復(fù)合材料壓力容器的概率和非概率可靠性設(shè)計(jì)

林 峰 王 宇

（1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院；2.93146 部隊(duì)）

復(fù)合材料壓力容器相比傳統(tǒng)的金屬壓力容器，因具有耐腐蝕、重量輕及可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等特點(diǎn)，而廣泛應(yīng)用在航天領(lǐng)域［1］。為此，它的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題也日益被關(guān)注，迄今國(guó)內(nèi)外已對(duì)該類(lèi)容器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和強(qiáng)度校核開(kāi)展了許多研究。 文獻(xiàn)［2］對(duì)容器結(jié)構(gòu)材料性能的隨機(jī)分布進(jìn)行了概率統(tǒng)計(jì)分析。 文獻(xiàn)［3］考慮了設(shè)計(jì)變量的隨機(jī)性，采用Monte-Carlo方法和響應(yīng)面法對(duì)復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了基于概率的可靠性分析，但其中Monte-Carlo法和響應(yīng)面法的計(jì)算量較大。 文獻(xiàn)［4～6］對(duì)復(fù)合材料壓力容器進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，但未考慮設(shè)計(jì)參數(shù)的隨機(jī)性。 文獻(xiàn)［7］基于有限元方法研究了溫度和纏繞角對(duì)復(fù)合材料壓力容器的爆破壓強(qiáng)的影響，但未考慮溫度和纏繞角的隨機(jī)性。 文獻(xiàn)［8］對(duì)復(fù)合材料壓力容器進(jìn)行了可靠性壽命預(yù)測(cè)，但只考慮了設(shè)計(jì)參數(shù)的隨機(jī)性，并未考慮在設(shè)計(jì)參數(shù)無(wú)法得到概率統(tǒng)計(jì)特性時(shí)的情況。

目前，對(duì)復(fù)合材料壓力容器的結(jié)構(gòu)分析大多數(shù)仍然是基于確定性方法，雖然可靠性方法在結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)中有所應(yīng)用， 但往往是采用Monte-Carlo方法研究概率可靠性，計(jì)算效率很低，而且沒(méi)有考慮設(shè)計(jì)參數(shù)的非概率性。 事實(shí)上，在考慮不確定性問(wèn)題的可靠性方法中［9］，包括概率可靠性方法和非概率可靠性方法。 概率可靠性方法是以復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)的各基本參數(shù)為隨機(jī)變量，在給定其概率分布的基礎(chǔ)上對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠性進(jìn)行分析的一種方法。 然而，概率方法是有一定局限性的，特別是研究對(duì)象屬于小樣本、貧信息問(wèn)題時(shí)，其不確定參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特性難以獲得或根本就無(wú)法獲得。 此時(shí)，非概率的可靠性方法將是更為合理的方法。 由于該方法無(wú)需不確定參數(shù)的概率統(tǒng)計(jì)特性，只關(guān)注不確定參數(shù)的變化范圍，因此它可以作為概率方法的補(bǔ)充。

筆者首先基于隨機(jī)因子法，對(duì)復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了概率可靠性分析，推導(dǎo)了纖維強(qiáng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表達(dá)式，分析了隨機(jī)變量的變異系數(shù)變化對(duì)容器厚度尺寸的影響，通過(guò)實(shí)例對(duì)壓力容器厚度進(jìn)行了可靠性設(shè)計(jì)。 然后基于區(qū)間因子法，對(duì)復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)開(kāi)展了非概率可靠性分析，導(dǎo)出了纖維強(qiáng)度的均值和離差計(jì)算表達(dá)式，考察了區(qū)間參數(shù)的離差率變化對(duì)容器厚度尺寸的影響，并通過(guò)實(shí)例對(duì)壓力容器厚度進(jìn)行了非概率可靠性設(shè)計(jì)。

