彈性約束下變厚度蜂窩夾層板的隔聲特性

王朝能,李鳳蓮,呂梅

(北京信息科技大學 機電工程學院,北京 100192)

0 引言

蜂窩結構起源于仿生學,蜂窩夾層復合材料具備復合材料的特點,并且其蜂窩材料及其特殊結構形式,擴寬了其應用范圍。蜂窩夾層板結構具有輕質、優(yōu)良比剛度/比強度、抗沖擊性能以及隔熱和隔音性能,在醫(yī)療設備、傳感器、防護設備、航空航海及國防工程等領域有廣泛的應用前景[1]。由于蜂窩結構有較高的減重率,現在的航天飛機、人造衛(wèi)星、高鐵、汽車等在內部大量采用蜂窩結構。由于蜂窩夾層板所運用的工況環(huán)境使其經常面臨振動載荷和聲壓載荷激勵,故有必要深入研究其振動和隔聲特性。

近年來,大量學者對蜂窩夾層板結構進行了深入研究。Gibson等[2]首次提出了二維內凹六邊形蜂窩結構,其結構具有負泊松比效應。研究夾層板結構振動主要有Reissner理論、Hoff理論和普魯卡克夫-杜慶華理論。Hu等[3]分析了經典層合板理論(classical laminate theory,CLT)、一階剪切變形理論(first-order shear deformation theory,FSDT)和高階剪切理論在夾層復合材料研究中的適用性和效率。Li等[4]基于雙曲切線剪切變形理論,利用Navier法和流固邊界條件研究了2種不同類型的負泊松比功能梯度蜂窩夾層板的自由振動和隔聲性能。Oliazadeh等[5]建立了基于統計能量分析(statistical energy analysis,SEA)的蜂窩夾層板分析模型,利用SEA方法對蜂窩夾層板的聲透射損失進行了理論有效性驗證,并給出了聲透射損失的表達式。任樹偉等[6]基于Reissner理論建立了簡支邊界下蜂窩夾芯板傳聲理論模型,通過與有限元分析結果對比驗證了聲學理論模型的正確性。周俊杰等[7]利用代表體元(representative volume element,RVE)法對蜂窩模型進行有限元等效建模,總結出了可靠的蜂窩夾層板的有限元等效模型。Shi等[8]采用瑞利-里茲法(Rayleigh-Ritz method)根據結構-聲耦合系統的能量表達式對帶聲腔的雙層板結構的振動聲特性進行了分析研究,驗證了理論的可靠性。

利用一階剪切變形理論,結合改進的瑞利-里茲法[9-10],建立并求解了聲振理論模型。通過有限元分析驗證了理論的準確性。在此基礎上,討論了參數變化對變厚度蜂窩夾層板隔聲性能的影響。采用的方法可以快速計算不同邊界條件下蜂窩夾層板的振動及隔聲特性。

1 理論模型的建立

負泊松比的變厚度蜂窩夾層板模型如圖1所示,它由等壁厚的六邊形蜂窩核心層和上下面板組成。在直角坐標系xyz中,x-y平面位于中間層蜂窩芯的中間平面上。板的長度和寬度分別為a和b,蜂窩芯層厚度為hc,板的最大厚度為hmax,相關厚度變化函數規(guī)律如下:

(1)

圖1 變厚度蜂窩夾層板模型Fig.1 Honeycomb sandwich model with variable thickness

式中:ξ1、ξ2分別為沿x和y軸方向的厚度變化系數;hmin為板的最小厚度,可由hmax、ξ1、ξ2求解得到。

蜂窩芯的單元胞如圖2所示。蜂窩的傾斜壁長為l1,蜂窩的上下壁長為l2,壁厚為tc,蜂窩的特征凹角為θ。隨著特征角的變化,蜂窩芯的形態(tài)也發(fā)生變化。當θ>0°時,芯層為負泊松比凹六邊形蜂窩,如圖2(a)所示;當θ=0°和θ<0°時,負泊松比的凹六邊形蜂窩將分別演化為圖2(b)所示的零泊松比的準方形蜂窩和圖2(c)所示的正泊松比的凸六邊形蜂窩[11]。

圖2 等壁厚蜂窩的單元胞模型Fig.2 Unit-cell models of the honeycomb with equal wall thickness

六邊形蜂窩夾層板的面內等效彈性參數的研究已被廣泛開展[12]。基于Gibson和Ashby提出的蜂窩等效理論及后來的修正蜂窩等效理論[13],給出了等壁厚負泊松比六邊形蜂窩夾層板等效彈性參數的計算公式:

(2)

式中:Ex、Ey、Ez為x、y、z方向上的等效彈性模量;Gxy、Gxz、Gyz為等效剪切模量;νxy、νyx為等效泊松比;ρ為等效質量密度;蜂窩結構關系η1=l2/l1、η3=tc/l1;Es為材料楊氏模量;Gs=Es/[2(1+vs)]為材料彎曲模量,vs為材料泊松比;ρs為材料密度。

