直線共軛內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)的齒形參數(shù)研究

楊曉東，崔建昆

（成都飛亞航空設(shè)備應(yīng)用研究所有限公司，成都 611130）

0 引言

直線共軛內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)，也稱為直齒共軛內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)，最早由瑞士人Paul Truninger提出，用于內(nèi)嚙合齒輪泵[1]。在直線共軛內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)中，外齒輪的齒廓是直線，內(nèi)齒輪的齒廓是與之共軛的曲線，由于其齒廓曲率小，接觸強(qiáng)度高，具有一些特殊的嚙合特性，作為內(nèi)嚙合齒輪泵中的齒輪副使用時(shí)，可以得到困油容積小、流量脈動(dòng)和噪聲小的效果[2-3]。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)直線共軛內(nèi)嚙合的研究都集中在其齒輪泵的應(yīng)用方面，作為一種齒輪傳動(dòng)形式，其嚙合原理和傳動(dòng)性能的研究非常不充分，至今還沒(méi)有完整的齒形參數(shù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)[4]。因此其應(yīng)用范圍狹小，相關(guān)嚙合理論的研究也非常少見(jiàn)[5-6]。

近年來(lái)，由于直線共軛內(nèi)嚙合齒輪泵的優(yōu)良性能逐漸被工業(yè)界認(rèn)可，并在伺服液壓系統(tǒng)等新興技術(shù)領(lǐng)域得到推廣運(yùn)用，其產(chǎn)品研發(fā)和性能改進(jìn)也受到企業(yè)的重視[7]，從而帶動(dòng)對(duì)這種特殊齒輪傳動(dòng)的深入研究，不少學(xué)者也開(kāi)始探討直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副在機(jī)械動(dòng)力傳動(dòng)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值[8]。本文通過(guò)對(duì)直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合過(guò)程分析和齒形參數(shù)研究，定義了外齒輪直線齒廓的基本參數(shù)，建立了齒廓坐標(biāo)方程，在此基礎(chǔ)上對(duì)齒廓上嚙合極限點(diǎn)、壓力角、嚙合線、直線共軛內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)及其重合度等進(jìn)行了系統(tǒng)分析，研究了齒廓線段與對(duì)應(yīng)嚙合轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系，提出了保證連續(xù)傳動(dòng)條件下齒形參數(shù)設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)工程實(shí)例驗(yàn)證了齒形參數(shù)設(shè)計(jì)方法和直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合性能，對(duì)拓寬其應(yīng)用領(lǐng)域具有一定的意義。

1 外齒輪參數(shù)和齒廓方程

直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副中，外齒輪的齒廓是左右對(duì)稱的直線，其齒頂和齒根分別是一段圓弧，如圖1所示。

圖1 外齒輪直線齒廓

以外齒輪中心O1為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系O1X1Y1，外齒輪的齒廓方程可以通過(guò)多個(gè)幾何參數(shù)來(lái)建立，如齒輪的齒形角、分度圓弧齒厚、齒廓與齒輪中心的距離等。但是，從工程實(shí)用的角度，對(duì)于直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副，使用一個(gè)類(lèi)似于漸開(kāi)線齒輪模數(shù)的參數(shù)用于齒輪的幾何計(jì)算，更容易進(jìn)行后續(xù)的分析研究，以及與漸開(kāi)線齒輪進(jìn)行性能比較。

在漸開(kāi)線齒輪中，模數(shù)與分度圓有關(guān)，規(guī)定齒廓曲線在分度圓上的壓力角為標(biāo)準(zhǔn)值，是漸開(kāi)線齒輪分度圓的一個(gè)重要特征[9-10]。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒輪，分度圓位于齒廓嚙合區(qū)的中間位置，可以有效地控制嚙合過(guò)程中壓力角變化范圍，保證齒輪的傳動(dòng)效率。同樣，直線齒廓外齒輪上的壓力角在齒廓各點(diǎn)也不一樣，壓力角對(duì)傳動(dòng)性能同樣會(huì)產(chǎn)生影響，仿照漸開(kāi)線齒輪的參數(shù)設(shè)置，定義外齒輪分度圓上的壓力角為標(biāo)準(zhǔn)壓力角α，則齒頂半角公式為

