一種可實現(xiàn)多運動模態(tài)的串并聯(lián)機構的運動學分析

曾慶山, 馬飛凡

(鄭州大學 電氣與信息工程學院 河南 鄭州 450001)

0 引言

隨著機器人技術和理論的不斷發(fā)展,基于串聯(lián)、并聯(lián)機器人的工業(yè)、商用、軍工等發(fā)揮著越來越重要的作用。串聯(lián)機器人具有靈活、工作空間大的特點。并聯(lián)機器人[1]具有結構穩(wěn)定、剛度大的特點。隨著技術的不斷發(fā)展,將并聯(lián)與串聯(lián)機器人結合而成的混聯(lián)機構應運而生。混聯(lián)機構大部分是由少自由度并聯(lián)機構[2]和串聯(lián)機構結合而成。

3-RPS是少自由度并聯(lián)機構中的典型機構,具有兩個自由度的轉動和一個自由度的移動,這類機構結構簡單、易于控制、容易制造且應用很廣泛,許多混聯(lián)機構都采用這類機構作為并聯(lián)部分本體。自1986年3-RPS機構被Hunt[3]教授提出后,經(jīng)過長時間的發(fā)展改進,目前被廣泛應用到機床、零件加工、流水線作業(yè)等。Lu等[4]提出了一種求解3-SPR并聯(lián)機器人位置和工作空間的方法。

串并混聯(lián)機構兼具串聯(lián)、并聯(lián)機構的優(yōu)點,但其構型復雜,建模難度較高,國內外許多學者對混聯(lián)機構進行了研究。Lu等[5]提出了由兩個3-RPS并聯(lián)機構串聯(lián)而成的六自由度混聯(lián)機構。Lu等[6]采用解析法對文獻[5]提出的串并混聯(lián)機構進行了深入研究。Gallardo等[7]利用螺旋理論研究2(3-RPS)串并結構的奇異位型。李偉等[8]提出了一種串并混聯(lián)機器人的設計方案,并分析了該機器人的優(yōu)勢及應用場景。機構的位置分析是運動分析、受力分析、動力分析的基礎[9]。機構分析中有位置正解和反解兩個基本問題。大多數(shù)串聯(lián)機構的正解求解簡單,逆解求解復雜。并聯(lián)機構位置的逆解簡單,正解求解復雜,大多數(shù)采用封閉解法和數(shù)值解法[10]。而串并混聯(lián)結構的位置分析則更復雜[11]。對于不同的構型,沒有較為統(tǒng)一的方法。馬春生等[12]提出了一種基于3-SPR的混聯(lián)機構,分析逆運動學及其機構的工作空間,但沒有分析混聯(lián)機構的正解。李峰等[13]提出了一種針對2(3-RPS)串并聯(lián)機器人運動構型位置正解的解析算法,該方法復雜且求出的解不唯一。

上述混聯(lián)機構大多是兩層并聯(lián)機構串聯(lián)而成,可以實現(xiàn)的功能有限,本文提出了一種新型3-RPS+R+3-SPR混聯(lián)機構,該機構是由三部分串聯(lián)而成,可作為爬行機器人的軀干結構,具有多種運動模態(tài),例如轉彎、伸縮等。本文對該機構進行了運動學分析,利用并聯(lián)機構的幾何約束求解機構位置逆解,分開求解混聯(lián)機構的正運動學,便于正運動學的分析,并利用優(yōu)化算法求解正解的值,避免了求解的不唯一。在Adams中建立機構虛擬樣機進行仿真,與Matlab理論計算作對比分析,并給出了具體的數(shù)值算例進行正、逆運動學驗證。

1 機構構型描述

1.1 機構簡介及坐標系建立

為實現(xiàn)多種運動模態(tài),本文提出了一種新型的串并混聯(lián)機構,其SolidWorks模型如圖1所示,機構簡圖如圖2所示。該構型主要由三部分串聯(lián)構成,下機構為3-RPS,中間為旋轉關節(jié),上機構為3-SPR。上、下機構可以伸縮進行蠕動,中間機構可以旋轉,上、中、下機構協(xié)調運作可以實現(xiàn)蜿蜒。

圖1 3-RPS+R+3-SPR模型圖Figure 1 The 3-RPS+R+3-SPR model diagram

圖2 3-RPS+R+3-SPR串并聯(lián)機構簡圖Figure 2 The 3-RPS+R+3-SPR serial-parallel mechanism diagram

