數(shù)據(jù)驅(qū)動的曲面構(gòu)件形狀?拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法

高天賀，田闊，黃蕾，張澍，李增聰

大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE 軟件全國重點實驗室 工程力學(xué)系，大連 116024

曲面構(gòu)件是組成航空航天結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵零部件［1-3］?；鸺械恼髡郑w機機翼、尾噴管以及密封艙壁板、艙門等都是曲面構(gòu)件。曲面構(gòu)件在運載火箭中占干重比80%以上，在飛機中占干重比50%以上［4］。隨著我國航空航天事業(yè)的不斷發(fā)展，對航空航天結(jié)構(gòu)的壽命及可靠性提出更高的要求［5］，所以研究曲面構(gòu)件的輕量化設(shè)計方法具有重要意義。

近年來，拓?fù)鋬?yōu)化方法憑借其不依賴指定的初始結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢，已逐漸成為曲面構(gòu)件概念設(shè)計階段的重要手段［6］。曲面構(gòu)件的拓?fù)鋬?yōu)化方法主要包括固體各向同性材料懲罰法（Solid Isotro?pic Material Penalized，SIMP）［7］、水 平 集 法（Level Set，LS）［8］、可變形孔洞法（Moving Mor?phable Void，MMV）［9］等。其中SIMP 法以單元密度為設(shè)計變量，具有收斂性好、靈敏度分析簡單等優(yōu)點，但應(yīng)用于復(fù)雜曲面構(gòu)件時卻容易產(chǎn)生棋盤格或灰度單元等問題，通常需要引入一些過濾技術(shù)［10］或B 樣條參數(shù)化方法［11］。相比于SIMP法，LS 方法用一個高維度的水平集隱式表達拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊界，產(chǎn)生的孔洞或筋條更加清晰。但是，LS 方法收斂性較差，利用該方法分析非線性問題的靈敏度較為困難。近年來，相關(guān)學(xué)者將LS 方法與等幾何分析相結(jié)合［12］，提高了拓?fù)溥吔鐟?yīng)力的計算精度，解決了應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化問題應(yīng)力奇異的挑戰(zhàn)。除上述方法外，張衛(wèi)紅團隊［13］還提出一種幾何背景網(wǎng)格法，用于航天三維曲面薄壁殼的加筋設(shè)計。Feng 等［11］針對曲殼結(jié)構(gòu)提出了一種有效的B 樣條參數(shù)化方法，與基于密度的方法相比，結(jié)果更清晰且無棋盤格現(xiàn)象。Zhou 等［14］參考蠕蟲的幾何形態(tài)，提出了基于仿生B-樣條偏移的加筋設(shè)計方法。Dong 等［15］基于自然界分支系統(tǒng)生長機理，提出了面向薄壁結(jié)構(gòu)抗屈曲的最佳加筋布局自適應(yīng)生長方法。Hu 等［16］對自適應(yīng)增長方法進行了改進，針對加筋角度、位置和長度等參數(shù)進行了尺寸優(yōu)化，提高了結(jié)構(gòu)的固有頻率。綜上，目前學(xué)者們已針對曲面構(gòu)件的拓?fù)鋬?yōu)化方法開展了大量的研究，相比傳統(tǒng)依賴人工經(jīng)驗的設(shè)計方法，拓?fù)鋬?yōu)化往往更容易產(chǎn)生創(chuàng)新性設(shè)計構(gòu)型。

