基于相似度的三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策方法

張毅, 張亞濤, 李金輝

(河南科技大學(xué)車輛與交通工程學(xué)院, 洛陽 471003)

多屬性群決策是科學(xué)決策重要分支之一,主要應(yīng)用在方案排序、方案評價和應(yīng)急管理等方面。決策問題存在著信息不完全和信息模糊不確定的灰色特征,所以灰色系統(tǒng)理論常被用來解決多屬性群決策問題的方法[1-2]。

目前,對于三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)環(huán)境下的決策問題,已有學(xué)者進行研究,并取得一定的成果。Luo等[3]定義了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的偏離度,表明兩個三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的偏離程度。王霞[4]定義了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)相容度的概念,考慮了重心值之間的距離和兩個三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的重疊區(qū)間長度,以此反映二者的接近程度。劉中俠等[5]提出了區(qū)間灰數(shù)相離度公式,并綜合考慮決策者的主觀意愿,提出了屬性權(quán)重優(yōu)化模型。Fu等[6]提出了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的距離熵權(quán)模型和逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to ideal solution,TOPSIS)的方案排序模型,并將其應(yīng)用到科學(xué)決策中。在三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)環(huán)境下基于前景理論和后悔理論的決策者心理行為的研究,主要考慮了方案排序。Li等[7]提出了基于前景理論的決策模型,通過計算綜合前景值,得出備選方案的排序。孫慧芳等[8]針對屬性值為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的多階段多屬性不確定決策問題,提出了一種基于證據(jù)理論和前景理論的決策方法。張東興等[9]通過三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的相對核來判斷其大小,結(jié)合前景理論價值函數(shù)和權(quán)重函數(shù),并根據(jù)灰關(guān)聯(lián)分析法得到正、負關(guān)聯(lián)系數(shù)和綜合相對貼近度實現(xiàn)對方案的排序。黃士寬[10]針對屬性值為三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的多屬性群決策問題,提出了基于后悔理論的多屬性群決策灰關(guān)聯(lián)決策方法。

在三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)環(huán)境下多屬性群決策模型中,存在問題如下:一是沒有突出重心值的重要性,在計算中賦予三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)重心值、上限值、下限值具有相同權(quán)重;二是針對決策者心理行為的研究主要關(guān)于前景理論、后悔理論等在方案排序的應(yīng)用,但針對決策者微觀心理層面卻少有研究,使得決策結(jié)果表達不夠充分。因此,鑒于以上不足,現(xiàn)從區(qū)間長度和重心的角度,提出相似度計算公式,在此基礎(chǔ)上建立基于相似度的決策者心理認(rèn)知場,并引入數(shù)據(jù)勢理論,求得決策者權(quán)重;運用距離公式和熵權(quán)法求解屬性權(quán)重。最后,采用理想相似度和完全非理想相似度作為前景理論中的參考點,計算前景值和理想前景值,運用TOPSIS思想求得貼近度,實現(xiàn)方案排序。

1 多屬性群決策模型

技術(shù)路線圖如圖1所示。

圖1 技術(shù)路線圖Fig.1 Technical roadmap

1.1 三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)

在灰色系統(tǒng)決策過程中,三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)具有明顯的可能性最大“重心”點,并且還彌補了灰數(shù)的“貧信息”的不足,使得決策更符合實際問題。因此,三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)環(huán)境下多屬性群決策問題的研究具有重要意義。

(2)

(3)

式(3)中:0≤φ<0.5,0.5≤φ≤1。當(dāng)a(?),b(?)中某一個數(shù)退化為實數(shù)時,式(3)仍然適用。

1.2 問題描述

1.3 確定決策者權(quán)重

在群決策過程中,決策者作為決策問題的主要參與者,其權(quán)重對決策結(jié)果具有決定性作用,并認(rèn)為若單個決策者的決策序列與群決策序列偏差越小,則決策者的權(quán)重值越大,以增強該決策者對群決策結(jié)果的影響力。為了保證決策者權(quán)重的準(zhǔn)確性,從區(qū)間長度和重心的角度出發(fā),提出了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)環(huán)境下單個決策結(jié)果和群體決策結(jié)果的相似度[13]。根據(jù)決策者與環(huán)境的關(guān)系,建立基于理想相似度的決策者心理認(rèn)知場。決策者心理行為的表達體現(xiàn)為數(shù)據(jù)形式,所以借鑒物理場論知識,引入數(shù)據(jù)勢理論來描述決策者心理狀態(tài),求得決策者權(quán)重。

(4)

(5)

