基于貝葉斯理論的HotellingT2小樣本多元工序質量監(jiān)控方法

寧方華，騫文成，屠震元，陳智峰

（1.浙江理工大學 機械工程學院，浙江 杭州 310018；2.杭州海康威視數字技術股份有限公司，浙江 杭州 310051）

0 引言

在生產加工過程中，為了保證產品質量需要同時監(jiān)控每個方面的質量指標?，F(xiàn)有研究人員將傳統(tǒng)單變量質量控制圖技術拓展到多元質量控制圖技術，通過一個控制圖監(jiān)控生產過程中的多元質量指標，以提升監(jiān)控效率［1］。

近年來，HotellingT2 控制圖技術一經提出便得到了廣泛應用［1-9］。然而，隨著客戶需求個性化和品種多樣化，各類產品生產過程開始步入小批量生產模式，傳統(tǒng)HotellingT2 控制圖技術無法直接適用于小批量生，原因為該技術通過樣本均值μˉ和樣本協(xié)方差矩陣S的計算結果來判斷生產質量，但小批量生產過程中同批次的生產數量一般不大，采集樣本數據較少，μˉ、S易受異常值影響，因此計算結果不夠準確，甚至發(fā)生錯誤，導致傳統(tǒng)HotellingT2 控制圖技術在小批量生產過程中的監(jiān)控效果與實際不符。

為此，本文采用貝葉斯理論［10-11］改進傳統(tǒng)HotellingT2控制圖，通過有效估計小批量生產過程在質量數據樣本的μˉ、S，以提升其對異常值的識別和處理能力，給出了新的基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖方法。同時，結合生產實例的比較研究顯示，在小批量生產過程中，本文所提方法相較于傳統(tǒng)HotellingT2 控制圖方法的計算結果更合理，具有更好的監(jiān)控效果。

1 傳統(tǒng)HotellingT2質量控制圖

1.1 基本原理

當某個工序需要控制p個質量指標，且多元質量指標的隨機公差服從正態(tài)分布［12］，質量指標記為X=(X1，X2，…，Xp)，將當前加工該工序的多個工件的多元質量指標測量值作為樣本信息，平均值向量=(μ1，μ2，…，μp)表示加工過程多元質量指標標準值，方差向量表示多元質量指標誤差的收斂程度，通過協(xié)方差求解公式進行求解：

式中：E(XiXj)表示第i個質量指標和第j個質量指標乘積的期望值；E()Xi、E(Xj)分別表示第i個質量指標和第j個質量指標期望值。

p個質量指標的協(xié)方差矩陣S為：

式中：當i≠j時，Sij表示第i個質量指標和第j個質量指標的協(xié)方差數值且Sij=Sji；當i=j時，Sii為第i個質量指標的方差，即Sii=。由式（1）、式（2）可反映此時加工工序多元質量指標波動情況的綜合指標。傳統(tǒng)HotellingT2 控制圖的瞬時統(tǒng)計量為：

式中：xi表示本工序第i個工件的p個質量指標的測量值；S-1為協(xié)方差矩陣的逆矩陣。經文獻［1］驗證T2統(tǒng)計量服從具有參數p和n-p的F分布，即：

式中：n表示加工工件的數量；p為每個工件需要控制的質量指標數量。

若取虛報概率為α，則HotellingT2 控制圖的控制上限UCL和控制下限LCL可表示為：

若監(jiān)控過程中T2統(tǒng)計量一直處于UCL、LCL 之間，證明加工過程處于受控狀態(tài)，若統(tǒng)計量超出范圍則證明出現(xiàn)異常，加工過程也不再處于受控狀態(tài)，控制圖將發(fā)出警報。根據這些特點，管理人員可進一步分析生產不穩(wěn)定的原因，從而作出相應調整或改進生產過程的控制指標，使加工過程回到受控狀態(tài)，提升生產合格率和穩(wěn)定性。

1.2 局限性

傳統(tǒng)HotellingT2 控制圖原理反映了加工工序的整體穩(wěn)定性，不僅監(jiān)控每個指標在控制限制內的分布或波動情況，還監(jiān)控每個指標間的相關關系是否異常。然而，由式（3）可見(xi-)反映了變量取值的波動，由于(xi-)前后各乘一次，T2值為二次型，協(xié)方差為正定矩陣S，因此T2值為非負，控制圖只有上控制線，零為自然下限。

