基于CIR模型的地鐵客流彈性分析

徐玉萍,侯明超

(華東交通大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院,江西 南昌 330013)

我國(guó)已邁向建設(shè)交通強(qiáng)國(guó)的新征程,構(gòu)建與其相適應(yīng)的交通系統(tǒng)性能是未來(lái)發(fā)展的必然要求。國(guó)內(nèi)外學(xué)者認(rèn)為彈性是交通系統(tǒng)性能在受到擾動(dòng)后能快速恢復(fù)的關(guān)鍵[1-2]。有關(guān)彈性的研究,國(guó)內(nèi)起步較晚,而國(guó)外已建立了彈性的概念框架,但未形成統(tǒng)一的彈性量化方法[3]。

有關(guān)彈性的定義,Bruneau等[4]提出了關(guān)于生物系統(tǒng)的彈性概念,認(rèn)為彈性是指被破壞的性能曲線所覆蓋的面積與未被破壞的曲線(常數(shù))所覆蓋的面積之比,因性能損失的部分形似三角形,這一定義又被稱為彈性三角形。除此之外,Pimm[5]認(rèn)為彈性是某變量因擾動(dòng)而偏離平衡態(tài)到再次恢復(fù)至平衡態(tài)時(shí)的速率。英國(guó)內(nèi)閣辦公室(2011)認(rèn)為彈性可分為“4R”,即冗余性、可靠性、抵抗性和恢復(fù)性。盡管學(xué)者們對(duì)彈性的定義不同,但大家認(rèn)為彈性都具有相同的特點(diǎn),即彈性被視為是一個(gè)過(guò)程量,描述了擾動(dòng)前、擾動(dòng)中和擾動(dòng)后的過(guò)程。上述定義和其他定義也被許多學(xué)者應(yīng)用于交通系統(tǒng)的彈性研究中[6]。

從客流角度評(píng)估系統(tǒng)彈性的研究中,Nogal等[7]基于動(dòng)態(tài)的客流平衡分配模型,構(gòu)建客流壓力水平和成本水平兩項(xiàng)指標(biāo)以量化道路網(wǎng)絡(luò)性能,并通過(guò)文獻(xiàn)[4]中的定義確定彈性。Murray[8]將路網(wǎng)彈性分為適應(yīng)性、機(jī)動(dòng)性、安全性和恢復(fù)能力4個(gè)指標(biāo),并在用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)兩種交通分配模式下,討論了兩者在4個(gè)指標(biāo)上的差異,其中用戶均衡模型有更好的適應(yīng)性和安全性,而系統(tǒng)最優(yōu)模型有良好的機(jī)動(dòng)性和恢復(fù)能力。Lima等[9]依據(jù)文獻(xiàn)[5]的彈性定義,采用O-U過(guò)程模擬倫敦地鐵一天內(nèi)線路的客流變化并分析線路彈性,此外,還引入泊松過(guò)程來(lái)模擬突發(fā)的大客流變化。Zhou等[10]針對(duì)極端降雨天氣,使用客流壓力、方向不均衡系數(shù)等指標(biāo)研究地鐵客流的時(shí)空特征,與此同時(shí)將隨時(shí)間變化的相對(duì)客流作為彈性曲線以量化客流彈性。Adjetey等[11]分析了擾動(dòng)期間延誤和載客量運(yùn)營(yíng)指標(biāo),借助仿真的方法研究鐵路運(yùn)輸系統(tǒng)的彈性,從擾動(dòng)管理計(jì)劃的角度評(píng)估系統(tǒng)彈性。Stamos等[12]為量化極端天氣(EWE)下交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)的彈性,以客流在各種交通方式之間的轉(zhuǎn)移量為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),采用三步走的方法,即EWE發(fā)生概率、EWE影響評(píng)估以及交通方式選擇的替代性來(lái)確定。

本文以文獻(xiàn)[5]的彈性定義為基礎(chǔ),采用CIR模型模擬各個(gè)車站客流的演變并確定客流彈性。本文方法不僅克服了利用O-U過(guò)程模擬客流時(shí)出現(xiàn)負(fù)值的缺陷,還對(duì)研究?jī)?nèi)容做了進(jìn)一步討論。

1 客流彈性研究方法

1.1 CIR模型

客流在時(shí)間序列上表現(xiàn)出一種隨機(jī)性,但在短時(shí)間內(nèi),車站的客流通常會(huì)保持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平,即正常水平。在這一前提下,基于CIR模型[13-14]提出客流彈性指標(biāo),模型能夠模擬某段時(shí)間內(nèi)客流的演化過(guò)程,并且參數(shù)α作為客流彈性評(píng)價(jià)指標(biāo),反映客流受擾動(dòng)影響偏離正常水平到再次恢復(fù)到正常水平的速率。

(1)

(2)

式中:Xt為某車站第t天的進(jìn)站和換乘總客流;μ、σ分別為短期內(nèi)客流的均值和波動(dòng)率;α為客流在均值方向上的恢復(fù)速率;Wt為關(guān)于時(shí)間t的布朗運(yùn)動(dòng);φ為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