然而，由于曲面構(gòu)件的某些性能受曲面形狀的影響很大，當(dāng)曲面構(gòu)件形狀固定時，僅依靠拓?fù)鋬?yōu)化方法難以保證獲得的材料分布是最優(yōu)的［17］。目前，學(xué)者們針對曲面構(gòu)件形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化問題開展了一定研究。最早的形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法，是在拓?fù)鋬?yōu)化后，利用CAD 方法［18］或一些光滑的隱式曲線［19］對孔洞形狀進行局部優(yōu)化。進一步，為將壁面形狀與拓?fù)鋬?yōu)化協(xié)同考慮，相關(guān)學(xué)者提出了一種形狀與拓?fù)浣惶孢M行，直到優(yōu)化問題收斂的分步迭代優(yōu)化方法［20］。該方法在優(yōu)化過程中會改變曲面形狀，為拓?fù)鋬?yōu)化提供了更為靈活的設(shè)計域。然而，由于形狀和拓?fù)渥兞勘粏为毺幚?，形狀與拓?fù)渥兞康南嗷プ饔脽o法得到充分的考慮。近年來，學(xué)者們開始將SIMP 法［21-22］等拓?fù)鋬?yōu)化方法與形狀設(shè)計變量的靈敏度分析方法相結(jié)合，通過推導(dǎo)靈敏度公式［23］，進行形狀與拓?fù)涞鸟詈锨蠼?。然而對于?fù)雜問題，靈敏度的推導(dǎo)較為困難，將耦合求解方法應(yīng)用于實際工程還存在較大難度。如何在考慮形狀-拓?fù)湎嗷プ饔玫耐瑫r，避免復(fù)雜的設(shè)計變量靈敏度推導(dǎo)，使其能較好的應(yīng)用于工程實際中的復(fù)雜問題，是形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化的研究挑戰(zhàn)。

近年來，數(shù)據(jù)驅(qū)動方法受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，為解決形狀-拓?fù)涞膮f(xié)同優(yōu)化問題提供了新的途徑。目前已有許多新穎的數(shù)據(jù)驅(qū)動的形狀優(yōu)化［24］和拓?fù)鋬?yōu)化［25］方法，然而如何應(yīng)用數(shù)據(jù)驅(qū)動思想，將形狀優(yōu)化與拓?fù)鋬?yōu)化協(xié)同考慮，還有待進一步研究。針對數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模，相關(guān)學(xué)者先后提出了網(wǎng)格映射［26］和網(wǎng)格變形［27］，并成功應(yīng)用于回轉(zhuǎn)曲面的拓?fù)鋬?yōu)化模型重構(gòu)［28］。該方法為參數(shù)化建立有限元網(wǎng)格模型，實現(xiàn)形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化提供了可能。數(shù)據(jù)驅(qū)動方法可以利用一定數(shù)目的樣本，擬合具有較高非線性程度的代理模型，并利用代理模型代替真實計算，能有效提高優(yōu)化求解的效率［29-31］。Meng 等［32］構(gòu) 建 了Kriging 自 適 應(yīng) 代 理模型，并開展了多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化設(shè)計，顯著提高了高度非線性系統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化的精度和效率。因此，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的網(wǎng)格變形建模及代理模型優(yōu)化方法，提出一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的曲面構(gòu)件形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法，旨在拓寬航空航天曲面構(gòu)件設(shè)計空間，為航空航天曲面構(gòu)件提供更為輕量化的創(chuàng)新構(gòu)型。

本文主要包括3 部分，第1 部分介紹數(shù)據(jù)驅(qū)動的曲面構(gòu)件形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法；第2 部分開展簡支梁和航天器艙門算例研究，以驗證所提出方法的有效性；第3 部分為結(jié)論與展望。

1 數(shù)據(jù)驅(qū)動的形狀?拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法

首先介紹形狀方程-網(wǎng)格變形驅(qū)動的形狀優(yōu)化方法，該方法通過用數(shù)學(xué)方程中的少量參數(shù)描述控制點的位移，將形狀設(shè)計變量用少量的參數(shù)表示。然后，介紹考慮沖壓約束的SIMP 拓?fù)鋬?yōu)化方法，針對每一個網(wǎng)格變形的設(shè)計域開展拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，獲得優(yōu)化結(jié)果。最后，介紹形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化的技術(shù)路線，包括離線、在線、更新3 個階段。

