基于實(shí)際效果分解法分析斜拋運(yùn)動(dòng)問題

林溢源 沈 衛(wèi)

(湖州市菱湖中學(xué) 浙江 湖州 313018)

人教版高中物理必修第二冊(cè)教科書提出:仿照平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法能夠得到描述斜拋運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)關(guān)系式[1].因此在多數(shù)情況下,分析斜拋運(yùn)動(dòng)的方法還是遵循平拋運(yùn)動(dòng)的處理方式,即采用正交分解法將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為水平、豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng).此外運(yùn)用正交分解法分解運(yùn)動(dòng)或者力的時(shí)候可以沿著任意的兩個(gè)相互垂直的方向[2].

不過筆者在學(xué)習(xí)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),正交分解法雖然原理直觀簡潔,但在解決部分斜拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)會(huì)構(gòu)建過多的方程,計(jì)算略顯繁瑣,譬如從斜面底端斜上拋一個(gè)物體,計(jì)算其落在斜面上時(shí)與拋出點(diǎn)的距離,如圖1所示.如果遵循按實(shí)際效果分解的原理,將物體的運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)、豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng),則在一定程度上可以簡化問題的過程分析.

圖1 斜面上斜上拋物體示意圖

1 按實(shí)際效果分解法分析斜面上斜上拋運(yùn)動(dòng)

根據(jù)圖1,可將物體斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度v0方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).根據(jù)分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理可知,兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)不會(huì)相互影響且具備等時(shí)性的特點(diǎn).因此可構(gòu)建如圖2所示的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)位移的示意圖.

圖2 斜面斜上拋物體的分位移圖

由圖2可知,當(dāng)物體從O點(diǎn)斜向上拋出落到A點(diǎn)的過程中,根據(jù)△OAB及正弦定律可得

整理之后可得物體由O至A的時(shí)間為

再根據(jù)△OBC與△OAC即可得到物體拋出點(diǎn)O與落點(diǎn)A之間的距離d滿足

基于上述分析,可以看到按實(shí)際效果分解法在分析斜拋運(yùn)動(dòng)的問題時(shí),其優(yōu)勢(shì)在于不改變物體所參與的分運(yùn)動(dòng)實(shí)際效果的屬性,并且將這種屬性以幾何運(yùn)算的形式加以呈現(xiàn)出來,從而充分展示物體分運(yùn)動(dòng)的特征,避開了因運(yùn)動(dòng)分解帶來的過多的方程聯(lián)立.通過筆者的學(xué)習(xí)實(shí)踐,發(fā)現(xiàn)按實(shí)際效果分解在分析斜拋運(yùn)動(dòng)問題時(shí)具有較為廣泛的普適性,下面通過兩個(gè)具體的問題實(shí)例加以說明.

2 按實(shí)際效果分解法在斜拋問題實(shí)例中的運(yùn)用

從運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果出發(fā)分解斜拋運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)所構(gòu)成的位移三角形在多數(shù)情況下為斜三角形,因此在數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用上需要依托于解斜三角形的法則.故在方法運(yùn)用上需要同學(xué)們具備一定的數(shù)學(xué)能力,并且能夠從分位移的三角形出發(fā),建立邊角的關(guān)系,列方程求解.

2.1 對(duì)單一物體做斜拋運(yùn)動(dòng)的分析

【例1】最大與水平面成什么角度拋出石子,才能使石子在運(yùn)動(dòng)過程中始終遠(yuǎn)離拋出點(diǎn)?不計(jì)石子所受阻力.

分析：取拋出點(diǎn)所在的水平面,構(gòu)建石子沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)、豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)位移示意圖如圖3所示.

圖3 拋出的石子任意時(shí)刻的位移圖

圖中α為斜拋運(yùn)動(dòng)的拋射角.由余弦定理可知,在△OMN中存在

其中d為石子運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻位置與拋出點(diǎn)的距離.顯然如果拋出的石子一直遠(yuǎn)離拋出點(diǎn),則意味著隨著時(shí)間t的增大,d一直增大,即d2一直增大.不妨取f(t)=d2,并對(duì)其求時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù),可得

顯然當(dāng)f′(t)>0時(shí),d始終增大.

構(gòu)建方程

當(dāng)f′(t)>0時(shí),運(yùn)用根的判別式可得

可得石子的拋射角需滿足

2.2 兩物體斜拋運(yùn)動(dòng)問題的分析探討

【例2】一槍從同一地點(diǎn)發(fā)出兩顆子彈,發(fā)射的時(shí)間間隔為Δt,若兩子彈在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),證明兩子彈相遇的條件是

其中,α、β是兩次發(fā)射子彈的仰角且α>β,v是發(fā)射的初速度,如圖4所示,不計(jì)空氣阻力．

圖4 兩顆子彈做斜拋運(yùn)動(dòng)的示意圖

分析：將兩顆子彈沿初速度方向與豎直方向構(gòu)建分運(yùn)動(dòng)的位移圖如圖5所示.

圖5 兩顆子彈分運(yùn)動(dòng)位移的示意圖

由圖5中兩顆子彈位移所構(gòu)成的△OAB,依據(jù)正弦定理可得

(1)

(2)

根據(jù)式(1)可得子彈2從發(fā)射到與子彈1相遇所需的時(shí)間t滿足

(3)

聯(lián)立式(2)、(3)并整理之后可得到兩顆子彈相遇需滿足

利用和差化積公式與二倍角公式處理該式就能得到問題所要求證的結(jié)論,即

3 總結(jié)

通過上述兩個(gè)問題實(shí)例可知,不論對(duì)于單一物體做斜拋運(yùn)動(dòng)還是兩個(gè)物體做斜拋運(yùn)動(dòng),按實(shí)際效果分解物體的運(yùn)動(dòng),把握做斜拋運(yùn)動(dòng)的物體分運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果屬性,從解決問題的角度來說其方法是簡潔而直觀的．這種分解運(yùn)動(dòng)的方式在運(yùn)算上也不是十分復(fù)雜,對(duì)于大多數(shù)處在高中的同學(xué)而言,只要具備高中數(shù)學(xué)的知識(shí)即可.因此處理復(fù)雜的斜拋運(yùn)動(dòng)問題,不妨轉(zhuǎn)換思路,調(diào)整思考的角度,說不定能夠從物理現(xiàn)象的本質(zhì)與基本的概念入手,找尋到解決問題的最佳途徑.