縱向題目作答時間模型：對潛在加工速度的變化追蹤*

陳琦鵬 詹沛達，2，3**

（1.浙江師范大學(xué)心理學(xué)院，金華 321004；2.浙江省兒童青少年心理健康與危機干預(yù)智能實驗室，金華 321004；3.浙江省智能教育技術(shù)與應(yīng)用重點實驗室，金華 321004）

1 引 言

在心理與教育研究中，研究者通常對個體或群體在特定時間跨度中的認知或行為的發(fā)展變化感興趣。這類研究的目標(biāo)側(cè)重于刻畫每個個體的發(fā)展趨勢和群體的平均變化軌跡（劉紅云，孟慶茂，2003）。目前，針對不同的觀測變量類型和潛變量類型（連續(xù)或分類）研究者們提出了眾多縱向數(shù)據(jù)分析模型，比如縱向Rasch/IRT 模型（Andersen，1985；von Davier er al.，2011）、潛在增長曲線模型（Kaplan，2000）和潛在轉(zhuǎn)換分析模型（Collins & Lanza，2010）等。盡管縱向模型本身并沒有限制所分析的數(shù)據(jù)類型及所測量的潛在建構(gòu)，但縱觀已有研究可發(fā)現(xiàn)幾乎所有縱向模型僅關(guān)注對傳統(tǒng)題目作答結(jié)果（response accuracy，RA）數(shù)據(jù)（e.g.，答對答錯或李克特式題目得分）的分析，忽略了其他模態(tài)數(shù)據(jù)，進而局限于追蹤RA 數(shù)據(jù)測量的心理建構(gòu)（e.g.，潛在能力）的發(fā)展變化。

隨著計算機（網(wǎng)絡(luò)）化測評的普及，除傳統(tǒng)RA 數(shù)據(jù)外，對諸如題目作答時間（response time，RT）等過程數(shù)據(jù)的采集已越發(fā)普遍（韓雨婷等，2022；劉耀輝等，2022）。在心理與教育測評中，RT 數(shù)據(jù)作為一種RA數(shù)據(jù)的補充數(shù)據(jù)，描述了個體解決單一問題的總耗時，可用于分析個體解決問題時的潛在加工速度。這在一定程度上打破了傳統(tǒng)心理測量中對速度測驗和難度測驗的功能劃分。另外，因RT 數(shù)據(jù)“具有標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，符合心理計量模型的建模與分析要求”（詹沛達，2022，p1417），近些年受到了研究者們的廣泛關(guān)注，開發(fā)了諸多RT模型（郭磊等，2017），比如對數(shù)正態(tài)RT 模型（lognormal RT model，LRTM）（van der Linden，2006；Klein Entink，F(xiàn)ox et al.，2009）。但縱觀已有研究可發(fā)現(xiàn)幾乎所有RT 模型都僅適用于分析橫斷測評數(shù)據(jù)，即僅能分析被試在單一時間點測驗中的潛在加工速度，無法追蹤個體潛在加工速度的發(fā)展軌跡。

目前，隨著計算機化測驗的普及，一些形成性學(xué)測項目已經(jīng)可以便捷地采集每個時間點上個體對每道題目的RT 數(shù)據(jù)（即縱向RT 數(shù) 據(jù)）（e.g.，Wang & Nydick，2020；Wang，Zhang et al.，2018）。Wang 和Zhang等人（2018）發(fā)現(xiàn)在自適應(yīng)學(xué)測系統(tǒng)中，隨著干預(yù)（反饋/ 學(xué)習(xí)）次數(shù)的增加，學(xué)生群體在下一個時間點上作答所有題目的平均RT 會呈現(xiàn)下降趨勢。Shi 等人（2018）發(fā)現(xiàn)在閱讀理解任務(wù)中借助智能導(dǎo)學(xué)系統(tǒng)能夠在一定程度上減少被試的RT。而上述例子中導(dǎo)致觀測變量RT 減少的一個主要可能原因是被試的潛在加工速度隨時間發(fā)生了提高。此時，如何合理分析縱向RT 數(shù)據(jù)以實現(xiàn)對潛在加工速度發(fā)展的客觀追蹤，是一個兼具理論與實踐意義的議題。

