基于VMD-LSTM的河流流量預測方法

欒策

（遼寧生態(tài)工程職業(yè)學院，遼寧 沈陽 110122）

0 引言

近年來，受極端氣候影響，我國旱澇災害頻發(fā)，松遼流域也多次出現(xiàn)汛情，使城鄉(xiāng)積澇，給交通、農業(yè)和生產等帶來不利影響。準確的水文預報對防洪、抗旱、水資源合理利用和國防事業(yè)具有重要意義。湖泊水位具有復雜性且受季節(jié)影響較為明顯，降雨量和氣候的變化亦對其產生較大的影響[1]，這些因素都給流量預測的準確性帶來巨大的挑戰(zhàn)。

隨著人工智能的快速發(fā)展，越來越多的學者通過深度學習算法對水文數(shù)據(jù)進行分析，從中獲取有效信息以進行預測。王亦斌和孫濤等[2]利用經驗模式分解和長短期記憶網絡相結合的方法對水位進行預測；Zhang 等[3]基于經驗模態(tài)分解方法進行數(shù)據(jù)預處理，通過建立長短期記憶神經網絡（LSTM）模型進行城市供水水質預測，提高水質檢測的準確性。

與支持向量機SVM[4]、BP 神經網絡[5]、極限學習機ELM[6]等模型相比，帶有記憶功能的LSTM 既可對連續(xù)的徑流數(shù)據(jù)進行處理，又能考慮到長時間徑流序列的季節(jié)性和周期性，因此能更合理地處理序列信息，實現(xiàn)序列預測。對于復雜的水位流量關系，變分模態(tài)分解（VMD）算法可有效減少數(shù)據(jù)的繁雜性?；谏鲜鲈?，本文提出一種組合模型（VMD-LSTM）應用于沙里寨水文站，以期提高該水文站的徑流預測精度。

1 研究方法及模型建立

1.1 變分模態(tài)分解算法

變分模態(tài)分解算法（VMD）是一種信號分解方法，在得到分解分量的過程中，通過迭代搜尋變分模型最優(yōu)解，從而確定每個分量的頻率中心和寬帶，自適應地實現(xiàn)信號的頻域剖分和各分量的有效分離[7]，具有較高的分解精度和較好的抗噪性能。VMD 在變分框架內構造約束變分問題，采用交替方向乘子算法（ADMM）迭代更新各模態(tài)函數(shù)及中心頻率，將原始信號分解為若干個包含原始信息的子序列。

VMD將原始信號f(t)分解為L個本征模函數(shù)uk(t)(k=1，2，3，…，L)，有以下幾個主要算法[8]。

1）定義uk(t)為一個調幅調頻信號

式中：相位?t(t)為非遞減函數(shù)；Ak(t)為包絡線，Ak(t)≥0。

3）定義瞬時頻率ωk(t)=?k(t)≥0，且ωk(t)相對于?k(t)變化緩慢。每個本征模函數(shù)uk(t)與調諧到相應估計中心頻率ωk的指數(shù)混頻，將模態(tài)的頻譜移至基頻帶

4）對分解信號梯度的平方范數(shù)進行運算，從而獲得信號寬度，如式（2）。求解解調信號的高斯平滑度（梯度的平方范數(shù)），確保各模態(tài)估計寬帶之和最小，且任意時刻所有模態(tài)之和等于原始信號，得到約束變分問題：

式中：{uk} ∶={u1，…，uk} 是分解后的單分量調頻調幅信號，即本征模函數(shù)；{ωk} ∶={ω1，…，ωk} 為單分量調頻調幅信號的中心頻率；?t為對t求偏導數(shù)，t為分解信號的個數(shù)；δ(t)為脈沖函數(shù)；j為虛數(shù)單位。

5）采用懲罰因子α和拉格朗日乘子λ(t)將上述的約束問題轉換為非約束問題：

6）根據(jù)傅里葉變換中的帕塞瓦爾定理，信號的能量在時域和頻域具有等效性，將時域的問題在頻域解決。利用交替方向乘子法迭代更新模態(tài)函數(shù)中心頻率和拉格朗日乘子最終得到信號分解的所有模態(tài)。的迭代公式如下：