1.1 形狀方程?網(wǎng)格變形驅(qū)動的形狀優(yōu)化方法

傳統(tǒng)的基于節(jié)點的形狀優(yōu)化方法往往面臨著設(shè)計變量規(guī)模較大、網(wǎng)格更新困難和容易收斂到不滿足工藝要求的構(gòu)型設(shè)計等問題［33］。因此，提出一種以形狀方程描述形狀設(shè)計變量、以網(wǎng)格變形為驅(qū)動的形狀優(yōu)化方法。該方法能夠減少形狀設(shè)計變量個數(shù)且避免形狀改變后網(wǎng)格重新剖分，便于獲得滿足真實需求的設(shè)計構(gòu)型。如圖1 所示，該方法主要包括以下步驟：

圖1 形狀方程-網(wǎng)格變形驅(qū)動的形狀優(yōu)化方法Fig.1 Shape equation-mesh deformation-driven shape optimization method

步驟1：建立有限元模型，劃分形狀優(yōu)化的可設(shè)計域和不可設(shè)計域。在剖分好的網(wǎng)格模型中均勻選取控制點，以保證網(wǎng)格變形后網(wǎng)格邊界的光滑性。

步驟2：建立描述壁面或截面形狀的數(shù)學(xué)方程，根據(jù)數(shù)學(xué)方程求解控制點網(wǎng)格變形后的位置坐標(biāo)。

步驟3：基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，擬合控制點變形前后的兩個坐標(biāo)數(shù)據(jù)集合，獲得二者之間的映射關(guān)系。

步驟4：基于訓(xùn)練好的映射關(guān)系，對原網(wǎng)格模型所有節(jié)點坐標(biāo)進行預(yù)測，生成新的網(wǎng)格模型。為保證網(wǎng)格質(zhì)量，對變形后的網(wǎng)格進行拉普拉斯網(wǎng)格光順化處理，獲得邊界平滑、網(wǎng)格質(zhì)量較高的有限元網(wǎng)格模型［27］。

經(jīng)過上述步驟，即可完成網(wǎng)格變形驅(qū)動的參數(shù)化建模過程。需要說明的是，上述方法將數(shù)學(xué)方程描述壁面形狀和網(wǎng)格變形改變壁面形狀相結(jié)合，僅需要提供數(shù)學(xué)方程的若干參數(shù)，便可自動的進行控制點的移動、映射關(guān)系的訓(xùn)練，生成可用于有限元分析的網(wǎng)格模型。

1.2 固體各向同性材料懲罰拓?fù)鋬?yōu)化方法

SIMP 法［34］作為一種經(jīng)典的拓?fù)鋬?yōu)化方法，具有收斂性好、靈敏度分析簡單等優(yōu)點。因此，以SIMP 法為例，開展形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化的研究。以結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)，體積為約束，優(yōu)化問題為

式中：ρi為單元i的偽密度值；N為模型設(shè)計域的單元總數(shù)；為避免剛度陣奇異，δ取0.001；F為各單元的等效節(jié)點力；U為各單元節(jié)點位移；K為整體剛度矩陣；V0為結(jié)構(gòu)初始體積；Vf為約束體分比。

曲面加筋是一種常見的結(jié)構(gòu)形式，為獲得符合工藝約束的拓?fù)浣Y(jié)果，往往需要約束沖壓方向每一列材料的偽密度相等，來施加沖壓約束［35］。以圖2 為例，假設(shè)沖壓方向共四層網(wǎng)格，則其沖壓約束表達式為

圖2 沖壓約束效果示意圖Fig.2 Schematic diagram of effect of stamping constraint

沖壓方向網(wǎng)格單元偽密度在優(yōu)化過程中保持相等。

通過求解上述優(yōu)化問題，獲得優(yōu)化后的偽密度場，即可獲得結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型。

1.3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的形狀?拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法

一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法如圖3 所示，所提出方法主要包括以下3 個階段：

圖3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化方法流程圖Fig.3 Flow chart of data-driven shape-topology collab?orative optimization method