將群決策結(jié)果U作為理想決策結(jié)果U*,由式(4)和式(5)可知U*的理想相似度向量R*,R*=(1,1,…,1)T,則完全非理想群決策結(jié)果U*c的相似度向量為R*c=(0,0,…,0)。若相似度值越接近于R*,則決策結(jié)果越接近于U*,決策者應(yīng)給予的權(quán)重越大。若相似度值越遠離于R*,則決策結(jié)果越遠離于U*,決策者應(yīng)給予的權(quán)重越小。在相似度的基礎(chǔ)上,采用距離來表示決策者個體與群體決策的直接關(guān)系,距離公式為

(6)

將Di(Rk,R*)歸一化,可得

(7)

式中:D(Rk,R*)為個體決策結(jié)果與理想決策結(jié)果的距離。

根據(jù)決策者與環(huán)境的關(guān)系,借鑒物理場論思想,建立決策者心理認(rèn)知場,即決策者在做出決策結(jié)果時,在心理行為表達上趨于群決策結(jié)果。因此,從物理場論的角度考慮,群決策結(jié)果對單個決策者的決策結(jié)果存在作用力。進一步的,決策者心理行為表達為數(shù)據(jù)形式,與群決策結(jié)果構(gòu)成穩(wěn)定的單值有源數(shù)據(jù)場。群決策結(jié)果為有源場的“源”,決策者的表達數(shù)據(jù)相當(dāng)于物理場中的“質(zhì)點”,該數(shù)據(jù)場符合物理學(xué)中穩(wěn)定有源場的勢函數(shù)性質(zhì)。取理想相似度為數(shù)據(jù)場的“源”,參照核力場的勢函數(shù)公式,給出符合決策者理想心理認(rèn)知場的勢函數(shù)公式。鑒于高斯函數(shù)特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)和普適性,故采用t=2時的擬核力場勢函數(shù)來表達數(shù)據(jù)場的相互作用[14]。

(8)

勢函數(shù)值越大,表明決策結(jié)果與群體決策結(jié)果越接近,則該決策者的權(quán)重也越大。將勢函數(shù)值歸一化作為決策者的權(quán)重,即

(9)

1.4 確定屬性權(quán)重

在解決不確定決策問題過程中,決策問題會受錯綜復(fù)雜的決策環(huán)境影響以多屬性的形式體現(xiàn),不同屬性對決策結(jié)果的影響程度不同,并認(rèn)為若同一個屬性下的不同方案的信息值間的差值越大,則認(rèn)為該屬性對方案排序的影響越大,應(yīng)分配的權(quán)重也越大。根據(jù)屬性權(quán)重確定的特征,與熵權(quán)法原理有契合之處。熵權(quán)法通過同一屬性下的不同方案信息值的離散度確定屬性權(quán)重,屬性信息值間的離散度越大,熵值越小,對方案排序和優(yōu)選的影響越大,分配的權(quán)重越大。

步驟1利用三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離公式將三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)決策信息值矩陣轉(zhuǎn)化為距離矩陣D=(dij)m×n。距離公式中參數(shù)取值公式為

(10)

步驟2將距離矩陣D=(dij)m×n,利用標(biāo)準(zhǔn)化公式轉(zhuǎn)化為規(guī)范化的距離矩陣H=(hij)m×n,其中hij可表示為

(11)

式(11)中:dij為距離矩陣中第i行第j列的值;hij為預(yù)處理后的距離矩陣中的第i行第j列的值。

步驟3求解屬性j下的熵值,公式為

(12)

式(12)中:k=1/lnm且k>0為常數(shù);Ej≥0,j=1,2,…,n。

步驟4求解屬性的權(quán)重,公式為

(13)

1.5 決策方法

1.5.1 前景理論

機械加工車間能量消耗大是企業(yè)面臨的關(guān)鍵問題，在生產(chǎn)過程中，調(diào)度作為一種降低車間能耗的有效方式受到了廣泛關(guān)注，合理的調(diào)度方案可有效減少車間的能量消耗[1]。然而，如何在不犧牲完工時間、延期成本等傳統(tǒng)目標(biāo)的同時，實現(xiàn)車間節(jié)能優(yōu)化調(diào)度，是綠色制造背景下亟待研究的問題。

前景理論從非理性的角度出發(fā),考慮了決策者的心理、行為特質(zhì),打破了傳統(tǒng)的理性人假設(shè),更為客觀的體現(xiàn)決策者的態(tài)度,使得決策結(jié)果更加符合事實。在方案優(yōu)選中,使用前景值的大小實現(xiàn)方案排序,而前景值的大小跟參考點的選擇有關(guān),所以參考點的選擇非常重要,一般選擇的參考點為數(shù)據(jù)的平均值、理想和非理想值、眾數(shù)等?；趨⒖键c的價值函數(shù)為

(14)

