時(shí)間序列模型在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用
——陜西省GDP分析與預(yù)測(cè)

謝妮妮

（西安財(cái)經(jīng)大學(xué)行知學(xué)院經(jīng)濟(jì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安 710038）

時(shí)間序列分析最早誕生于7 000年前的古埃及。到20世紀(jì)末[1]，數(shù)學(xué)家詹金斯（Jenkins）和博克思（Box）建立并提出了ARIMA模型，即自回歸積分滑動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model，以下簡(jiǎn)稱(chēng)ARIMA），時(shí)間序列分析得到進(jìn)一步完善，并被更廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用時(shí)間序列分析法對(duì)不同地區(qū)的GDP進(jìn)行研究，探索并尋找發(fā)展變化規(guī)律，利用對(duì)未來(lái)事物的發(fā)展?fàn)顩r或趨勢(shì)進(jìn)行有關(guān)預(yù)測(cè)。例如，在商業(yè)領(lǐng)域可以用于預(yù)測(cè)股票及基金的趨勢(shì)，進(jìn)行炒股及基金理財(cái)?shù)?；在農(nóng)業(yè)領(lǐng)域可以用于研究農(nóng)作物價(jià)格及產(chǎn)量的變化，增加收益等；在自然領(lǐng)域可以用于預(yù)測(cè)天氣變化及溫度的變化等；在社會(huì)領(lǐng)域可以用研究出生率、死亡率及犯罪率等。所以，時(shí)間序列分析的預(yù)測(cè)作用在實(shí)際生活中具有極其重要的作用。

GDP可以顯著反映區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況，GDP是衡量經(jīng)濟(jì)生活甚至社會(huì)生活的重要指標(biāo)和核心尺度之一。GDP為政府對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行戰(zhàn)略制定和對(duì)經(jīng)濟(jì)政策進(jìn)行制定時(shí)提供了極其重要的參考依據(jù)，而且對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)健康平穩(wěn)發(fā)展起到導(dǎo)向作用，還可以利用其研究結(jié)果對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，從而更好促進(jìn)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展。所以，對(duì)GDP進(jìn)行深入的研究具有極其重要的實(shí)際價(jià)值和參考意義。

1 時(shí)間序列的相關(guān)定義及統(tǒng)計(jì)方法的選擇

時(shí)間序列分析法的研究對(duì)象是動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，通過(guò)借助統(tǒng)計(jì)分析等方法，探尋隨機(jī)數(shù)列所遵循的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)已經(jīng)獲得的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析及預(yù)測(cè)，從而解決實(shí)際問(wèn)題。

2 統(tǒng)計(jì)分析過(guò)程及研究

從陜西省統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《陜西七十年》和《陜西統(tǒng)計(jì)年鑒》中，選取1952—2019年陜西省GDP數(shù)據(jù)并對(duì)其進(jìn)行分析。確定模型之前，先利用EXCEL對(duì)GDP序列進(jìn)行趨勢(shì)分析。如圖1所示。

圖1 陜西省GDP(生產(chǎn)總值(億元))折線圖

由圖2可得，陜西省GDP具有明顯的指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)，可以觀察得出該時(shí)間序列為非平穩(wěn)序列。陜西省GDP的變化趨勢(shì)與指數(shù)趨勢(shì)擬合，所以選用指數(shù)函數(shù)來(lái)擬合陜西省GDP(億元)。

圖2 陜西省GDP(生產(chǎn)總值(億元))指數(shù)趨勢(shì)擬合圖

2.1 ARIMA分析過(guò)程概述

ARIMA(p,d,q)[2]中，AR為“自回歸”，p是自回歸項(xiàng)數(shù)[3]；MA是“滑動(dòng)平均”[4]，q是滑動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)[5]，d是使之成為平穩(wěn)序列所做的差分次數(shù)（階數(shù)）[6]。ARIMA模型可以表示為[7]：

其中L是滯后算子，d∈Z,d＞0。非平穩(wěn)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)差分處理后可以轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)時(shí)間序列，其中差分的次數(shù)就是齊次的階。

將?記為差分算子，那么有

對(duì)于延遲算子B，有

因此可以得出

設(shè)有d階其次非平穩(wěn)時(shí)間序列yt，那么有?dyt是平穩(wěn)時(shí)間序列，則可以設(shè)其為ARMA(p,q)模型，即

其中λ(B)= 1-λ1B-λ2B2-…-λPBP，分別為自回歸系數(shù)多項(xiàng)式和滑動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。為零均值白噪聲序列?？捎洖锳RIMA(p,d,q)。

2.1.1 模型識(shí)別相關(guān)概述

由圖3時(shí)間序列趨勢(shì)折線圖可知，隨著時(shí)間推移，序列季節(jié)波動(dòng)幾乎接近平滑，越來(lái)越小，所以該時(shí)間序列季節(jié)成分不顯著。由于ARIMA模型要求序列是平穩(wěn)的，所以對(duì)GDP數(shù)據(jù)序列進(jìn)行一階拆分，由其結(jié)果可知，陜西省GDP序列在零比線兩側(cè)的時(shí)間跨度為平均差，因此認(rèn)為是穩(wěn)定的。對(duì)拆分后的GDP時(shí)間序列進(jìn)行ACF（自相關(guān)）和PACF（偏自相關(guān)）分析可得，自相關(guān)呈現(xiàn)逐漸衰減的趨勢(shì)，由此可知自相關(guān)拖尾；偏自相關(guān)呈斷落式下跌，由此可知偏自相關(guān)截尾。