關系異常指每個質量指標無法保持穩(wěn)態(tài)下相互波動性的關系。由于在小批量加工過程中同批次加工樣本數據較少，因此μˉ、S對異常值非常敏感，容易導致計算結果會產生較大偏差，甚至可能導致監(jiān)控失效。

本文構造了一個例子說明在小批量加工過程中，異常值對控制圖參數的影響。隨機生成一組雙變量數據，稱為數據組1（即不存在異常值的數據，如表1 所示），將6 號正常值60.5 和17.5 替換為異常值41.25 和20.75，稱為數據組2（即存在離群值的數據）。采用傳統(tǒng)方法計算數據組1、2的均值和協(xié)方差，如表2所示。

Table 1 Data of 10 bivariate variables表1 10個雙變量數據

Table 2 Comparison of mean and covariance matrix between data group 1 and data group 2表2 數據組1和數據組2的均值和協(xié)方差矩陣比較

由表2 可知，當小批量數據中存在一個異常值時，數據組1、2 的μˉ、S存在顯著差異，將導致控制圖監(jiān)控失效，證明了傳統(tǒng)HotellingT2 控制圖在批量生產過程中易受異常值影響。因此，有必要研究一種能滿足小批量加工過程的工序質量控制圖，提升計算控制圖參數的準確性和合理程度。

2 基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖

貝葉斯理論是基于先驗信息、樣本信息等的一種統(tǒng)計推斷［13-14］。首先依據各種信息推導先驗分布；然后綜合樣本信息，根據貝葉斯公式得到后驗分布；最后根據后驗分布推斷未知參數。該方法充分利用歷史、樣本等數據，可極大提升控制圖參數的計算準確性和合理程度。

2.1 質量數據標準化

本文收集過去一定時間段內滿足要求的不同批次歷史質量數據進行分析，然而不同批次質量標準均不同，無法直接進行參數求解，需要對質量數據進行標準化處理，使各批次質量數據滿足分布要求。

數據標準化處理的常用方法包括標準化、歸一化和中心化。其中，標準化和中心化適用于標準值為中間數的數據標準化處理；歸一化適用標準值為最小值的數據標準化；相對公差法［15］處理后的質量數據可直接反映相對標準值的誤差大小，數據處理方法如公式（7）所示。

2.2 先驗信息提取

將標準化處理后的歷史質量數據作為貝葉斯參數估計的先驗信息，即抽樣前相同受控條件下的一些歷史質量信息。一般情況下，先驗信息主要來源于相同工序、相同設備，不同批次的歷史加工質量數據。設有m個批次的加工質量信息，且每個批次需要控制p個質量指標，經過標準化處理后的各批次歷史質量數據服從正態(tài)分布，i=1，2，…，m；j=1，2，…，p，則每個批次不同質量指標的均值μij和方差為：

式中：g為第i批歷史質量數據的樣本容量。

由于小批量生產的條件多變，與當前批次更接近的歷史批次更能反映當前生產狀況，因此根據加工序列對各批次歷史質量數據進行指數加權。由于在不同批次加工過程中的數據采集量不盡相同，因此采用變樣本容量獲得歷史質量數據不同批次的組間均值和組間方差。

式中：k為加權系數，通常取(N+14)/14；N為各批次生產的平均天數；m為歷史質量數據總批次。

綜上，本文將先驗信息得到的分布作為工序質量控制的先驗分布，即先前不同批次受控狀態(tài)下該工序加工過程的多元質量指標分布狀況，為合理進行貝葉斯參數估計提供信息基礎。

2.3 貝葉斯理論參數估計

由于現(xiàn)有樣本Y 的第j個質量指標均值μj與方差間存在相互影響，需要以先驗分布的組間均值和組間方差對現(xiàn)有樣本Y 的均值μj和方差進行估計。根據共軛貝葉斯理論［13］，設方差的先驗分布為逆伽馬（逆Gamma）分布，記為IGa(α，β)，設μj的先驗分布為N(a，b2)，故其共軛先驗分布具有的乘積形式為π()。其中：

