高邊緣視場光學效率的衍射波導準直投影鏡頭設計

黃戰(zhàn)華，高懿冰，伍圓軍，潘 成，蘆暢泰，張尹馨

（1.天津大學 精密儀器與光電子工程學院 光電信息技術教育部重點實驗室，天津 300072；2.天津大學 四川創(chuàng)新研究院，四川 成都 610200）

引言

頭戴顯示(head-mounted display，HMD)系統(tǒng)是AR 技術的重要組件[1-3]，目前被廣泛應用在醫(yī)療、軍事、娛樂和教育等領域。為了適應設備需求，光學設計者選用了諸多不同結構對波導式頭戴顯示系統(tǒng)進行優(yōu)化改良，增強現(xiàn)實領域的主要應用有birdbath 結構[4-5]、離軸反射式結構[6-7]、自由曲面棱鏡[8-9]、幾何波導[10-11]以及衍射波導[12-13]。市場上普遍采用幾何光學結構的頭戴顯示設備都具有出瞳較小、占用空間較大等缺點，系統(tǒng)體積和重量較大，不適用于頭部佩戴。而衍射波導系統(tǒng)可以將準直投影鏡頭產生的平行光進行擴展和傳輸，達到光瞳擴展、占用空間小、質量輕等效果，適用于眼鏡式頭戴顯示設備[14]。

2012 年，谷歌眼鏡的推出引起了全球范圍內新型頭戴顯示熱潮，推動了HMD 的快速發(fā)展[15]。雖然波導式頭戴顯示系統(tǒng)的真實圖像光學效率較好，但虛擬圖像光學效率低于真實圖像，光學效率的不平衡會導致眼睛疲勞。為了解決這一問題，2015 年，Hung 等人[16]提出了一種具有微結構的光波導，該系統(tǒng)通過全內反射(total internal reflection,TIR)傳輸虛擬圖像，從而提高虛擬圖像的光學效率。2016 年，Zhao 等人[17]提出了基于三角形微結構的光波導，該系統(tǒng)虛擬圖像的光學效率大于真實圖像的光學效率，克服了光學效率平衡的限制。2018 年，潘成等人[18]使用進化算法優(yōu)化了耦合光柵結構，補償了使用硅基液晶(liquid crystal on silicon,LCoS)照明時的自然漸暈效應，并提高了耦合效率。上述設計的波導式頭戴顯示系統(tǒng)，實現(xiàn)了光學效率的提升，但焦點僅在于對光波導和衍射光柵進行優(yōu)化，對于前端準直投影鏡頭的能量損失分析不足。2010 年，Constanze Gro?mann 等人針對有機發(fā)光二極管(organic light-emitting diode,OLED)設計了兩套微投影系統(tǒng)，通過選用與高亮度相結合的定向輻射OLED 提高光學效率，但并未應用于AR 領域。2019 年，Koneva 等人[19]設計了幾種用于LCoS 等圖像源的AR 光學系統(tǒng)，但都是用于幾何光學波導，并未考慮衍射波導系統(tǒng)[20]。

現(xiàn)階段Micro-LED 技術已經在市場上迅速發(fā)展。它具有亮度更高、對比度更高以及自發(fā)光而形成的緊湊結構等優(yōu)勢，逐漸應用在HMD 中。但漸暈會導致準直投影鏡頭邊緣視場光學效率低，照度不均勻等。因此針對衍射光柵波導和Micro-LED 圖像源，設計一套邊緣視場光學效率較高的準直投影鏡頭很有必要。

本文針對衍射光柵波導光學系統(tǒng)邊緣視場光學效率較低、照度不均勻的問題，設計了一個結構緊湊、像質優(yōu)良的準直投影鏡頭，通過靠近圖像源位置增加單片非球面場鏡來改變光強分布。雖然增加場鏡的方法在光學設計中較為常見[21-22]，但多用于探測系統(tǒng)中。隨著頭戴顯示系統(tǒng)FOV 需求越來越大，其邊緣視場光學效率較低、照度不均勻的問題越發(fā)顯著。本文率先將增加場鏡應用在Micro-LED 圖像源的衍射光柵波導AR 顯示設計中，并給出通過計算場鏡參數(shù)提高邊緣亮度和照明均勻性的方法，可以在小尺寸耦入光柵的情況下實現(xiàn)較小的系統(tǒng)橫向尺寸，為用戶提供了更好的體驗。與未加場鏡鏡頭進行對比分析，發(fā)現(xiàn)每個準直投影鏡頭的對角線FOV 均為41.2°和F#為1.87，邊緣視場光學效率提升15%，照度均勻性提高了14%，該系統(tǒng)可以應用于新型圖像源的衍射光柵波導HMD 中。