式中，θ為外齒輪分度圓弧齒厚s所對(duì)應(yīng)的圓心角，不考慮嚙合間隙的情況下，規(guī)定外齒輪分度圓上齒厚s等于齒間距e，因此

式中，z1為外齒輪齒數(shù)，則有

可見(jiàn)齒頂半角與齒數(shù)有關(guān)，壓力角一定時(shí)，齒數(shù)越小齒頂半角越小，兩者的關(guān)系如圖2所示。

圖2 齒形半角與齒數(shù)的關(guān)系

由于β不能為負(fù)值，因此對(duì)于給定的壓力角，齒輪會(huì)有一個(gè)最小的齒數(shù)，如當(dāng)分度圓壓力角α為20°時(shí)，外齒輪的最小齒數(shù)為5，對(duì)應(yīng)的齒頂半角β為2°，齒輪的形狀如圖3所示。

圖3 α=20°，z1=5的直線齒廓外齒輪

仿照漸開(kāi)線齒輪來(lái)定義模數(shù)，作為直線齒廓外齒輪的基本參數(shù)。

式中，p為外齒輪分度圓齒距。

齒輪的左側(cè)齒廓直線方程為

式中，r1為外齒輪的分度圓半徑。

從式（1）可以推導(dǎo)出直線齒廓外齒輪齒廓上k點(diǎn)的壓力角為

式中，θk為輪齒上過(guò)k點(diǎn)的弧齒厚所對(duì)應(yīng)的圓心角。

可見(jiàn)齒廓壓力角隨著半徑的增加而減小，理論上當(dāng)齒頂寬度為零時(shí)，最小壓力角等于齒頂半角β；而最大的壓力角出現(xiàn)在外齒輪齒根嚙合的位置, 與漸開(kāi)線齒輪相比較，其壓力角沿齒高方向變化的趨勢(shì)相反，同時(shí)變化的幅度也小得多。因此可以預(yù)見(jiàn)，兩種齒輪的傳動(dòng)特性也會(huì)有較大的區(qū)別。

2 直線共軛內(nèi)嚙合傳動(dòng)

直線齒廓外齒輪按照平面嚙合原理，可以和一個(gè)共軛的內(nèi)齒輪組成內(nèi)嚙合齒輪副,當(dāng)滿足定傳動(dòng)比條件時(shí)，兩個(gè)齒輪的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一對(duì)節(jié)圓的純滾動(dòng)，節(jié)點(diǎn)P為兩個(gè)節(jié)圓的內(nèi)公切點(diǎn)，位于內(nèi)外齒輪中心O1、O2的連線上，如圖4所示。

圖4 直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副

齒輪的節(jié)圓半徑r1′、r2′可以根據(jù)傳動(dòng)比i及實(shí)際嚙合中心距a′計(jì)算：

式中，z2為內(nèi)齒輪齒數(shù)。

對(duì)于同樣一個(gè)直線齒廓外齒輪，可以在不同的中心距下與齒數(shù)為z2的內(nèi)齒輪共軛，實(shí)現(xiàn)同樣傳動(dòng)比的傳動(dòng)，對(duì)應(yīng)內(nèi)齒輪齒廓可以通過(guò)共軛原理進(jìn)行計(jì)算，不過(guò)在不同的中心距下得到的內(nèi)齒輪共軛齒形是不一樣的，這一點(diǎn)與漸開(kāi)線齒輪副有區(qū)別。

把內(nèi)齒輪齒廓上壓力角為標(biāo)準(zhǔn)值的點(diǎn)也定義為其分度圓位置，如果嚙合時(shí)，直線齒廓外齒輪的節(jié)圓與其分度圓重合，由于嚙合的一對(duì)齒輪節(jié)圓壓力角相同，因此共軛內(nèi)齒輪的節(jié)圓也與其分度圓重合，這種嚙合狀態(tài)定義為直線共軛標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)嚙合，兩個(gè)齒輪必須具有相同的模數(shù)，嚙合中心距為

由式（10）定義的中心距a稱為標(biāo)準(zhǔn)中心距。如果中心距大于或小于標(biāo)準(zhǔn)中心距，內(nèi)外齒輪也可以嚙合，構(gòu)成變位的直線共軛內(nèi)嚙合。需要再次指出的是，由于不具備漸開(kāi)線齒輪的可分性，不同中心距下嚙合的直線共軛齒輪副，內(nèi)齒輪齒廓共軛曲線是不同的，因此直線共軛內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)的變位問(wèn)題的研究要復(fù)雜得多。