綜上所述，已有的縱向數(shù)據(jù)分析模型主要聚焦對縱向RA 數(shù)據(jù)的分析，少有研究關(guān)注縱向RT 數(shù)據(jù)的分析；且已有的RT模型多限于分析橫斷測評數(shù)據(jù)，無法追蹤學(xué)生潛在加工速度隨時間的發(fā)展。除聯(lián)合分析RA 和RT 數(shù)據(jù)外，單獨關(guān)注RT 數(shù)據(jù)的 分 析 也 很 常 見（e.g.，Guo et al.，2021；Klein Entink，van der Linden et al.，2009；van der Linden，2006；Wang，et al.，2013；詹沛達等，2020）。對此，本研究擬基于兩類常見的縱向數(shù)據(jù)分析方法（i.e.，多元正態(tài)分布建模和潛在增長曲線建模） 對最具代表性的LRTM 進行拓展，提出四個縱向RT 模型；以期實現(xiàn)對個體潛在加工速度發(fā)展的客觀追蹤并豐富縱向RT 數(shù)據(jù)的分析方法。對此，下文將按如下邏輯撰寫。首先，簡單回顧橫斷LRTM，并基于此提出四個縱向RT模型。其次，通過對一則有關(guān)空間旋轉(zhuǎn)能力的縱向RT 數(shù)據(jù)的分析，呈現(xiàn)新模型的實踐表現(xiàn)。然后，使用一則模擬研究去探究新提出的縱向RT 模型在不同模擬測驗條件下的表現(xiàn)。

1 縱向題目作答時間模型

在心理計量模型中，縱向模型的一個核心作用是描述不同時間點上被試潛在建構(gòu)的變化關(guān)系。本研究關(guān)注兩類縱向建模方式：一類是基于多元正態(tài)分布的縱向模型（e.g.，Andersen，1985；Paek，Li，& Park，2016；von Davier et al.，2011；Zhan et al.，2019），另一類是基于潛在增長曲線的縱向模型（e.g.，Bollen & Curran，2006；Kaplan，2000；Wang & Nydick，2020）。前者類似于多維IRT 模型，直接利用多元正態(tài)分布對被試在各時間點上的潛在建構(gòu)進行建模，并可利用均值向量描述不同時間點上群體的發(fā)展軌跡；后者通過構(gòu)建潛在建構(gòu)與測驗時間點之間的線性或非線性回歸函數(shù)來描述潛在建構(gòu)隨時間點增加的變化趨勢。

基于上述兩種建模邏輯，本文提出兩類縱向RT 模型：基于多元正態(tài)分布的縱向RT 模型和潛在增長曲線的縱向RT 模型。上述兩類模型的差異在于描述各時間點上潛在構(gòu)建關(guān)系的結(jié)構(gòu)模型，而測量模型保持一致。因此，下文先介紹統(tǒng)一的測量模型，然后再結(jié)合不同的結(jié)構(gòu)模型逐一闡述四個新模型。

1.1 測量模型

針對橫斷RT 數(shù)據(jù)，LRTM 是目前最常用的RT 測量模型之一。設(shè)定Tni為被試n（n=1，...，N）對 題 目i（i=1，...，I）的 作 答 時間。則LRTM 可表示為

或

其中，τn是被試n 的潛在加工速度；ξi為題目i 的時間強度參數(shù)，表示被試群體作答題目i 的平均耗時；?i為題目i 的時間區(qū)分度參數(shù)，反映潛在加工速度對觀察作答時間的影響程度；εni為殘差，ωi為題目i 的時間精度參數(shù)。

對于縱向測評而言，當(dāng)整個測驗包含P 個測驗時間點，則第p 個時間點上縱向LRTM 的測量模型可表示為：

其中，Tnip是時間點p 上被試n 對題目i 的作答時間；ξip、φip和ωip分別是時間點p上題目i 的時間強度參數(shù)、時間區(qū)分度參數(shù)和時間精度參數(shù)；τnp是時間點p 上被試n 的潛在加工速度。

1.2 基于多元正態(tài)分布的縱向題目作答時間模型

為描述P 個時間點上τnp之間的關(guān)系，一種最直接的方法是構(gòu)建多元正態(tài)分布，如圖1（a）。即假設(shè)τn=（τn1，…，τnP）T是遵循多元正態(tài)分布的多維潛在加工速度向量：