1 基本原理

衍射波導式HMD 結構如圖1 所示。該系統(tǒng)一般由微圖像源、準直投影鏡頭和衍射光柵波導組成，來自微圖像源的光線經過準直投影鏡頭后，以不同角度的平行光入射波導系統(tǒng)。利用耦入光柵衍射到波導中的光束，由于全反射原理被限制在其中向前傳輸。當光束進入耦出光柵區(qū)域時，光束一部分發(fā)生衍射，破壞全反射條件，從波導中出射后在觀察者眼瞳上呈現(xiàn)圖像；另一部分光束繼續(xù)向前傳輸達到出瞳擴展的效果。圖1(b)中二維擴瞳(two dimensional exit pupil expansion,2D EPE)比圖1(a)中一維擴瞳(one dimensional exit pupil expansion,1D EPE)在結構上多加了擴展光柵，在出瞳上多擴展一個維度[23-24]。

圖1 衍射波導式HMD 系統(tǒng)結構圖Fig.1 Structure diagram of diffractive waveguide HMD

Micro-LED 的發(fā)光角度較大，并且發(fā)光強度隨角度變化明顯。該發(fā)光強度分布增大了準直投影鏡頭的數(shù)值孔徑，這是收集足夠的光用以明亮投影所必需的[19,25]。準直投影鏡頭示意圖如圖2 所示。圖2(a)中用陰影表示能夠進入鏡頭的光能量。此時光學效率足夠，但準直投影鏡頭的尺寸相對于圖像源顯著增大，不適用于頭戴顯示系統(tǒng)。如果只減小光學系統(tǒng)尺寸，漸暈逐漸增大，準直投影鏡頭接收到的邊緣視場光線減少，如圖2(b)所示，大部分能量無法進入準直投影鏡頭，直接導致鏡頭光學效率降低、照度不均勻。

圖2 準直投影鏡頭示意圖Fig.2 Schematic diagram of collimating projection lens

為了提高邊緣視場光學效率和照度均勻性，不增加光學系統(tǒng)尺寸，本文提出在Micro-LED 像源前增加單片場鏡，用來改變發(fā)光強度分布。通過計算得到的場鏡參數(shù)，使得最終鏡頭邊緣視場光學效率和照度均勻性增加。將微圖像源和場鏡組合定義為新的圖像源，如圖2（c）所示。圖2(c)相比于圖2(b)，總光通量相等，但用陰影表示的鏡頭所接收的光能量增多，邊緣視場變化尤其明顯，更多的光能進入光學系統(tǒng)，降低了能量傳輸損耗，提高了系統(tǒng)照度均勻性。

增加場鏡不僅可以提高邊緣視場光學效率和照度均勻性，也可以在橫向上減小系統(tǒng)后截距。準直投影鏡頭光路圖如圖3 所示。從圖3(a)可知，當未加場鏡時，后截距為L1，光瞳銜接時光柵波導與光學系統(tǒng)距離較遠，不適合頭戴顯示小型化。如果只將光柵波導位置提前，其耦入光柵會隨之增大，成本增加。如圖3(b)所示，當加場鏡時，通過場鏡折轉光路，使得后截距L2小于L1，波導與光學系統(tǒng)距離變小，必要時可以使波導緊貼光學系統(tǒng)。在耦入光柵較小情況下，仍能保證較小的系統(tǒng)橫向尺寸，適用于衍射光柵波導系統(tǒng)。

圖3 準直投影鏡頭光路圖Fig.3 Optical path diagram of collimating projection lens

如圖4 所示，假設微圖像源上一實際發(fā)光點P1的出射角度為u，由P1出射角度向上張開一個小張角為Δu，其在場鏡上照射的區(qū)域長度為Δy。根據(jù)幾何位置，角度u、Δu和長度 Δy之間的關系為

圖4 實際發(fā)光點P1 和虛擬發(fā)光點P2 的光路圖Fig.4 Optical path diagram of actual luminous point P1 and virtual luminous point P2

式中：Lo為場鏡到微圖像源的距離（可以取很?。?。

假設經過場鏡折射之后會聚形成的虛擬發(fā)光點P2的出射角度為up，則虛擬發(fā)光點角度up與實際發(fā)光點角度u的關系為

式中：h為發(fā)光點P1到照射區(qū)域下邊緣的垂直距離；ho為發(fā)光點P1到光軸的垂直距離；φ為場鏡的光焦度。定義折射后上邊緣光線為up1，下邊緣光線為up2，則up1、up2的光線公式分別為