1 復(fù)合材料壓力容器的強(qiáng)度分析

復(fù)合材料壓力容器由金屬內(nèi)襯和復(fù)合材料層組成，金屬內(nèi)襯主要起密封氣體和提供纏繞芯模的作用，而真正起承壓作用的是復(fù)合層，內(nèi)襯破壞只會(huì)引起氣體泄漏，復(fù)合材料層失效將導(dǎo)致產(chǎn)品爆破。 通常復(fù)合層是由樹(shù)脂基和碳纖維組成，樹(shù)脂的極限拉伸強(qiáng)度和拉伸模量約為纖維的2%～5%，且當(dāng)殼體爆破時(shí)，破壞處的樹(shù)脂幾乎全部開(kāi)裂，已起不到加強(qiáng)作用，此時(shí)殼體完全由纖維網(wǎng)格結(jié)構(gòu)承受內(nèi)壓。 所以在計(jì)算壓力容器爆破壓強(qiáng)時(shí)，可忽略樹(shù)脂的作用，將容器殼體視為完全由纖維纏繞而成。

根據(jù)纖維纏繞殼體設(shè)計(jì)的網(wǎng)格理論［10］，復(fù)合材料層的縱向和環(huán)向纖維厚度tα、tθ的表達(dá)式分別為：

式中 Kα——纖維強(qiáng)度發(fā)揮系數(shù)；

p——爆破壓強(qiáng)；

R——筒體半徑；

α——纖維纏繞角；

σc——纖維強(qiáng)度。

在進(jìn)行纖維纏繞殼體設(shè)計(jì)時(shí)，為了使計(jì)算出的壓強(qiáng)與實(shí)際相符，纖維強(qiáng)度發(fā)揮系數(shù)Kα的選取極為關(guān)鍵［10］。 在目前的工程中，通常是直接將各參數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值代入式（3），來(lái)反算出Kα，而不考慮各參數(shù)的隨機(jī)性。 然而實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)本身和作用荷載的不確定性是客觀存在的。如：一類(lèi)批量生產(chǎn)的工程結(jié)構(gòu)其物理參數(shù)取值的分散性，其幾何尺寸加工的偏差，其激勵(lì)載荷幅值的不確定性等。 參數(shù)和載荷的不確定性包括隨機(jī)性和區(qū)間性。 因此，為使纖維強(qiáng)度發(fā)揮系數(shù)Kα的確定更加精確與合理，結(jié)構(gòu)參數(shù)和載荷的隨機(jī)性將是考察的重點(diǎn)，其中包括筒體半徑R，纖維強(qiáng)度σc，纖維纏繞角α，纖維強(qiáng)度發(fā)揮系數(shù)Kα，纖維總厚度t和爆破壓強(qiáng)p， 以此開(kāi)展基于概率的網(wǎng)格分析來(lái)確定Kα值，這對(duì)精度要求很高的航天復(fù)合材料壓力容器的設(shè)計(jì)將更具有現(xiàn)實(shí)意義。

以下給出利用概率的網(wǎng)格法求解纖維強(qiáng)度發(fā)揮系數(shù)Kα的具體步驟。

首先，通過(guò)文獻(xiàn)［11］的實(shí)驗(yàn)得到了隨機(jī)參數(shù)的數(shù)字特征， 結(jié)果列于表1， 封頭形狀為扁橢球形，使用橡膠內(nèi)襯，纏繞線(xiàn)型為螺旋與環(huán)向復(fù)合纏繞，螺旋纏繞角α。

表1 復(fù)合材料壓力容器的測(cè)定結(jié)果

其次，求結(jié)構(gòu)復(fù)合參數(shù)ξ的平均值。 對(duì)式（3）利用代數(shù)綜合法［12］，可得ξ的均值μξ為：

將表1中的數(shù)據(jù)μσc=2560 MPa，σσc=108 MPa，μR=75 mm，σR=0.33 mm，μt=1.98 mm，σt=0.02 mm，μp=41.5 MPa，σp=2.08 MPa代入式（4），得隨機(jī)參數(shù)ξ的均值μξ=3.2653。

將μξ=3.2653，μA=0.8214，νA=0.68%代 入 式（5），得Kα=0.8211，將結(jié)果代入式（6），得隨機(jī)參數(shù)ξ的標(biāo)準(zhǔn)差σξ=0.013。

現(xiàn)對(duì)爆破壓強(qiáng)p的計(jì)算值和表1中的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較，以驗(yàn)證基于概率的網(wǎng)格法獲得的纖維強(qiáng)度發(fā)揮系數(shù)Kα值的精確性和合理性。

