué)生體會(huì)到度量單位產(chǎn)生的價(jià)值。

本節(jié)課的目標(biāo)并不停留在量角的操作技能層面，而從度量的思想本質(zhì)出發(fā)，重在落實(shí)學(xué)生量感的培養(yǎng)。教學(xué)中，我們深刻地感受到，數(shù)學(xué)發(fā)展史中蘊(yùn)含著大量可利用的、有價(jià)值的教學(xué)資源。對(duì)此，教師不能僅僅是“告知”，而需要在深刻理解數(shù)學(xué)本質(zhì)和發(fā)展脈絡(luò)的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地篩選和挖掘史料的教學(xué)功能和文化價(jià)值，尤其是結(jié)合課標(biāo)與教材要求進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)，以學(xué)生可接受的方式呈現(xiàn)。

數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的融入既可以有明線（史料），也可以有暗線（思想方法）。本節(jié)課中，學(xué)生盡管還沒(méi)有真正用量角器去量角（這個(gè)內(nèi)容設(shè)計(jì)在下節(jié)課），但是，猶如庖丁解牛，已經(jīng)對(duì)量角器的結(jié)構(gòu)有了較為全面的認(rèn)識(shí)，對(duì)度量方法的本質(zhì)有了較為深刻的理解，為后續(xù)量角、畫角從操作經(jīng)驗(yàn)到思想方法都做好了積累與鋪墊。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 汪曉勤.HPM視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（7/8）：77 83+2.