由式(3)和式(4)可以求得P2點的橫坐標為

P2到A 點的距離xp為

光源發(fā)光強度表達式為

式中：Φv為光通量；S為立體角在照射表面上所截面積；r為發(fā)光點到照射表面的距離。因為場鏡不會導致光通量變化，所以在場鏡位置處，光通量Φ和面積S的比值為一定值k。則Micro-LED 圖像源和加場鏡后新圖像源發(fā)光強度表達式為

式中：x為P1到A點的距離；xp為P2到A點的距離。

Micro-LED 圖像源與新圖像源的關系為

通過圖4 中幾何關系可以計算出：

由式(6)、式(10)～式(12)可知，經過加場鏡后新圖像源的發(fā)光強度分布表達式為

如果Lo無限小，為了保證新圖像源在對應角度的發(fā)光強度大于Micro-LED 圖像源，則角度u需要滿足不等式：

發(fā)光強度模擬結果如圖5 所示。圖5（a）顯示了Lo為0.1 mm，場鏡焦距f為10 mm，ho分別為0.875 mm、1.237 mm 和1.75 mm 時發(fā)光強度模擬結果。圖5(b)顯示了Lo為0.1 mm，ho為1.75 mm，f分別為14 mm、10 mm 和7 mm 時發(fā)光強度模擬結果。圖6 顯示了不同場鏡焦距下發(fā)光強度最大時的角度以及場鏡與光學系統(tǒng)的距離，模擬了圖像源上不同發(fā)光點ho=1.75 mm，ho=1.237 mm，ho=0.875 mm 處的結果，不同曲線表示不同的發(fā)光點高度。從圖5 和圖6 可以看出，隨著ho的增加，經過場鏡的發(fā)光強度分布向光軸傾斜角變大；隨著f的增加，經過場鏡的發(fā)光強度分布向光軸傾斜角變小?？梢酝ㄟ^圖像源的大小和準直投影鏡頭的距離，求得發(fā)光強度分布最合適的角度，進而計算出場鏡焦距，使得此時光學系統(tǒng)光學效率最高、照度均勻性最高。也就是說，當光學系統(tǒng)總長在5 mm～15 mm 之間時，場鏡焦距最佳區(qū)間為7 mm～14 mm。下一步進行場鏡設計和優(yōu)化，以實現(xiàn)最佳效果。

圖5 發(fā)光強度模擬圖Fig.5 Simulation diagram of luminous intensity

圖6 不同場鏡焦距下發(fā)光強度最大時對應的角度以及場鏡與光學系統(tǒng)的距離Fig.6 Angles corresponding to the maximum luminous intensity at different field lens focal lengths and distance between field lens and optical system

2 準直投影鏡頭的光學設計

為了描述增加場鏡準直投影鏡頭的設計，本文將設計分為以下幾個階段。

2.1 設計目標

本文設計的加場鏡的準直投影鏡頭，用來減少漸暈，提高邊緣視場的光學效率、照度均勻性和減小系統(tǒng)橫向尺寸。選擇對角線0.13"的Micro-LED作為圖像源，分辨率為640 像素×480 像素，像素尺寸為4 μm，中心波長為530 nm。根據(jù)二維擴瞳原理，波導系統(tǒng)能夠擴展出瞳，不增加拉格朗日不變量，可以在較小的光學系統(tǒng)出瞳情況下得到很大的窺視窗，因而出瞳直徑取2.31 mm。取出瞳距大于1.5 mm，保證準直投影系統(tǒng)與波導正常銜接，以便系統(tǒng)安裝與調試。

有效視場角邊界受到TIR 條件和光柵級次是否存在共同限制[24,26]。kx和ky分別是一階反射波矢量在x和y方向上的分量，TIR 和一階反射存在的條件為

式中：λ 為波段范圍；n0和nw為入射介質和波導的折射率。此不等式滿足時，才能保證所有視場的光線均可以成像。

在本文設計中，波導材料選擇ZF13，折射率在530 nm 處為1.795。將光柵周期設置為392 nm，最大有效對角線FOV 為41.2°。由于圖像源是4∶3的矩形，則FOV 可以達到32.96°(H)×24.72°(V)。準直投影鏡頭參數(shù)見表1 所示。

