用玻爾理論計(jì)算氫原子、類氫離子和奇異原子的軌道半徑及能級

摘" 要：本文通過分析三道高中物理競賽試題，應(yīng)用玻爾理論計(jì)算氫原子、類氫離子和奇異原子的軌道半徑及相應(yīng)的能級。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，氫原子、類氫離子和奇異原子的軌道半徑只與做圓周運(yùn)動(dòng)的粒子自身質(zhì)量有關(guān)，與系統(tǒng)的約化質(zhì)量無關(guān)，在需要視為兩體問題的原子體系（如奇異原子等）中，其能級和里德伯常量與系統(tǒng)的約化質(zhì)量有關(guān)。

關(guān)鍵詞：玻爾理論；類氫離子；奇異原子；軌道半徑；能級

1" 玻爾氫原子理論

1913年丹麥物理學(xué)家玻爾（Niels Bohr）創(chuàng)造性地將普朗克、愛因斯坦的光量子理論。應(yīng)用于盧瑟福的原子核式結(jié)構(gòu)模型，發(fā)展了氫原子理論，這一理論解釋了近30年的光譜之謎，并首次計(jì)算出了里德伯常量R，同時(shí)解釋并預(yù)言了氦離子光譜。玻爾成功地揭示了原子具有不連續(xù)的內(nèi)部能量狀態(tài)，原子物理學(xué)從此開啟了新的篇章。玻爾的氫原子理論（簡稱玻爾理論）包括以下三個(gè)方面的內(nèi)容。

1.1" 軌道量子化與定態(tài)

玻爾認(rèn)為，氫原子中的一個(gè)電子繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)（經(jīng)典軌道）。電子只能處于一些分立的軌道上，只能在這些軌道上繞核轉(zhuǎn)動(dòng)，且不產(chǎn)生電磁輻射（定態(tài)條件）。［1］

1.2" 頻率條件

玻爾假定當(dāng)電子從一個(gè)定態(tài)軌道躍遷到另一個(gè)定態(tài)軌道時(shí)，會(huì)以電磁波的形式放出（或吸收）光子能量hν，其值由能級差決定hν＝Em－En。這就是玻爾提出的頻率條件，又稱輻射條件。玻爾在此把普朗克常量引入了原子領(lǐng)域。［2］

1.3" 角動(dòng)量量子化

玻爾提出的關(guān)于原子的量子規(guī)律同經(jīng)典物理的規(guī)律差別很大。實(shí)際上，玻爾是依照對應(yīng)原理的想法推導(dǎo)出來的，即

把微觀范圍內(nèi)的規(guī)律延伸到經(jīng)典范圍時(shí)，得到的數(shù)值結(jié)果應(yīng)當(dāng)與經(jīng)典規(guī)律所得到的相一致。［3］于是玻爾得出結(jié)論：電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑不是任意的，只有電子的軌道角動(dòng)量滿足

mevnrn＝nh2π（n＝1，2，3，…）的軌道才是可能的，其中n是正整數(shù)，稱為軌道量子數(shù)。

原子由原子核和核外電子構(gòu)成。根據(jù)玻爾理論，穩(wěn)定狀態(tài)下（這種狀態(tài)叫定態(tài)）的原子中，電子和原子核在庫侖力作用下繞它們的質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng)。原子內(nèi)部核的動(dòng)能、電子的動(dòng)能、核與電子間的相互作用勢能三部分之和是原子具有的能量。由于原子中的電子處在不同的軌道上，與之對應(yīng)的原子的能量只能取分隔的數(shù)值，這些分隔的能量值稱為原子的能級。理論與實(shí)驗(yàn)證明，玻爾理論是微觀領(lǐng)域中的一個(gè)重要的普遍規(guī)律。按照玻爾理論提供的這幅簡單的原子結(jié)構(gòu)圖，我們可以計(jì)算氫原子、類氫原子和奇異原子的軌道半徑和能級。

