基于精英引導的改進哈里斯鷹優(yōu)化算法

李雨恒,高 尚,孟祥宇

(江蘇科技大學計算機學院,江蘇 鎮(zhèn)江 212100)

1 引言

元啟發(fā)式算法具有原理簡單、適用性廣、無需梯度信息和避免局部最優(yōu)能力強的優(yōu)點,常用于解決傳統(tǒng)優(yōu)化算法難以有效求解的多峰值、不連續(xù)和不可微的工程問題[1,2]。群智能算法是一類基于種群的元啟發(fā)式算法,通過模擬生活在種群中生物的社會行為來在問題空間內隨機搜索問題的解。典型的群智能算法有模擬鳥群覓食行為的粒子群優(yōu)化算法[3],其被廣泛應用于大數(shù)據(jù)背景下的關聯(lián)規(guī)則挖掘[4];有模擬座頭鯨捕食行為的鯨魚優(yōu)化算法[5],其可用于海上物流配送路徑的優(yōu)化[6]。根據(jù)沒有免費的午餐定理[7],沒有優(yōu)化算法是通用的最優(yōu)算法,所以不斷有研究人員受到自然現(xiàn)象的啟發(fā)而提出新的優(yōu)化算法,這些算法為解決優(yōu)化問題提供了新的思路和靈感[8]。

哈里斯鷹優(yōu)化HHO(Harris Hawks Optimization)算法是Heidari等[9]于2019年提出的一種新的群智能算法,算法的主要靈感來源于哈里斯鷹在捕捉獵物時的合作行為及突襲策略。在追逐獵物的過程中,幾只合作的哈里斯鷹會從不同方向包圍獵物,并根據(jù)環(huán)境的變化和獵物的逃跑情況選擇不同策略來突襲獵物。哈里斯鷹算法具有原理簡單、參數(shù)少和易實現(xiàn)等優(yōu)點,但同時也存在收斂精度低、收斂速度慢和易陷入局部最優(yōu)等缺點。為了改善上述缺點,Li等[10]用精英進化策略來提高算法的收斂速度和跳出局部最優(yōu)的能力;郭雨鑫等[11]用精英反向學習機制來提升算法全局尋優(yōu)能力,用黃金正弦算法來增強算法局部開發(fā)能力;陳功等[12]用互利共生思想來加快算法收斂速度,用透鏡成像反向學習策略提高算法跳出局部最優(yōu)的能力;湯安迪等[13]用精英等級策略提升算法收斂速度和收斂精度,用高斯隨機游走來有效跳出局部最優(yōu);朱誠等[14]用趨化校正機制來提高算法收斂精度。上述改進策略都在一定程度上改善了原算法的缺點,但改進算法的性能和魯棒性仍有一定提升空間。

本文針對哈里斯鷹優(yōu)化算法存在的問題,提出一種基于精英引導的改進哈里斯鷹優(yōu)化EHHO(improved Harris Hawks Optimization based on Elite guidance)算法,從3個方面進行改進：(1)引入精英反向學習,生成反向種群與當前種群競爭來增加種群多樣性,從而增強算法跳出局部最優(yōu)的能力;(2)引入精英演化策略,用精英解引導種群進化來提升種群質量,從而增強算法開發(fā)能力;(3)引入自適應機制,動態(tài)調整開發(fā)階段不同搜索策略的選擇概率,從而更好地平衡算法的開發(fā)與探索。

2 哈里斯鷹優(yōu)化算法

HHO算法模擬了哈里斯鷹種群采用不同策略搜尋并捕食獵物的合作狩獵行為,包含探索階段和開發(fā)階段,并根據(jù)獵物逃逸能量的變化實現(xiàn)2個階段之間的轉換。

2.1 探索階段

探索階段,哈里斯鷹在搜索空間中以同等概率采用2種策略來搜尋獵物。一種策略是根據(jù)種群其他成員和獵物的位置來更新位置;另一種策略是在種群分布范圍內隨機更新位置,其形式化如式(1)和式(2)所示：

(1)

(2)