1） 離線階段。離線階段需要利用少量的樣本點建立全局高精度的代理模型。首先，基于拉丁超立方采樣方法［36］在設(shè)計空間進行采樣獲得形狀變量樣本（即形狀方程中的參數(shù)組合），使樣本點具有較好的空間覆蓋性，避免構(gòu)建的代理模型局部坍塌［37-40］。然后，將形狀變量樣本代入形狀方程，利用網(wǎng)格變形技術(shù)參數(shù)化、自動化地獲得樣本點數(shù)據(jù)對應(yīng)形狀的網(wǎng)格模型?；赟IMP法對獲得的網(wǎng)格模型進行拓?fù)鋬?yōu)化，獲得拓?fù)鋬?yōu)化后的響應(yīng)結(jié)果（如應(yīng)變能、最大位移、頻率等）。訓(xùn)練徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）代理模型［41］，獲得形狀設(shè)計變量（數(shù)學(xué)方程中的若干參數(shù)）與拓?fù)鋬?yōu)化響應(yīng)結(jié)果之間的映射關(guān)系。其中，代理模型的精度指標(biāo)［1］為留一驗證的R2和RRMSE，其表達式分別為

式中：k為所有樣本點的個數(shù)；yi為第i個樣本點響應(yīng)的真實值；y?i為第i個樣本點響應(yīng)的預(yù)測值；yˉ為所有樣本響應(yīng)的平均值。R2越接近1，RRMSE越接近0，代理模型的預(yù)測精度越高。

在實際應(yīng)用中，可根據(jù)實際問題的難易程度及計算資源確定合適的訓(xùn)練樣本數(shù)目。需要指出的是，當(dāng)邊界和載荷條件發(fā)生變化時，代理模型需要重新訓(xùn)練。為保證在線階段優(yōu)化能夠穩(wěn)定快速收斂，離線階段建立的代理模型需要保證具有較高的全局精度，如R2大于0.9。如果精度過低，可以通過自適應(yīng)序列加點策略（如CVVoronoi 方 法［38］、EI 加 點 方 法［39］等）進 行 更 新 和逐步提升精度。

2） 在線階段?；谌謱?yōu)算法協(xié)方差矩陣自適應(yīng)進化策略（Covariance Matrix Adaptive Evolution Strategy，CMA-ES）［42］和RBF 代理模型進行優(yōu)化。該階段基于離線階段訓(xùn)練好的代理模型開展高效的優(yōu)化，無需進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。由于代理模型根據(jù)輸入獲得輸出幾乎無耗時，所以可在優(yōu)化過程中使用充分多的種群數(shù)目和迭代次數(shù)。CMA-ES 優(yōu)化結(jié)束后，以CMAES 優(yōu)化得到的最優(yōu)結(jié)果為起點，利用序列二次規(guī)劃 算 法（Sequential Quadratic Programming，SQP）［43］對RBF 進 行 再 次 局 部 尋 優(yōu)，確 保 真 正收斂。

3） 更新階段。為避免程序無限制的運行下去導(dǎo)致RBF 代理模型在局部密集加點，甚至產(chǎn)生矩陣奇異等問題。根據(jù)韓忠華等［44-45］以及Fang等［46］的研究成果，利用最大迭代次數(shù)限制更新次數(shù)。最大迭代次數(shù)可根據(jù)問題難易程度或代理模型精度設(shè)置。所提出方法利用形狀方程驅(qū)動的網(wǎng)格變形技術(shù)降低了設(shè)計變量維度和優(yōu)化難度，并通過在離線階段構(gòu)建具有較高精度的代理模型、在線階段通過CMA-ES 全局搜索結(jié)合SQP 局部搜索的模式，保證優(yōu)化算法的穩(wěn)定收斂。因此通常不需要設(shè)置過大的迭代次數(shù)就足夠保證優(yōu)化收斂。在線階段結(jié)束后，判斷是否達到最大迭代次數(shù)，如果未達到最大迭代次數(shù)，則將在線階段得到的優(yōu)化解真實計算后加入原數(shù)據(jù)集，并重新訓(xùn)練代理模型以達到提高代理模型精度的目的。代理模型更新結(jié)束后，基于重新訓(xùn)練的代理模型重新進行在線階段的優(yōu)化，直至達到最大迭代次數(shù)。更新階段可通過加點更新提升代理模型的局部精度，自適應(yīng)的保證優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)定，減少拉丁超立方采樣隨機性對優(yōu)化結(jié)果的影響。

