一類行列式的計(jì)算方法

黃成興 王志敏

摘?要：線性代數(shù)作為高等學(xué)校理工類、經(jīng)管類等各專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)必修課，是一門非常重要的大學(xué)數(shù)學(xué)課程，在培養(yǎng)高素質(zhì)人才中越來越顯示出其獨(dú)特的、不可替代的重要作用。行列式是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容，它是線性代數(shù)中的最基本問題，廣泛應(yīng)用于許多實(shí)際問題的解決，行列式的計(jì)算為解決問題提供了工具。而抽象行列式的計(jì)算卻較為困難，如何利用行列式的定理和性質(zhì)巧妙地計(jì)算行列式顯得尤為重要，文章將針對一類抽象行列式進(jìn)行分析，結(jié)合行列式的定理和性質(zhì)給出相應(yīng)的計(jì)算方法，為廣大師生學(xué)習(xí)此類行列式的計(jì)算提供方法指導(dǎo)，從而提高解題效率。

關(guān)鍵詞：行列式；計(jì)算方法；線性代數(shù)

行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容，利用行列式的定義、性質(zhì)和展開定理可以對行列式進(jìn)行化簡，從而求出它的值。含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類行列式比較抽象，形如xA+yA-1，需要用行列式相關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后再求解行列式的值，文章提出兩種解題策略，第一種將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1，在利用伴隨矩陣性質(zhì)求解；第二種將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA，在利用可逆矩陣的性質(zhì)求解。

一、A與A-1互化的相關(guān)定理

（一）定理1

設(shè)矩陣A為n階方陣，A是A的伴隨矩陣，則有AA=AA=AE。

證明：只證明AA=AE，AA=AE類似。

AA=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…annA11A21…An1

A12A22…An2

…………

A1nA2n…Ann

=∑nk=1a1kA1k∑nk=1a1kA2k…∑nk=1a1kAnk

∑nk=1a2kA1k∑nk=1a2kA2k…∑nk=1a2kAnk

…………

∑nk=1ankA1k∑nk=1ankA2k…∑nk=1ankAnk

=A0…0

0A…0

…………

00…A

=AE

（二）定理2

矩陣A可逆的充要條件是A≠0，且當(dāng)A可逆時(shí)，有A-1=1AA，即A=AA-1［1］。

證明：充分性

∵A≠0?∴AA=AA=AE

∴A（1AA）=（1AA）A=E

∴A可逆，∴A-1=1AA

∴A=AA-1

必要性

設(shè)矩陣A可逆，則存在矩陣B，使得AB=BA=E。

兩端取行列式，即AB=E，∴AB=1?∴A≠0

二、行列式的相關(guān)性質(zhì)

（一）性質(zhì)1

若A可逆，實(shí)數(shù)λ≠0，則λA可逆，且（λA）-1=1λA-1。

證明：∵AA-1=A-1A=E，?∴λA·1λA-1=1λA-1·λA=E

∴（λA）-1=1λA-1

（二）性質(zhì)2

設(shè)矩陣A為n階方陣，λ為實(shí)數(shù)，則λA=λnA［2］。

證明：

λA=λa11λa12…λa1n

λa21λa22…λa2n

…………

λan1λan2…λann=λa11a12…a1n

λa21λa22…λa2n

…………

λan1λan2…λann

=λ2a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

λan1λan2…λann=…

=λna11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann=λnA

（三）性質(zhì)3

若矩陣A可逆，則A-1=1A。

證明：∵矩陣A可逆，∴A≠0

∴AA-1=E，∴AA-1=AA-1=E=1

∴A-1=1A

（四）性質(zhì)4

設(shè)矩陣A為n階方陣，A是A的伴隨矩陣，則A=An-1。

證明：∵AA=AA=AE，兩端取行列式，

∴AA=AE，

∴AA=An

，∴A=An-1

（五）性質(zhì)5

設(shè)矩陣A為n階方陣，A為A的伴隨矩陣，則（kA）=kn-1A。

證明：∵AA=AA=AE

∴（kA）·（kA）=kAE=knAE

∴（kA）=kAE=knAE·（kA）-1

=knAE·k-1·A-1=kn-1AE·A-1

=kn-1AA-1·E=kn-1A·E=kn-1A

三、例題解析

（一）例1

設(shè)A為3階矩陣，且A=12，求（3A）-1-2A的值［3］。

方法一：運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1，即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1，在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