3 齒廓嚙合極限點(diǎn)

式（5）表述的外齒輪齒廓，是一條可以無(wú)線延伸的直線，但是實(shí)際上輪齒的高度是有限的，設(shè)計(jì)時(shí)需要合理選取該直線的一段作為輪齒齒廓，圖5所示的直線外齒輪齒廓，其齒頂最高不超過(guò)齒廓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)A，由齒廓方程式（5）、式（6）可得

圖5 直線共軛內(nèi)嚙合的齒廓嚙合極限點(diǎn)

其實(shí)，點(diǎn)A不一定就是內(nèi)外齒廓嚙合時(shí)的極限點(diǎn)。經(jīng)過(guò)直線齒廓上的任意一點(diǎn)M（xm，ym）作齒廓的法線，交節(jié)圓于P1點(diǎn)；將M點(diǎn)連同其法線沿齒廓向上平移，P1點(diǎn)也在節(jié)圓上向右移動(dòng)，最終到達(dá)與節(jié)圓的切點(diǎn)Pc，此時(shí)齒廓上對(duì)應(yīng)點(diǎn)C（xc，yc）為齒廓嚙合極限點(diǎn)，超過(guò)嚙合極限點(diǎn)的齒廓直線段沒(méi)有共軛曲線，可能在嚙合過(guò)程中發(fā)生齒廓干涉，因此在齒輪設(shè)計(jì)時(shí)，齒輪的齒頂不能超過(guò)C點(diǎn)。

嚙合極限點(diǎn)C的坐標(biāo)可由下式計(jì)算：

圖4中，N點(diǎn)為直線齒廓上過(guò)嚙合極限點(diǎn)C的法線與坐標(biāo)軸Y1的交點(diǎn)，有

將式（11）代入式（14），得

很明顯，C點(diǎn)的位置不僅決定于直線齒廓本身的參數(shù)，還與與齒輪副的傳動(dòng)比及中心距有關(guān)。對(duì)于相同模數(shù)和齒數(shù)的直線齒廓外齒輪，其嚙合極限點(diǎn)的位置與齒頂半角β有關(guān)，β越大，極限點(diǎn)位置越高，當(dāng)C點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，可得

仿照漸開(kāi)線齒輪的參數(shù)設(shè)計(jì)方法，直線齒廓外齒輪齒頂圓半徑與分度圓半徑之差為齒頂高：

由于長(zhǎng)度CN的計(jì)算比較方便，齒輪參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，可以采用如下限制條件：

圖4中，外齒輪齒槽兩側(cè)的直線齒廓，在齒根相交于B點(diǎn)。顯然齒廓工作時(shí)嚙合點(diǎn)不能在B點(diǎn)以下，B點(diǎn)為直線齒廓上齒根的極限位置，外齒輪中心到B點(diǎn)的距離為

定義直線齒廓外齒輪分度圓半徑與齒根圓半徑之差為齒根高：

式中，c*為頂隙系數(shù)。

4 嚙合線及其特性

根據(jù)上一節(jié)的分析，直線齒廓外齒輪可以選擇齒廓直線上BC點(diǎn)之間任意一段長(zhǎng)度作為齒輪的齒面輪廓線，與共軛的內(nèi)齒輪形成內(nèi)嚙合傳動(dòng)。但是在實(shí)際工況條件下還要考慮連續(xù)傳動(dòng)要求，重合度應(yīng)不小于1。較大的重合度可以提高傳動(dòng)的平穩(wěn)性，提高承載能力，但是在一些特殊的場(chǎng)合，如內(nèi)嚙合齒輪泵中，重合度過(guò)大會(huì)引起嚴(yán)重的困油。

嚙合線是齒輪副嚙合過(guò)程中，嚙合點(diǎn)在固定坐標(biāo)架中的軌跡，可以通過(guò)齒廓法線法來(lái)進(jìn)行求解。嚙合線可以表達(dá)齒輪副的嚙合特征，還可以用于共軛齒廓的計(jì)算以及重合度的分析。

