多透鏡組近軸隱形條件的理論和實(shí)驗(yàn)探討

余林萱,李陸洋,王娟娟,夏 霖,盧禮萍,葛夢炎

(1. 南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 210095;2. 海寧市紫微高級中學(xué),浙江 海寧 314400 )

電磁波隱形在科學(xué)研究和文化領(lǐng)域都具有很大的熱度,例如,隱身飛機(jī)和隱形斗篷等. 近些年來,對光學(xué)隱形的討論也逐漸受到國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,其研究結(jié)果對未來光學(xué)發(fā)展有著深刻的啟示作用. 在變換光學(xué)領(lǐng)域,已經(jīng)有學(xué)者發(fā)現(xiàn)應(yīng)用負(fù)折射率材料可以將光波繞過目標(biāo)物體,從而在視覺上達(dá)到“隱形”的效果. 目前,人們在利用人工負(fù)折射率材料實(shí)現(xiàn)隱形方面,已經(jīng)取得了一定的突破[1-3]. 然而這種負(fù)折射率材料存在取材難的問題. 除了負(fù)折射材料在隱形方面的應(yīng)用外,基于幾何光學(xué)隱形的方法也引起了關(guān)注. 最常見的方法是利用多透鏡組實(shí)現(xiàn)近軸隱形,該方法簡單而且便于操作. 2014年,Joseph S. Choi[4]等人提出了利用透鏡組實(shí)現(xiàn)光路方向的變化,并且利用光線傳輸矩陣實(shí)現(xiàn)了四透鏡對稱情況下隱形區(qū)域的探究. 2020年Alicia Fresno-Hernández[5]等人進(jìn)行了進(jìn)一步的設(shè)計(jì),擴(kuò)展了四透鏡對稱組,研究五透鏡組的相關(guān)性質(zhì)并實(shí)現(xiàn)了隱形的目的. 2021年,王晨陽[6]等人對四透鏡隱形區(qū)域進(jìn)行了測量和研究,并更精確地給出了隱形范圍.

在幾何光學(xué)的隱形條件探究方面,利用矩陣進(jìn)行計(jì)算時(shí)的工作量較大,并且不容易進(jìn)行精確化處理. 光學(xué)隱形作為2022年CUPT的一道賽題,筆者在研究時(shí),利用Matlab軟件對復(fù)雜的矩陣進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,并采用圖像交叉取點(diǎn)的方法更簡便地求解隱形條件. 另一方面,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,本文搭建四透鏡和五透鏡組來測量近軸隱形范圍,并驗(yàn)證理論分析. 最后利用COMSOL軟件,考慮透鏡厚度的情況下,對四透鏡和五透鏡對稱組的幾何光學(xué)進(jìn)行了模擬,獲得的近軸近似條件下的隱形范圍,并與實(shí)驗(yàn)測量進(jìn)行了對比分析.

1 透鏡隱形條件

多透鏡組通過特定排列后,使得從近軸特殊范圍內(nèi)物體發(fā)出的光無法達(dá)到觀察區(qū)域,從而達(dá)到隱形的效果,如圖1所示. 根據(jù)光的傳播矩陣?yán)碚?在近軸近似條件下,單個(gè)透鏡和空氣的傳播矩陣是

(1)

圖1 透鏡隱形效果

其中f為透鏡焦距,凹透鏡為負(fù),凸透鏡為正,t表示光程. 對于多個(gè)透鏡組,系統(tǒng)在幾何光學(xué)的背景下,采用“近軸近似”原理對光線進(jìn)行線性分析,即假設(shè)當(dāng)光線與光軸中心夾角很小時(shí),光線不發(fā)生偏折. 此時(shí)透鏡組達(dá)到的隱形條件可用光線傳輸矩陣(ABCD矩陣)所表示[4,5]

(2)

上式中L是光程總長,n是空氣折射率取1. 接下來討論如圖2所示的4透鏡對稱組合,Li(i=1,2,3)定義為區(qū)間,tj(j=1,2)為透鏡之間距離,此時(shí)式(2)中L=2t1+t2,fj(j=1,2)是透鏡焦距.

圖2 四透鏡對稱組示意圖

接下來求解式(2),首先建立4個(gè)方程組,令透鏡焦距f1和f2為常數(shù),在忽略透鏡厚度的情況下求解符合4個(gè)方程的間距t1和t2數(shù)值解. 這里,我們利用Matlab的Solve 函數(shù)求解式(2)中的A、B、C、D4個(gè)方程,得到將t1作為變量的t2函數(shù),具體方程形式如式(3)所示.A、B、C、D4個(gè)方程中,每個(gè)方程對應(yīng)的有兩個(gè)解,t1和t2值只需滿足其中一個(gè)解即可.

(3)

分析式(3)中解的形式發(fā)現(xiàn),tA1能同時(shí)滿足A、C、D等式,tB2滿足B方程. 因此只要滿足矩形框中的兩個(gè)方程的t1和t2值,就是隱形條件的解. 為了方便求解,作兩個(gè)方程曲線,如圖3所示,這里取f1=150 mm,f2=50 mm. 求得兩曲線交叉點(diǎn)對應(yīng)的是t1=t2=200 mm.