由式（3）得：

將表1中相關(guān)數(shù)據(jù)以及根據(jù)Kα=0.8211時(shí)計(jì)算得到的μξ=3.2653，σξ=0.013分別代入式 （8）、（9），得壓強(qiáng)p的計(jì)算值為：μp=41.4 MPa，σp=1.82 MPa。表1中p的實(shí)驗(yàn)值為：μp=41.5 MPa，σp=2.08 MPa。若采用傳統(tǒng)的安全系數(shù)法，當(dāng)取安全系數(shù)n=2，則有許用強(qiáng)度［σc］=σc/n，將其和表1其他數(shù)據(jù)代入式（7），得到p=20.45 MPa。比較p的計(jì)算值、實(shí)驗(yàn)值和安全系數(shù)法計(jì)算結(jié)果顯見(jiàn)：基于概率的網(wǎng)格法相較于傳統(tǒng)的安全系數(shù)法，可以得到取值的變化范圍，因此該法更符合工況；傳統(tǒng)的安全系數(shù)法得到的結(jié)果相較于基于概率的網(wǎng)格法的結(jié)果過(guò)于保守，然而基于概率的網(wǎng)格法得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值比較吻合，且略小于實(shí)驗(yàn)值，表明基于概率的網(wǎng)格法是安全可行的，同時(shí)結(jié)果更精確。

2 基于隨機(jī)因子法的復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)概率可靠性設(shè)計(jì)

2.1 隨機(jī)因子的引入和概率可靠性設(shè)計(jì)

隨機(jī)因子法［12］其主要特點(diǎn)是：原理簡(jiǎn)單，不改變?cè)Y(jié)構(gòu)分析方法和求解過(guò)程； 計(jì)算量較小，對(duì)均勻隨機(jī)場(chǎng)結(jié)構(gòu)問(wèn)題只需一次分析就可獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的主要數(shù)字特征。

設(shè)，隨機(jī)變量X的概率密度為fX（x），其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為X和σX， 則變異系數(shù)為νX=σX/X。令，X=X～Xˉ，其中X～為X的隨機(jī)因子，根據(jù)文獻(xiàn)［12］隨機(jī)因子X(jué)～的均值為1，其變異系數(shù)等于對(duì)應(yīng)原隨機(jī)變量X的變異系數(shù)。

在本文的復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)的概率可靠性設(shè)計(jì)中，依據(jù)隨機(jī)因子法σc服從正態(tài)分布，假設(shè)許用強(qiáng)度［σc］也滿(mǎn)足正態(tài)分布，即：σc～N（μσc，σσc），［σc］～N（μ［σc］，σ［σc］），且相互獨(dú)立。 對(duì)于非正態(tài)變量，總可以利用當(dāng)量正態(tài)化的方法將其轉(zhuǎn)化為正態(tài)變量。 根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，可得結(jié)構(gòu)不發(fā)生強(qiáng)度破壞的可靠度Pr和可靠性指標(biāo)β為：

從式（12）出發(fā)，利用代數(shù)綜合法可導(dǎo)得纖維強(qiáng)度σc的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

其中νp、νR、νt、νA分別是隨機(jī)參數(shù)p、R、t、A的變異系數(shù)。

分析式（13）、（14）可知，諸隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)的變化均對(duì)纖維總厚度t的可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響。 其中：當(dāng)νR增大而其他參數(shù)不變時(shí)，μσc和σσc均增大，由式（10）可知β將減小。 欲使β不變，則當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)必須增大纖維總厚度的均值t；νR、να、νp、νt的增大將導(dǎo)致t增大； 當(dāng)其他參數(shù)不變時(shí)，νσc增大導(dǎo)致σσc增大，則根據(jù)式（10），其右邊分母增大，使β減小。 為使β不變，須使分子增大，即μσc減小，由式（13）知，增大t可使μσc減小，故當(dāng)νσc增大時(shí)，t將增大。

2.2 概率可靠性設(shè)計(jì)算例

由表1得，p=41.5 MPa，R=75 mm，νp=5.10%，νR=0.40%，νt=1.2%，另外，由第1節(jié)的算例，得A=μA=0.8214，νA=0.68%，Kα=0.8211。

將以上數(shù)據(jù)代入式（13）、（14）中，得到：μσc=5082.30/t，σσc=239.84/t。若設(shè)計(jì)要求復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)的可靠度為Pr=0.999999， 根據(jù)式（10），查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表，得對(duì)應(yīng)的可靠性指標(biāo)β=4.755，且由表1得到μ［σc］=2560，σ［σc］=108，代入式（10），解得t=2.68 mm。 若取νt=1.2%，根據(jù)正態(tài)分布3σ準(zhǔn)則，設(shè)計(jì)出復(fù)合材料壓力容器的纖維總厚度為：t=t±3tνt=2.68 mm±0.096 mm。