式中：∧為信號傅里葉變換對應的頻域形式；τ為噪聲容忍度；n為迭代次數(shù)；ω為頻率；(ω)分別為f(t)，ukt，λ(t)對應的傅里葉變換。

7）迭代條件。ε為收斂容許度誤差常量，迭代停止條件表達式：

1.2 長短期記憶神經網絡模型

長短期記憶神經網絡（LSTM）模型[9]是深度神經網絡的一種，是在循環(huán)神經網絡[10]（RNN）的基礎上增加了遺忘門、輸入門和輸出門，使得模型可選擇性地記憶有效信息和刪除無效信息，并解決了RNN 梯度爆炸和梯度容易消失的不足[11]。因此，LSTM模型已經在許多領域得到應用[12-15]，如地下水位模擬、降水預報及COVID-19疫情分析等[16]。

LSTM 模型作為一種特殊的遞歸神經網絡，由多個記憶單元結構組成，每個記憶單元的功能由3個“門”控制：遺忘門決定對上一個單元狀態(tài)信息的舍棄量；輸入門決定新獲取的信息中儲存在當前單元狀態(tài)內的比例；輸出門決定這一時刻最終的輸出信息[17]，這些門通過穩(wěn)定的梯度計算確保了先前信息的保存。在單元狀態(tài)內的這3 個門上，使用以下公式，按照順序計算來處理信息。

式中：Xt為指定當前時間步的輸入變量；ht當前時間的輸出；ht-1為前一個單元的輸出；為通過tanhh激活函數(shù)將結果轉換成-1～1 之間的值；Ct為當前時刻的單元狀態(tài)；Ct-1為提供過去信息的前一個單元狀態(tài)；σ為邏輯sigmoid 函數(shù)；Wf，Wi，Wc，Wo為網絡權重矩陣；bf，bi，bc，bo為偏差向量；ft，it和Ot為遺忘門、輸入門和輸出門的激活值向量。其內部結構圖如圖1 所示。

圖1 基于VMD-LSTM 模型流量預測流程圖

1.3 VMD-LSTM 流量預測模型

VMD 算法是具有堅實的數(shù)學理論基礎，且自適應性較好的分級算法，與EMD 分解算法相比，避免了多次循環(huán)分解與模態(tài)混疊的現(xiàn)象。VMD分解算法在處理非平穩(wěn)、非線性的數(shù)據(jù)上具有良好的效果。LSTM 模型作為目前深度學習的主流方法，具備很強的學習能力，能解決很復雜的問題[18]，該模型能夠更好地處理時間序列的任務，解決了RNN 的長期依賴問題。將兩種方法組合成VMD-LSTM 模型來處理水位和流量的非線性擬合及預測，可降低數(shù)據(jù)的波動性，有效提高模型的預測精度。具體預測步驟：1）VMD 分解，利用VMD 算法對原始數(shù)據(jù)進行分解，得到K個包含原始信息的子序列IMF 1～IMF k；2）數(shù)據(jù)準備，將每個分量歸一化后劃分為訓練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集；3）建模預測，基于每個分量的訓練數(shù)據(jù)集建立LSTM 模型，并對測試數(shù)據(jù)集進行預測，將預測結果作反歸一化處理；4）重構，累加步驟3 中所有分量的預測結果，得到原始徑流序列的預測結果。預測流程圖如圖2 所示。

圖2 基于VMD-LSTM 模型流量預測流程圖

2 實例分析

沙里寨水文站位于遼寧省鳳城市沙里寨鄉(xiāng)蔡家村，處于黃海岸一級支流大洋河下游，是大洋河的重要控制站，集水面積為4 810 km2，距大洋河口43 km。該站是國家重要水文站，觀測項目有水位、流量、降水、蒸發(fā)水溫、水質等。沙里寨水文站歷史最高洪水位為102.83 m，發(fā)生于1960 年8 月4日；歷史最大洪峰流量為12 900 m3/s，發(fā)生于1960年8 月4 日。

