基于LAGRANGE 方程的深水鉆井隔水管–水下井口系統(tǒng)動力分析

馬永乾，趙鵬，暢元江，王仕超，張晏銘

1. 中國石化勝利石油工程公司鉆井工藝研究院，山東 東營 257000

2. 中國石油大學(xué)（華東）海洋油氣裝備與安全技術(shù)研究中心，山東 青島 266580

深水鉆井隔水管系統(tǒng)是連接鉆井平臺及水下井口的導(dǎo)管系統(tǒng)，是支撐海洋鉆井作業(yè)的關(guān)鍵核心設(shè)備，也是海洋鉆井作業(yè)最脆弱環(huán)節(jié)。隔水管系統(tǒng)作業(yè)時將受到復(fù)雜海洋環(huán)境載荷激勵和平臺運(yùn)動激勵，使得其動態(tài)響應(yīng)十分復(fù)雜且有斷裂、疲勞破壞等風(fēng)險，嚴(yán)重影響鉆井作業(yè)的安全性。準(zhǔn)確預(yù)測隔水管系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)和力學(xué)特性，對于指導(dǎo)深水鉆井隔水管設(shè)計和作業(yè)安全具有重要意義[1]。

近年來，國內(nèi)外針對鉆井隔水管系統(tǒng)動力學(xué)建模及分析方面的研究已取得了較多進(jìn)展。在針對隔水管的單獨建模方面，Ham 等[2]、Iwona 等[3]基于柔性多體動力學(xué)、分段法、最小勢能原理等方法建立了隔水管系統(tǒng)的動力學(xué)空間模型，開展了動力學(xué)特性分析；Yang 等[4]提出考慮空間柔性和活動約束的隔水管幾何精確梁模型，提出動態(tài)響應(yīng)的求解策略并對隔水管系統(tǒng)開展靜力分析和反沖分析；Mao 等[5]建立了硬懸掛條件下鉆井隔水管的動態(tài)分析模型，結(jié)合Newmark-β方法對模型進(jìn)行了有限元求解；王宴濱等[6]建立深水鉆井隔水管緊急解脫后反沖響應(yīng)力學(xué)模型和控制方程，研究隔水管系統(tǒng)反沖響應(yīng)特性。在鉆井隔水管系統(tǒng)耦合建模方面，張慎顏等[7]采用多體動力學(xué)理論建立浮式平臺–張緊器–隔水管耦合動力學(xué)模型，研究了多體耦合系統(tǒng)中隔水管系統(tǒng)的響應(yīng)特性；Liu 等[8]建立了包含張緊器的隔水管系統(tǒng)多體動力學(xué)模型，基于所開發(fā)的程序分析了深水鉆井隔水管系統(tǒng)在不同平臺運(yùn)動下的靜動態(tài)特性；Low 等[9]建立了浮式平臺–錨泊系統(tǒng)–隔水管全時域耦合動力學(xué)分析模型，認(rèn)為整個系統(tǒng)本質(zhì)的兩類耦合為浮式平臺/錨泊系統(tǒng)/隔水管的耦合以及平臺平均偏移、波頻運(yùn)動和低頻運(yùn)動之間的耦合；Su 等[10]建立了SBOP–隔水管–導(dǎo)管系統(tǒng)的運(yùn)動方程和自由振動方程，提出一種基于剖分延拓概念的自由振動半解析方法，并分析了井口和導(dǎo)管的動態(tài)響應(yīng)參數(shù)敏感性；廖茂林等[11]提出了管中管動力學(xué)模型，采用 ABAQUS 有限元軟件，對建立的管柱動力學(xué)模型進(jìn)行動態(tài)響應(yīng)模擬。目前在隔水管與防噴器組的耦合動力學(xué)建模方面還未見有文獻(xiàn)報道，傳統(tǒng)理論建模方法往往將鉆井隔水管系統(tǒng)作為一個單獨的研究對象來進(jìn)行簡化建模和分析，未考慮底部大質(zhì)量防噴器組的存在及其對隔水管系統(tǒng)的影響，將會導(dǎo)致動力學(xué)分析結(jié)果與實際情況存在差異；或者采用耦合建模方法將防噴器組簡化為質(zhì)量和管單元的組合進(jìn)行有限元分析，這種做法缺少理論依據(jù)，無法確定隔水管系統(tǒng)動力學(xué)分析的準(zhǔn)確度。