2" 氫原子的軌道半徑及其對應(yīng)的能級

根據(jù)玻爾理論，由于氫原子核的質(zhì)量比核外電子質(zhì)量大很多（mp＝1836me），它們之間的相對運(yùn)動(dòng)可以近似地看作電子繞原子核的圓周運(yùn)動(dòng)（見圖1）。

由原子核對電子的庫侖力提供向心力有

ke2rn2＝mevn2rn ，①

由體系的角動(dòng)量量子化條件有

mevnrn＝nh2π（n＝1，2，3，…）， ②

由①和②兩式得，電子可能的軌道半徑為

rn＝n2h24π2kmee2（n ＝1，2，3，…）， ③

取n＝1時(shí)，由③式得氫原子中電子的最小軌道半徑（第一玻爾半徑）為

r1＝h24π2kmee2≈5.29×10－11 m，④

氫原子中電子可能的軌道半徑rn與r1的關(guān)系為

rn＝n2r1。⑤

氫原子的能量由電子的動(dòng)能和體系的勢能構(gòu)成。取r＝∞時(shí)的勢能為零，由庫侖力可求出體系的勢能為

Ep＝－ke2rn，⑥

那么氫原子的能量為

En＝12mevn2－ke2rn，⑦

由①和⑦兩式得

En＝ke22rn－ke2rn＝－ke22rn，⑧

將③式代入⑧式得

En＝－2π2mek2e4n2h2（n＝1，2，3，…），⑨

取n＝1時(shí)，由⑨式得氫原子的基態(tài)能量為

E1＝－2π2mek2e4h2＝－13.6eV，電子在軌道半徑rn上時(shí)的氫原子能量En與E1的關(guān)系為

En＝E1n2（n＝1，2，3，…）。⑩

由玻爾理論可知，電子從軌道m(xù)躍遷到軌道n時(shí)釋放（或吸收）光子能量，相應(yīng)的光子波長為λ。由頻率條件可得

hcλ＝Em－En＝E11m2－1n2＝

2π2mek2e4h2·1n2－1m2，B11

相應(yīng)的波數(shù)σ可表示為

σ＝1λ＝2π2mek2e4ch31n2－1m2，結(jié)合里德伯方程 1λ＝RH1n2－1m2可得里德伯常量RH為

RH＝2π2mek2e4ch3。B12

3" 類氫離子的軌道半徑及其對應(yīng)的能級

類氫離子是指原子核外只有一個(gè)電子的離子。［4］原子核帶有Zgt;1的正電荷，Z不同則代表不同的類氫體系，這些離子都具有類似氫原子的結(jié)構(gòu)。常見的類氫離子有He＋ 、Li2＋、Be3＋等。由于類氫離子的原子核的質(zhì)量比核外電子質(zhì)量大得多，根據(jù)玻爾理論，它們之間的相對運(yùn)動(dòng)依然可以近似地看作電子繞原子核的圓周運(yùn)動(dòng)。因此在處理類氫離子相關(guān)問題時(shí)，可以采用與氫原子相同的推導(dǎo)過程，只需把氫原子的軌道半徑和能級公式中出現(xiàn)e2處換成Ze

2，即可得到類氫離子的軌道半徑及其對應(yīng)能級的能量。

例1" （第40屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第1題）氫原子中基態(tài)電子的結(jié)合能EH與氦離子（He＋）中基態(tài)電子的結(jié)合能EHe＋的比值最接近于（" ）。