表1 準直投影鏡頭光學設計參數(shù)Table 1 Design specifications of collimating projection lens

2.2 場鏡設計

在本文設計中，準直投影鏡頭具有大視場角、出瞳位于最后鏡面的后方等特點，設計時主要校正的像差為軸上像差和球差。由于系統(tǒng)全視場角較大，因此需要校正軸外像差、彗差、像散和場曲。準直投影鏡頭由(+-++)排列的4 個透鏡組成，第二片透鏡是負透鏡，以補償準直投影鏡頭的Petzval 總和。

光波導和準直投影鏡頭如圖7 所示。圖7 中系統(tǒng)焦距為4.39 mm，場鏡焦距為9.8 mm，出瞳直徑為2.31 mm，出瞳距＞1.5 mm，視場角為41.2°，總長為8.86 mm。在奈奎斯特頻率下，全視場范圍內在125 lp/mm 時調制傳遞函數(shù)(modulation transfer function,MTF)值大于0.35。

圖7 準直投影鏡頭和波導布局Fig.7 Layout of collimating projection lens and waveguide

基于上面的光學系統(tǒng)，開始設計場鏡。由于非球面設計自由度較大，其中偶次非球面更容易設計和優(yōu)化，適用于旋轉對稱的透鏡，因此，場鏡的曲面設置為偶次非球面，場鏡曲面示意圖如圖8 所示。微圖像源出射的光線經過場鏡和準直投影鏡頭后，邊緣視場更多的能量會聚到出瞳處。由于光路可逆原則，在逆向模擬時，經過場鏡后的光線近似與光軸平行。類似于像方遠心，可以減少余弦四次方定律效應，提高光學效率。

圖8 場鏡示意圖Fig.8 Schematic diagram of field lens (T is tangent line,and N is normal line)

式中：θ3為入射角，θ3=θ1+θ2；θ2為折射角；n1為入射介質折射率；n2為場鏡折射率。對應不同y軸位置的Q點的θ1可以通過圖7 的實際光線追跡得到。根據(jù)式(16)計算非球面弧垂的斜率角θ2，使用坐標Qi和斜率tanθ2獲得非球面弧垂的微分方程，其函數(shù)曲線如圖9 所示。在計算弧垂數(shù)據(jù)時，包含足夠數(shù)量的徑向坐標。最后將弧垂數(shù)據(jù)擬合到傳統(tǒng)光學非球面，有：

圖9 場鏡曲面函數(shù)曲線Fig.9 Derivative function curve of field lens surface

式中：c為曲率；k為圓錐常數(shù)；r為光軸上方的高度；N為多項式數(shù)目；ai為第i項多項式系數(shù)。場鏡非球面面型曲線如圖10 所示。

圖10 場鏡非球面曲線Fig.10 Aspheric curve of field lens

2.3 準直投影鏡頭光學設計

將上述設計的非球面參數(shù)添加到準直投影鏡頭中，設置折射率、厚度形成場鏡，進行整體微調。該方法的優(yōu)點是基于計算形成的場鏡滿足像方遠心，場鏡只需和準直投影鏡頭共同微調，即可滿足像質要求，相比于其他提高光學效率的方法更為簡單和節(jié)省成本。場鏡的非球面參數(shù)列于表2 中。

表2 場鏡的非球面面型參數(shù)Table 2 Aspheric surface parameters of field lens

加場鏡的準直投影鏡頭結構如圖11 所示，規(guī)格和圖7 一致，但總長為8.94 mm。圖12 為加場鏡后光學系統(tǒng)的MTF，全視場范圍內在125 lp/mm時MTF 值大于0.5。圖13 為加場鏡后光學系統(tǒng)的全視場點列圖，中心視場RMS 半徑為1.618 μm，邊緣視場RMS 半徑為1.974 μm，均小于微圖像源像素大小。系統(tǒng)最大畸變的絕對值小于5%，滿足成像質量要求，適合衍射波導式頭戴顯示系統(tǒng)。

圖11 加場鏡后的準直投影鏡頭Fig.11 Structure diagram of collimating projection lens with field lens