由于隔水管具有超大長徑比的特點，將其看作柔性梁來研究，而防噴器組因其剛度大的特點常被視為剛體模型，二者組成的系統(tǒng)屬于典型的剛?cè)狁詈戏懂?，借助于剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)相關(guān)理論建立耦合模型。在剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)建模方面，國內(nèi)外學(xué)者已做了大量研究和探索，相關(guān)理論及方法已被廣泛應(yīng)用于航空航天、軍事武器以及機(jī)器人等領(lǐng)域，而在海洋工程領(lǐng)域鮮有文獻(xiàn)報道。陳思佳等[12]建立帶有載荷的柔性機(jī)器人剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，研究柔性機(jī)器人在做大范圍運(yùn)動時關(guān)節(jié)鉸的柔性以及桿端載荷對機(jī)器人運(yùn)動響應(yīng)的影響。李崔春等[13]建立撓性航天器的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，研究其姿態(tài)機(jī)動軌跡并對其姿態(tài)進(jìn)行控制。呂濤等[14]考慮樁腿柔性對自升式海洋平臺升降作業(yè)的影響，研究平臺整體升降動力學(xué)。目前主流剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)建模方法有3 種：第二類LAGRANGE 法、Kane 方程法及哈密頓原理[15]，皆以分析力學(xué)原理為基礎(chǔ)，使用能量、虛功等進(jìn)行建模，其中采用LAGRANGE 方法建模不需要考慮各結(jié)構(gòu)間的復(fù)雜內(nèi)力關(guān)系，僅需通過計算系統(tǒng)動能和勢能即可推導(dǎo)動力學(xué)方程，從而使得推導(dǎo)過程簡潔有效。

考慮深水隔水管與防噴器組的結(jié)構(gòu)特點，本文提出隔水管與防噴器組剛?cè)狁詈细拍睿趧側(cè)狁詈侠碚摵蚅AGRANGE 方程建立系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)理論模型，采用科學(xué)計算軟件和Newmark-β直接積分法進(jìn)行數(shù)值計算，并以南海某深水井為例對理論模型計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。

1 深水鉆井隔水管系統(tǒng)耦合動力學(xué)建模

深水鉆井作業(yè)時，鉆井隔水管與水下防噴器組通過下?lián)闲越宇^連接，在海洋環(huán)境載荷的作用下，隔水管與防噴器組將發(fā)生相對運(yùn)動并產(chǎn)生相對角位移。防噴器組坐在高壓井口上并與其鎖緊，受鉆井隔水管柱所傳遞的動載荷作用，防噴器組會在水平方向產(chǎn)生一定往復(fù)運(yùn)動。深水鉆井隔水管–防噴器組運(yùn)動如圖1 所示。

圖1 深水鉆井隔水管–防噴器組運(yùn)動示意

1.1 耦合系統(tǒng)動能

在對細(xì)長鉆井隔水管進(jìn)行建模時，可將其看作為柔性梁模型進(jìn)行處理，梁模型上任一點P，在下?lián)闲越宇^局部坐標(biāo)系xjyj下的位置矢量可以表示為

式中：u(x,t)為點P的軸向位移變形，w(x,t)為點P的橫向位移變形。

點P在全局坐標(biāo)下的位置矢量可以表示為

式中：(rp)j為任一點P在局部坐標(biāo)系xjyj下的位置向量；A(θb)是從防噴器組局部坐標(biāo)系xbyb到慣性參考系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；是從局部坐標(biāo)系xjyj到局部坐標(biāo)系xbyb的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，可分別表示為如下形式：

