例說(shuō)思維品質(zhì)在立體幾何解題中的滲透

廣東省惠州市第一中學(xué) (516007) 戴 飆 方志平

數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是思維活動(dòng)的教學(xué).“思維”可以從不同的角度去解釋,從心理學(xué)的角度來(lái)說(shuō),“思維”是人腦的一種高級(jí)的心理活動(dòng),“思維”不同于其他心理活動(dòng)的本質(zhì)在于“思維”是對(duì)客觀事物本質(zhì)屬性以及內(nèi)在規(guī)律的反映[1].思維品質(zhì)主要包括思維的廣闊性、深刻性、批判性和獨(dú)創(chuàng)性等幾個(gè)方面.針對(duì)思維品質(zhì)的訓(xùn)練,對(duì)提高學(xué)生的思維能力,落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有積極的意義.本文列舉幾例闡述思維品質(zhì)在立體幾何解題中的滲透,供讀者參考.

1.在探索性問(wèn)題中滲透思維的廣闊性

思維的廣闊性是指善于全面地考察問(wèn)題,從事物的各種聯(lián)系中認(rèn)識(shí)事物,避免問(wèn)題的片面性及狹義性,這使我們不僅能抓住事物的基本特征,而且不忽略重要的細(xì)節(jié).數(shù)學(xué)思維的廣闊性具有流暢、變通和獨(dú)特的特點(diǎn),在教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生不局限于某一種解題思路及方法,大膽聯(lián)想,從問(wèn)題的各種條件與結(jié)論出發(fā),發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新途徑.

圖1

2.在關(guān)系轉(zhuǎn)換問(wèn)題中滲透思維的深刻性

思維的深刻性是指思維活動(dòng)的抽象程度和邏輯水平.表現(xiàn)為能洞察所研究的每一個(gè)事物的實(shí)質(zhì)以及相互關(guān)系,能從所研究材料中揭示被掩蓋住的特殊情況,能夠抓住問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律,深入細(xì)致地加以分析和解決,而不被一些表面現(xiàn)象所迷惑[2].

例2 三個(gè)邊長(zhǎng)為12的正方形都被連接兩條相鄰邊的中點(diǎn)的直線分成A,B兩片,如圖2所示,把這六片粘在一個(gè)正六邊形的外面,如圖3所示,然后折成一個(gè)多面體,求這個(gè)多面體的體積.

圖2

圖3

解：如圖3,每個(gè)B片的兩側(cè)都是A片,要將其粘合在一起就是要將三個(gè)直角頂點(diǎn)和邊粘合在一起,那么三個(gè)直角頂點(diǎn)和邊粘合在一起是一個(gè)怎樣的圖形?圖中的直角邊MN和GH會(huì)重合嗎?點(diǎn)N,L,H三點(diǎn)會(huì)有怎樣的結(jié)果?

圖4

圖5

如果將正六邊形的頂點(diǎn)與點(diǎn)S連接起來(lái),如圖6所示,則原幾何體被分割成一個(gè)正六棱錐和三個(gè)全等的有三條棱兩兩垂直的三棱錐,體積可求.

圖6

如果注意到將圖中QY,PX延長(zhǎng)必交于一點(diǎn),得一正方形……可將原幾何體補(bǔ)形成如圖7所示的正方體,其體積恰為一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體體積的一半.

評(píng)注：本題的思維價(jià)值,就是學(xué)生能否揭示該問(wèn)題中最特殊的情況,即三個(gè)直角粘合在一起的圖形特征,這正是該問(wèn)題能否解決的關(guān)鍵所在.通過(guò)由表及里的思維,概括歸納,抓住事物本質(zhì)及規(guī)律,可發(fā)展思維的深刻性.

3.在涉及概念問(wèn)題中滲透思維的批判性

批判性是數(shù)學(xué)思維優(yōu)良品質(zhì)的一個(gè)重要特性,其內(nèi)涵是能自覺(jué)地進(jìn)行自我反省,對(duì)自己的思維和行為作出評(píng)價(jià)、判斷和監(jiān)控,并可預(yù)見(jiàn)到可能出現(xiàn)的各種結(jié)果;能從問(wèn)題的正、反兩方面進(jìn)行思考,既有成功的思想準(zhǔn)備,也有失敗再重來(lái)的思想意識(shí);能及時(shí)判斷解題方法的優(yōu)劣,調(diào)整改善解題的思路,以求得優(yōu)美的解法;善于總結(jié)自己成功和失敗的經(jīng)驗(yàn),并用來(lái)指導(dǎo)未來(lái)的實(shí)踐[3].

例3 如圖8,在多面體ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面平行且均為矩形,相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等,側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E、F兩點(diǎn),上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c、d與a、b且a>c,b>d,兩底面間的距離為h.(1)求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的正切值;(2)證明:EF∥面ABCD.

圖8

評(píng)注：本解法的錯(cuò)誤之處在于:直接利用結(jié)論“O1O垂直于上、下底面”,事實(shí)上,這是正棱臺(tái)的性質(zhì),在本題當(dāng)中,該結(jié)論仍然正確,但證明該結(jié)論相當(dāng)困難,所需篇幅甚至遠(yuǎn)大于解答本題之篇幅.

圖9

圖10

(2)∵AB、CD為矩形ABCD的對(duì)邊,∴AB∥CD,又面ABCD∩面CDEF=CD,∴AB∥面CDEF,又∵面ABEF∩面CDEF=EF,∴EF∥AB,AB?面ABCD,又EF?面ABCD,∴EF∥面ABCD.

4.在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中滲透思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)創(chuàng)性是指思維活動(dòng)的創(chuàng)新程度.它表現(xiàn)為思考問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)的方式、方法或結(jié)果的新穎、獨(dú)特、別出心裁.善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決并引申問(wèn)題是思維創(chuàng)造性的表現(xiàn)之一[4].

例4 若點(diǎn)P?α,直線l?α,過(guò)點(diǎn)P且與直線l成30°角的直線交平面α于點(diǎn)M,若點(diǎn)M的軌跡為一圓錐曲線,求其離心率.

圖11

評(píng)注：本題中盡管“動(dòng)態(tài)”的背景下活躍著動(dòng)態(tài)的點(diǎn)和線,但在其動(dòng)態(tài)性的層面內(nèi),隱藏和潛伏著不變(靜態(tài))的元素.只要細(xì)心觀察,匠心獨(dú)運(yùn),獨(dú)具慧眼,就會(huì)從動(dòng)態(tài)的圖形中捕捉到不變的靜態(tài)的因素,實(shí)現(xiàn)“動(dòng)中取靜,以靜制動(dòng)”之效應(yīng).

綜上案例,思維品質(zhì)在立體幾何解題中的滲透,向我們闡述了思維的廣闊性是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的基礎(chǔ)與前提,思維的深刻性是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的深化過(guò)程,思維的批判性是在深刻性的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,思維的獨(dú)創(chuàng)性是對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)訓(xùn)練的歸宿與新的起點(diǎn).