3-RPS+R+3-SPR結構一共有六個支鏈和四個平臺。每個支鏈都是由轉動副R、移動副P及球副S構成,四個平臺由下至上依次記為0,1,2,3平臺,各平臺均是正三角形構成,中心點分別為O0,O1,O2,O3,平臺0、3的外接圓半徑為E,平臺1、2的外接圓半徑為e,在平臺0上建立坐標系O0-X0Y0Z0,記作坐標系{0}。其中:X0軸平行于A2A3軸;Z0豎直向上;依據(jù)右手螺旋法則可以得到Y0軸。同理建立其他坐標系O1-X1Y1Z1,O2-X2Y2Z2,O3-X3Y3Z3,并分別記為坐標系{1},{2},{3}。下機構3-RPS的下平臺端點為Ai(i=1,2,3),其上平臺端點為Bi(i=1,2,3),上機構3-SPR的下平臺端點為Ci(i=1,2,3),其上平臺端點為Di(i=1,2,3),兩個機構的上、下平臺中間通過移動副P連接,下機構3-RPS的三個桿長為l1i(i=1,2,3),上機構3-SPR的三個桿長為l2i(i=1,2,3),該串并聯(lián)機構的坐標軸滿足如下關系:X0//A3A2,Y0⊥A3A2;X1//B3B2,Y1⊥B3B2;X2//C3C2,Y2⊥C3C2;X3//D3D2,Y3⊥D3D2。機構滿足的幾何約束關系有:下機構3-RPS的轉動副滿足R1i⊥l1i(i=1,2,3);上機構3-SPR的轉動副滿足R2i⊥l2i(i=1,2,3)。

2 串并混聯(lián)結構的逆運動學分析

根據(jù)機構幾何約束,進行位置逆解分析,位置逆解為已知動平臺3的中心點位姿,求解混聯(lián)機構六個驅動桿的長度。

2.1 逆運動學分析

下層3-RPS并聯(lián)機構的下平臺各頂點Ai在坐標系{0}中的坐標為

(1)

下平臺各頂點Bi在坐標系{1}中的坐標為

(2)

同理,可求出上層3-SPR并聯(lián)機構的下平臺各頂點Ci在坐標系{2}中的坐標及上平臺各頂點Di在坐標系{3}中的坐標:

(3)

(4)

(5)

其中:

同理,上機構3-SPR的下平臺各頂點Ci在坐標系{0}中表示為

(6)

其中:

θ為中間平臺的旋轉角度。

(7)

上層3-SPR并聯(lián)機構的上平臺各頂點Di在坐標系{0}中為

(8)

其中:

根據(jù)3-RPS和3-SPR的幾何結構限制,3-RPS機構的轉動副R1i(i=1,2,3)為

(9)

上層3-SPR機構的轉動副R2i(i=1,2,3)為

(10)

根據(jù)并聯(lián)機構的幾何限制得

R1i⊥l1i(i=1,2,3)?R1i⊥(Bi-Ai),

(11)

R2i⊥l2i(i=1,2,3)?R2i⊥(Di-Ci),

(12)

代入式(11)可得

B1x=0,B2x=-qB2y,B3x=qB3y,

(13)

代入式(12)可得

(14)

則頂點Bi在坐標系{0}下為

(15)

根據(jù)頂點Bi在坐標系{0}下的坐標可以求得坐標系{0}下與{1}的變換矩陣為

(16)

(y1i+y2j+y3k)/t1,

(x1i+x2j+x3k)/t2,

z=x×y,

(17)

其中:

(18)

(19)

由于平臺1和平臺2是邊長為qe的等邊三角形,故滿足

(20)

即

(21)

根據(jù)式(19)～(21)的九個約束方程,給定末端平臺3的位姿參數(shù)X、Y、Z、α、β、γ,求解方程組,根據(jù)Bi的約束條件(13),Bi被限制在三個平面內,根據(jù)約束條件及幾何限制對約束方程組的求解值進行篩選,可求出唯一的Bi坐標,利用式(6)進而求出Ci坐標。

則整個混聯(lián)機構的逆解為

l1i=|Ai-Bi|,(i=1,2,3),

(22)

l2i=|Ci-Di|,(i=1,2,3)。

(23)

3 串并混聯(lián)機構的正運動學分析

正運動學的求解是通過給定機構的桿長求解機構末端平臺的位姿。對本文機構進行正運動學求解時,將其分為三部分,分別求出各部分的旋轉變換矩陣,整體變換矩陣即為各部分變換矩陣的乘積。正解的計算采用優(yōu)化算法求解,避免求解的不唯一。

3.1 3-RPS正運動學分析

對于下層3-RPS并聯(lián)機構,根據(jù)其幾何結構,三個轉動副均沿其同平面的三角形對邊平行方向布置,轉動副軸線與X軸的夾角分別為0°、210°、330°。假設下層機構的各個桿與平臺0的夾角為φ11、φ12、φ13,則下層3-RPS并聯(lián)機構的上平臺頂點Bi在坐標系{0}下的坐標為

(24)

下層3-RPS并聯(lián)機構的上平臺端點Bi滿足式(20)。將式(24)中的Bi坐標代入,得到三個關于夾角φ11、φ12、φ13的非線性方程,求解這三個非線性方程可以使用解析法或者優(yōu)化算法,解析法需要變量之間互相代換,將非線性方程轉換成一元高次方程,求解過程煩瑣復雜。本文采用改進的粒子群優(yōu)化算法求解三個非線性方程,求解過程簡便且能得到準確的結果。使用粒子群算法的步驟如下。

