在生活情境中“創(chuàng)造”概念，在圖形表征中深化本質(zhì)

摘 要：教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）》單元的第一課時(shí)，利用教材例1創(chuàng)設(shè)的學(xué)生熟悉的“野餐時(shí)分食品”的生活情境，從結(jié)果能用整數(shù)表示到結(jié)果不能用整數(shù)表示，引發(fā)用分?jǐn)?shù)表示的需要，然后引入“分食品”的實(shí)物操作，引導(dǎo)學(xué)生“創(chuàng)造”分?jǐn)?shù)概念，理解分?jǐn)?shù)表示的結(jié)構(gòu)意義；再利用圖形表征，從直接的到間接的，從面積到長度，從連續(xù)的到離散的，設(shè)計(jì)豐富的外延變式，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用辨析幾分之一的概念，深化認(rèn)識其內(nèi)涵本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；生活情境；圖形表征；分?jǐn)?shù)概念

*本文系江蘇省基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目“小學(xué)數(shù)學(xué)個(gè)性化教學(xué)的實(shí)踐研究”（編號：2022JSQZ0126）的階段性研究成果。

一、教前思考

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第七單元《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）》，是分?jǐn)?shù)知識的起始單元。第一課時(shí)主要教學(xué)例1和例2：認(rèn)識一個(gè)物體的幾分之一，比較兩個(gè)幾分之一的大小。從自然數(shù)到（正）分?jǐn)?shù)，是數(shù)系的第一次擴(kuò)充。在自然數(shù)概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念，對學(xué)生來說具有一定的挑戰(zhàn)性。

數(shù)學(xué)來源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，尤其需要借助生活情境，調(diào)動(dòng)具體（實(shí)踐）經(jīng)驗(yàn)，理解抽象（理論）知識。同時(shí)，根據(jù)布魯納的兒童認(rèn)知發(fā)展階段論，也需要經(jīng)歷從動(dòng)作表征（實(shí)物操作，常常和生活情境相聯(lián)系）到形象表征（圖形觀察）再到符號表征（形式化的思考，用來形成抽象知識）的過程，特別需要充分利用具有半具體、半抽象特點(diǎn)的形象表征，作為具體和抽象的中介，實(shí)現(xiàn)從動(dòng)作表征到符號表征的過渡^［1］——形象表征相比于動(dòng)作表征，還具有便捷、高效的特點(diǎn)，更適合環(huán)境相對封閉、資源相對有限的課堂教學(xué)。此外，抽象的數(shù)學(xué)概念具有外延廣泛、內(nèi)涵明確的特點(diǎn)。學(xué)習(xí)時(shí)，還需要借助豐富的外延變式，通過應(yīng)用辨析，把握內(nèi)涵本質(zhì)。

據(jù)此，教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）》第一課時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)環(huán)節(jié)：在生活情境中“創(chuàng)造”概念、在圖形表征中深化本質(zhì)。第一個(gè)環(huán)節(jié)，利用教材例1創(chuàng)設(shè)的學(xué)生熟悉的“野餐時(shí)分食品”的生活情境，從結(jié)果能用整數(shù)表示到結(jié)果不能用整數(shù)表示，引發(fā)用分?jǐn)?shù)表示的需要，然后引入“分食品”的實(shí)物操作，引導(dǎo)學(xué)生“創(chuàng)造”分?jǐn)?shù)概念（充分體驗(yàn)分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生過程），理解分?jǐn)?shù)表示的結(jié)構(gòu)意義，掌握幾分之一的讀寫方法，學(xué)會比較幾分之一的大小。第二個(gè)環(huán)節(jié)，利用圖形表征，從直接的到間接的，從面積到長度，從連續(xù)的到離散的，設(shè)計(jì)豐富的外延變式，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用辨析幾分之一的概念，深化認(rèn)識其內(nèi)涵本質(zhì)。

二、教學(xué)過程

（一）在生活情境中“創(chuàng)造”概念

1.創(chuàng)設(shè)生活情境，引發(fā)用分?jǐn)?shù)表示的需要

師 同學(xué)們，通過前兩年的學(xué)習(xí)，我們初步認(rèn)識了自然數(shù)，知道自然數(shù)在生活中很有用，可以表示很多事物的數(shù)量。（出示教材例1的情境圖）