圖3 四透鏡對稱組t1和t2隱形條件

圖4 透鏡對稱組合裝置示意圖

討論五透鏡對稱組時(shí),建立如下實(shí)驗(yàn)裝置

同樣地,將t1作為變量,通過式(2)A、B、C、D方程的求解,這里總長L=2(t1+t2).

(4)

分析式(4)解的形式,因?yàn)锳方程和D方程的解是完全相同的,即G1(t2)=J1(t2),G2(t2)=J2(t2),記作G(t2)=J(t2),C方程的第一個(gè)解I1與A方程的第一個(gè)解G1相同,因此I1的解可以同時(shí)滿足A、C、D方程. 通過作圖得知,B方程的第一個(gè)解H1與I1無交點(diǎn),H2與I1存在一個(gè)交點(diǎn). 為了驗(yàn)證該方法的可行性,取文獻(xiàn)中五透鏡組的透鏡參數(shù)[5],f1=200 mm,f2=75 mm,f3=-150 mm 得到I1與H2兩曲線的交點(diǎn)是t1=290 mm,t2=147 mm,見圖5(A),與文獻(xiàn)一致. 本實(shí)驗(yàn)中透鏡參數(shù)取f1=150 mm,f2=50 mm,f3=-100 mm,相交點(diǎn)為t1=210 mm,t2=92 mm,見圖5(B).

圖5 五透鏡對稱組 t1和t2隱形條件

2 多透鏡對稱組隱形實(shí)驗(yàn)與模擬

按照四透鏡計(jì)算的數(shù)值結(jié)果設(shè)置透鏡位置,如圖6所示. 其中用固定的手機(jī)攝像功能來觀測隱形效果. 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在L2和L3區(qū)域均存在較大范圍的隱形區(qū)域.

圖6 四透鏡實(shí)驗(yàn)

對四透鏡的3個(gè)區(qū)域進(jìn)行測量發(fā)現(xiàn),L1區(qū)域也有一定的隱身范圍,但是范圍較小,可以忽略. 對L2和L3隱形范圍進(jìn)行測量,結(jié)果見圖7.

圖7 L2(A)和L3(B)區(qū)間的隱形范圍測量

圖7中的陰影部分為隱形區(qū)域,其中最大隱形位置出現(xiàn)在離3號透鏡約15 cm和離4號透鏡約14 cm處. 為了驗(yàn)證四透鏡隱形效果,用COMSOL對該參數(shù)下的幾何光路進(jìn)行了模擬,如圖8所示. 模擬時(shí),取透鏡直徑為40 mm,厚度為3 mm.

圖8 四透鏡對稱組的COMSOL模擬

模擬結(jié)果顯示在L2和L3區(qū)間出現(xiàn)范圍較大的隱形,最大隱形位置出現(xiàn)在離4號透鏡150 mm和350 mm處,與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合.

對五透鏡對稱系統(tǒng),按圖3排列透鏡,透鏡和間距參數(shù)已由計(jì)算給出. 圖9是測量的L4的隱形范圍,其他區(qū)間隱形效果不明顯,這里沒有進(jìn)行測量. 圖9可以看出物體在透鏡L4的隱形區(qū)間內(nèi),物體離五號透鏡距離約為14.5 cm時(shí)隱身范圍較大,此時(shí)在靠近光軸的位置處也能實(shí)現(xiàn)完美隱身.

圖9 L5區(qū)間的隱形范圍

五透鏡的COMSOL光路模擬見圖10所示,模擬同樣取透鏡直徑為40 mm,厚度為3 mm,其他參數(shù)則根據(jù)計(jì)算結(jié)果選擇. 模擬結(jié)果顯示離透鏡5距離約為151 mm,光斑橫截面半徑最小約為56.5 μm,為隱形范圍最大位置,與實(shí)驗(yàn)中完美隱形位置近似. 實(shí)際情況中,光學(xué)隱形受到透鏡的厚度、直徑、焦距等不同參數(shù)的影響,因此計(jì)算,實(shí)驗(yàn)和模擬的結(jié)果略有差別.

圖10 五透鏡對稱組的COMSOL模擬

3 結(jié)論

本文根據(jù)光傳播矩陣隱形條件,在分析A、B、C和D方程組解的特點(diǎn)的基礎(chǔ)上,采用圖像交叉的方法獲得了四透鏡和五透鏡對稱組滿足隱身?xiàng)l件的透鏡間距參數(shù). 另一方面,根據(jù)計(jì)算結(jié)果搭建了兩透鏡系統(tǒng),并利用COMSOL軟件模擬了兩系統(tǒng)的光路圖,從實(shí)驗(yàn)和模擬的角度測量和分析隱形區(qū)間. 結(jié)果表明在四透鏡組的L3區(qū)間和五透鏡組的L4區(qū)間均呈現(xiàn)出“沙漏”狀的隱形區(qū)域. 由實(shí)驗(yàn)測量和模擬獲得的最大隱形位置基本一致,四透鏡組位于里四號透鏡約14 cm處,五透鏡組位于距五號透鏡約15 cm處.