圖1 四個縱向題目作答時間模型示意圖（P=3）

式中，μ=（μ1，…，μP）T為P 個時間點的潛在加工速度的均值向量；Σ 為方差協(xié)方差矩陣，描述了P 個時間點的潛在加工速度之間的關(guān)系。該模型直接估計的各個時間點上的潛在加工速度，因此可直接使用＾τn描述被試個體潛在加工速度的發(fā)展軌跡。此時，可以用＾τn（p+1）-＾τnp描述相鄰時間點個體水平的變化程度，用＾μp+1-＾μp描述相鄰時間點群體均值的變化程度。

該模型可視為多維LRTM（詹沛達等，2020）在縱向RT 數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用。與多維LRTM 一樣，該模型中的所有元素均需自由估計，即中有個待估計參數(shù)。該做法相對優(yōu)點是考慮了所有時間點上潛在加工速度之間的相互影響，相對缺點是當(dāng)時間點P 數(shù)量較多時參數(shù)估計計算量較大且易出現(xiàn)估計不收斂問題。

為縮減待估計參數(shù)數(shù)量，可通過引入馬爾可夫性質(zhì)來約束中的待估計參數(shù)，如圖1（b）。目前已有許多研究將馬爾可夫性質(zhì)引入縱向數(shù)據(jù)分析中（e.g.，de Haan-Rietdijk et al.，2017；Zhan，2020）?；隈R爾可夫性質(zhì)，可假設(shè)被試在時間點p 的潛在加工速度只與其在時間點p-1 的潛在加工速度有直接關(guān)系。對此，將做如下轉(zhuǎn)換：

其中，S 為標(biāo)準(zhǔn)差矩陣，Ω 為相關(guān)系數(shù)矩陣。然后，因只考慮相鄰時間點之間的直接關(guān)系，所以只需將相關(guān)矩陣Ω 中相鄰時間點的相關(guān)系數(shù)ρ(p-1)p作為待估參數(shù)；而跨時間點的相關(guān)系數(shù)不視為待估計參數(shù)，由各相鄰時間點上的相關(guān)系數(shù)連乘而來：

其中，ρab為兩個不相鄰的兩個時間點a 和b 之間的相關(guān)系數(shù)，比如，ρ13=ρ12ρ23。此時，Σ中待估計參數(shù)數(shù)量由P（P+1）/2 縮減為2P-1。

為便于闡述，下文將不包含馬爾可夫性質(zhì)的和包含馬爾可夫性質(zhì)的模型分別簡稱為MVN-LRTM 和MVN-LRTM-M。另外，在采用錨題設(shè)計和重復(fù)測量設(shè)計的情況下，可將第一時間點上所有被試的潛在加工速度的均值和方差分別約束為μ1=0和σ2τ1=1 以保證模型的可識別性（Paek et al.，2016）。

1.3 基于潛在增長曲線的縱向題目作答時間模型

為描述P 個時間點上τnp之間的關(guān)系，多元正態(tài)分布外的另一種方法是構(gòu)建潛在增長曲線，如圖1（c）：

①也有研究不考慮殘差項（e.g.，Curtis，2010），即τnp=π0n+π1n（p-1）；預(yù)研究結(jié)果表明不考慮殘差項的模型對實證數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果較差.

式中，π0n為被試n 的截距系數(shù)，表示被試n的初始潛在加工速度水平；π1n為被試n 的增長系數(shù)，表示被試n 的潛在加工速度隨時間變化的程度；π0n和π1n服從二元正態(tài)分布，兩者的均值μ0n和μ1n分別代表群體潛在加工速度的均值和群體潛在加工速度的平均增長率，方差協(xié)方差矩陣則描述了潛在加工速度的初始水平和增長系數(shù)之間的關(guān)系：ρπ1π0＞0 意味著初始水平越高的被試，其潛在加工速度隨時間的增幅越大，反之則反；εnp為殘差。與MVN-LRTM 不同，該模型沒有直接估計各時間點上的τnp，而是估計了每個被試的增長曲線系數(shù)（i.e.，π0n和π1n）；此時，可以用＾π1n描述相鄰時間點個體水平的變化程度，用＾μπ1描述相鄰時間點群體均值的變化程度。