兩個(gè)小朋友去野餐，他們帶了這樣一些食品。把每種食品平均分成2份，每人分得多少？

生 把4個(gè)蘋果平均分成2份，每人分得2個(gè)。

生 把2瓶礦泉水平均分成2份，每人分得1瓶。

生 把1個(gè)蛋糕平均分成2份，每人分得半個(gè)。

師 2和1都是整數(shù)；半不僅不是整數(shù)，而且不是數(shù)。顯然，把1個(gè)蛋糕平均分成2份，結(jié)果不能用整數(shù)表示，那么，結(jié)果能用其他的數(shù)表示嗎？或者說，我們能創(chuàng)造出其他的數(shù)，來表示這一結(jié)果嗎？

生 （搶答）

二分之一個(gè)。

師 二分之一？怎么寫？

（學(xué)生板書：?。）

師 它是一個(gè)數(shù)嗎？是什么數(shù)？

生 分?jǐn)?shù)。

師 你真厲害！你是怎么得到這個(gè)數(shù)的？

生 書上看到的。

師 那你知不知道分?jǐn)?shù)是怎樣創(chuàng)造出來的？

（學(xué)生遲疑。）

利用“野餐時(shí)分食品”的生活情境，從結(jié)果能用整數(shù)表示到結(jié)果不能用整數(shù)表示，引發(fā)用分?jǐn)?shù)表示的需要。這其實(shí)是對數(shù)學(xué)史的重構(gòu)，符合分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的歷史過程，有助于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義和價(jià)值。對于用分?jǐn)?shù)表示半個(gè)蛋糕，學(xué)生的表現(xiàn)很“真實(shí)”：知道二分之一的讀法和寫法，不太清楚分?jǐn)?shù)是怎么創(chuàng)造出來的，歸根到底即不太清楚分?jǐn)?shù)表示的結(jié)構(gòu)意義。

2.組織實(shí)物操作，理解分?jǐn)?shù)表示的結(jié)構(gòu)意義

師 老師問得再具體一點(diǎn)：二分之一表示什么意思？

生 把一個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一。

師 很好！下面，我們實(shí)物操作一下，充分體驗(yàn)分蛋糕的過程，理解二分之一的含義。課前，各個(gè)小組的組長給每位組員發(fā)了兩個(gè)小蛋糕和一把塑料刀?，F(xiàn)在，請你拿出一個(gè)蛋糕放在盤子里，用塑料刀分一分，并向同桌指出它的二分之一。

（學(xué)生活動(dòng)。）

師 你是怎么分的？二分之一在哪里？

生 這是一個(gè)長方形蛋糕，我先用尺子測量它的長度，再從中間的位置用刀將它切成2份。這樣，每份都是2份中的1份，都是它的二分之一。

師 很好！理解了二分之一的含義，你能理解二分之一寫成“?”的道理嗎？下面的“2”表示什么？上面的“1”呢？中間的這條線又是什么意思？

生 從分蛋糕的過程看，中間的這條線表示平均分，下面的“2”表示分的份數(shù)，上面的“1”表示所指的對象是其中的1份。

師 表達(dá)得真準(zhǔn)確！實(shí)際上，下面的“2”叫作分母，上面的“1”叫作分子，中間的這條線叫作分?jǐn)?shù)線，它們合起來就是分?jǐn)?shù)。可見，二分之一這么寫非常有道理，分?jǐn)?shù)這樣創(chuàng)造出來也很合理。（稍停）

同樣的道理，如果把一個(gè)蛋糕平均分成4份，每份是它的幾分之幾呢？

生 四分之一。

師 很好！請同學(xué)們再拿出一個(gè)蛋糕放在盤子里，用塑料刀分一分，并向同桌指出它的四分之一。

（學(xué)生活動(dòng)。）

師 很好！你理解了分?jǐn)?shù)的意義。同樣的道理，四分之一該怎么寫呢？

生 寫成“?”。中間的這條線是分?jǐn)?shù)線，表示平均分；下面的“4”是分母，表示分的份數(shù)；上面的“1”是分子，表示所指的對象是其中的1份。

師 很好！你掌握了分?jǐn)?shù)的寫法。繼續(xù)思考：如果把這個(gè)蛋糕平均分成3份，每份是它的幾分之幾？平均分成5份、6份、7份……呢？你能用一句話來概括嗎？