核心創(chuàng)新點為提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化框架，通過建立形狀變量與拓?fù)鋬?yōu)化響應(yīng)的代理模型實現(xiàn)形狀與拓?fù)涞膮f(xié)同優(yōu)化。其中，離線階段的代理模型的采樣方法以及在線計算的優(yōu)化算法可以根據(jù)需要進行替換，并不影響整個優(yōu)化框架。

2 算例研究

2.1 算例一：簡支梁算例

首先，基于一個簡支梁算例來驗證所提出方法的有效性。簡支梁的尺寸和載荷邊界如圖4所示，考慮載荷及邊界的對稱性，對梁進行二分之一簡化。取梁的幾何中心為坐標(biāo)原點，x軸為梁的跨度方向。梁上端面承受f=0.1 MPa 均布載荷，采用六面體單元對半跨簡支梁進行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)目為1 200 個。簡支梁的彈性模量和泊松比分別為E= 67 GPa 和υ= 0.3，材料密度為ρ= 2.700 g/cm3。

圖4 均布壓強載荷作用下的簡支梁示意圖Fig.4 Schematic diagram of a simply supported beam under sinusoidal pressure load

梁的形狀變化如圖5 所示，要求梁沿跨中截面保持左右對稱，半跨梁的外輪廓必須為直線。梁跨中截面可以上下移動，記移動量為a，沿y軸方向為正，梁跨中截面高度可以增加或減小，記改變量為2b，高度增加為正。在半跨梁的上下端面均勻選取控制點，控制點坐標(biāo)可由a和b表示：

圖5 簡支梁形狀優(yōu)化示意圖Fig.5 Schematic diagram of shape optimization for the simply supported beam

式中：坐標(biāo)原點位于變形前梁跨中截面的幾何中心；yU和yL分別為梁上下端面控制點的縱坐標(biāo)。

形狀-拓?fù)鋬?yōu)化以控制形狀的兩個參數(shù)a和b為設(shè)計變量，以拓?fù)鋬?yōu)化后應(yīng)變能最小為目標(biāo)，約束拓?fù)鋬?yōu)化后模型質(zhì)量小于1.4 g。拓?fù)鋬?yōu)化以應(yīng)變能最小為目標(biāo)，約束體分比小于0.4。

離線階段中，利用拉丁超立方采樣方法在形狀設(shè)計空間內(nèi)抽取15 個樣本點，并利用網(wǎng)格變形技術(shù)和拓?fù)鋬?yōu)化方法進行建模和計算，獲得樣本點的應(yīng)變能和質(zhì)量數(shù)據(jù)，并利用RBF 代理模型擬合設(shè)計變量與應(yīng)變能、質(zhì)量的映射關(guān)系。其中應(yīng)變能的預(yù)測精度R2為0.956 5，質(zhì)量的預(yù)測精度R2大于0.999 9。使用RBF 的原因是其訓(xùn)練收斂速度快，耗時少，且具有較強的逼近能力［47］。根據(jù)測試對比，利用高斯過程代理模型預(yù)測應(yīng)變能的精度R2為0.949 9，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測精度R2為0.818 4。進行一次留一驗證耗時分別為：RBF 耗時0.001 114 s；高斯過程耗時2.007 636 s；深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耗時2 216.64 s。可以發(fā)現(xiàn)RBF 的訓(xùn)練速度和精度均較高。然后進入在線階段的優(yōu)化，CMA-ES 最大迭代次數(shù)設(shè)置為100，CMA-ES 結(jié)束后進行SQP 的繼續(xù)尋優(yōu)，最大迭代次數(shù)為20。將最終優(yōu)化結(jié)果真實計算后進入更新階段并更新代理模型，代理模型更新次數(shù)設(shè)為5 次。優(yōu)化迭代過程及優(yōu)化目標(biāo)（Objective，Obj）的迭代曲線如圖6 所示，隨著代理模型的更新迭代，形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)逐漸減小并最終收斂，代理模型優(yōu)化解的形狀和拓?fù)浣Y(jié)果也趨于收斂，最終獲得優(yōu)化后的形狀與孔洞構(gòu)型。