其中,X(t+1)和X(t)分別是第t+1次迭代和第t次迭代時哈里斯鷹的位置向量,Xp(t)是第t次迭代時獵物的位置向量,Xr(t)是第t次迭代時哈里斯鷹種群中隨機選擇的一個哈里斯鷹的位置向量,Xm(t)是第t次迭代時哈里斯鷹種群中所有哈里斯鷹的平均位置向量,r1、r2、r3、r4和q都是(0,1)內的隨機數(shù),UB和LB是搜索空間上下界。

2.2 探索階段和開發(fā)階段的轉換

HHO算法根據(jù)獵物逃逸能量的大小判斷算法是進入探索階段還是開發(fā)階段,如式(3)所示：

(3)

其中,E是獵物的逃逸能量,E0是初始狀態(tài)的逃逸能量,t是當前迭代次數(shù),T是最大迭代次數(shù)。在HHO算法的每次迭代中,E0在(-1,1)內隨機變化。當E≥1時,HHO算法進入探索階段,哈里斯鷹對獵物進行搜尋;當E<1時,HHO算法進入開發(fā)階段,哈里斯鷹對獵物進行捕食。

2.3 開發(fā)階段

HHO算法使用4種策略來模擬哈里斯鷹捕捉獵物的過程,分別是：軟圍攻、硬圍攻、突襲式軟圍攻和突襲式硬圍攻。獵物總是試圖逃離危險環(huán)境,用(0,1)內的隨機數(shù)r表示獵物在哈里斯鷹發(fā)動突襲前逃脫的情況：成功逃脫(r<0.5)或逃脫失敗(r≥0.5)。

軟圍攻：當r≥0.5,|E|≥0.5時,獵物逃逸能量充足,并試圖通過隨機跳躍來誤導哈里斯鷹,但未能成功;哈里斯鷹通過軟圍攻來消耗獵物體力,為后續(xù)發(fā)動突襲做準備,如式(4)和式(5)所示：

X(t+1)=ΔX(t)-E|JXp(t)-X(t)|

(4)

ΔX(t)=Xp(t)-X(t)

(5)

其中,ΔX(t)是第t次迭代時獵物與哈里斯鷹之間的位置向量之差,J=2(1-r5)是獵物逃逸過程中隨機跳躍的強度,r5是(0,1)內的隨機數(shù)。

硬圍攻：當r≥0.5,|E|<0.5時,獵物逃逸能量不足,哈里斯鷹通過硬圍攻逼近獵物,為后續(xù)發(fā)動突襲做準備,如式(6)所示：

X(t+1)=Xp(t)-E|ΔX(t)|

(6)

突襲式軟圍攻：當r<0.5,|E|≥0.5時,獵物成功逃脫軟圍攻,且逃逸能量依舊充足,哈里斯鷹通過突襲式軟圍攻來抓捕獵物,如式(7)～式(9)所示：

Y=Xp(t)-E|JXp(t)-X(t)|

(7)

Z=Y+S×LF(D)

(8)

(9)

其中,D是待求解問題的維度;S是D維向量,每一維都是(0,1)內的隨機數(shù);LF(·)是萊維飛行函數(shù);F(·)是適應度函數(shù)。

突襲式硬圍攻：當r<0.5,|E|<0.5時,獵物成功逃脫硬圍攻,但逃逸能量已經不足,哈里斯鷹通過突襲式硬圍攻來抓捕獵物,如式(10)～式(12)所示：

(10)

Y=Xp(t)-E|JXp(t)-Xm(t)|

(11)

Z=Y+S×LF(D)

(12)

3 改進的哈里斯鷹優(yōu)化算法

EHHO算法依舊通過逃逸能量實現(xiàn)探索階段和開發(fā)階段之間的轉換,不同的是EHHO算法在每一輪迭代開始前用精英反向學習對種群位置進行優(yōu)化,并在開發(fā)階段用精英演化策略替換原開發(fā)策略進行種群位置更新,以及通過自適應機制調節(jié)精英演化策略中2種不同演化方式的選擇概率。

3.1 精英反向學習

反向學習是Tizhoosh[15]于2005年提出的一種新的機器智能的解決方案,通過考慮當前解的反向解來擴大搜索范圍,能以更大概率找到更優(yōu)解。將反向學習策略與群智能算法結合,能有效增加種群多樣性和質量,使得算法能夠迅速搜索到最優(yōu)區(qū)域。反向解的計算如式(13)所示：