齒輪傳動(dòng)的重合度主要與輪齒的高度有關(guān)，漸開(kāi)線齒輪的重合度與齒高的關(guān)系近似于正比例關(guān)系，因?yàn)槠鋰Ш暇€為直線。因此，在齒形設(shè)計(jì)時(shí)，選擇不同區(qū)段的漸開(kāi)線作齒廓，齒輪高度基本上沒(méi)有太大的差別。但是對(duì)直線共軛內(nèi)嚙合傳動(dòng)的嚙合過(guò)程分析發(fā)現(xiàn)，其重合度與齒高的關(guān)系與漸開(kāi)線齒輪完全不同。

如圖6 所示，過(guò)節(jié)點(diǎn)P作外齒輪齒廓g1的垂線，垂足為嚙合點(diǎn)m，顯然m點(diǎn)位于嚙合線上。

圖6 嚙合過(guò)程中的坐標(biāo)變換

設(shè)點(diǎn)k1為直線外齒輪齒廓上的任意一點(diǎn)，其在坐標(biāo)系O1X1Y1中的坐標(biāo)為（x1，y1）。齒廓在k1處的法線與外齒輪的節(jié)圓交于點(diǎn)P1。如果k1要成為接觸點(diǎn)，須將外齒輪相對(duì)于初始位置逆時(shí)針地轉(zhuǎn)過(guò)角度φ1，使點(diǎn)P1與節(jié)點(diǎn)P重合，這時(shí)點(diǎn)k1在固定坐標(biāo)系O1XY中對(duì)應(yīng)的位置k（x，y）即為嚙合線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖6中：

而

為求得嚙合線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，k1點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換為：

直線共軛內(nèi)嚙合傳動(dòng)的嚙合線形態(tài)如圖7所示，從齒輪齒根位置開(kāi)始，嚙合線一直比較平直，但是到接近齒輪的齒頂位置，嚙合線的彎曲程度加大，與漸開(kāi)線傳動(dòng)有很大的區(qū)別。圖7中ψ為一對(duì)輪齒從進(jìn)入到退出嚙合時(shí)外齒輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度，如果增加外齒輪齒頂圓半徑ra1，輪齒之間本來(lái)應(yīng)該結(jié)束的嚙合過(guò)程將由于嚙合線的彎曲而大大延長(zhǎng)。

圖7 直線共軛內(nèi)嚙合的嚙合線

圖8是嚙合過(guò)程中，直線齒廓外齒輪齒輪齒高與對(duì)應(yīng)的嚙合轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系曲線，在靠近齒頂位置曲線開(kāi)始向上偏轉(zhuǎn)，也說(shuō)明靠近齒頂位置的輪齒高度，對(duì)重合度的貢獻(xiàn)相對(duì)于齒根部分齒廓要大。

圖8 齒輪嚙合轉(zhuǎn)角角度與齒高的關(guān)系

直線共軛內(nèi)嚙合傳動(dòng)的這種特性，對(duì)齒形設(shè)計(jì)的意義在于，從滿足傳動(dòng)重合度要求出發(fā)，當(dāng)工作齒面在直線BC 靠近齒根段時(shí)，需要的齒高要大一些，如此設(shè)計(jì)的齒輪副，在內(nèi)嚙合齒輪泵中可以得到比較大的排量而避免出現(xiàn)困油現(xiàn)象；而如果工作齒面在直線BC靠近齒頂段，用比較小的齒高就可以滿足連續(xù)傳動(dòng)的要求，從而可以在行星傳動(dòng)中采用短齒來(lái)解決內(nèi)嚙合傳動(dòng)的干涉問(wèn)題，同時(shí)提高輪齒彎曲強(qiáng)度。

另外，在整個(gè)嚙合過(guò)程中，嚙合點(diǎn)在齒面上移動(dòng)速度變化也比較大，而靠近齒頂時(shí)，嚙合點(diǎn)的位置變化相對(duì)較慢，對(duì)于齒輪泵中的內(nèi)嚙合齒輪副，可以利用這個(gè)特性來(lái)控制嚙合點(diǎn)位置，減小輸出流量脈動(dòng)?？傊鄬?duì)于漸開(kāi)線齒輪，直線共軛內(nèi)嚙合傳動(dòng)的齒形參數(shù)設(shè)計(jì)有更大的靈活性來(lái)適應(yīng)不同傳動(dòng)工況要求。