A. 1B. 12 C. 13D. 14

解析：氦離子（He＋）為核電荷數(shù)Z＝2的類氫離子。進(jìn)行與氫原子的軌道半徑和能級能量相同的推導(dǎo)過程，可得類氫離子電子可能的軌道半徑為

rn＝n2h24π2kmeZe2 （n＝1，2，3，…），B13

取r＝∞時(shí)的勢能為零，類氫離子的能量為

En＝－2π2mek2Z2e4n2h2（n＝1，2，3，…），B14

取n＝1時(shí)，由B14式得類氫離子的基態(tài)能量為

E1＝－2π2mek2Z2e4h2＝－13.6Z2 eV，B15

在軌道半徑rn上時(shí)，類氫離子的能量En與E1的關(guān)系為

En＝E1n2＝－13.6Z2n2 （n＝1，2，3，…），B16

氫原子中基態(tài)電子的結(jié)合能EH為

EH＝0－－2π2mek2e4h2＝13.6eV，氦離子（He＋）中基態(tài)電子的結(jié)合能為

EHe＋＝0－－2π2mek2Z2e4h2＝13.6×Z2eV，所以

EHEHe＋＝1Z2＝14，故本題答案選D。

小結(jié)：類氫離子具有類似氫原子的結(jié)構(gòu)。根據(jù)玻爾理論可得，類氫離子的軌道半徑為rn＝n2h24π2kmeZe2

（n＝1，2，3，…）；對應(yīng)能級的能量為En＝－2π2mek2Z2e4n2h2 （n＝1，2，3，…） 。

4" 奇異原子的軌道半徑及其對應(yīng)的能級

普通原子是由質(zhì)子、中子和電子組成。如果原子核外的一個(gè)電子被其他帶負(fù)電荷的粒子（如μ－、π－等）代替，或者原子核內(nèi)的質(zhì)子被其他帶正電荷的粒子（如e＋、μ＋、π＋等）代替，那么所組成的原子就稱為奇異原子。［5］由于這些粒子的質(zhì)量不同于電子或質(zhì)子的質(zhì)量，奇異原子和氫原子（或類氫離子）相比較，其軌道半徑、能級能量等可能不同，但是仍然可用玻爾理論來處理奇異原子的相關(guān)問題。

4.1" 電子偶素（Ps）的軌道半徑及其對應(yīng)的能級

電子偶素（Ps）是由一個(gè)電子和一個(gè)正電子形成的類似氫原子的束縛體系。正、負(fù)電子質(zhì)量相等，電性相反。按照玻爾理論，正、負(fù)電子以它們間的庫侖力提供向心力，繞它們的質(zhì)心做角速度相等的圓周運(yùn)動(dòng)（見圖2）。這個(gè)體系的運(yùn)動(dòng)模型可類比天體運(yùn)動(dòng)中的雙星模型。電子偶素的軌道半徑即為正、負(fù)電子到它們質(zhì)心的距離；電子偶素的能量由正、負(fù)電子的動(dòng)能和體系的勢能構(gòu)成。

例2" （第38屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第3題）氫原子的基態(tài)能量為－13.6eV。由一個(gè)電子和一個(gè)正電子結(jié)合成的束縛態(tài)（即所謂電子偶素）的基態(tài)能量近似為（" ）。

A. －1.2eV

B. －3.4eV

C. －6.8eV

D. －27.2eV

解析：設(shè)正、負(fù)電子的質(zhì)量為me，正、負(fù)電子繞其質(zhì)心O做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r1n和r2n，角速度為ωn。由它們之間的庫侖力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有

ke2（r1n＋r2n）2＝mer1nω2n＝mer2nω2n，B17

由體系的角動(dòng)量量子化條件有

mer21nωn＋mer22nωn＝nh2π（n＝1，2，3，…），B18

由B17和B18兩式得

r1n＝r2n＝rn＝n2h24π2kmee2（n＝1，2，3，…），B19

對比③和B19式可知，對于相同的量子數(shù)n，電子偶素的軌道半徑與氫原子的軌道半徑相同。

取r＝∞時(shí)的勢能為零，由庫侖力可求出體系的勢能為

Ep＝－ke22rn，B20

電子偶素的能量為

En＝12me（rnωn）2×2－ke22rn，B21

由B17B19和B21式可得

En＝ke24rn－ke22rn＝－ke24rn，B22

對比⑧和B22式可知，對于相同的量子數(shù)n，電子偶素的能量為氫原子的能量的一半，即EPs（n）＝EH（n）2；取n＝1時(shí)，由B22式得電子偶素的基態(tài)能量為