(13)

其中,A、B分別為搜索空間的下界和上界,X為當前解,即反向解與當前解關于搜索空間中心對稱。

基本反向學習以搜索空間中心為對稱中心進行搜索,雖然擴大了搜索范圍,但缺乏針對性,搜索比較盲目,找到更優(yōu)解的概率仍有待提升。為了增加反向學習找到更優(yōu)解的概率,本文提出一種精英反向學習方式,以精英中心為對稱中心進行反向學習。

基本反向學習中的對稱中心始終保持為搜索空間中心,其不隨算法迭代動態(tài)變化。而精英反向學習中的對稱中心為精英中心,其隨算法迭代動態(tài)變化。精英中心的計算如式(14)所示：

(14)

其中,Xo1、Xo2、Xo3為上一輪迭代時種群中的3個最優(yōu)解(當前最優(yōu)解),r為(0,1)內隨機數(shù)。3個當前最優(yōu)解蘊含上一輪迭代中最重要的信息,每次反向學習時隨機選擇一個當前最優(yōu)解作為精英中心,以充分利用上一輪迭代的搜索成果,增加反向學習成功的機率。

基本反向學習中當前解僅有一個對應的反向解,如果當前種群分布集中,那么其反向種群也會分布集中,這種情況下通過尋找反向解來得到更優(yōu)解的概率不高。精英反向學習中引入隨機參數(shù),使得當前解對應一個反向區(qū)域,且該區(qū)域的直徑為當前解到精英中心的距離。當距離大時,反向學習增強探索能力;當距離小時,反向學習增強開發(fā)能力和跳出局部最優(yōu)的能力。每次反向學習從對應區(qū)域中隨機生成一個解作為反向解,當反向區(qū)域與最優(yōu)區(qū)域有重合時,能增加反向學習成功率。精英反向解的計算如式(15)所示：

(15)

其中,r1、r2均為(0,1)內的隨機數(shù),Xc為式(14)所得精英中心。精英反向學習的一個示例如圖1所示,該示例為三維空間中通過精英反向學習產生的1 000個反向位置的分布情況。

Figure 1 Elite opposite learning圖1 精英反向學習

基本反向學習中通過比較當前解及其反向解的適應度值來選擇保留更優(yōu)的那個解,但計算每輪迭代中所有當前解和反向解的適應度值會增加算法的時間開銷;此外,如果算法陷入局部最優(yōu),在當前解和反向解中優(yōu)先保留反向解更有可能幫助算法跳出局部最優(yōu)。

為了盡量減少因反向學習而增加的計算適應度值的次數(shù),同時充分利用反向解跳出局部最優(yōu)的能力,本文設計一種反向優(yōu)先策略：先計算反向解的適應度值,如果其小于保留解的歷史最優(yōu)的適應度值,則不再計算當前解的適應度值并直接保留反向解;否則保留當前解并計算其適應度值。保留解計算公式如式(16)所示：

(16)

其中,f(·)為適應度函數(shù),fitness為該保留解迭代過程中的最優(yōu)適應度值。

3.2 精英演化策略

本文基于進化算法的核心原則,提出一種精英演化策略,以同等概率分別采用2種演化方法來更新種群,充分利用精英解引導種群演化來提升種群質量。精英演化策略保留算法迭代中的3個最優(yōu)解Xe1、Xe2和Xe3為精英解(歷史最優(yōu)解),且這3個精英解的適應度值滿足f(Xe1) ≤f(Xe2) ≤f(Xe3)。

3.2.1 精英交叉演化

精英交叉演化的核心原則是先進行基因交叉再進行基因突變?；蚪徊鎻?條精英染色體獲取優(yōu)秀基因重組成新的染色體;而基因突變則使新的染色體進行小范圍的局部變異產生精英交叉演化的染色體。因此,該方法強調開發(fā)能力,從而加快算法的收斂速度。該方法包括以下2個步驟：

基因交叉重組以50%的概率分別獲取精英染色體Xe2和Xe3的基因來產生新染色體Xc1,然后以(1-p)和p的概率分別獲取精英染色體Xe1和Xc1的基因來重組成新染色體Xc2,計算公式如式(17)～式(20)所示：

ip=1-t/T

(17)

p=0.2×r×ip

(18)