對(duì)此壓力容器若應(yīng)用傳統(tǒng)的網(wǎng)格法進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)，即認(rèn)為纖維強(qiáng)度發(fā)揮系數(shù)Kα=0.8，代入式（10），設(shè)計(jì)出的纖維總厚度t=2.71 mm±0.098 mm。

采用傳統(tǒng)的安全系數(shù)法［11］設(shè)計(jì)出的纖維總厚度t=4.017 mm。 為對(duì)比，將上述3種方法的設(shè)計(jì)結(jié)果一并列于表2。

表2 復(fù)合材料壓力容器設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比

由表2顯見(jiàn)，相對(duì)于傳統(tǒng)的安全系數(shù)法，基于隨機(jī)因子的可靠性設(shè)計(jì)方法使得壓力容器的纖維總厚度明顯減?。换诟怕实木W(wǎng)格法可靠性設(shè)計(jì)的結(jié)果是3種方法中最優(yōu)的，由此也驗(yàn)證了第1節(jié)中關(guān)于基于概率的網(wǎng)格法可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果要優(yōu)于傳統(tǒng)的網(wǎng)格法可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果的結(jié)論。 這里需要說(shuō)明的是： 文中在運(yùn)用隨機(jī)因子法之前將cos2α降次，采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)公式，保留線(xiàn)性項(xiàng)，對(duì)該項(xiàng)的近似導(dǎo)致結(jié)果偏大，使得計(jì)算結(jié)果更接近于許用值，因此設(shè)計(jì)結(jié)果是趨向安全的；代數(shù)綜合法中的近似計(jì)算也使計(jì)算結(jié)果偏大于實(shí)際值。 所以采用基于隨機(jī)因子法的概率可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果是安全可靠的。

在概率可靠性設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)各隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)可能會(huì)波動(dòng)。 為此，這里分別考察了當(dāng)壓力容器結(jié)構(gòu)的可靠度為Pr=0.999999時(shí)，R、α、p、t和σc這5個(gè)隨機(jī)參數(shù)變異系數(shù)的變化對(duì)厚度均值t設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，見(jiàn)表3。

表3 各隨機(jī)變量不同的變異系數(shù)對(duì)應(yīng)的可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果

由表3可以看出， 隨各隨機(jī)參數(shù)的變異系數(shù)變大，設(shè)計(jì)結(jié)果變大，這與2.1節(jié)分析的結(jié)果是一致的。 但各參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的影響不同，由圖1可以看出，按照影響程度大小排列（曲線(xiàn)斜率），纖維強(qiáng)度＞筒體半徑＞爆破壓強(qiáng)＞纖維總厚度＞纏繞角。 為此，在復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)對(duì)影響較大參數(shù)的變異系數(shù)（即取值的分散性）加以控制。

圖1 各隨機(jī)變量不同的變異系數(shù)對(duì)應(yīng)的可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果

3 基于區(qū)間因子法的復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)非概率可靠性設(shè)計(jì)

3.1 區(qū)間因子的引入和非概率可靠性設(shè)計(jì)

非概率可靠性的概念最早由文獻(xiàn)［13］提出，文中指出若系統(tǒng)能容許不確定參量在一定范圍內(nèi)的波動(dòng)，則系統(tǒng)是可靠的。 文獻(xiàn)［14］隨后在對(duì)此概念的討論中提出了解決隨機(jī)-區(qū)間混合條件下的概率凸集模型。 文獻(xiàn)［15］提出了非概率可靠性的區(qū)間方法，將結(jié)構(gòu)性能的變化范圍與要求的變化范圍相比較，以確定結(jié)構(gòu)的安全程度。

在本文的復(fù)合材料壓力容器結(jié)構(gòu)的非概率可靠性設(shè)計(jì)中，由區(qū)間運(yùn)算法則［15］σc是區(qū)間變量，假設(shè)其許用值［σc］也為區(qū)間變量，根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉理論，仿照概率可靠性指標(biāo)的定義，可得結(jié)構(gòu)不發(fā)生強(qiáng)度破壞的非概率可靠性指標(biāo)Z為：