CIR模型反映了客流在短期內(nèi)的總體均衡,在不確定的擾動(dòng)因素下,如商業(yè)活動(dòng)或天氣,客流可能會(huì)增加或者減少。模型中的布朗運(yùn)動(dòng)參數(shù)Wt可以模擬客流的不確定出行行為;波動(dòng)率參數(shù)σ反映了短期內(nèi)客流距離正常水平μ的程度,波動(dòng)率越大,客流相對(duì)于正常水平變化越大,反之越小。實(shí)際上,客流不會(huì)一直增加或減少,這與乘客的固定出行需求或地鐵運(yùn)營(yíng)管理等因素有關(guān)。因此,CIR模型中恢復(fù)速率α(即彈性)就描述了客流從偏離正常水平到再次回歸的速率。彈性α∈(0,1),當(dāng)α趨近于0時(shí),表明客流向正常水平恢復(fù)的速率越慢;當(dāng)α趨近于1時(shí),表明恢復(fù)速率越快。利用這一特點(diǎn),彈性可在不同車站之間進(jìn)行比較。

1.2 模型參數(shù)估計(jì)

依據(jù)參文[15],CIR模型的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)近似地服從正態(tài)分布,因此, CIR模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)可以表示為:

(3)

a=Xt+α(μ-Xt)Δ

(4)

b=σ2XtΔ

(5)

Δ=ti+1-ti

(6)

式中:a為正態(tài)分布的均值;b為正態(tài)分布的方差;n為模擬客流的天數(shù);Δ為時(shí)間步長(zhǎng)。

本文采用極大似然估計(jì)CIR模型參數(shù),利用對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì)α、μ和σ求偏導(dǎo)數(shù),可以得到:

(7)

(8)

(9)

然后,分別令式(7)～式(9)等于零,并求解方程組得到模型參數(shù)α、μ和σ。

CIR模型的模擬值具有隨機(jī)性,但在多次模擬下,任意時(shí)刻的平均客流都將趨近于均值μ,結(jié)合隨機(jī)種子,可以巧妙地將參數(shù)特征可視化(圖1)。某地鐵站在某一天的客流因擾動(dòng)影響而偏離正常水平位于某較低值,其偏離程度取決于波動(dòng)率σ。隨著時(shí)間推移,擾動(dòng)逐漸退散,客流逐漸回升并最終再次達(dá)到正常水平,而這一過(guò)程的彈性由恢復(fù)速率α表征。同理,當(dāng)擾動(dòng)造成客流高于正常水平時(shí)的恢復(fù)過(guò)程亦是如此。

圖1 參數(shù)特征

2 案例分析

2.1 車站客流彈性

本文的案例分析以南昌市地鐵為例,截至2021年底,南昌市地鐵有三條運(yùn)營(yíng)線路,70座地鐵站。利用 2021年1月～7月各個(gè)車站進(jìn)站和換乘客流數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證方法的可行性。為分析日?？土鞯牟▌?dòng)行為,在數(shù)據(jù)處理時(shí),過(guò)濾掉元旦等節(jié)日的數(shù)據(jù)點(diǎn)。由分析可知,有80%的車站能夠在誤差允許范圍內(nèi)通過(guò)驗(yàn)證。為了分析多情景下的客流彈性,車站的選擇需考慮線路、位置等因素,選取地鐵站中的9個(gè)車站進(jìn)行說(shuō)明。南昌市地鐵拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)見(jiàn)圖2。

圖2 南昌市地鐵拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)

圖3展示了9個(gè)車站在短期內(nèi)的客流演變。根據(jù)上一節(jié)的方法,通過(guò)式(5)～式(7)估計(jì)CIR模型中的α、μ和σ,具體數(shù)值見(jiàn)表1。從表1可知,長(zhǎng)江路站和上沙溝站的彈性最高,達(dá)到0.78,表明客流在受擾動(dòng)沖擊后能快速恢復(fù)至正常水平;地鐵大廈站的彈性最低,僅為0.37,表明客流可能在較長(zhǎng)時(shí)間都將偏離正常水平;同時(shí),地鐵大廈站的波動(dòng)率也是最大的,表明客流受擾動(dòng)因素影響而變化劇烈。作為1號(hào)線和2號(hào)線的換乘站,車站之間的交換客流可能是導(dǎo)致客流彈性低、波動(dòng)率高的原因。值得注意的是,長(zhǎng)江路站客流的波動(dòng)率約為上沙溝站的兩倍,但彈性與之相同,表現(xiàn)出長(zhǎng)江路站客流對(duì)擾動(dòng)更加敏感。由于影響周期是短暫的,因此客流能以較快的速率恢復(fù)到正常水平。

表1 車站客流模擬結(jié)果

圖3 短期客流演變

以施饒站為例分析不同參數(shù)時(shí)客流的演變過(guò)程,參數(shù)下的客流演變見(jiàn)圖4。從圖4可知,當(dāng)波動(dòng)率σ相同時(shí),彈性越高客流恢復(fù)到正常水平的速率越快;當(dāng)彈性α相同時(shí),波動(dòng)率越大客流變化越劇烈。