Xc1=(0.5?Xe2)⊕(0.5?Xe3)

(19)

Xc2=[(1-p)?Xe1]⊕[p?Xc1]

(20)

其中,ip是隨迭代次數(shù)變化的參數(shù),p是獲取不同染色體的基因產生新染色體的概率,⊕表示對染色體進行基因交叉重組,?表示進行基因交叉重組的染色體的基因以一定的概率被選擇。

基因局部突變使新的染色體Xc2進行小范圍的局部變異,以產生精英交叉演化的染色體Xc3,其變異方向與染色體X相關,變異幅度是從高斯分布N(0,0.1)中生成的隨機數(shù),計算公式如式(21)所示：

Xc3=Xc2+N1|Xc2-X|

(21)

其中,Xc2是由式(20)得到的新染色體,N1是均值為0、標準差為0.1的高斯分布中的隨機數(shù)。精英交叉演化的一個示例如圖2所示。

Figure 2 Elite cross evolution圖2 精英交叉演化

3.2.2 精英融合演化

精英融合演化的核心原則是先進行基因突變再進行基因融合?；蛲蛔兪咕⑷旧w進行較小范圍的局部變異產生新的染色體;而基因融合則從精英染色體和新的染色體獲取基因片段融合成新的基因,從而產生精英融合演化的染色體。因此,該方法強調探索能力,從而提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。該方法包括以下2個步驟：

基因局部突變使精英染色體Xe1進行較小范圍的局部變異,以產生新的染色體Xf1,其變異方向與搜索空間中心CL相關,變異幅度是從高斯分布N(0,1)中生成的隨機數(shù),計算公式如式(22)所示：

Xf1=CL+N2|CL-Xe1|

(22)

其中,N2是服從均值為0、標準差為1的高斯分布中的隨機數(shù)。

基因融合重組使精英染色體Xe1進行小幅度定向變異,使染色體Xf1進行大幅度定向變異,再獲取定向變異后的染色體的全部基因產生基因融合重組的染色體,計算公式如式(23)所示：

Xf2=(1+r′1×ip)×Xe1+r′2×ip×Xf1

(23)

其中,r′1和r′2為(-1,1)內的隨機數(shù),ip是由式(17)得到的參數(shù),Xf1是由式(22)得到的新染色體。精英融合演化的一個示例如圖3所示。

Figure 3 Elite fusion evolution圖3 精英融合演化

3.3 自適應機制

精英演化策略包含精英交叉演化和精英融合演化2種演化方式,這2種演化方式在不同情形下具備不同的尋優(yōu)性能。為了充分地發(fā)揮這2種演化方式的尋優(yōu)性能,本文設計一種自適應機制,通過調整選擇概率sp來改變使用2種演化方式進行位置更新的概率。

算法開始迭代時,以同等概率采用2種演化方式更新個體位置,并在每輪迭代開始時判斷上輪迭代是否更新歷史最優(yōu)位置,如果更新了歷史最優(yōu)位置,則認為算法未陷入局部最優(yōu),不調整選擇概率sp;否則認為算法已陷入局部最優(yōu),并試圖通過調整選擇概率sp來改變使用2種演化方式更新個體位置的概率,以尋求提升算法跳出局部最優(yōu)的可能性,計算公式如式(24)所示：

(24)

其中,選擇概率sp是[0,1]內的數(shù),其初始值為0.5;參數(shù)n是連續(xù)陷入局部最優(yōu)的迭代輪數(shù);參數(shù)diff為上一輪迭代中使用精英交叉演化和精英融合演化更新個體位置的次數(shù)之差;如果選擇概率sp的值更新后超出[0,1],將其修正為其最接近的邊界值,同時將計數(shù)器n置0。當算法陷入局部最優(yōu)時,算法無法直接判斷哪種演化方式更適合當前情形,但可推測上一輪迭代中實際使用次數(shù)更少的演化方式更有可能幫助算法跳出局部最優(yōu),所以增大使用該方法更新個體位置的概率,且增大幅度隨算法連續(xù)陷入局部最優(yōu)的迭代輪數(shù)的增大而增大。