生 把一個(gè)蛋糕——

師 只能是蛋糕嗎？

生 哦！把一個(gè)物體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

師 非常好！由分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程，很容易理解分?jǐn)?shù)的意義，也不難理解分?jǐn)?shù)的讀寫包含自然數(shù)成分的道理。

引入“分蛋糕”的實(shí)物操作，讓學(xué)生“創(chuàng)造”分?jǐn)?shù)概念（充分體驗(yàn)分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生過程），理解分?jǐn)?shù)表示的結(jié)構(gòu)意義：由表示平均分的分?jǐn)?shù)線、表示分的份數(shù)的分母和表示指的份數(shù)的分子組成。從而在充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，幫助學(xué)生真正掌握幾分之一的讀寫方法。

3.利用實(shí)物操作的結(jié)果，學(xué)會比較幾分之一的大小

師 認(rèn)識了幾分之一，能比較一下它們的大小嗎？比如：?和?哪個(gè)大？為什么？

生 ?大。我是看出來的：?個(gè)蛋糕明顯比?個(gè)蛋糕大。

師 很好！學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開直觀感受。我們還可以進(jìn)一步感受一下：分別吃下?個(gè)蛋糕和?個(gè)蛋糕。

（學(xué)生吃蛋糕。）

生 一口吃下?個(gè)蛋糕噎得慌，一口吃下?個(gè)蛋糕比較容易，說明?比?大。

師 很好！不過，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能只憑感覺，還要講道理。感受過后，你能講講道理，說明?比?大嗎？

生 同樣的蛋糕，分的份數(shù)越多，每份就越??；分的份數(shù)越少，每份就越大。

師 真了不起！你發(fā)現(xiàn)了重要的結(jié)論：在分子相同的情況下，分母越大，分?jǐn)?shù)越?。环帜冈叫?，分?jǐn)?shù)越大。

生 我還發(fā)現(xiàn)，?有2個(gè)?大。

師 從分蛋糕的過程可以看出，?和?有這樣特殊的關(guān)系。那么，?和?、?呢？

生 ?比?大，?比?大，但它們之間沒有幾倍的特殊關(guān)系。

師 是的。之前的結(jié)論還是有用的，而它們之間的倍數(shù)關(guān)系不能用整數(shù)來表示——至于用什么表示，后面我們會學(xué)到的。

在理解分?jǐn)?shù)表示的結(jié)構(gòu)意義，掌握幾分之一的讀寫方法的基礎(chǔ)上，利用“分蛋糕”實(shí)物操作的結(jié)果，讓學(xué)生比較幾分之一的大小。由此，學(xué)生不僅能通過觀察得到結(jié)論，而且能通過品嘗加強(qiáng)體驗(yàn)（增加趣味）。同時(shí)，實(shí)物操作的結(jié)果也有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)大小關(guān)系背后的道理——一般的規(guī)律。

（二）在圖形表征中深化本質(zhì)

1.直接的圖形表征：從面積到長度

師 通過分蛋糕的過程，我們知道了：把一個(gè)物體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一?，F(xiàn)在，把“物體”從蛋糕變成我們學(xué)過的幾何圖形。（出示長方形、正方形、三角形、圓各一個(gè)）

你能分別找到這些圖形的?嗎？請涂色表示出來。

（學(xué)生活動(dòng)。教師巡視。）

師 （出示學(xué)生作品，如圖1所示）

涂色部分的形狀、大小都不一樣，為什么都是相應(yīng)圖形的?？

生 因?yàn)橥可糠侄际菍⑾鄳?yīng)的圖形平均分成2份后其中的1份。

師 （出示一個(gè)正方形）

你能找到它的?嗎？請涂色表示出來。

（學(xué)生活動(dòng)。教師巡視。）

師 （出示學(xué)生作品，如圖2所示）

涂色部分的形狀不一樣，為什么都是正方形的?？

生 因?yàn)槎际菍⑦@個(gè)正方形平均分成4份后其中的1份。

師 很好！你們都抓住了幾分之一的本質(zhì)：不管什么形狀，只要將它平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。（出示圖3）