圖6 簡支梁形狀-拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)迭代過程Fig.6 Iterative process of objective function in shapetopology optimization of simply supported beam

進一步，將所提出方法與初始設(shè)計（僅拓?fù)鋬?yōu)化）的優(yōu)化結(jié)果進行對比。為保證公平對比在有限計算資源下不同優(yōu)化方法的尋優(yōu)能力，本文將計算時間作為控制變量，通過控制樣本點數(shù)目一致保證各方法計算時間一致。通過對比相同計算耗時下的優(yōu)化結(jié)果，驗證所提出方法在有限計算資源下具有較高的尋優(yōu)能力。對比結(jié)果如表1 所示，優(yōu)化得到的形狀及拓?fù)浣Y(jié)果如圖7 及圖8 所示，其中所提出方法（形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計Ⅰ）優(yōu)化得到的應(yīng)變能為0.019 9 mJ（1 mJ=10?3J），與初始設(shè)計相比應(yīng)變能降低20.08%，說明設(shè)計域形狀的改變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)設(shè)計帶來更大的優(yōu)化空間。此外，也與形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計Ⅱ（19 代理模型樣本+1 精細校核）和Ⅲ（不構(gòu)建代理模型，直接CMA-ES 優(yōu)化）進行了對比，結(jié)果顯示所提出方法在相同計算資源下可獲得力學(xué)性能更優(yōu)的設(shè)計。其中精細校核與優(yōu)化加點的區(qū)別在于，優(yōu)化加點需要將真實計算后的優(yōu)化解加入訓(xùn)練集并更新代理模型，而精細校核只需要真實計算優(yōu)化解，不需要更新代理模型。由于達到相同的尋優(yōu)效果所提出方法用時最少，也驗證了所提出方法的計算效率較高。此外，本節(jié)也嘗試定量對比無代理模型方法（形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計Ⅴ）與所提出方法的計算效率。然而，無代理模型方法迭代100次（所提出方法耗時的5倍）仍與形狀-拓?fù)鋬?yōu)化Ⅰ的優(yōu)化結(jié)果有9%的差距。說明所提出方法的優(yōu)化效率是無代理模型的5 倍以上。形狀設(shè)計變量上下限優(yōu)化結(jié)果如圖7 及表1 所示。此外，還測試了設(shè)計域增大后相同材料用量約束的單一拓?fù)鋬?yōu)化，其中擴大后設(shè)計域跨中寬度為120 mm，足夠包絡(luò)所提出方法設(shè)計空間的所有形狀。優(yōu)化結(jié)果如圖7 （c）所示，優(yōu)化構(gòu)型不清晰，優(yōu)化后應(yīng)變能為0.040 7 mJ，相比所提出方法優(yōu)化結(jié)果增大了1 倍以上。說明拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計域并不是越大越好，直接擴大拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計域并不總會得到與形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化類似的結(jié)果，進一步驗證了所提出方法的必要性。

表1 所提出方法與其他方法簡支梁優(yōu)化結(jié)果對比Table 1 Comparison between results of simply supported beam from proposed method and other methods

圖7 簡支梁上下限形狀及擴大設(shè)計域后拓?fù)浣Y(jié)果對比Fig.7 Comparison of topology optimization results be?tween upper and lower bounds shapes and ex?tended design domain of simply supported beams

圖8 所提出方法與其他方法優(yōu)化后簡支梁形狀和拓?fù)浣Y(jié)果Fig.8 Shape and topology results of simply supported beam optimized by the proposed method and other methods

