善于觀察探思路
——以中考平面幾何題為例

夏 佳

(江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué),江蘇 揚(yáng)州 225100)

波利亞在《怎樣解題》中將解題步驟分解為“理解題目——擬定方案——執(zhí)行方案——回顧”.然而,這并不能使每個(gè)解題者都能按部就班地解題,有些學(xué)生在解題時(shí)如無(wú)頭蒼蠅在迷宮中亂撞,浪費(fèi)了大量時(shí)間在試錯(cuò)上卻不能將問(wèn)題解決.從心理學(xué)視角來(lái)看,問(wèn)題解決過(guò)程中,與新手相比,專家們會(huì)將更多時(shí)間放在表征問(wèn)題上,能很快抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì),并根據(jù)問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)表征問(wèn)題.

1 概念界定

觀察是一種人類對(duì)周圍出現(xiàn)的事物或現(xiàn)象進(jìn)行有目的的考察所表現(xiàn)出來(lái)的心理現(xiàn)象,先進(jìn)行全面而深入的察看,并根據(jù)該事物或現(xiàn)象的真實(shí)面貌來(lái)探究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系[1].而在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的觀察,則是指觀察由符號(hào)、字母、數(shù)字或文字所表示的數(shù)學(xué)關(guān)系式、命題、問(wèn)題及圖表、圖象、幾何圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

2 善于觀察探思路

鄭步春認(rèn)為觀察能力的特點(diǎn)為目的性、有序性、取舍性、敏銳性、全面性[2].雖然夏宛央在其學(xué)位論文中批判了對(duì)觀察能力特點(diǎn)的分類,指出這些分類不為“觀察能力”所特有,因此也就不能表明“觀察能力”的質(zhì)[3].其目的性在于它是指向問(wèn)題解決的,目的是為了探求解題思路;其有序性在于觀察需遵循整體到局部再到整體的順序;其取舍性在于需對(duì)觀察到的信息進(jìn)行取舍,直指問(wèn)題的本質(zhì)特征;其敏銳性在于需要注意到易于忽略的信息;其全面性在于需通過(guò)觀察關(guān)注到問(wèn)題的顯性信息和隱形信息.從這些特性也就能得出在數(shù)學(xué)活動(dòng)中應(yīng)如何觀察探思路,即帶著目的,從問(wèn)題整體出發(fā),留意問(wèn)題的已知數(shù)據(jù)、條件和未知量,找出問(wèn)題的顯性信息和隱形信息,再對(duì)局部仔細(xì)琢磨推敲,觀察不同部分,從不同角度思考同一部分,最終探明從已知數(shù)據(jù)到未知量的路徑,得到解題思路.

3 案例分析

筆者以兩道中考題為例,說(shuō)明如何通過(guò)觀察題干、已知量與未知量的聯(lián)系得出問(wèn)題的求解方法.

例1 (2021年重慶市中考數(shù)學(xué)B卷第26題)在等邊△ABC中,AB=6,BD⊥AC,垂足為D,點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn),點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn),連接EF.將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG,連接FG.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合,且GF的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C時(shí),連接DG,求線段DG的長(zhǎng);

圖1 問(wèn)題(1)圖

針對(duì)問(wèn)題(1),觀察題干:

已知量:△ABC為等邊三角形,AB=BC=AC=6,三內(nèi)角均為60°;由BD⊥AC,垂足為D,易得∠ABD=∠CBD=30°,AD=CD=3;由EF=EG,∠GEF=60°,得△EFG為等邊三角形,∠CBG=90°.

未知量:DG的長(zhǎng),易發(fā)現(xiàn)DG在△DFG、△CDG、△DEG中,連接AG,則DG還在△ADG中.

觀察已知量與未知量的聯(lián)系:

思路1:△CDG中已知CD,要求DG,需先求出CG長(zhǎng)與∠ACG,由隱含信息可求得,繼而求DG長(zhǎng).

思路2:△ADG中已知AD,要求DG,需先求出AG長(zhǎng)與∠DAG,由隱含信息可求得,繼而求DG長(zhǎng).

觀察題設(shè):先找出隱含信息,△EFG為等邊三角形,得出∠EFH=120°,又∠ABC=60°,易發(fā)現(xiàn)∠BEF=∠CHF,BE與BF同在△BEF中,HC與BH共線,且∠BEF=∠CHF,不妨作直線FP=FB且與BH所在直線相交,容易得到兩三角形全等,BE=HP,達(dá)到使與BE、BH長(zhǎng)度相等的線段共線目的,這時(shí)就可順理成章地獲得.

