巧構函數(shù)，妙解導數(shù)不等式題

在解答導數(shù)不等式問題時，往往需要通過構造新函數(shù)，將問題轉化為新函數(shù)的單調性問題來求解.這就要求同學們具備扎實的數(shù)學功底，有敏銳的洞察力，能靈活運用求導公式和求導運算法則，才能構造出合適的函數(shù)模型.那么如何巧妙地構造函數(shù)模型呢？下面結合幾個例題來探討.

一、含有[f（x）±xf（x）]的不等式

對于含有[fx+xf'x]的不等式，可以根據求導運算法則[fx?gx'=fxgx+fxg'x]構造出函數(shù)[Fx=xf（x）]；對于含有[fx-xfx]的不等式，可以根據求導運算法則[fxgx′=fxgx-fxg'xgx2]構造出函數(shù)[Fx=fxx].構造出函數(shù)后，就可以根據導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)的單調性.一般地，若導函數(shù)大于0，則原函數(shù)是單調遞增的；若導函數(shù)小于0，則原函數(shù)是單調遞減的.

[例1.已知f（x）]是定義在[R]上的偶函數(shù)，當[xlt;0]時，[fx+xfxlt;0]，且[f-4=0]，求不等式[xfxgt;0]的解集.

解：設函數(shù)[Fx=xf（x）]，對其求導得：[Fx=fx+xfx]，由于當[xlt;0]時，[fx+xfxlt;0]，則[Fxlt;0]，所以函數(shù)[F（x）]在[（-∞， 0）]上單調遞減，由于函數(shù)[f（x）]是定義在[R]上的偶函數(shù)，所以[F（x）]是定義在R上的奇函數(shù)，于是[F（x）]在[（0，+∞）]上也是單調遞減的，由于[f-4=0]，則[F-4=-4f（-4）=0]，則[F-4=F4=0]，而[F0=0]，所以[xfxgt;0]的解集為：[（-∞，-4）∪（0，4）].

該不等式中含有[fx+xfx]，于是構造新函數(shù)[Fx=xf（x）].然后判斷出[Fx]的單調性，利用偶函數(shù)的性質，并根據函數(shù)的零點確定函數(shù)[Fx]在定義奇域內的符號，從而求得不等式的解集.

二、含有[f（x）±f（x）]的不等式

由于[ex]的導函數(shù)是其本身，所以對于含有[fx+f（x）]的不等式，可以根據求導運算法則[fx?gx'=fxgx+fxg'x]構造函數(shù)[Fx=exf（x）]；對于含有[fx-fx]的不等式，可以根據求導運算法則[fxgx′=fxgx-fxg'xgx2]構造函數(shù)[Fx=fxex].在構造出函數(shù)后，便可通過研究導函數(shù)的符號來判斷出函數(shù)的單調性，以利用函數(shù)的單調性來解題.

例2.設函數(shù)的定義域為[R]，若[fx+fxgt;-e-xfx]，[f0=1]，求不等式[fxgt;2ex+1]的解集.

解：令[gx=1+exf（x）]，則[gx=exfx+1+exfx]，因為[fx+fxgt;-e-xfx]，則[gxgt;0]，所以[g（x）]單調遞增，由[fxgt;2ex+1]得[1+exfxgt;2]，又[g0=2f0=2]，即[gxgt;g0]，解得[xgt;0].

該不等式中含有指數(shù)函數(shù)，于是構造含有指數(shù)函數(shù)的新函數(shù)[gx=1+exf（x）].然后對其求導可得[exfx+1+exfxgt;0]，據此即可判斷出函數(shù)[g（x）]的單調性，就能直接根據函數(shù)的單調性來解不等式.

三、含有[sinxfx±cosxfx，cosxf（x）±sinxf（x）]的不等式

若遇到形如[sinxfx+cosxfxgt;0（lt;0）]、[cosxfx-sinxfxgt;0（lt;0）]的不等式，可以根據求導運算法則構造函數(shù)[gx=sinxf（x）]、[gx=cosxf（x）]；若遇到形如[sinxfx-cosxfxgt;0（lt;0）]、[cosxfx+sinxfxgt;0（lt;0）]的不等式，可以根據求導運算法則構造函數(shù)[gx=fxsinx]、 [gx=fxcosx].

例3.對于任意的[x∈（-π2 ， π2）]，[cosxfx-sinxfxgt;0]成立，試證明：[2fπ3gt;f（π4）].

證明：設函數(shù)[gx=fxcosx]，

則[gx=cosxfx-sinxfxcos2x]，

由于[cosxfx-sinxfxgt;0]，所以[gxgt;0]，

所以函數(shù)[g（x）]在[（-π2，π2）]上單調遞增，

又[gπ3=2f（π3）]，[gπ4=2f（π4）]，

由[gπ3gt;gπ4]可得：[2fπ3gt;f（π4）].

這一題中出現(xiàn)了[cosxfx-sinxfxgt;0]，可以構造函數(shù)[gx=fxcosx].然后判斷出函數(shù)[g（x）]的單調性，即可根據函數(shù)的單調性證明不等式成立.

總之，在構造函數(shù)時，要注意：（1）仔細觀察不等式的結構特征；（2）將不等式進行合理的配湊，使不等式的形式與求導運算法則、求導公式的一致；（3）靈活運用導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系尋找解題的切入口.