最后，本節(jié)也嘗試測試不同采樣方法對優(yōu)化結(jié)果及空間覆蓋性的影響?？臻g覆蓋性利用代理模型在驗證集上的精度表示。因此，首先利用全因子（Full Factorial， FF）試驗設(shè)計［48］在設(shè)計空間均勻抽取100 個樣本點作為驗證集。然后，利用FF法均勻抽取15 個樣本點進行代理模型構(gòu)建，最終優(yōu)化結(jié)果為形狀-拓?fù)鋬?yōu)化Ⅳ。經(jīng)驗證，F(xiàn)F 法樣本點構(gòu)建的代理模型在驗證集上的R2為0.974 6，LHS 的R2為0.993 9，說明FF 抽樣法的空間覆蓋度較差。在該問題中，兩種采樣方法的優(yōu)化結(jié)果應(yīng)變能誤差為1.5%，說明算法較為穩(wěn)定，改變采樣方法，并不會對最終優(yōu)化結(jié)果造成較大的影響。

2.2 算例二：航天器艙門算例

為進一步驗證所提出方法的有效性，本節(jié)針對航天器艙門開展算例研究。艙門的簡化模型及截面尺寸如圖9 所示，艙門門體安裝在門框上，艙門半徑為560 mm，包括蒙皮在內(nèi)的設(shè)計域厚度為30 mm，門體中心半徑100 mm 的圓面在優(yōu)化過程中保持水平。門體外表面承受p= 0.09 MPa 均布壓強作用，門框底部設(shè)置固支邊界。根據(jù)對稱性取四分之一模型進行簡化，對簡化后模型截面設(shè)置對稱邊界條件。采用六面體單元對艙門結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)目為57 780 個。艙門結(jié)構(gòu)材料屬性如表2 所示。

表2 艙門結(jié)構(gòu)材料屬性Table 2 Material properties of cabin door

圖9 艙門載荷邊界及形狀變化示意圖Fig.9 Schematic diagram of cabin door load boundary and shape change

艙門門體截面控制點y坐標(biāo)可用超橢圓方程表示，根據(jù)模型的尺寸，可以構(gòu)造出門體截面的數(shù)學(xué)方程：式中：c和n為艙門算例的兩個形狀設(shè)計變量；c為超橢圓的短半軸長度，可以表示艙門截面邊界的內(nèi)凹程度，c越大，艙門截面邊界內(nèi)凹程度越大，當(dāng)c接近0 時，艙門截面邊界形狀趨于水平直線；n為超橢圓的次數(shù)，n為1 時艙門截面邊界為直線，n為2 時為標(biāo)準(zhǔn)橢圓。通過改變c和n，可實現(xiàn)艙門截面形狀的改變。

形狀-拓?fù)鋬?yōu)化通過優(yōu)化形狀設(shè)計變量，使拓?fù)鋬?yōu)化后的應(yīng)變能最小。拓?fù)鋬?yōu)化以應(yīng)變能最小為目標(biāo)，以優(yōu)化后的體積小于等于2 022.47 cm3（初始設(shè)計形狀設(shè)計域體積的30%）為約束，保證優(yōu)化方法最終構(gòu)型體積相同。為保證拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果滿足工藝制造要求，對拓?fù)鋬?yōu)化問題施加沖壓約束，沖壓方向為艙門門體的面外方向。此外，施加尺寸約束，最小尺寸為20 mm，最大尺寸為60 mm，最小間隙設(shè)為200 mm。

離線階段中，初始樣本點個數(shù)為30 個，RBF代 理 模 型 預(yù) 測 精 度R2為0.931 0，RRMSE 為0.674 3。在線優(yōu)化CMA-ES 設(shè)置最大迭代次數(shù)為100，SQP 最大迭代次數(shù)為20。代理模型更新次數(shù)設(shè)置為15 次，優(yōu)化迭代過程及優(yōu)化目標(biāo)（Obj）的迭代曲線如圖10 所示，最終可獲得清晰的設(shè)計構(gòu)型。