式中：a為先驗分布的均值，b2為先驗分布的方差；α為先驗逆伽馬分布的形狀參數，β為先驗逆伽馬分布的尺度參數。

2.3.1 方差估計值

依據逆Gamma 分布的相關性質，先驗分布～IGa(α，β)，則數學期望E和方差Var分別為：

聯(lián)立式（13）、式（14）可得：

在獲取現(xiàn)有樣本Y 后，依據共軛函數分布特性可得先驗分布形式與后驗分布形式一致。故可設：

式中：α'為后驗逆伽馬分布|Y 的形狀參數；β'為后驗逆伽馬分布|Y 的尺度參數；n為現(xiàn)有樣本Y的容量；為現(xiàn)有樣本Y中第j個質量指標的數據均值；k0為先驗信息在實時批次中所占的分量，在小批量生產過程中一般取常數，k0=30。

因此，可得的貝葉斯估計值為：

2.3.2 均值估計值

依據正態(tài)分布的相關性質，先驗分布μj|～N(a，b2)的數學期望為：

獲取現(xiàn)有樣本Y 后，依據共軛貝葉斯的相關性質可知：

式中：a'為后驗分布μj|，Y的均值；b'2為后驗分布μj|，Y的方差。

(μj|)聯(lián)合先驗密度函數π(μj|)為：

μj的邊緣后驗密度函數π(μj|Y)為：

本文自由度為(2α+n)的t分布，其中：

均值μj的貝葉斯估計值μjB為：

根據貝葉斯理論進行參數估計得到均值估計向量μB=(μ1B，μ2B，…，μpB)和方差估計向量，然后結合式（1）、式（13）—式（20）得到p個質量指標的協(xié)方差矩陣SB=SP×P，以充分利用先驗信息、樣本信息等，在先驗分布的基礎上估計后驗分布參數，降低小批量加工過程中因樣本量小帶來的控制圖參數計算誤差，從而提升控制圖監(jiān)控的準確性。

2.4 基于貝葉斯理論的HotellingT2工序質量控制圖統(tǒng)計量

基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖設計理念是利用貝葉斯理論對小批量生產的質量數據進行參數估計，得到貝葉斯估計均值向量μB和協(xié)方差矩陣SB，再結合傳統(tǒng)方法設計多元工序質量控制圖，以監(jiān)控加工過程中多元質量指標的波動狀態(tài)。

具體的，根據式（1）、式（7）—式（27）得到貝葉斯均值估計向量μB和估計協(xié)方差矩陣SB，結合傳統(tǒng)式（3）構造出反映多元質量指標波動狀況的綜合指標，基于貝葉斯理論的HotellingT2工序質量控制圖統(tǒng)計量為：

式中：為貝葉斯估計協(xié)方差矩陣SB的逆矩陣為當前加工過程中第i個工件的p個質量指標的測量值標準化處理后組成的向量；μB為p個質量指標貝葉斯估計均值向量。

由式（4）—式（6）可知，T2控制圖統(tǒng)計量服從具有參數p和m-p的F 分布，取一定的虛報概率α即可確定控制UCL 和LCL。當T2(i) ≥0 時只需根據式（5）確定其控制上限UCL，控制下限LCL為零。

綜上，使用基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖對小批量加工過程的多元質量指標進行監(jiān)控的原理為：若加工過程的T2統(tǒng)計量處于UCL 和LCL 內，則說明加工過程處于受控狀態(tài)，否則過程處于不受控狀態(tài)。本文所提方法能從歷史數據中提取當前產品的質量信息，充分利用先驗信息、樣本信息等，在先驗分布的基礎上估計后驗分布參數，降低小批量加工過程中因樣本量小而帶來的統(tǒng)計誤差，進一步提升控制圖監(jiān)控的準確性。

3 實例分析

為了本文方法的有效性和優(yōu)越性，計算分析某發(fā)動機凸輪軸支承軸直徑、各支撐軸的同軸度和支撐軸圓度，如表3所示。

Table 3 Measurement of the diameter of the engine camshaft support shaft，coaxiality of each support shaft，and roundness of the support shaft表3 發(fā)動機凸輪軸支承軸直徑、各支撐軸的同軸度和支撐軸圓度測量值

表3 中x1、x2、x3分別表示直徑、同軸度和圓度；、為標準化處理后的數據，可比較傳統(tǒng)方法和基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖對加工過程的質量監(jiān)控能力差異。