2.1 數(shù)據(jù)來源

選取沙里寨水文站2010—2019 年間的實測日流量序列為研究對象，將數(shù)據(jù)集劃分為訓練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集兩部分，以7∶3比例劃分，訓練數(shù)據(jù)集為2010 年1 月1 日至2017 年1 月6 日共計2 562 個數(shù)據(jù)，用于構建模型；測試集數(shù)據(jù)為2017 年1 月7日至2019 年12 月31 日共計1 091 個數(shù)據(jù)，用于評估模型的預測能力。其流量原始序列如圖3 所示。

圖3 原始序列

2.2 VMD 數(shù)據(jù)分解

在VMD進行分解前，需設置相關參數(shù)，其主要的建模參數(shù)有判別精度(ε)、噪聲容限(τ)、懲罰因子(α)和分解尺度(K)，通過相關實證研究發(fā)現(xiàn)[19]，模型結果受到ε和τ的影響不大，而α和K的取值對整個模型有很大的影響。所以著重討論VMD 模型中K和α兩個參數(shù)的選擇及最終分解結果。

在VMD 模型里，模型分量個數(shù)由K表示，K值過大或過小都會對模型帶來不利的影響，使模型分解出現(xiàn)模態(tài)共享或者信息分解不全。α和模態(tài)分量帶寬呈負相關[20]，通過諸多研究發(fā)現(xiàn)，如果模態(tài)分量帶寬能夠足夠小，分解后就不會出現(xiàn)模態(tài)共享問題，而且此參數(shù)取值還和模型運行、分解時間存在關聯(lián)。模型分解結果受到α和K的影響情況見表1。

表1 K 和α 取值對分解結果的影響

2.2.1 分解尺度K

分解尺度K又稱模態(tài)個數(shù)。如今在VMD 建模中，基本參數(shù)的選取還缺乏科學的選擇手段，所以，大部分學者都是通過多次試驗才對模型參數(shù)取值進行確定，然后在合理范圍內逐步增加模態(tài)個數(shù)，以得到相應的模態(tài)分量數(shù)，并將模態(tài)分量數(shù)按照從小到大的順序排列，最佳的模態(tài)個數(shù)K對應的模態(tài)分量中心頻率將第一次出現(xiàn)最大值，當K值過大或過小，都會出現(xiàn)中心頻率相同或相近的模態(tài)混疊現(xiàn)象。

在對K取值問題進行討論之時，暫擬α為2 000，依次取K=2～10，并根據(jù)模態(tài)分量中心頻率來確定K值。對流量序列進行分解，不同K值對應的中心頻率值見表2。

表2 不同K 值對應的中心頻率值

通過表2 可知，當K取值為2～6，即模態(tài)分量個數(shù)取值較小時，此時的VMD 相當于自適應濾波器，在分解時往往會忽略原始序列中的一些重要信息，在表2 中體現(xiàn)為最后一個模態(tài)分量還包含有細節(jié)信息未能完全分解。當K=8 時，分量6 和分量7 的中心頻率十分相近，兩個中心頻率相差僅為8；當K=9 時，分量2，3 的中心頻率差距只有7，相似度很高，分量3，4 和6～8 的中心頻率都較為接近；從K=8~10 分解出的各分量中心頻率值可以看出，相近的中心頻率出現(xiàn)在了不同的分量中，即隨著K值的遞增，由于分解過度，產生模態(tài)共享問題。綜上所述，若K過小，就不能完全分解信號，而若其太大，又容易有模態(tài)重疊問題產生，而當K=7時，各個分量間的中心頻率并不相同，即原始序列能夠得到很好的分解。因此，K=7 時最合適。

2.2.2 懲罰因子α

通過模型原理分析能夠發(fā)現(xiàn)，為了將約束條件變成非約束條件，VMD 分解算法引入了α。為了防止出現(xiàn)模態(tài)共享或模態(tài)堆疊的現(xiàn)象，α的值不宜選取過大。在對α值進行確定時，為了取值足夠合理，保持其他參數(shù)不變，選取不同的α，在模型中得到相應的分解結果，具體結果如表3所示。

表3 不同懲罰因子時VMD 分解運行時間

通過表3 能夠發(fā)現(xiàn)，α=2 000 時的運行時間最短。當α不斷提升之時，模型分解的收斂速度也不斷提升，而且，α值與分解后各模態(tài)分量帶寬成反比關系，α值越大模態(tài)混疊現(xiàn)象的出現(xiàn)幾率越小，綜上，當α=2 000 時最合適，此時也能夠得到較短的運行時間。