當(dāng)Z＜-1時(shí)，結(jié)構(gòu)失效；Z＞1，則結(jié)構(gòu)可靠，且Z的值越大，結(jié)構(gòu)的安全程度越高；而當(dāng)-1≤Z≤1時(shí)，即結(jié)構(gòu)可能安全，也可能不安全。 從嚴(yán)格意義上講，此時(shí)不能認(rèn)為結(jié)構(gòu)是可靠的。 因此，當(dāng)所有不確定參數(shù)均為區(qū)間變量時(shí)，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)只有兩種確定性狀態(tài)：可靠或不可靠。

由式（11），令cos2α=A，以區(qū)間因子法導(dǎo)得纖維強(qiáng)度σc的表達(dá)式為：

由于利用3σ準(zhǔn)則將隨機(jī)數(shù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)，使得區(qū)間數(shù)的離差偏小，將導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果相比概率可靠性設(shè)計(jì)的結(jié)果偏大。

3.2 非概率可靠性設(shè)計(jì)算例

在非概率可靠性設(shè)計(jì)中，由于區(qū)間參數(shù)離差率的變化將對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響， 同前處理，分別考察了當(dāng)壓力容器結(jié)構(gòu)的非概率可靠性指標(biāo)Z=1時(shí)，R、α、p、t和σc這5個(gè)區(qū)間參數(shù)離差率的變化對(duì)厚度均值tC設(shè)計(jì)結(jié)果的影響，見(jiàn)表4。

表4 各區(qū)間變量不同的離差率對(duì)應(yīng)的可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果

由表4可以看出， 區(qū)間變量的離差率變大，導(dǎo)致設(shè)計(jì)結(jié)果變大， 與第3.1節(jié)的分析結(jié)果相吻合。 但是不同參數(shù)的離差率對(duì)結(jié)果的影響程度不同，通過(guò)圖2可知，按照影響程度大小排列（曲線(xiàn)斜率）， 纖維強(qiáng)度＞筒體半徑＞爆破壓強(qiáng)＞纖維總厚度＞纏繞角。 另分別對(duì)比表3、4中同種參數(shù)對(duì)應(yīng)的可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果，做出圖3，通過(guò)圖3可以看出， 總體上非概率可靠性設(shè)計(jì)的結(jié)果離散程度較小， 因此非概率可靠性設(shè)計(jì)容許參數(shù)較大的不確定性。

圖2 各區(qū)間變量不同的離差率對(duì)應(yīng)的可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果

圖3 不同變量變化時(shí)概率和非概率計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

4.1 通過(guò)基于隨機(jī)因子法和區(qū)間因子法的概率和非概率可靠性計(jì)算得到的設(shè)計(jì)結(jié)果均更符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，且均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)安全系數(shù)法，表明可靠性方法使得設(shè)計(jì)結(jié)果更精確更合理，更節(jié)省材料。

4.2 概率可靠性設(shè)計(jì)中，隨機(jī)變量的變異系數(shù)按照影響程度大小排列，纖維強(qiáng)度＞筒體半徑＞爆破壓強(qiáng)＞纖維總厚度＞纏繞角。 非概率可靠性設(shè)計(jì)中，區(qū)間變量的離差率按照影響程度大小排列的規(guī)律和概率可靠性設(shè)計(jì)是一致的。 對(duì)隨機(jī)概率和區(qū)間概率兩種設(shè)計(jì)中同種參數(shù)取值波動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)結(jié)果，可知非概率可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果的離散程度較小，也就是說(shuō)非概率可靠性能容許較大的不確定性。

4.3 在計(jì)算精度上，以設(shè)計(jì)厚度的均值作為比較標(biāo)準(zhǔn)，基于隨機(jī)因子法得到的概率可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果比基于區(qū)間因子法得到的非概率可靠性設(shè)計(jì)結(jié)果更接近實(shí)際值，表明概率可靠性方法的精度較高。 但在計(jì)算復(fù)雜度上，該方法中關(guān)于隨機(jī)因子法的計(jì)算公式比較冗長(zhǎng)， 推導(dǎo)過(guò)程也較為繁瑣。 區(qū)間算法顯然更容易，該方法無(wú)需代數(shù)綜合法或矩法等計(jì)算，并省去了求導(dǎo)的過(guò)程，計(jì)算公式簡(jiǎn)潔。