凸輪軸支承軸直徑標準值為30.01 mm，上限為30.023 5 mm，下限為30.000 5 mm；各支撐軸的同軸度標準值為0，上限為0.05 mm，下限為0；支撐軸圓度標準值為0，上限為0.4 μm，下限為0，樣本中8、17、20 號為異常多元數據。表4 為最近3 批不同型號產品加工過程該工序多元質量指標測量值標準化處理后的分布情況。其中，質量指標的均值表示穩(wěn)定狀態(tài)的控制平均值，協(xié)方差矩陣反映穩(wěn)定狀態(tài)多元質量指標波動收斂程度。

Table 4 Standardized distribution information of multiple quality indicators of historical batch processes表4 歷史批次工序多元質量指標標準化分布信息

3.1 均值與方差

本文分別使用傳統(tǒng)方法和貝葉斯估計方法計算凸輪軸加工過程中各個指標的均值與方差，結果如表5 所示。由此可知，在異常值影響下本文方法的均值為0.51、0.46，更接近穩(wěn)定歷史批次穩(wěn)定狀態(tài)均值，第2、3 質量指標的方差相較于傳統(tǒng)方法更小，證明了基于貝葉斯理論的統(tǒng)計方法較好地削弱了異常值對計算結果的影響。

Table 5 Comparison of calculation results of mean and variance between two methods表5 兩種方法均值和方差計算結果比較

3.2 協(xié)方差矩陣

兩種方法計算得到凸輪軸直徑、同軸度和圓度的協(xié)方差矩陣結果如表6 所示。由此可知，本文所提方法的第1、2 質量指標、第2、3 質量指標的協(xié)方差和第2 質量指標的方差遠小于傳統(tǒng)方法，整體上由貝葉斯參數估計方法計算得到的協(xié)方差矩陣更小，證明了基于貝葉斯理論的統(tǒng)計方法具有較好的抗干擾能力。

Table 6 Comparison of covariance matrix calculation results between two methods表6 兩種方法協(xié)方差矩陣計算結果比較

3.3 質量指標統(tǒng)計量

根據式（3）、式（28）分別計算傳統(tǒng)方法和基于貝葉斯理論的HotellingT2工序質量控制圖的統(tǒng)計量，如圖1所示。由此可見，傳統(tǒng)方法只監(jiān)測出第17 號異常多元質量數據，存在漏報現(xiàn)象，證明傳統(tǒng)方法對異常值較為敏感，易受到異常值影響，導致監(jiān)控效果與實際情況存在偏差?；谪惾~斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖能識別出所有異常值，即第8、17、20 號異常多元質量數據，并對異常情況發(fā)出警報，且中位數（2.44）小于傳統(tǒng)方法中位數（2.69），證明基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖收斂程度更好，對異常值影響具有良好的抵御能力，能準確監(jiān)測失控狀態(tài)。

Fig.1 Comparison of quality indicator statistics圖1 質量指標統(tǒng)計量比較

綜上，在小批量加工過程中使用傳統(tǒng)方法的監(jiān)控效果并不理想，基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖的監(jiān)控效果明顯更可靠、準確，能及時發(fā)現(xiàn)加工過程異常情況，并能提供較好的解決方法。

4 結語

傳統(tǒng)HotellingT2 控制圖作為加工過程質量監(jiān)控的重要工具之一，監(jiān)控效果可作為評判加工過程是否處于受控狀態(tài)的重要依據。然而，在小批量加工過程中，由于樣本數據較小，傳統(tǒng)方法易受異常值影響，導致監(jiān)控準確度下降，從而誤判加工過程的受控狀態(tài)，進而給管理人員帶來錯誤的信息。

為此，本文結合貝葉斯理論與傳統(tǒng)方法，構建基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖，以降低或消除小批量加工過程中異常值對監(jiān)控效果的影響，從而使監(jiān)控效果更符合實際，并通過發(fā)動機凸輪軸加工工序質量控制實例分析。實例表明，當數據中存在異常值時，傳統(tǒng)方法易出現(xiàn)漏發(fā)報警情況，而基于貝葉斯理論的HotellingT2 工序質量控制圖可檢測所有異常狀況并發(fā)出警報，具有較好的穩(wěn)定性和準確性，能更好地應用于小批量加工過程中的工序質量控制。