圖12 加場鏡后準直投影鏡頭的MTF 曲線Fig.12 MTF curves of collimating lens with field lens

圖13 加場鏡后準直投影鏡頭的全視場點列圖Fig.13 Spot diagrams of collimating lens with field lens

3 衍射波導式頭戴顯示系統(tǒng)仿真

用Lighttools 軟件將準直投影鏡頭與波導系統(tǒng)組合起來，對整個系統(tǒng)進行仿真，比較了加場鏡前后的擴展瞳孔輻照度。根據(jù)前期工作總結經驗[27]，選擇周期為392 nm，可通過納米壓印制造閃耀光柵。根據(jù)2.1 節(jié)中的參數(shù)和二維擴瞳原理，設計的二維擴瞳版圖如圖14(a)所示，取三束光線重合區(qū)域為耦出光柵區(qū)域。若耦出光柵尺寸為16 mm×13 mm，則計算的擴展光柵寬為12.758 6 mm，長為24.208 mm。衍射波導系統(tǒng)布局如圖14(b)所示，其中眼部浮雕(eye relief,ERF)為13 mm。

圖14 衍射波導系統(tǒng)圖Fig.14 Diagram of diffractive waveguide system

虛擬圖像光學效率和照度均勻性[28]是衡量衍射波導式頭戴顯示系統(tǒng)質量的關鍵參數(shù)之一，一般透射式波導顯示系統(tǒng)環(huán)境光學效率高于虛擬圖像光學效率。因此虛擬圖像的光學效率越高，用戶體驗越好。直徑為2.31 mm 的出瞳經波導系統(tǒng)二維擴展后，形成矩形的眼動范圍，眼動范圍內的光學效率與擴瞳次數(shù)和微圖像源的發(fā)光強度有關。光學效率定義為眼動范圍內的光通量與Micro-LED 光源光通量的百分比。

兩組仿真結果如圖15 所示，微圖像源的總輻照度功率歸一化為1 W。從圖15（a）可知，未加場鏡的眼動范圍內總輻照度功率為0.097 003 W，邊緣視場輻照度功率為0.046 453 W，總光學效率為9.700 3%，未加場鏡的最大輻照度為0.000 992 77 W/mm2，平均輻照度為0.000 239 91 W/mm2。從圖15（b）可知，加場鏡的眼動范圍內總輻照度功率為0.102 31 W，邊緣視場輻照度功率為0.053 350 W，總光學效率為10.231%，加場鏡的最大輻照度為0.001 030 3 W/mm2，平均輻照度為0.000 283 70 W/mm2。仿真過程中光學效率受到光學系統(tǒng)透過率、圖像源光學利用率及光柵波導耦合效率共同影響，由于光柵波導耦合效率根據(jù)實際情況設定不高，因此導致總光學效率較低。

圖15 仿真結果圖Fig.15 Simulation results diagram

根據(jù)仿真結果可知，加場鏡相比未加場鏡衍射波導式頭戴顯示系統(tǒng)的總體光學效率提升了5.5%，其中邊緣視場的光學效率相對提升15%，邊緣視場的輻照度提升明顯，照度均勻性相對提高了14%。進一步驗證了計算得到的場鏡可以使得準直投影鏡頭在尺寸小的情況下漸暈少、光學效率高、照度更均勻。

考慮到設計中場鏡與圖像源距離較近，防止場鏡由于熱效應可能發(fā)生變形，可以采用在圖像源后加入散熱片的設計，并在機械結構中加入風冷系統(tǒng)控制散熱。

4 結論

為了解決Micro-LED 作為圖像源發(fā)光角度大，準直投影鏡頭要求體積小且像質高，漸暈現(xiàn)象會導致視場邊緣處光學效率低、照度不均勻的問題，本文設計了一款邊緣視場光學效率高、照度相對較高的準直投影鏡頭。通過在像源前加入單片計算得到的非球面場鏡，利用場鏡調制發(fā)光強度分布，增加鏡頭的遠心度。給出詳細理論推導和場鏡最佳焦距區(qū)間，最后計算場鏡的參數(shù)，用來提高整體系統(tǒng)的邊緣亮度，改善照度均勻性。該鏡頭具有邊緣視場光學效率高，以及在小尺寸耦入光柵情況下可以實現(xiàn)較小尺寸的系統(tǒng)橫向結構的優(yōu)點。設計的準直投影鏡頭出瞳直徑為2.31 mm，對角線視場角為41.2°，焦距為4.39 mm，F(xiàn)#為1.87，MTF 在125 lp/mm 處大于0.5。對比分析了有無場鏡鏡頭的特性，使用LightTools 軟件仿真分析了準直投影鏡頭與衍射波導系統(tǒng)。仿真結果表明，本文提出的設計方法使邊緣視場光學效率提高了15%，照度均勻性提高了14%。該設計為小型AR衍射光柵波導HMD 系統(tǒng)提供了一個新的提高光學效率和照度均勻性的方法。