圖3 問(wèn)題(2)求解圖

(1)如圖4,EF與AC交于點(diǎn)G,連接NG,求線段NG的長(zhǎng);

圖4 問(wèn)題(1)圖

(2)如圖5,將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為α,M為線段EF的中點(diǎn),連接DN,MN.當(dāng)30°<α<120°時(shí),猜想∠DNM的大小是否為定值,并證明你的結(jié)論.

對(duì)于問(wèn)題(2),觀察整體:題干中提到許多中點(diǎn),如D、M、N分別為BC、EF、EC中點(diǎn).題中要求猜想∠DNM的大小是否為定值,并證明結(jié)論,觀察題目可知為定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°.

觀察局部:已知量為點(diǎn)D、M、N分別為BC、EF、EC中點(diǎn),在圖中更直觀地可以看到DN、MN,從而聯(lián)想到三角形的中位線定理,不妨連接BE、CF,再有△ABC、△AEF都為等邊三角形,不難發(fā)現(xiàn)∠BAE=∠CAF,從而得出△ABE≌△ACF.未知量為∠DNM,若想得出∠DNM大小,不妨嘗試延長(zhǎng)FE與DN相交,但顯然此路不通,只能從其他方面入手.

觀察已知量與未知量的聯(lián)系:∠DNM為定值,已知量中為定值的角有∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,試圖將∠DNM與這些角聯(lián)系在一起,∠DNM不可直接求得,可將其轉(zhuǎn)化成求其他角的大小.

解如圖6,連接BE,CF.因?yàn)锳B=AC,AE=AF,∠BAE=∠CAF,所以△ABE≌△ACF,所以∠ABE=∠ACF.因?yàn)椤螦BC+∠ACB=60°+60°=120°,所以∠EBC+∠BCF=∠ABC-∠ABE+∠ACB+∠ACF=120°.易得∠ENM=∠ECM,∠CDN=∠EBC.因?yàn)椤螮ND=∠NDC+∠ACB,從而易知∠DNM=∠DNE+∠ENM=∠NDC+∠ACN+∠ECM=∠EBC+∠ACB+∠ACF=∠EBC+∠BCF=120°.

圖6 問(wèn)題(2)求解圖

4 觀察方法總結(jié)

4.1 注意觀察整體

觀察整體的目的是對(duì)問(wèn)題有一個(gè)整體的印象,抓住問(wèn)題的主要特征.如例2(2),通過(guò)觀察整體,發(fā)現(xiàn)題中有多個(gè)角均為定值,要想求得未知量,就要將其與其他定值角聯(lián)系在一起.若未先觀察整體,而先從部分入手,很可能只能獲得一些無(wú)效信息,解題解到中途發(fā)現(xiàn)前面都是在做無(wú)用功.

4.2 觀察已知量(題設(shè))與未知量(結(jié)論)的聯(lián)系

不論是求解題還是證明題,問(wèn)題解決的途徑就是探明已知量到未知量、題設(shè)到結(jié)論的路徑,因此觀察已知量(題設(shè))和未知量(結(jié)論)之間的聯(lián)系顯得尤為重要,一種方法是從已知量順推至未知量.

4.3 觀察得到問(wèn)題中的隱含信息

問(wèn)題解決過(guò)程中往往很難一眼就看出從已知量到未知量的路徑,經(jīng)常需要找到題中的隱含信息,并借助其作為臺(tái)階一步一步從已知量走向未知量.當(dāng)然,并不是盲目地探尋隱含信息,而是要帶著問(wèn)題解決的目的去尋找,還要注意甄別隱含信息中哪些信息是有效信息,哪些信息是無(wú)效信息,為問(wèn)題解決創(chuàng)造條件.

4.4 觀察過(guò)程中注重聯(lián)想,大膽試錯(cuò)

聯(lián)想能力和觀察能力一樣,都是問(wèn)題解決過(guò)程中不可或缺的思維能力.此外,通過(guò)觀察、聯(lián)想,還要大膽試錯(cuò),因?yàn)橛袝r(shí)解題思路并不明了,找到一個(gè)突破口之后,便要勇于嘗試,看能否向下一步推進(jìn).這是問(wèn)題解決過(guò)程中解題者需要調(diào)動(dòng)的非認(rèn)知能力,有的解題者不敢輕易試錯(cuò),生怕踏錯(cuò)一步,于是便只能躊躇不前.

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)觀察、解讀題目,找出已知數(shù)據(jù)和未知量的聯(lián)系,探求解題路徑,在腦海中構(gòu)思解題思路,是解題過(guò)程極重要的環(huán)節(jié),而解題困難者則缺失了這一環(huán).在這重要一環(huán)中,觀察便是解題者需要調(diào)動(dòng)的一種重要的思維能力,因此,教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的觀察力.