1) 根據(jù)三個方程構造出目標函數(shù)f1、f2、f3。

(25)

2) 確定適應度函數(shù)

F(φ11,φ12,φ13)=min|f12+f22+f32|。

(26)

3.2 3-SPR正運動學分析

與3-RPS類似,可以將3-RPS看成3-SPR的對稱機構,在對其進行正運動學建模過程中,類比3-RPS的建模方法得到動平臺的3-SPR的位姿矩陣。當給出上層機構的三個桿長l2i,即可計算出夾角φ2i,可以求出上層3-SPR并聯(lián)機構的位姿矩陣為

(27)

3.3 中間關節(jié)正運動學分析

3.4 串并混聯(lián)機構正運動學求解分析

正運動學總體分析過程如下:平臺0和平臺3之間的旋轉變換矩陣為三部分:下層的3-RPS;中間的旋轉關節(jié)及上層的3-SPR。三部分變換矩陣的乘積為

(28)

4 機構運動學仿真

通過具體的數(shù)值算例對所建立串并混聯(lián)機構運動學模型進行仿真驗證,驗證機構正、逆運動學模型。設定機構的參數(shù)為:e=6.25 cm;E=10.25 cm;中間旋轉關節(jié)高度H=10 cm。

4.1 逆運動學仿真驗證

給定末端平臺的位姿α=-19.059°,β=-13.001°,γ=-30.282°,X=-2.848 cm,Y=12.484 cm,Z=57.918 cm,中間關節(jié)旋轉角度θ=30°。根據(jù)本文理論分析,編寫Matlab程序,代入末端平臺位姿,計算出混聯(lián)機構的六個驅動桿桿長,見表1。

表1 3-RPS+R+3-SPR混聯(lián)機構逆解算例Table 1 Inverse solution calculation example of 3-RPS+R+3-SPR hybrid mechanism

從逆解仿真驗證的結果來看,將Matlab理論計算結果與標準值進行對比,其相對誤差均在1×10-3范圍內,驗證了位置逆解的正確性。

4.2 正運動學仿真驗證

在SolidWorks中建立混聯(lián)機構的模型,將其導入Admas中,建立虛擬樣機。添加各個關節(jié)的運動副,驗證虛擬樣機模型的正確性。對Admas中虛擬樣機添加相應的驅動,得出正解模型的仿真結果。

對于該結構正運動學的仿真驗證,其流程圖如圖3所示。在Adams中給六個驅動桿添加一定的驅動函數(shù)以及中間旋轉關節(jié)的驅動角度,可以通過仿真得到末端平臺的位姿曲線。將驅動函數(shù)導出為樣條函數(shù),并作為理論計算的輸入值,通過優(yōu)化算法得到末端平臺位姿曲線,將兩種曲線對照,如圖4所示。從圖4中看出,一段時間內,機構桿長的變化導致末端平臺中心點位姿的變化,圖4(a)～(c)分別是X、Y、Z軸方向上的移動,圖4(d)～(f)是分別繞X、Y、Z軸的旋轉角度變化。理論計算與仿真測量的曲線是吻合的,說明位置正解的正確性。機構在Z方向上的移動可以實現(xiàn)伸縮運動,繞X、Y、Z軸的旋轉,X、Y、Z軸方向上的移動可以實現(xiàn)蜿蜒運動。

圖3 正運動學仿真驗證流程圖Figure 3 Flow chart of forward kinematics simulation verification

圖4 末端平臺位姿變化曲線Figure 4 The end platform pose change

對于本文結構的伸縮蠕動功能的仿真驗證,其過程與蜿蜒運動類似,區(qū)別在于給出不同的驅動函數(shù),使驅動桿伸長收縮來完成伸縮蠕動功能。平臺0作為定平臺,驅動桿通過伸長或收縮可實現(xiàn)平臺1、2、3向前移動,在到達伸長狀態(tài)后,末端平臺固定,驅動桿使平臺0、1、2向前收縮,完成蠕動。圖5給出結構作為機器人主體幫助機器人實現(xiàn)蠕動功能的實例。

圖5 蠕動步態(tài)實例Figure 5 Diagram of peristaltic gait

綜上,本文機構可以實現(xiàn)多種運動方式,具有多運動模態(tài)功能,可以應用到工業(yè)、軍事等特殊的場合。

5 結論

本文提出了一種新型3-RPS+R+3-SPR串并混聯(lián)機構,該機構兼具串聯(lián)和并聯(lián)的優(yōu)點,可實現(xiàn)蜿蜒、伸縮蠕動等功能。根據(jù)機構幾何約束方程,建立了逆運動學模型,給出了該構型逆解的分析過程及具體數(shù)值算例。對于其正運動學正解,將整個機構分開進行分析,使得求解問題更有序,使用優(yōu)化算法求解,避免了正解求解的復雜性和不唯一。最后,將利用Admas仿真測量與Matlab計算的理論模型得到的結果進行對比分析,驗證了正運動學模型建立的正確性,結論表明該結構可以實現(xiàn)多種運動模態(tài)。