為了增強探索階段算法的探索能力,本文對探索階段更新公式增加隨機擾動,使得探索區(qū)域更加均衡,以準確找到最優(yōu)區(qū)域。改進后的計算公式如式(25)所示：

X(t+1)=

(25)

其中,r1、r2、r3、r4、r5、r6為(0,1)內隨機數(shù),其余參數(shù)定義同式(1)。

3.4 EHHO實現(xiàn)步驟

綜合上述改進策略,本文所提出的EHHO優(yōu)化算法偽代碼如算法1所示。

算法1 EHHO算法Input：種群大小N,最大迭代次數(shù)T,適應度函數(shù)f(·)及相關參數(shù)。Output：獵物位置Xe1及其適應度值f(Xe1)。1初始化哈里斯鷹種群位置Xi(i=1,2,3,…,N),歷史最優(yōu)位置Xe1、Xe2、Xe3,當前最優(yōu)位置Xo1、Xo2、Xo3和選擇概率sp;2While (t

3.5 EHHO時間復雜度分析

HHO算法的時間復雜度主要由3個部分組成：初始化、適應度值計算和哈里斯鷹位置更新。當種群數(shù)量為N,最大迭代次數(shù)為T,問題的維度為D時,初始化的時間復雜度為O(N),計算適應度值并尋找歷史最優(yōu)位置的時間復雜度為O(N×T),哈里斯鷹位置更新的時間復雜度為O(N×T×D)。因此,HHO的時間復雜度為O(N×T×D)。

EHHO算法的時間復雜度主要由5個部分組成：初始化、精英反向學習、適應度值計算、自適應機制運行和哈里斯鷹位置更新。當種群數(shù)量為N,最大迭代次數(shù)為T,問題的維度為D時,初始化的時間復雜度為O(N),精英反向學習的時間復雜度為O(N×T),計算適應度值并尋找當前最優(yōu)位置和歷史最優(yōu)位置的時間復雜度為O(N×T),哈里斯鷹位置更新的時間復雜度為O(N×T×D),自適應機制運行的時間復雜度為O(T)。因此,EHHO的時間復雜度為O(N×T×D)。

綜上所述,EHHO與HHO的時間復雜度相同,改進策略沒有增加算法時間復雜度。

4 實驗與結果分析

4.1 實驗環(huán)境與基準函數(shù)

所有仿真實驗都在相同環(huán)境下進行：實驗設備為一臺安裝Windows 11 64位家庭中文版操作系統(tǒng)的電腦,運行內存為16 GB,處理器為AMD RyzenTM7 5800H 3.2 GHz,測試軟件為MATLAB R2020a。所有優(yōu)化算法均采用相同的公共參數(shù)進行測試：種群大小設置為30,最大迭代次數(shù)設置為500。為了減少實驗中隨機因素造成的偏差,所有對比算法在每個測試函數(shù)上均獨立運行30次,用其尋優(yōu)結果的平均值(AVG)和標準差(STD)來評估算法尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性。

為了評估EHHO算法的探索能力、開發(fā)能力以及跳出局部最優(yōu)的能力,本文選取文獻[16,17]中的15個基準函數(shù),這組基準函數(shù)包括單峰函數(shù)和多峰函數(shù)。其中,F1～F7為單峰函數(shù),只有一個局部極值,可以揭示不同優(yōu)化算法的開發(fā)能力;F8～F15為多峰函數(shù),具有多個局部極值,可以揭示不同優(yōu)化算法的探索能力和跳出局部最優(yōu)的能力?；鶞屎瘮?shù)的相關描述見表1,其中,基準函數(shù)F1～F10為維數(shù)可變的函數(shù),選取維數(shù)d為30和1 000進行測試,基準函數(shù)F11～F15為固定維函數(shù)。

4.2 改進策略有效性分析

為了充分驗證本文改進策略的有效性,將基本HHO算法與引入精英反向學習的HHO1算法、引入精英演化策略的HHO2算法、引入精英反向學習與精英演化策略的HHO3算法以及引入精英反向學習、精英演化策略與自適應機制的EHHO算法進行對比實驗。實驗結果如表2所示,其中,函數(shù)F1～F7為30維單峰函數(shù),函數(shù)F8～F15為30維和固定維多峰函數(shù)。