基于一階剪切變形理論,蜂窩板位移場表示為

(3)

式中:u、v、w分別為變厚度負蜂窩夾層板中性面上任意一點的位移;φx、φy分別為夾層板的法線沿x和y軸的轉角。

根據線性變形假設,其位移-應變關系表示為

(4)

式中:εxx、εyy、γxy、γxz和γyz為應變分量。

根據廣義胡克定律并且考慮負泊松比的蜂窩夾層板結構的正交各向異性,并結合式(2),其本構方程表示為

(5)

(6)

利用Hamilton原理,可以推導出負泊松比蜂窩夾層板的動力學方程為

(7)

式中:qz為分布在z上的外力;Nx、Ny和Nxy為應力的合力;Mx、My和Mxy為力矩;I0、I1和I2為廣義慣性項;Qx和Qy為橫向剪力的合力。這些變量可以表示如下:

(8)

通過改進的雙傅立葉余弦級數和輔助多項式函數組合為位移場容許函數,多項式函數表示如下:

(9)

不考慮邊界條件,蜂窩夾層板的每個位移和旋轉分量展開為修正傅里葉級數為

(10)

(11)

對于變厚度蜂窩夾層板,應變能Us定義為

(12)

蜂窩板的動能T表示為

(13)

假設外力做的功We為

(14)

蜂窩夾層板結構的邊界約束彈簧中的彈性邊界能Usp表達式為

(15)

(16)

蜂窩夾層板的拉格朗日能量函數可以表示為

L=T-Us-Usp+We

(17)

通過拉格朗日能量函數并結合Rayleigh-Ritz法,可得到系統自由振動的矩陣方程:

(K-ω2M)G=0

(18)

式中:ω為入射聲波的圓頻率;Κ和M分別為板的剛度矩陣和質量矩陣,它們都是對稱矩陣,可以寫成:

(19)

(20)

式中:Kuu和Muu等均為子矩陣,其維度與截斷數M和N有關,例如Kuu為方程組對x方向的位移函數,即式(10)中u(x,y)函數所包含的未知系數進行二次偏導后對應的項,其他子矩陣包括質量矩陣求解類似。

特征向量G為未知展開式系數,可表示為

G=[Gu,Gv,Gw,Gφx,Gφy]T

(21)

當平面簡諧聲波P以一定的入射角入射到蜂窩夾層板的上面板,如圖1所示,其中入射方向矢量與z軸夾角為ψ1,入射方向矢量在x-y平面的投影與y軸夾角為ψ2。入射聲壓激勵pi可表示為

pi(x,y,t)=p0ei (ωt-kxx-kyy-kzz)

(22)

式中:p0為入射聲壓幅值;kx、ky、kz分別為波數在x、y、z方向上的分量,其表示為

(23)

式中:k0=ω/c0,c0為聲速。

考慮彈性邊界條件下蜂窩夾層板的聲振特性,反射聲壓pr和透射聲壓pt可以表示為

(24)

式中:wmn為式(10)中w(x,y)函數;Rmn和Tmn分別為反射聲壓幅值和透射聲壓幅值。

蜂窩夾層板系統在入射聲壓、反射聲壓和透射聲壓激勵下的外力可以表示為

(25)

在蜂窩夾層板頂板、底板與空氣交界處,需滿足流固耦合條件,即法向速度分量相等,表示為

(26)

根據以上理論條件,將動力學方程與流固耦合條件聯合求解,即可得到反射聲壓和透射聲壓。

假設Wi和Wt分別為入射聲功率和透射聲功率,蜂窩夾層板的傳聲損失(sound transmirrion loss,STL)或隔聲量可定義為

(27)

式中,入射聲功率和透射聲功率可表示為

(28)

式中:vi=pi/(ρ0c0)、vt=pt/(ρ0c0)表示流體質點的速度;Re表示取實數結果;*表示復數共軛。

2 數值計算與仿真

為了驗證理論模型的正確性,通過有限元軟件COMSOL對負泊松比蜂窩夾層板聲振特性進行仿真模擬。

如圖1所示的模型,其中負泊松比蜂窩夾層板的幾何參數為:a=207.85 mm、b=170.01 mm、hmax=10 mm,上下面板最大厚度均為h1=2 mm。如圖2 (a)所示,負泊松比蜂窩芯層的相關尺寸為:hc=6 mm、l1=10 mm、l2=20 mm、tc=1 mm、θ=30°。變厚度負蜂窩夾層板均由鋁組成,其材料性能為:Es=70 GPa、vs=0.3、ρs=2 700 kg/m3。