式中： θb為剛性防噴器組的轉(zhuǎn)角，θj=θJ?θb為下?lián)闲越宇^相對于坐標(biāo)系xbyb的轉(zhuǎn)角。下面分別對隔水管、下?lián)闲越宇^和防噴器組的動能和勢能進(jìn)行推導(dǎo)。

隔水管系統(tǒng)在波流載荷以及平臺運(yùn)動的共同作用下會發(fā)生振動從而引起動能變化，將隔水管系統(tǒng)視為梁模型，其動能包括梁的橫向和縱向位移變形引起的動能，可以表示為

式中：ρ為隔水管的材料密度，kg/m3；S為隔水管截面面積，m2。

將下?lián)闲越宇^簡化為線彈性扭轉(zhuǎn)彈簧的形式，經(jīng)分析可知，撓性接頭運(yùn)動軌跡是以水下井口基準(zhǔn)面為圓心、以水下防噴器組高度為半徑的圓周運(yùn)動，基于線彈性扭簧的假設(shè)[16]，下?lián)闲越宇^動能包括平動動能和轉(zhuǎn)動動能，可表示為

式中：mJ為下?lián)闲越宇^質(zhì)量，kg；LJ為1/2 下?lián)闲越宇^高度，m；JJ為下?lián)闲越宇^的轉(zhuǎn)動慣量，kg·m2；LB為水下防噴器組高度，m。

防噴器組的運(yùn)動可描述為繞水下井口基準(zhǔn)面中心點處的轉(zhuǎn)動，其動能可以表示為

由于防噴器組形狀復(fù)雜，為簡化計算，在建模過程中將其等效為剛性管單元和質(zhì)量單元的組合，其轉(zhuǎn)動慣量可以表示為

式中：r為圓柱體半徑，m；mB為防噴器組質(zhì)量，kg。

將上述推導(dǎo)的隔水管、下?lián)闲越宇^、防噴器組動能相加得到耦合系統(tǒng)的總動能：

1.2 耦合系統(tǒng)勢能

隔水管梁模型的彎曲勢能和拉壓勢能共同組成隔水管的變形勢能：

式中：E為隔水管彈性模量，kPa；ρ為隔水管密度，kg/m3；I為截面慣性矩，m4。

下?lián)闲越宇^的彎曲勢能可以表示為

式中：kJ為下?lián)闲越宇^轉(zhuǎn)動剛度，kN·m/(°)。由于防噴器組自身剛度較大，自身產(chǎn)生的變形很小，故忽略其變形能變化。將上述推導(dǎo)的隔水管、撓性接頭勢能相加得到耦合系統(tǒng)總勢能表達(dá)式：

將式(1)和下式表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，并代入LAGRANGE 方程進(jìn)行推導(dǎo)得到

1.3 隔水管系統(tǒng)耦合動力學(xué)方程推導(dǎo)

采用有限元法對柔性梁模型進(jìn)行離散化，將柔性梁軸向位移u(x,t)和橫向位移w(x,t)用形函數(shù)和位移函數(shù)描述為

其中，方程中部分參數(shù)表達(dá)式如下所示：

式中：M11、M22、M33分別為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量和梁的質(zhì)量矩陣；M11是隔水管梁模型的彎曲和下?lián)闲越宇^轉(zhuǎn)動自由度的彈性變形對剛體轉(zhuǎn)動慣量的貢獻(xiàn)；M12、M13、M23為BOPs 運(yùn)動、隔水管梁彎曲變形和下?lián)闲越宇^轉(zhuǎn)動變形之間的非線性慣性耦合，該系統(tǒng)的阻尼矩陣是撓性接頭轉(zhuǎn)動變形及其時間導(dǎo)數(shù)的非線性函數(shù)；K為受BOPs 運(yùn)動和下?lián)闲越宇^轉(zhuǎn)角影響的剛度矩陣；M為隔水管系統(tǒng)剛度的質(zhì)量矩陣。式(2)右端表示系統(tǒng)所受外力載荷向量。