公式9 假設(shè)τnp隨測驗時間點的增加呈線性增長，而現(xiàn)實中τnp隨測驗時間點的增加也可能呈非線性增長。此時，可在公式9 中增加二次增長項來實現(xiàn)對潛在加工速度的非線性變化的描述，如圖1（d）：

式中，π2n為被試n 的二次增長系數(shù)，其余參數(shù)同上。

除包含二次增長項外，非線性增長模型中還可以進一步包含三次增長項或自由估計時間參數(shù)，限于篇幅限制本文暫不關(guān)注它們。為便于闡述，下文將基于線性增長曲線和基于非線性增長曲線的模型分別稱為LGC-LRTM-L 和LGC-LRTM-N。另外，在采用錨題設(shè)計和重復(fù)測量設(shè)計的情況下，可將第一時間點上所有被試的潛在加工速度的均值和方差分別約束為μπ0=0 和σ2π1+σ2ε1=1 以 保 證 模 型 的 可 識 別 性（e.g.，Wang&Nydick，2020）。

2 實證數(shù)據(jù)分析

2.1 數(shù)據(jù)描述與分析

本研究以一則有關(guān)空間旋轉(zhuǎn)能力的自適應(yīng)學(xué)測數(shù)據(jù)（Wang，Yang et al.，2018）為例來展現(xiàn)所提出模型的實踐可應(yīng)用性。該數(shù)據(jù)集包含350 名被試在5 個時間點上的作答數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)集的詳細描述信息可見附錄S1。圖2 呈現(xiàn)了題目的對數(shù)RT 隨時間變化趨勢（剔除缺失值），可發(fā)現(xiàn)明顯的下降趨勢。

圖2 實證研究5 個時間點上50 道題目的對數(shù)題目作答時間分布

分別使用MVN-LRTM、MVN-LRTM-M、LGC-LRTM-L 和LGC-LRTM-N 作為數(shù)據(jù)分析模型。模型參數(shù)估計設(shè)定及不同信息量先驗下的穩(wěn)健型分析可見附錄S2。使用潛在量尺縮減因子（PSRF；Brooks & Gelman，1998） 對作為MCMC 算法的收斂指標(biāo)。使用后驗預(yù)測模型檢驗（PPMC）評估模型對數(shù)據(jù)的絕對擬合程度；在計算后驗預(yù)測概率（ppp）時較了觀察數(shù)據(jù)X 和后驗預(yù)測數(shù)據(jù)Xpostpred之間的差異：ppp=∑Ee=1（Sum（Xpostpred(e)）≥Sum（Y））/E ，其中E 為MCMC中的抽樣次數(shù)，Xpostpred(e)為第e 次抽樣中的后驗預(yù)測值，由公式3 計算得到。使用-2LL（-2×log likelihood）和DIC（Spiegelhalter et al.，2002）作為模型-數(shù)據(jù)相對擬合指標(biāo)。有關(guān)擬合指標(biāo)更多的信息可見附錄S3。

2.2 結(jié)果

需要強調(diào)的是，MVN-LRTM 中潛在加工速度的方差協(xié)方差矩陣中部分元素沒有達到收斂標(biāo)準(zhǔn)（PSRF＜1.2），表明模型參數(shù)估計值沒有穩(wěn)定在一個特定值附近；在不收斂情況下得到的估計值（后驗均值），無法排除MCMC 隨機抽樣誤差的影響，難以反映數(shù)據(jù)本身所蘊含的特性；因此，該模型與數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果僅供參考。其他三個模型的所有模型參數(shù)均達到收斂標(biāo)準(zhǔn)。

表1 呈現(xiàn)了四個模型對實證數(shù)據(jù)的擬合情況。首先，根據(jù)各時間點上的ppp 值，表明四個模型均擬合該數(shù)據(jù)。其次，不考慮MVN-LRTM 時，剩余三個模型的對數(shù)據(jù)的相對擬合比較接近。其中，-2LL 指標(biāo)值表明，在不考慮模型復(fù)雜性懲罰的前提下，LGC-LRTM-N 對該數(shù)據(jù)的擬合相對最好，即該模型得到的參數(shù)估計值相對最能反映數(shù)據(jù)的特征。 而 DIC 指標(biāo)值表明MVN-LRTM-M 對該數(shù)據(jù)擬合相對最好，LGC-LRTM-L 次之且和LGC-LRTM-N 幾乎沒有差異?？傊?，當(dāng)考慮模型復(fù)雜性懲罰時，MVN-LRTM-M 對該數(shù)據(jù)擬合相對最好，而不考慮模型復(fù)雜性懲罰時，LGC-LRTM-N 的參數(shù)估計結(jié)果最能反映數(shù)據(jù)本身特征。

表1 實證研究中模型-數(shù)據(jù)擬合結(jié)果.