Table 2 Test results of different optimization strategies

由表2可知,對于函數(shù)F1,所有改進算法都能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F2和F4,HHO1算法的收斂精度提升了約150個數(shù)量級,HHO2算法的收斂精度提升了約180個數(shù)量級,而HHO3算法與EHHO算法能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F3,HHO1算法的尋優(yōu)精度提升了約90個數(shù)量級,而其余改進算法都能穩(wěn)定尋找到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F5、F6、F8、F9、F10,所有改進算法的收斂精度都提升了1～6個數(shù)量級;對于函數(shù)F7和F12,HHO1算法、HHO3算法和EHHO算法的收斂精度都提升了1～2個數(shù)量級;對于函數(shù)F11,HHO1算法的收斂精度提升了10個數(shù)量級,HHO2算法、HHO3算法和EHHO算法的收斂精度都提升了15個數(shù)量級;對于函數(shù)F13,HHO2算法和HHO3算法的收斂精度提升了10個數(shù)量級,EHHO算法能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F14,HHO3算法的收斂精度提升了11個數(shù)量級,EHHO算法的收斂精度提升了14個數(shù)量級;對于函數(shù)F15,HHO1算法的收斂精度提升了5個數(shù)量級,HHO2算法和HHO3算法的收斂精度提升了11個數(shù)量級,EHHO算法的收斂精度提升了15個數(shù)量級。

綜上,引入精英反向學習和引入精英演化策略都能在一定程度上增強算法探索能力、開發(fā)能力和跳出局部最優(yōu)的能力,進而提升算法收斂精度;同時引入精英反向學習和精英演化策略能夠融合2種改進策略的優(yōu)勢,對算法性能的提升比單獨使用一種策略時更大;而在引入精英反向學習和精英演化策略的同時引入自適應機制能夠更進一步提升算法尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性,即3種改進策略對算法性能的提升均有一定效果。

4.3 性能對比分析

為了充分驗證本文改進算法的有效性,將EHHO算法與其他最新的優(yōu)化算法進行對比實驗,對比算法包括平衡優(yōu)化算法EO(Equilibrium Optimizer)[18]、模因哈里斯鷹優(yōu)化EESHHO(Elite Evolution Strategy with Harris Hawks Optimization)算法、改進的灰狼優(yōu)化算法IGWO(Improved Grey Wolf Optimizer)[19]和人工大猩猩部隊優(yōu)化算法GTO(Gorilla Troops Optimizer)[20]。實驗結果如表3所示,其中,函數(shù)F1～F7為30維單峰函數(shù),函數(shù)F8～F15為30維和固定維多峰函數(shù)。

Table 3 Test results of different optimization algorithms

由表3可知,EHHO算法在30維單峰函數(shù)上尋優(yōu)性能優(yōu)異。對于函數(shù)F1,EESHHO算法、GTO算法和EHHO算法都能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F2和F4,僅EHHO算法能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F3,僅EHHO算法和GTO算法能收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F5、F6和F7,EHHO算法的收斂精度和穩(wěn)定性均高于對比算法。

由表3可知,EHHO算法在30維和固定維多峰函數(shù)上尋優(yōu)性能優(yōu)異。對于函數(shù)F8、F9、F10和F12,EHHO算法的收斂精度和穩(wěn)定性都高于對比算法;對于函數(shù)F11,EHHO算法的收斂精度與其他對比算法持平,穩(wěn)定性比GTO算法略低;對于函數(shù)F13,EHHO算法、EO算法、IGWO算法和GTO算法能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F14,EHHO算法和IGWO算法收斂精度最高,且EHHO算法穩(wěn)定性高于IGWO算法;對于函數(shù)F15,EHHO算法、GTO算法和EESHHO算法收斂精度和穩(wěn)定性明顯高于其他對比算法。

綜上,總體上EHHO算法在低維情形下尋優(yōu)性能良好,收斂精度均不劣于對比算法,穩(wěn)定性高。

圖4a～圖4d是對比算法在部分30維單峰函數(shù)上獨立運行30次的平均收斂曲線。對于函數(shù)F1,EHHO算法在約220次迭代時收斂精度達到最高,收斂速度明顯快于對比算法;對于函數(shù)F4,EHHO算法在約400次迭代時收斂精度達到最高,收斂速度明顯快于對比算法,收斂精度比對比算法高100～300個數(shù)量級;對于函數(shù)F5和F6,EHHO算法在迭代過程中未陷入局部最優(yōu),收斂速度快于對比算法,收斂精度比對比算法高3個以上數(shù)量級。