5 重合度

齒輪傳動(dòng)的重合度分析需要計(jì)算一對(duì)輪齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合過(guò)程中，齒輪轉(zhuǎn)過(guò)的角度，對(duì)于齒形參數(shù)設(shè)計(jì)，重合度主要取決于外齒輪和內(nèi)齒輪的齒頂圓大小。

根據(jù)圖9中直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副之間的幾何關(guān)系，嚙合點(diǎn)k到外齒輪中心O1的距離為

圖9 直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副重合度計(jì)算

式中：ψ1為從初始位置開(kāi)始，外齒輪的轉(zhuǎn)角，h為直線齒廓到外齒輪中心的垂直距離，計(jì)算公式為

嚙合點(diǎn)到內(nèi)齒輪中心O2的距離為

齒輪副開(kāi)始嚙合時(shí)，有

式中，ra2為內(nèi)齒輪齒頂圓半徑。

而嚙合終了，外齒輪的齒頂退出嚙合時(shí)，有

分別將式（27）、式（28）代入式（24）、式（26），可求得一對(duì)輪齒進(jìn)入和退出嚙合時(shí)外齒輪的轉(zhuǎn)角，進(jìn)而計(jì)算出齒輪傳動(dòng)的重合度。

6 工程運(yùn)用實(shí)例

為了驗(yàn)證本文的研究結(jié)果，取一對(duì)內(nèi)嚙合齒輪泵中使用的漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪副，用直線共軛內(nèi)嚙合齒形重新設(shè)計(jì)齒輪參數(shù)，保持齒輪的中心距離及齒頂圓半徑相同,兩種齒輪副的參數(shù)對(duì)照如表1所示。為了保證互換性，兩對(duì)齒輪副的齒輪的齒輪圓、齒根圓和中心距相同，計(jì)算結(jié)果表明兩種齒形的齒輪副的主要齒形參數(shù)接近，但在嚙合過(guò)程中的壓力角變化規(guī)律有較大差別。

表1 齒輪參數(shù)對(duì)照表

圖10為新舊齒形零件的對(duì)比照片，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)測(cè)試，直線共軛齒形的齒輪副在原漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪泵中工作情況良好。

圖10 兩種齒形齒輪零件的對(duì)照

7 結(jié)論

1）在直線共軛內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)中，直線齒廓外齒輪的壓力角取決于齒頂半角和齒數(shù)；齒頂半角越大，齒數(shù)越少，壓力角越大；對(duì)于給定的壓力角，存在一個(gè)最小齒數(shù)。另外，壓力角隨嚙合點(diǎn)半徑的增大而減小，最小壓力角等于齒頂半角。

2）直線齒廓外齒輪存在上下嚙合極限點(diǎn)，而齒頂?shù)膰Ш蠘O限點(diǎn)有可能小于齒頂圓，造成部分齒廓不能參與嚙合，以及出現(xiàn)干涉現(xiàn)象。

3）直線齒廓外齒輪可以與一個(gè)共軛的內(nèi)齒輪構(gòu)成內(nèi)嚙合傳動(dòng)，內(nèi)齒輪的齒廓曲線與中心距有關(guān)，其嚙合線為一條曲線，嚙合線在接近齒輪的齒頂位置彎曲程度加大，靠近齒頂位置的輪齒高度，對(duì)重合度的貢獻(xiàn)相對(duì)于齒根部分要大得多。

直線共軛內(nèi)嚙合齒輪副加工并不困難，外齒輪類(lèi)似于三角形外花鍵，可以在銑床或滾齒機(jī)上加工，并利用花鍵磨床磨削；內(nèi)齒輪的加工，大批量生產(chǎn)采用拉削技術(shù)，生產(chǎn)效率高，精度容易保證，小批量加工也可以采用插齒。可以預(yù)見(jiàn)，隨著直線共軛內(nèi)嚙合傳動(dòng)理論研究的深入，這種齒輪傳動(dòng)方式不但可以在內(nèi)嚙合齒輪泵中得到更好的運(yùn)用，還有可能在行星齒輪傳動(dòng)等領(lǐng)域得到推廣。