E1＝－13.62eV＝－6.8eV，故本題答案選C。

小結(jié)：電子偶素的軌道半徑為 r1n＝r2n＝n2·h24π2kmee2（n＝1，2，3，…）。在軌道量子數(shù)n一定的情況下，電子偶素的軌道半徑與做圓周運(yùn)動(dòng)的正、負(fù)電子質(zhì)量me有關(guān)，即與氫原子中的電子具有相同的軌道半徑；而電子偶素的能量只有氫原子能量的一半。

4.2" μ子—?dú)湓拥能壍腊霃郊捌鋵?yīng)的能級

例3" （第39屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第9題）將氫原子的核外電子代之以μ子，便形成所謂μ子—?dú)湓?。μ子的質(zhì)量可取為電子質(zhì)量的207倍，其電量與電子相同。已知質(zhì)子質(zhì)量是電子質(zhì)量的1836倍。μ子—?dú)湓雍蜌湓拥睦锏虏?shù)之比為""" ∶""" ；μ子—?dú)湓雍蜌湓拥牡?激發(fā)態(tài)的電離能之比為""" ∶""" 。

解析：對于μ子—?dú)湓樱蛸|(zhì)子質(zhì)量未遠(yuǎn)大于

μ

子質(zhì)量，當(dāng)μ

子繞核運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)玻爾理論，質(zhì)子不能視為固定不動(dòng)，而應(yīng)做如圖3所示的圍繞它們質(zhì)心的圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)質(zhì)子和μ子與質(zhì)心的距離分別為Rn和rn ，角速度為ωn 。由它們之間的庫侖力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有