圖10 艙門形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)迭代過程Fig.10 Iterative process of objective function in shapetopology optimization of cabin door

形狀設(shè)計變量上下限優(yōu)化結(jié)果如圖11 及表3 所示，上下限形狀優(yōu)化結(jié)果分別為15 040 mJ和14 038 mJ。

表3 所提出方法與其他方法艙門優(yōu)化結(jié)果對比Table 3 Comparison between results of cabin door from proposed method and other methods

圖11 艙門上下限形狀及擴大設(shè)計域后拓?fù)浣Y(jié)果對比Fig.11 Comparison of topology optimization results be?tween upper and lower bounds shapes and ex?tended design domain of cabin doors

補充設(shè)計域足夠包絡(luò)住形狀設(shè)計空間的單一拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，如圖11（c）所示。最終優(yōu)化結(jié)果如表3 所示，所提出方法優(yōu)化結(jié)果（形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計Ⅰ）為7 437.38 mJ，對比相同質(zhì)量下初始設(shè)計（僅拓?fù)鋬?yōu)化），應(yīng)變能結(jié)果降低了37.93%，驗證了形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化的有效性。擴大后的設(shè)計域上端面水平，下端面斜率為1，門體中心厚度為120 mm，優(yōu)化后應(yīng)變能為29 981.2 mJ。由于只進行拓?fù)鋬?yōu)化，忽略了蒙皮形狀對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的影響，該優(yōu)化結(jié)果相比所提出方法優(yōu)化結(jié)果增大了4倍以上。同時，將形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計Ⅰ與形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計Ⅱ（無代理模型更新）、Ⅲ（不構(gòu)建代理模型，直接優(yōu)化）進行對比，結(jié)果顯示所提出方法在相同計算資源下可獲得力學(xué)性能更優(yōu)的設(shè)計，與算例一結(jié)論完全相同。由圖12 可知，所提出方法優(yōu)化結(jié)果形狀規(guī)則且筋條清晰，由于沖壓約束在拓?fù)鋬?yōu)化中的使用，使拓?fù)鋬?yōu)化產(chǎn)生的筋條與蒙皮保持垂直，符合工藝要求。

圖12 所提出方法與其他方法艙門優(yōu)化后形狀和拓?fù)浣Y(jié)果Fig.12 Shape and topology results of cabin door optimized by the proposed method and other methods

3 結(jié) 論

通過網(wǎng)格變形技術(shù)和代理模型方法，實現(xiàn)了壁面形狀和拓?fù)涞膮f(xié)同優(yōu)化。最終形成了離線-在線-更新三階段的優(yōu)化路線。面向工程中簡支梁和航天器艙門結(jié)構(gòu)開展了算例研究，結(jié)果表明，相比于固定形狀的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，形狀-拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化的應(yīng)變能可分別降低20.08%和37.93%，驗證了所提出方法的有效性。此外，還將所提出方法與無代理模型的形狀-拓?fù)鋬?yōu)化、無代理模型更新階段的形狀-拓?fù)鋬?yōu)化進行了對比，結(jié)果表明，在相同計算資源下，相比無代理模型方法，所提出方法優(yōu)化的應(yīng)變能分別減小18.11%和4.87%，驗證了代理模型可提高相同計算資源下的尋優(yōu)能力；相比無代理模型更新階段的方法，所提出方法的應(yīng)變能分別減小3.86%和1.09%，驗證了代理模型更新階段可保證最終優(yōu)化收斂。

在后續(xù)研究中，將探索設(shè)計域內(nèi)包含不可變結(jié)構(gòu)功能性孔洞的網(wǎng)格變形方法，實現(xiàn)更為智能的參數(shù)化建模。此外，還將研究代理模型預(yù)測精度對尋優(yōu)能力的影響，嘗試?yán)么砟Ｐ途茸赃m應(yīng)平衡采樣數(shù)目與代理模型更新次數(shù)，并擴展到更為復(fù)雜的載荷工況和結(jié)構(gòu)形式，進一步提高方法對復(fù)雜問題的適用性。