圖3 陜西省GDP(生產(chǎn)總值(億元))時(shí)間序列趨勢(shì)圖

2.1.2 模型檢查和相關(guān)分析

ARIMA模型結(jié)果為：

如表1、表2、表3所示，決定系數(shù)R2越接近于1，模型效果擬合越好，由于R2=0.998，所以擬合效果非常好，AR和MA的系數(shù)分別是0.527和-0.415，有效性在0.01以下，系數(shù)不是0。綜上可認(rèn)為，該模型擬合效果很好。通過(guò)時(shí)間序列趨勢(shì)折線圖、ACF和PACF分析等可知序列是平穩(wěn)的。綜上所述ARIMA(1,2,1)是合理的。

表1 模型描述

表2 模型統(tǒng)計(jì)量

表3 ARIMA 模型參數(shù)

2.1.3 模型預(yù)測(cè)及相關(guān)分析研究

因此，ARIMA模型結(jié)果為：

最后，使用上述模型對(duì)陜西省GDP時(shí)間序列進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，上述模型擬合效果很好。由大量模擬實(shí)驗(yàn)可得，目前使用ARIMA（3,1,3）模型預(yù)測(cè)了2019年陜西省GDP的自然對(duì)數(shù)。2019年至2021年的預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 ARIMA模型預(yù)測(cè)結(jié)果

表5 輸入/移去的變量b

2.1.4 模型的回歸分析

對(duì)陜西省GDP及第一、二、三產(chǎn)業(yè)的相關(guān)數(shù)據(jù)通過(guò)SPSS進(jìn)行研究分析，結(jié)果如下所示：

如上表6所示，模型適應(yīng)系數(shù)（包括第一、第二和第三產(chǎn)業(yè)的三個(gè)變量）的調(diào)整判定系數(shù)為1.000。Durbin-Watson測(cè)試的結(jié)果是1.487，說(shuō)明因變量的取值不存在序列相關(guān)。

表6 模型匯總b

表7顯示，模型的有效性水平為0.000，與回歸模型合作有意義。但是，無(wú)效變量被刪除時(shí)，F(xiàn)會(huì)增加。這表明僅包括第一，第二，第三產(chǎn)業(yè)的三個(gè)變量的模型的適應(yīng)性最好。

表7 Anova b

如果模型的容量極限小于0.1并且色散擴(kuò)大系數(shù)大于10，則存在變量之間的多共線性。因此，從表8可以得出結(jié)論，三個(gè)獨(dú)立變量沒(méi)有多重共線性。GDP與第一、第二、第三產(chǎn)業(yè)有著積極的關(guān)系。所以，有回歸系數(shù)表可得回歸模型為：

表8 系數(shù)a

其中，y是GDP，x1是第一產(chǎn)業(yè)，x2是第二產(chǎn)業(yè)，x3是第三產(chǎn)業(yè)。

3 結(jié)語(yǔ)

本研究通過(guò)對(duì)1952—2019年陜西省的GDP時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行大量擬合實(shí)驗(yàn)，并經(jīng)研究分析可知，由于一個(gè)時(shí)間序列與其ACF及PACF存在錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，所以對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行建模，以及識(shí)別時(shí)間序列模型并非易事，需要對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)并結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行研究分析，才能得到理想的結(jié)果，從而更好地判別和選擇最優(yōu)模型。首先，對(duì)1952—2019年陜西省的GDP時(shí)間序列進(jìn)行研究，然后建立了ARIMA（1，2，1）模型，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間序列模型參數(shù)的變換，生成了殘差序列中的白噪聲序列。其次，通過(guò)對(duì)1952—2019年陜西省的GDP時(shí)間序列建模結(jié)果進(jìn)行分析研究，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用SPSS軟件建立的時(shí)間序列模型的擬合效果更具有實(shí)際價(jià)值，也更有可信性，所以可利用該模型對(duì)2011—2019年的陜西省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)將相對(duì)誤差控制在5%之內(nèi)，可以得出較為準(zhǔn)確的結(jié)果，從而更好地預(yù)測(cè)未來(lái)幾年陜西省GDP的發(fā)展情況，有助于促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展。最后，從GDP變化的角度對(duì)經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)進(jìn)行了分析，提高了經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和實(shí)際價(jià)值，本研究可以為國(guó)家宏觀經(jīng)濟(jì)政策和發(fā)展戰(zhàn)略的調(diào)整、宏觀經(jīng)濟(jì)平穩(wěn)健康發(fā)展，以及人口變化和宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的調(diào)整等提供參考依據(jù)，可以有效規(guī)避一些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中隱藏的風(fēng)險(xiǎn)，從而更好促進(jìn)陜西省以及我國(guó)經(jīng)濟(jì)健康發(fā)展。