因此，還可以這樣得到這個(gè)正方形的?。

師 （出示圖4）

三個(gè)一樣的長方形，估一估：每個(gè)長方形中的涂色部分分別是長方形幾分之一？

生 分別是?、?和?。

師 這樣的長方形很瘦長，像紙條，平均分時(shí)只需要關(guān)注長，不需要關(guān)注寬。干脆把它們移到一條直線上，讓它們兩端對齊。（出示下頁圖5）

還記得數(shù)軸嗎？在一條直線上，原本是一條線段（長度）表示一個(gè)數(shù)，后來我們找到一個(gè)點(diǎn)（位置），假設(shè)它表示0，從而在它的一邊，到它距離（與它之間線段長）為1、2、3……的點(diǎn)分別表示1、2、3……這里，我們可以讓三個(gè)長方形完全重合，找到重合后圖形的一端，假設(shè)它表示0，像圖中這樣，那么，圖形的另一端可以表示什么？三個(gè)涂色部分的另一端分別可以表示什么？

圖5

生 圖形的另一端可以表示1，也就是一個(gè)長方形的長；三個(gè)涂色部分的另一端分別可以表示?、?、?，也就是?、?、?個(gè)長方形的長。

師 很好！可見，數(shù)軸上不僅有整數(shù)，還有分?jǐn)?shù)。以此類推，表示?、?、?、?……的點(diǎn)在哪里？這些點(diǎn)有什么特點(diǎn)和趨勢？

生 這些點(diǎn)都比1小，而且越來越接近0。

師 能到達(dá)0嗎？

生 到達(dá)不了。

師 它們越來越小，不難理解：分子相同時(shí)，分母越大，分?jǐn)?shù)越小。那么，為什么比1小，為什么到不了0？

生 因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)是把一個(gè)物體平均分成幾份，如果原來的物體是1，那么分后的物體肯定比1?。欢也徽摲殖蓭追?，都不可能沒有大小，也就不可能為0。

師 很好！分?jǐn)?shù)不僅是由整數(shù)不夠分得到的，而且可以和整數(shù)建立大小關(guān)系。抓住了幾分之一的本質(zhì)，不管是用圖形的面積、長度，還是有關(guān)的位置來表示，就都不是問題了。

直接出示圖形，讓學(xué)生找到、判斷它的幾分之一。從面積到長度，讓學(xué)生在變式應(yīng)用中把握分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)。自然地與數(shù)軸建立聯(lián)系，強(qiáng)化整數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，孕伏整數(shù)與分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系。

2.間接的圖形表征：從連續(xù)的到離散的

師 回到現(xiàn)實(shí)生活，再看看哪些“物體”中有分?jǐn)?shù)。（出示法國國旗圖片）

這是什么？有分?jǐn)?shù)嗎？

生 法國國旗，它的每一個(gè)色塊是它的?。

（教師出示一塊分成8格的巧克力圖片。）

生 巧克力，它的每一個(gè)小塊是它的?。

生 還有：它的兩個(gè)小塊是它的?，它的四個(gè)小塊是它的?。

師 很好！一塊巧克力讓我們想到了這么多分?jǐn)?shù)，接下來就獎(jiǎng)勵(lì)同學(xué)們“吃”巧克力。（出示圖6）

雖然三人吃的巧克力塊數(shù)不同，但是都吃了總數(shù)的幾分之幾？

生 ?。

師 注意，這里分的不是一個(gè)物體，而是多個(gè)物體組成的一個(gè)整體。同學(xué)們很自然地就類比得到了正確結(jié)果，很厲害！對于這種情況，下學(xué)期我們會進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

回到現(xiàn)實(shí)生活，但是不再提供實(shí)物，而是出示表示實(shí)物的圖形，也即間接出示圖形，讓學(xué)生找到、判斷它的幾分之一。從連續(xù)的一個(gè)物體到離散的多個(gè)物體，讓學(xué)生在更多的變式應(yīng)用中進(jìn)一步把握分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)?！半x散的多個(gè)物體”的幾分之一拓展了分?jǐn)?shù)的概念，為后續(xù)教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）》埋下伏筆。

參考文獻(xiàn)：

［1］俞宏毓，朱向陽，許曉娟.布魯納兒童認(rèn)知發(fā)展階段論指導(dǎo)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2024（2）：43.