圖4 參數(shù)下的客流演變

本文針對(duì)每個(gè)車站,借助Matlab編程模擬表1參數(shù)的客流演變過(guò)程。模擬過(guò)程如下:

①初始化模型參數(shù):α、μ和σ。

②定義時(shí)間參數(shù):時(shí)間步長(zhǎng)為dt、模擬天數(shù)為n。

⑤模擬第i天客流Xi=Xtemp。

⑥重復(fù)④～⑤,,模擬第i+1,…,n天客流。

模擬客流以經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)(ECDF)曲線的形式給出,見(jiàn)圖5。結(jié)合圖5數(shù)據(jù)并根據(jù)式 (8) 計(jì)算模擬客流與實(shí)際客流的平均誤差,計(jì)算可知,平均誤差在20%以內(nèi),且通過(guò)K-S檢驗(yàn),模擬值與實(shí)際值具有相同分布(P>0.05)。上述計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了客流彈性、波動(dòng)率參數(shù)估計(jì)值的可靠性。

(a) 1號(hào)線1、3車站

(10)

式中:n是模擬客流的總天數(shù);Xi是第i天的模擬客流量;Yi是第i天的實(shí)際客流量。

2.2 客流彈性影響分析

車站客流是多個(gè)車站進(jìn)站和換乘客流之和,通過(guò)CIR模型模擬9個(gè)車站的客流演變,其平均誤差為10.95%。同樣地,可模擬其他組合車站的客流。根據(jù)多車站客流彈性與其車站的內(nèi)在聯(lián)系能夠得到整體客流的演變規(guī)律。首先分析多車站客流彈性與其中最大客流車站的彈性關(guān)系,具體做法如下:

①計(jì)算9個(gè)車站的客流彈性以及其中最大客流車站的彈性;②去除最大客流車站,計(jì)算剩余組合車站的客流彈性以及其中最大客流車站的彈性;③重復(fù)②,直至剩余兩個(gè)車站。

多車站客流與最大客流車站的彈性關(guān)系見(jiàn)圖6。從圖6可知,兩者呈正相關(guān),隨著最大客流車站彈性的增大,多車站客流彈性也在增大。另外,最大客流車站主導(dǎo)多車站的客流彈性,如在有9個(gè)車站的多車站情況下客流彈性僅是0.45,正是因?yàn)榈罔F大廈站的客流彈性是0.37,遠(yuǎn)低于其他車站彈性的平均值0.71。

圖6 多車站客流與最大客流車站的彈性關(guān)系

分析多車站客流彈性與其中小客流車站的關(guān)系時(shí),將9個(gè)車站按客流量分為大客流車站和小客流車站,其中地鐵大廈站為大客流車站,其余8個(gè)車站為小客流車站。在模擬客流演變時(shí),可將8個(gè)小客流車站的客流合并作為一個(gè)整體,合并后的客流均值仍小于地鐵大廈站的客流均值。假設(shè)在兩類客流波動(dòng)率σ相同的情況下,討論兩者的關(guān)聯(lián)。

多車站與小客流車站的彈性關(guān)系見(jiàn)圖7。從圖中可知,當(dāng)小客流車站的客流彈性α=0.2時(shí),多車站客流彈性隨客流均值逐漸減小,這是由于小客流所占的總客流權(quán)重增大,削弱了最大客流的主導(dǎo)作用,使得多車站客流彈性趨向于小客流車站的客流彈性;當(dāng)小客流車站的客流彈性α=0.5時(shí),多車站客流彈性基本不變,近似于最大客流車站(地鐵大廈站)的彈性,在此情況下,多車站客流彈性依然由最大客流車站主導(dǎo);當(dāng)小客流車站的客流彈性α=0.8時(shí),多車站客流彈性隨客流均值的增大逐漸增大,與α=0.2時(shí)相同,多車站客流彈性受小客流車站的影響,其客流彈性有所增大。

圖7 多車站與小客流車站的客流彈性關(guān)系

3 結(jié)論

(1) 通過(guò)CIR模型能夠模擬穩(wěn)定客流在短期時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)過(guò)程,平均誤差在20%以內(nèi)。

(2) 客流彈性指標(biāo)定量描述了地鐵客流在受擾動(dòng)后再次恢復(fù)到正常水平時(shí)的速率,為客流的變化規(guī)律提供一種新的量化指標(biāo)。

(3) 本文研究的案例中,中間站的客流彈性平均值為0.71,波動(dòng)率平均值為7.29,具有客流彈性高、波動(dòng)率低的特征;地鐵大廈站作為換乘站,其客流彈性為0.37,波動(dòng)率為37.39,具有客流彈性低、波動(dòng)率高的特征。多車站組合客流的彈性受其單一車站客流彈性的影響,即受大客流車站彈性主導(dǎo),小客流車站彈性牽制。