圖3 呈現(xiàn)了四個模型中所有被試潛在加工速度隨時間的變化趨勢（含群體均值變化）。對任何模型而言，潛在加工速度的群體均值都呈較明顯的增長趨勢。圖4 呈現(xiàn)了四個模型中所有時間點上潛在加工速度的估計值之間的相關(guān)系數(shù)圖。可以看到，無論是同一模型對5 個時間點上潛在加工速度的估計值之間，還是不同模型對同一時間點上潛在加工速度的估計值之間，均呈現(xiàn)高程度相關(guān)。一方面表明不同模型的估計值之間具有高度一致性，另一方面表明不同時間點上潛在加工速度之間也具有高度一致性（主要原因是該測驗中各時間點之間的間隔較短）。

圖3 實證研究中潛在加工速度隨時間的變化趨勢

圖4 實證研究中所有模型對所有時間點上潛在加工速度的估計值之間的相關(guān)系數(shù)圖

圖5 呈現(xiàn)了四個模型的題目參數(shù)估計值。首先，四個模型的題目參數(shù)估計值之間具有較高的一致性，尤其是時間強度參數(shù)和時間精度參數(shù)。其次，同一類模型的時間區(qū)分度參數(shù)估計值相對更接近。

圖5 實證研究中所有模型的題目參數(shù)估計值

綜上所述，實證研究結(jié)果表明四個縱向RT 模型均具有實踐可應(yīng)用性且對同一批數(shù)據(jù)的分析結(jié)果具有較高的一致性。此外，本研究還包含模擬研究，以探討模型的心理計量學(xué)性能，可見附錄S4。

3 總結(jié)與討論

為實現(xiàn)對個體潛在加工速度發(fā)展的客觀追蹤，本文基于多元正態(tài)分布和潛在增長曲線提出了四個縱向RT 模型。四個模型的測量模型一致，差異主要體現(xiàn)在描述潛在加工速度如何隨時間變化的結(jié)構(gòu)模型上。具體而言，前兩個模型直接估計各時間點上的潛在加工速度，未直接關(guān)注變化的過程；相反，后兩個模型直接估計潛在加工速度隨時間的變化（增長）系數(shù)，沒有直接估計各時間點上的潛在加工速度。實證研究結(jié)果表明四個模型均有實踐可應(yīng)用性，且它們的數(shù)據(jù)分析結(jié)果具有較高的一致性。模擬研究表明四個模型在不同模擬條件下的參數(shù)估計返真性良好，且兩個LGC-LRTM 對潛在加工速度的估計精度略高于兩個MVN-LRTM 的?？傊疚奶岢龅乃膫€縱向RT 模型具有實踐可應(yīng)用性，且心理計量學(xué)性能良好，不僅豐富了心理與教育測量中縱向RT 數(shù)據(jù)的分析方法，也拓展了縱向潛變量模型的應(yīng)用范圍。

限于精力和能力，本文也有一些局限有待未來研究做進一步探討。比如，盡管本文一次性提出了四個縱向RT 模型，但鑒于縱向數(shù)據(jù)分析的快速發(fā)展，目前還有諸如增長混合建模和多水平增長建模等多種縱向建模方法。未來可嘗試在縱向RT 數(shù)據(jù)分析中引入更多的縱向建模方法，以期進一步豐富縱向RT 數(shù)據(jù)的分析方法。其次，本文僅關(guān)注單維潛在加工速度隨時間的變化，隨著測評情境復(fù)雜性日益增加，如何追蹤多維潛在加工速度（詹沛達等，2020）隨時間的變化也值得關(guān)注和探究。詳細討論內(nèi)容見附錄S5。