式(14)中:Δx為與參考點的距離;α和β為決策者偏好系數(shù);θ為敏感系數(shù)。一般認(rèn)為,v(0)=0,α=β=0.88,θ=2.25。

1.5.2 決策步驟

在求得決策者權(quán)重和屬性權(quán)重的基礎(chǔ)上,使用非常規(guī)方法綜合前景理論、相似度和TOPSIS方法建立一種方案排序模型。模型采用理想相似度和完全非理想相似度作為前景理論中的參考點,分別構(gòu)建正、負前景值矩陣,然后運用TOPSIS方法思想求得正、負理想解矩陣,通過相對貼近度確定方案排序,從而確定最優(yōu)方案。模型具體步驟如下。

步驟1基于決策矩陣Gk運用相似度和數(shù)據(jù)勢思想求的決策者權(quán)重,由式(4)～式(9)求解決策者權(quán)重τ={τ1,τ2,…,τq}。

步驟2結(jié)合距離公式、一致性思想和熵權(quán)法求解屬性權(quán)重W={w1,w2,…,wn}。

(17)

(19)

(21)

式中:d(vij,vj)=|vij-vj|。

(24)

2 實例分析

為了體現(xiàn)模型的合理性、可操作性,采用文獻[16]的實例進行驗證。在國際供應(yīng)商選擇問題中,有4家國際供應(yīng)商入圍。設(shè)供應(yīng)商集合S={s1,s2,s3,s4},屬性集合C={c1,c2,c3,c4},其中c1為質(zhì)量,c2為價格,c3為設(shè)計方案,c4為競爭力。各決策者關(guān)于方案屬性的信息值矩陣分別如下。

2.1 計算結(jié)果和分析

步驟1由式(4)和式(5)求解各方案相似度,如表1～表4所示。

表1 方案1相似度

表2 方案2相似度

表3 方案3相似度

表4 方案4相似度

根據(jù)式(6)～式(9)求得決策者權(quán)重,τ=(0.293,0.342,0.365)。決策者勢值及權(quán)重分析如表5所示。

表5 決策者勢值及權(quán)重分析

步驟2由式(3)、式(10)和式(11)求得距離矩陣。

由式(12)和式(13)求得屬性權(quán)重W=(0.25,0.22,0.25,0.27)。

步驟4由式(18)和式(19)求解正、負向理想前景值為V+=(0.14,0.23,0.15,0.22);V-=(-2.15,-2.15,-2.21,-2.17)。

步驟5由式(20)和式(21)前景值與理想前景值的加權(quán)距離為D+=(0.05,0.09,0.09,0.07),D-=(0.13,0.05,0.07,0.08)。

2.2 方法比較

為增強本文決策模型的合理性,與文獻[16]進行對比分析,結(jié)果如表6所示。

表6 對比分析

根據(jù)計算結(jié)果,得出以下結(jié)論。

文獻[16]得到的結(jié)果是供應(yīng)商的方案s2脫靶,其他3個供應(yīng)商的方案s1?s4?s3,優(yōu)選方案為s1。模型的求解結(jié)果為s1?s4?s3?s2,優(yōu)選方案為s1,表明本文模型的排序結(jié)果與文獻[16]具有一致性,證明本文模型的可操作性及有效性。

使用相似度來處理數(shù)據(jù),避免使用標(biāo)準(zhǔn)化公式忽略三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)重心值的重要性。在標(biāo)準(zhǔn)化公式中,參數(shù)具有相同重要性,不符合三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的實際意義。因此,相似度的使用突出了重心值的地位,并充分使用三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)信息,更加符合實際情況。

方案之間的差異度得到優(yōu)化。文獻[16]中各方案的綜合屬性值相近,差異度較小,區(qū)分效果不明顯,容易出現(xiàn)歧義,而本文模型求得的各方案之間差異度高,區(qū)分效果更好,有利于提高方案排序結(jié)果的說服力。

3 結(jié)論

針對問題的灰數(shù)特質(zhì)及決策者的心理因素,提出了一種多屬性群決策方法。

(1)根據(jù)三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)特征,提出了相似度計算公式?？紤]決策者與環(huán)境的關(guān)系,建立基于相似度的決策者心理認(rèn)知場,引入數(shù)據(jù)勢理論,求得決策者權(quán)重。

(2)運用三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)距離公式對評價矩陣進行處理,使用熵權(quán)法求解屬性權(quán)重。

(3)建立基于相似度的方案排序模型。模型采用理想相似度和完全非理想相似度作為前景理論中的參考點,分別構(gòu)建正、負前景值矩陣,然后運用TOPSIS方法思想求得正、負理想解矩陣,通過相對貼近度確定方案排序,從而確定最優(yōu)方案。采用算例證明模型的合理性、可操作性。

在多屬性群決策問題中,現(xiàn)階段不存在一種理想的決策模型來取代其他模型,不同的模型具有不同的優(yōu)劣勢。所以,為了取得可信度高的決策結(jié)果,需要剖析問題特征,深層次考慮決策者因素,建立合理、有效的決策模型。