2 隔水管系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型求解

2.1 求解邊界條件

為求解方程，取隔水管–防噴器組耦合系統(tǒng)的頂部和底部位移、彎矩等參數(shù)作為方程求解邊界條件。選取上撓性接頭處為作為上邊界條件，在以往的研究中往往將下?lián)闲越宇^當(dāng)作下邊界條件進(jìn)行處理，忽視了防噴器組通過下?lián)闲越宇^與隔水管的耦合關(guān)系，且忽略了防噴器組的運(yùn)動，故本文考慮到其耦合關(guān)系和水下井口運(yùn)動，將方程的下邊界條件設(shè)置在水下井口模型底部。

若不計鉆井平臺的升沉運(yùn)動，可將隔水管上邊界條件設(shè)為簡諧縱蕩運(yùn)動：

對于下邊界條件，此處采用“等效樁法”，并取泥面下3 m 處固支約束[17]，于是下邊界條件為

2.2 求解步驟

采用科學(xué)計算軟件對隔水管與防噴器組剛?cè)狁詈夏Ｐ拖到y(tǒng)方程進(jìn)行求解，模型求解采用Newmark-β直接積分法進(jìn)行，具體計算步驟如下：

1） 初始狀態(tài)計算：

② 計算系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M、阻尼矩陣C、剛度矩陣K；

③ 依據(jù)所需精度要求選擇β、γ及Δt，并滿足如下積分常數(shù)：

2）依據(jù)時間步長進(jìn)行迭代計算：

① 有效剛度矩陣計算

②t+Δt時刻有效載荷計算

③t+Δt時刻位移計算

④t+Δt時刻加速度和速度計算

⑤ 重復(fù)運(yùn)行步驟2）進(jìn)行迭代運(yùn)算。由于剛度矩陣會隨時間發(fā)生變化，故每進(jìn)行一個時間步的計算都需要計算新的有效剛度矩陣。為了獲得穩(wěn)態(tài)的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動態(tài)響應(yīng)結(jié)果并可以研究更多耦合系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)規(guī)律，選擇1 500 s 作為分析時間。

隔水管–防噴器組–水下井口耦合動力學(xué)算法與流程如圖2 所示。

圖2 隔水管系統(tǒng)耦合動力學(xué)算法與流程

3 算例

3.1 算例參數(shù)

本文以南海某水深627 m 井為研究對象，隔水管系統(tǒng)配置見表1，隔水管外徑0.533 4 m，壁厚0.015 875 m；導(dǎo)管外徑0.762 m，壁厚0.025 4 m。海水密度和鉆井液密度分別為1 025 和1 200 kg/m3。通過底部殘余張力法[18]確定隔水管頂部張緊力為2.01 MN。上、下?lián)闲越宇^轉(zhuǎn)角剛度分別為733.386和1 873.572 KN·m/(°)，LMRP/BOPs 參數(shù)來自某深水鉆井平臺。海流剖面見表2，波高取8.4 m，波浪周期為12.1 s。

表1 鉆井隔水管系統(tǒng)配置

表2 鉆井隔水管系統(tǒng)配置

3.2 動力學(xué)分析與模型驗證

本節(jié)借助有限元分析軟件ABAQUS 建立隔水管–防噴器組剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)仿真模型，根據(jù)挪威船級社的推薦做法建立水下井口等效模型，具體建模及等效過程見文獻(xiàn)[17]。以上述627 m 水深隔水管系統(tǒng)為例，建立隔水管–防噴器組–水下井口系統(tǒng)耦合動力學(xué)理論模型和ABAQUS 仿真模型進(jìn)行動態(tài)響應(yīng)對比分析。根據(jù)文獻(xiàn)[17]的方法，采用ABAQUS 建立隔水管系統(tǒng)有限元模型時，將隔水管采用管單元進(jìn)行模擬，防噴器組被建模為管單元和質(zhì)量單元的組合，管外徑為0.914 4 m，壁厚為0.219 m，質(zhì)量根據(jù)LMRP/BOPs 的實際質(zhì)量沿高度方向平均分配。提取500 s 隔水管系統(tǒng)不同位置處節(jié)點位移、單元彎矩以及上、下?lián)闲越宇^轉(zhuǎn)角等時間歷程，分別如圖3～5 所示。圖3～5 中紅色實線為本文理論模型的計算結(jié)果，藍(lán)色虛線為ABAQUS 仿真模型計算結(jié)果。

