索末菲展開對(duì)二維電子氣體費(fèi)米能級(jí)求解的有效性分析

江翠，張蓮蓮

索末菲展開對(duì)二維電子氣體費(fèi)米能級(jí)求解的有效性分析

江翠1，張蓮蓮2

（1. 沈陽工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 沈陽 110136；2. 東北大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110819）

索末菲展開是固體物理學(xué)中討論自由電子氣體性質(zhì)的重要方法，二維電子氣體是金屬自由電子氣體的一個(gè)特例，目前受到了科研工作者的廣泛關(guān)注．利用嚴(yán)格求解和索末菲展開近似求解兩種不同方法對(duì)二維電子氣體的費(fèi)米能級(jí)進(jìn)行了計(jì)算，同時(shí)對(duì)兩種方法進(jìn)行比對(duì)．分析發(fā)現(xiàn)，如果氣體溫度較低，索末菲展開近似引起的誤差較小，闡述了索末菲展開方法的有效性和使用條件．該研究將對(duì)學(xué)生深入理解固體物理學(xué)中相關(guān)知識(shí)內(nèi)容有所幫助．

索末菲展開；二維電子氣體；費(fèi)米能級(jí)

索末菲展開是固體物理學(xué)中金屬電子理論一章用來討論自由電子氣體性質(zhì)的重要方法[1-3]．借助該方法，可以得出金屬中自由電子氣體的費(fèi)米能級(jí)、比熱等物理量隨溫度的變化情況[4-6]，結(jié)果也得到廣泛認(rèn)可．而且，該方法也被廣泛地應(yīng)用到與量子統(tǒng)計(jì)有關(guān)的科研工作中[7]．因此，在學(xué)習(xí)金屬電子理論的過程中，有必要深入分析索末菲展開的有效性，讓學(xué)生從根本上理解和掌握這部分內(nèi)容．

二維電子氣體是金屬自由電子氣體的一個(gè)特例，原因在于其能態(tài)密度是不依賴能量而改變的常數(shù)．這直接導(dǎo)致了諸多有趣的現(xiàn)象發(fā)生，也吸引了科研工作者持續(xù)關(guān)注二維電子氣體[8-10]．值得注意的是，由于能態(tài)密度為常數(shù)，因此二維電子氣體的費(fèi)米能級(jí)可以直接求解．很顯然，對(duì)應(yīng)的解析解可以作為討論索末菲展開有效性的依據(jù)．基于這一思路，本文以二維電子氣體為例，對(duì)索末菲展開的有效性做深入剖析．

1 理論推導(dǎo)

在求解金屬電子氣體費(fèi)米能級(jí)的過程中，通常需要計(jì)算積分，即

求解則需要借助索末菲展開，具體為[2]

因此

其中

于是得到

實(shí)際上，對(duì)于二維金屬電子氣體，費(fèi)米能級(jí)可以通過嚴(yán)格解析求解的方法得出，即

2 結(jié)果分析

圖1 二維電子氣體隨溫度的變化

圖2 二維電子氣體費(fèi)米能級(jí)隨溫度改變的演化結(jié)果

綜上所述，以二維電子氣體為例，討論了索末菲展開求解電子氣體費(fèi)米能級(jí)的有效性．通過將嚴(yán)格求解和索末菲展開近似求解兩種方法進(jìn)行比對(duì)分析發(fā)現(xiàn)，如果氣體溫度較低，索末菲展開近似引起的誤差較?。虼?，該方法求解二維電子氣體的費(fèi)米能級(jí)有效性得以顯現(xiàn)．本文有助于對(duì)索末菲展開方法進(jìn)行深入理解，為固體物理課程的學(xué)習(xí)提供一定的輔助作用.

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Validity analysis of Sommerfeld expansion in solving Fermi level of two-dimensional electron gas

JIANG Cui1，ZHANG Lianlian2

（1. Basic Education Department，Shenyang Institute of Engineering，Shenyang 110136，China； 2. School of Sciences，Northeastern University，Shenyang 110819，China）

Sommerfeld expansion is an important method in solid-state physics for discussing the properties of free electron gases．Two-dimensional electron gases，a special case of metallic free electron gases，have recently attracted widespread attention from researchers．Fermi level of two-dimensional electron gases was calculated using both rigorous numerical solutions and Sommerfeld expansion approximations，and a comparison between the two methods was made．The analysis found that if the temperature of the gas is low，the error caused by the Sommerfeld expansion approximation is small，thus elucidating the effectiveness and usage conditions of the Sommerfeld expansion method．This work will be helpful for students to deepen their understanding of relevant knowledge in solid-state physics．

Sommerfeld expansion；two-dimensional electron gas；Fermi level

O469∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.02.018

1007-9831（2024）02-0088-04

2023-07-31

江翠（1981-），女，吉林四平人，副教授，博士，從事低維介觀體系電子特性研究．E-mail：jiangc@163.com

張蓮蓮（1980-），女，吉林通化人，副教授，博士，從事低維量子體系輸運(yùn)及性質(zhì)研究．E-mail：38328265@qq.com