Figure 4 Convergence curves of benchmark functions圖4 基準函數(shù)收斂曲線

圖4e～圖4h是對比算法在部分30維多峰和固定維多峰函數(shù)上獨立運行30次的平均收斂曲線。對于函數(shù)F8、F14和F15,EHHO算法收斂精度高于或等于對比算法,且收斂速度快于對比算法;對于函數(shù)F10,EHHO算法在迭代過程中未陷入局部最優(yōu),收斂速度快于對比算法,收斂精度比對比算法高2個以上數(shù)量級。

綜上,總體上EHHO算法在低維情形下尋優(yōu)過程順利,收斂速度快,跳出局部最優(yōu)的能力強。

4.4 Wilcoxon秩和檢驗

為了進一步驗證本文改進算法的有效性,在顯著性水平P=5%的條件下,本節(jié)用Wilcoxon秩和檢驗來比較EHHO算法與其他群智能算法在15個基準函數(shù)上的運行結果之間是否存顯著性差異。符號“+”表示EHHO算法優(yōu)于對比算法;符號“=”表示EHHO算法相當于對比算法;符號“-”表示EHHO算法劣于對比算法;“NaN”表示不適用,無法判定比較數(shù)據(jù)是否存在顯著性差異。

實驗結果如表4所示,EHHO算法與HHO算法、EO算法和IGWO算法在14個基準函數(shù)上的運行結果存在顯著性差異;EHHO算法與EESHHO算法在12個測試函數(shù)上的運行結果存在顯著性差異;EHHO算法與GTO算法在10個測試函數(shù)上的運行結果存在顯著性差異。

Table 4 Tests results of Wilcoxon rank sum test

綜上,總體上EHHO算法與對比算法存在顯著性差異,EHHO算法尋優(yōu)性能優(yōu)于對比算法的。

4.5 高維情形下性能分析

為了進一步驗證改進算法的有效性,本節(jié)在高維情形下將EHHO算法與HHO算法、EO算法、EESHHO算法、IGWO算法和GTO算法進行對比實驗,實驗結果如表5所示。

Table 5 Test results in high-dimensional cases(1 000D)

由表5可知,EHHO算法在1 000維單峰和多峰測試函數(shù)的測試中,尋優(yōu)性能與對比算法持平或優(yōu)于對比算法。對于函數(shù)F1和F3,僅EHHO算法和GTO算法能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F2,僅EHHO算法和EESHHO算法能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F4,僅EHHO算法能穩(wěn)定收斂到理論最優(yōu)值;對于函數(shù)F5～F10,EHHO算法在收斂精度和穩(wěn)定性上都優(yōu)于對比算法。

綜上,EHHO算法在高維情形下仍能保持良好的尋優(yōu)性能,收斂精度和穩(wěn)定性均不劣于對比算法。

5 結束語

針對哈里斯鷹優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)和收斂精度低的問題,本文提出一種基于精英引導的改進哈里斯鷹優(yōu)化算法。引入精英反向學習,以精英中心為對稱中心生成反向解,并優(yōu)先保留反向解以優(yōu)化種群結構,增強算法跳出局部最優(yōu)的能力;引入精英演化策略,用精英交叉演化與精英融合演化來更新種群位置,以提升種群質量,增強算法局部開發(fā)能力,提升算法收斂精度;引入自適應機制,動態(tài)調節(jié)選擇2種精英演化方法更新種群位置的概率,以增強算法穩(wěn)定性。選取15個基準函數(shù)進行仿真實驗,實驗結果表明,EHHO算法采取的改進策略都能有效提升算法尋優(yōu)性能。雖然本文改進策略一定程度上增加了算法的復雜度,但改進后算法收斂速度快、尋優(yōu)精度高、魯棒性強,在優(yōu)化算法中具有明顯優(yōu)勢。接下來的研究將考慮如何進一步優(yōu)化改進算法,將其與實際工程應用相結合。