圖3 隔水管系統(tǒng)橫向位移時程曲線

圖4 隔水管彎矩時程曲線

圖5 上、下部撓性接頭轉(zhuǎn)角時程曲線

由圖3～5 可知，采用本文建立的隔水管–防噴器組剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型得到的動態(tài)響應(yīng)計算結(jié)果，包括位移、彎矩和轉(zhuǎn)角等時程曲線，均與ABAQUS 仿真結(jié)果吻合良好。2 種模型動態(tài)響應(yīng)幅值均值最大偏差為8.8%，初步證明了本文理論模型的正確性。

為了進(jìn)一步驗證本文模型的計算精度，此處提取隔水管橫向位移包絡(luò)線和彎矩包絡(luò)線進(jìn)行對比驗證，分別如圖6 和圖7 所示。圖6～7 中，實線為本文理論模型計算結(jié)果，虛線為采用文獻(xiàn)[17]方法的計算結(jié)果。

圖6 整體側(cè)向位移包絡(luò)線結(jié)果對比

圖7 整體彎矩包絡(luò)線結(jié)果對比

由圖6 和圖7 可知，采用本文理論模型和參考文獻(xiàn)模型得到的隔水管整體橫向變形包絡(luò)線、整體彎矩包絡(luò)線計算結(jié)果吻合良好，2 種模型得到的隔水管整體橫向變形包絡(luò)線范圍分別為?9.9～11.4 m 和?9.93～10.95 m；得到的隔水管整體彎矩包絡(luò)線范圍分別為?113.97～128.47 kN·m 和?115.65～124.93 kN·m。由此可見，相較于ABAQUS仿真模型，本文根據(jù)柔性隔水管與剛性防噴器組的結(jié)構(gòu)特點所建立的隔水管–防噴器組–水下井口系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型更接近于實際情況，更加適用工程應(yīng)用環(huán)境，在隔水管系統(tǒng)耦合動力學(xué)分析上具有專用性。在計算效率上，本文模型計算效率高、求解速度快且計算結(jié)果更加準(zhǔn)確。

4 結(jié)論

本文開展基于LAGRANGE 方法的深水鉆井隔水管–防噴器組–水下井口耦合系統(tǒng)動力學(xué)建模與數(shù)值計算研究，所取得主要結(jié)論如下：

1）基于剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)理論，采用LAGRANGE方法和有限元法建立隔水管–防噴器組–水下井口系統(tǒng)耦合動力學(xué)理論模型，采用Newmark-β直接積分法對動力學(xué)模型進(jìn)行求解并采用科學(xué)計算軟件開發(fā)動力學(xué)求解程序，實現(xiàn)了基于LAGRANGE方法的隔水管–防噴器組–水下井口系統(tǒng)耦合動力學(xué)數(shù)值計算。

2）以南海深水隔水管為算例開展動態(tài)響應(yīng)分析，采用ABAQUS 建立隔水管–防噴器組–水下井口系統(tǒng)仿真模型，計算得到理論模型與仿真模型在節(jié)點橫向位移、單元彎矩及上部和下部撓性接頭轉(zhuǎn)角等吻合良好，動態(tài)響應(yīng)幅值均值偏差為8.8%。

3）對理論模型和ABAQUS 有限元仿真分析得到的整體側(cè)向位移包絡(luò)線和彎矩包絡(luò)線進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明2 組包絡(luò)線亦吻合良好，證明采用本文理論模型進(jìn)行仿真分析時可以將防噴器組模擬為剛性管單元和質(zhì)量單元的組合，從而可為深水隔水管和水下井口系統(tǒng)動態(tài)分析提供理論參考。