依據(jù)設置好的參數(shù)，對流量序列進行VMD 分解，分解結果如圖4 所示。

圖4 VMD 分解結果

2.3 數(shù)據(jù)歸一化

數(shù)據(jù)歸一化常用于機器學習的預處理階段，當數(shù)據(jù)集的特征間具有不同的值范圍時，數(shù)據(jù)歸一化是非常有必要的，本文數(shù)據(jù)集包含了水位、流量、降水與蒸發(fā)，為了使特征具有相同的度量尺度，可通過范圍標準化方法對流量數(shù)據(jù)進行處理，以便建立有效的模型。歸一化公式：

式中：xmax和xmin為系列中的最大值和最小值。

2.4 參數(shù)設置

此次研究采用性能指標評估模型性能，并將VMD-LSTM 模型與單一的LSTM 模型、BP 模型和VMD-BP 模型進行對比實驗，驗證本文提出模型的有效性。通過互信息法[21]確定模型的輸入變量為沙里寨水文站預測日前5 d 的日流量和日水位，以及預測日前3 d 的日降雨量和日蒸發(fā)量。參照已有研究，在LSTM 模型中主要涉及的參數(shù)設置如下：隱藏層層數(shù)設置為3、Dropout 參數(shù)設置為0.2、批量處理參數(shù)為50，經過多次學習訓練，LSTM 模型的其他超參數(shù)設定見表4，BP 神經網絡及網絡參數(shù)見表5。

表4 模型參數(shù)確定結果

表5 BP 神經網絡參數(shù)

表6 預測模型的性能對比表

2.5 模型評價指標

通過均方根誤差(RMSE)、平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分誤差(MAPE)和決定系數(shù)(R2)來綜合評價模型的預測效果。RMSE，MAE，MAPE的值越低模型越穩(wěn)定，預測的準確率越高，R2值越接近1，則表示模型的預測性能越好。計算公式：

式中：i為第i個樣本；yi為實際值；為預測值；yˉ為平均值；SSres為殘差平方和，表示模型預測值與實際觀測值之間的差異的平方和；SStot為總平方和，表示實際觀測值與數(shù)據(jù)均值之間的差異的平方和。

2.6 預測結果分析

為了體現(xiàn)各模型之間的性能對比，繪制包含RMSE，MAE，MAPE和R2的4 種評價指標的性能對比表與對比圖。從表2-6 和圖2-3 可以看出，與其他模型相比，VMD-LSTM 模型的4 種指標均為最優(yōu)，RMSE，MAE，MAPE都是最小，決定系數(shù)更接近1，說明本文提出的模型有著較強的泛化能力和較高的預測精度。

為了更加直觀地看出VMD-LSTM 模型的性能，對預測流量與實測流量進行繪圖。圖5 為預測流量與實測流量關于1∶1 真實線的散點圖，由圖5可以看出，相比于其他模型，VMD-LSTM 模型的預測流量更加貼合原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)更加接近1∶1真實線，而其他模型離散點較為分散。

圖5 預測流量與實測流量的散點圖

圖6 為實測流量與每個模型預測的流量過程線圖，從局部放大圖可以看出，在流量波動較大、洪峰流量較大時，VMD-LSTM 模型的預測值與真實值擬合度更高。

圖6 模型預測值

3 結語

本文提出的基于VMD 分解算法的LSTM 流量預測模型，在LSTM模型前利用VMD分解法，將原始序列分解為7 個含有原始數(shù)據(jù)信息的子序列，以減少數(shù)據(jù)的波動性，降低數(shù)據(jù)的復雜性，使LSTM模型能更好地處理數(shù)據(jù)的局部特征關系，提升模型的預測性能。預測結果表明，與單一的LSTM 模型、BP 模型和VMD-BP 模型相比，VMD-LSTM 模型預測精度最高，預測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)更加吻合，后續(xù)可嘗試引入優(yōu)化算法，對模型的參數(shù)進一步優(yōu)化。