ke2（Rn＋rn）2＝mpRnω2n＝mμrnω2n，B23

即

Rn＝mμmprn，B24

由體系的角動(dòng)量量子化條件有

mpR2nωn＋mμr2nωn＝nh2π

（n＝1，2，3，…）

，B25

由B23B24和B25三式得，質(zhì)子和μ子的軌道半徑Rn和rn 分別為

Rn＝n2h24π2kmpe2，B26

rn＝n2h24π2kmμe2，B27

由B26和B27兩式可知，質(zhì)子和μ子的軌道半徑Rn和rn 只與它們本身的質(zhì)量mp和mμ有關(guān)。

μ子—?dú)湓拥哪芰坑少|(zhì)子、μ子的動(dòng)能和體系的勢能構(gòu)成。取r＝∞時(shí)的勢能為零，則μ子—?dú)湓拥哪芰繛?/p>

En＝12mμ（rnωn）2＋12mp（Rnωn）2－ke2（rn＋Rn），B28

由B23B26B27和B28式可得

En＝－2π2mrk2e4n2h2（n＝1，2，3，…），B29

其中mr＝mμmpmp＋mμ為μ子—?dú)湓酉到y(tǒng)的約化質(zhì)量。

取n＝1時(shí)，可得μ子—?dú)湓拥幕鶓B(tài)能量為

E1＝－2π2mrk2e4h2，B30

μ子在軌道半徑rn上，相應(yīng)的μ子—?dú)湓幽芰縀n與E1的關(guān)系為

En＝E1n2 （n＝1，2，3，…）。B31

μ子從軌道m(xù)躍遷到軌道n時(shí)釋放（或吸收）光子能量，相應(yīng)的光子波長為λ。由頻率條件可得

hcλ＝Em－En＝E11m2－1n2＝2π2mrk2e4h2·1n2－1m2，B32

相應(yīng)波數(shù)σ可表示為

σ＝1λ＝2π2mrk2e4ch31n2－1m2，結(jié)合里德伯方程

可得μ子—?dú)湓拥睦锏虏Ａ縍μ-H為

Rμ-H＝2π2mrk2e4ch3，B33

所以，μ子—?dú)湓雍蜌湓拥睦锏虏Ａ恐葹?/p>

Rμ-H∶RH＝mrme＝mpmμmp＋mμ·1me＝380052∶2043。

取n＝3時(shí)，由B29式得μ子—?dú)湓拥牡?激發(fā)態(tài)能量為

Eμ-H（3）＝－2π2mrk2e432h2，取n＝3時(shí)，由⑨式得氫原子的第2激發(fā)態(tài)能量為

E3＝－2π2mek2e432h2，取r＝∞時(shí)的勢能為零，μ子—?dú)湓雍蜌湓拥牡?激發(fā)態(tài)的電離能之比為

（0－Eμ-H（3））∶（0－E3）＝mr∶me＝380052∶2043。

小結(jié)：對于μ子—?dú)湓樱谲壍懒孔訑?shù)n一定的情況下，氫核和μ子的軌道半徑 Rn和rn只依賴于它們本身的質(zhì)量mp和mμ ，與它們的約化質(zhì)量無關(guān)。但相應(yīng)的能級能量和里德伯常量與它們的約化質(zhì)量有關(guān)。

實(shí)際上，奇異原子可視為兩體問題的原子體系，也可應(yīng)用將兩體問題簡化為單體問題的方法。將兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在相互作用下的運(yùn)動(dòng)簡化為質(zhì)點(diǎn)1相對于質(zhì)點(diǎn)2的運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)和一個(gè)質(zhì)量為約化質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在一慣性系中受同樣的力作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)一樣，這一慣性系的原點(diǎn)應(yīng)取在質(zhì)點(diǎn)2上。［6］這樣就將兩體問題的原子體系簡化為了類氫離子模型，只需用體系的約化質(zhì)量mr 代替類氫離子中電子質(zhì)量me，便可得到體系的動(dòng)量和能量的表達(dá)式。

5" 小結(jié)

玻爾理論是在原子核式結(jié)構(gòu)模型的基礎(chǔ)上提出的一個(gè)動(dòng)態(tài)原子結(jié)構(gòu)理論。該理論指出了經(jīng)典物理的規(guī)律不能完全適用于原子內(nèi)部，從而提出了微觀體系特有的量子規(guī)律，并提供了一幅簡單的原子結(jié)構(gòu)圖。結(jié)合對上述幾道競賽試題的分析，可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)用玻爾理論處理氫原子、類氫離子和奇異原子的軌道半徑及能級能量有以下結(jié)論。

首先，類氫離子和奇異原子的軌道半徑rn只與做圓周運(yùn)動(dòng)的粒子自身的質(zhì)量有關(guān)，而與系統(tǒng)的約化質(zhì)量無關(guān)。這表明對于所有氫的同位素及電子偶素，在軌道量子數(shù)n一定時(shí)，相應(yīng)的軌道半徑是相同的。進(jìn)一步還可得出，對所有類氫離子的同位素（核電荷數(shù)Z相同），在軌道量子數(shù)n一定時(shí)，相應(yīng)的軌道半徑也是相同的。

其次，對于可視為兩體問題的原子體系，其能級能量和里德伯常量與系統(tǒng)的約化質(zhì)量有關(guān)。在計(jì)算如電子偶素、μ子—?dú)湓拥仍芋w系的能級能量和里德伯常量時(shí)，也可將問題簡化為電子、μ子繞核運(yùn)動(dòng)的單體問題，其運(yùn)動(dòng)模型就轉(zhuǎn)化為了類氫離子模型。用原子體系的約化質(zhì)量mr 代替類氫離子的能級能量和里德伯常量表達(dá)式中的電子質(zhì)量me，便可得到兩體問題的原子體系的能級能量和里德伯常量。

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