令蜂窩夾層板厚度變化系數ξ1=0、ξ2=0,截斷系數M=N=8,得到了等厚度蜂窩夾層板在四邊簡支邊界條件下的前5階固有頻率的理論結果,如表1所示,表中也列出了文獻[4]和有限元方法的結果。從表中可以看到,與理論結果及文獻[4]的結果相比,有限元仿真得出的結果較大,其原因是建模時選擇蜂窩為等效模型,但三者誤差最大不超過3%,其誤差在允許范圍內。而且在表2中,有限元與理論的前5階模態(tài)振型相同,由此可以看出所建立的蜂窩夾層板的理論模型是準確有效的。

表1 蜂窩夾層板前5階模態(tài)固有頻率對比Table 1 Comparison of the first five orders of intrinsic frequency of honeycomb sandwich plates Hz

表2 四邊簡支條件下理論與有限元計算的前5階模態(tài)振型對比Table 2 Comparisons of the first five mode shapes computed by the present theory and finite element under simply supported condition

使用有限元建模仿真,驗證所建立的蜂窩夾層板隔聲理論模型的正確性。在計算中,聲波垂直入射,取簡諧聲波入射方位角ψ1=0°、ψ2=0°,入射聲壓振幅p0=1 Pa。圖3給出了理論與有限元分析在四邊簡支邊界條件下蜂窩夾層板的隔聲特性曲線,可以看出兩者吻合良好。

圖3 等厚度蜂窩夾層板隔聲曲線對比Fig.3 Comparisons of sound insulation curves for honeycomb sandwich plate with equal thickness

3 參數變化的影響

基于所建立的變厚度負泊松比蜂窩夾層板理論模型,在保證其余參數不變的情況下,通過控制變量,選取蜂窩夾層板的前5階頻率范圍1 000～7 000 Hz,研究特征角、厚度變化系數及邊界條件對隔聲特性的影響。

特征角是影響蜂窩材料特性的一個重要參數,其對蜂窩結構的性能有較大影響,從而影響結構的隔聲性能。圖4為不同特征角等厚蜂窩夾層板的隔聲曲線。特征角為θ=0°和θ=-30°的蜂窩夾層板隔聲性能類似,相比較于θ=30°的負泊松比蜂窩夾層板隔聲曲線,可以看出在低頻時變化不大,高頻時變化更加明顯,其波谷略有右移,波谷頻率有所增大。

圖4 特征角對蜂窩板隔聲性能影響Fig.4 Effect of characteristic angle on sound insulation of honeycomb plates

圖5為四邊簡支邊界條件下不同變厚度負泊松比蜂窩夾層板的隔聲曲線。當ξ1=1、2,ξ2=0時為沿x軸方向單向變厚度負泊松比蜂窩夾層板,當ξ1和ξ2分別等于0.5、1時為沿x、y軸方向雙向變厚度負泊松比蜂窩夾層板。可以看出,無論是單向還是雙向變厚度蜂窩夾層板,隔聲波谷均隨著厚度變化系數的增大而左移,高頻范圍變化幅度較大。且在單雙向系數增大時,出現了更多的波谷,表明過薄的上下面板會導致蜂窩夾層板的隔聲效果降低。

圖5 厚度變化系數對負泊松比蜂窩板隔聲性能影響Fig.5 Effect of thickness variation coefficient on sound insulation of honeycomb plates with negative Poisson′s ratio

圖6給出不同邊界條件下,x軸單向變厚度負泊松比蜂窩夾層板的隔聲曲線。圖中各邊界條件分別為四邊簡支(SSSS),對邊固支、另一對邊簡支(CSCS),四邊固支(CCCC)。可以看出,隨著邊界彈簧剛度的逐漸提高,隔聲曲線逐漸右移,其隔聲頻率范圍越大。這與其固有頻率的變化規(guī)律一致。

圖6 邊界條件對負泊松比蜂窩板隔聲性能影響Fig.6 Effect of boundary conditions on sound insulation of honeycomb plates with negative Poisson′s ratio

4 結束語

采用一階剪切變形理論和改進的瑞利-里茲法,將位移場展開為帶輔助函數和余弦函數的傅里葉級數,結合流固邊界耦合條件,建立了蜂窩夾層板隔聲理論模型。通過有限元分析和文獻驗證了理論的準確性。在此基礎上,分析了參數變化對隔聲特性的影響。結果表明,特征角對蜂窩夾層板的隔聲效果在低頻時影響不大;不同厚度變化系數對于系統的隔聲影響較大,過薄的蒙皮會導致出現新的波谷,從而導致隔聲效果大幅降低;而隨著彈性約束剛度的增大,即邊界條件約束增大,系統的隔聲效果逐漸提高,隔聲頻率范圍增大。本研究中,變厚度蜂窩結構可進一步運用于水下環(huán)境,分析其流體深度、內支架位置、厚度變化系數等對系統的振動和隔聲性能影響。