解析：第一步：利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

∵2A=2AA-1，A=12，∴2A=2AA-1=A-1

第二步：利用性質(zhì)1：（λA）-1=1λA-1化簡。

∴（3A）-1=13A-1，∴（3A）-1-2A=13A-1-A-1=-23A-1

第三步：利用性質(zhì)2：λA=λnA化簡。

∴（3A）-1-2A=-23A-1=（-23）3A-1

=-827A-1

第四步：利用性質(zhì)3：A-1=1A化簡即可。

∴（3A）-1-2A=-23A-1=（-23）3A-1

=-827A-1=-827·1A=-827×2

=-1627

方法二：運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A，即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA，在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

解析：

第一步：利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

∴（3A）-1=13A-1=13·1AA=23A

∴（3A）-1-2A=23A-2A=-43A

第二步：利用性質(zhì)2：λA=λnA化簡。

∴（3A）-1-2A=-43A=（-43）3A

=-6427A

第三步：利用性質(zhì)4：A=An-1化簡求解即可。

∴（3A）-1-2A=-43A=（-43）3A

=-6427A=-6427A2

=-6427×（12）2=-1627

（二）例2

設(shè)A為3階矩陣，且A=3，求2A+（13A）-1的值。

方法一：運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1，即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1，在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

解析：第一步：利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

∵2A=2AA-1，A=3，∴2A=2AA-1=6A-1

第二步：利用性質(zhì)1：（λA）-1=1λA-1化簡。

∴（13A）-1=3A-1，∴2A+（13A）-1=6A-1+3A-1=9A-1

第三步：利用性質(zhì)2：λA=λnA化簡。

∴2A+（13A）-1=9A-1=（9）3A-1=729A-1

第四步：利用性質(zhì)3：A-1=1A化簡即可。

∴2A+（13A）-1=9A-1=（9）3A-1

=729A-1

=7291A=729×13=243

方法二：運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A，即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA，在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

解析：

第一步：利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

∴（13A）-1=3A-1=31AA=A

∴2A+（13A）-1=2A+A=3A

第二步：利用性質(zhì)2：λA=λnA化簡。

∴2A+（13A）-1=3A=（3）3A=27A

第三步：利用性質(zhì)4：A=An-1化簡求解即可。

∴2A+（13A）-1=3A=（3）3A

=27A

=27A2=27×32=243

四、變式訓(xùn)練

若矩陣A為4階方陣，A=2，求（12A）-1-52A。

方法一：運(yùn)用定理2將A轉(zhuǎn)化為A-1，即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA-1，在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A-1=1A進(jìn)行求解。

解析：

第一步：利用定理2將伴隨矩陣A轉(zhuǎn)化為逆矩陣A-1。

∵52A=52AA-1，A=2，

∴52A=52AA-1=5A-1

第二步：利用性質(zhì)1：（λA）-1=1λA-1化簡。

∴（12A）-1=2A-1

∴（12A）-1-52A=2A-1-5A-1=-3A-1

第三步：利用性質(zhì)2：λA=λnA化簡。

∴（12A）-1-52A=-3A-1=（-3）4A-1=81A-1

第四步：利用性質(zhì)3：A-1=1A化簡即可。

∴（12A）-1-52A=-3A-1=（-3）4A-1

=81A-1=81×1A=812

方法二：運(yùn)用定理2將A-1轉(zhuǎn)化為A，即將xA+yA-1轉(zhuǎn)化為zA，在利用行列式性質(zhì)λA=λnA和A=An-1進(jìn)行求解。

解析：

第一步：利用定理2將逆矩陣A-1轉(zhuǎn)化為伴隨矩陣A。

∴（12A）-1=2A-1=21AA=A

∴（12A）-1-52A=A-52A=-32A

第二步：利用性質(zhì)2：λA=λnA化簡。

∴（12A）-1-52A=-32A=（-32）4A

=8116A

第三步：利用性質(zhì)4：A=An-1化簡求解即可。

∴（12A）-1-52A=-32A=（-32）4A

=8116A=8116A3=812

行列式的計(jì)算是線性代數(shù)中遇到的最基本問題，含有伴隨矩陣和逆矩陣這一類抽象行列式的計(jì)算較為復(fù)雜，文章結(jié)合行列式的定理和性質(zhì)，給出了這一類行列式的兩種計(jì)算方法，為學(xué)生解決此類問題獻(xiàn)力獻(xiàn)策。

參考文獻(xiàn)：

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.北京：人民郵電出版社，2016.

［2］濮燕敏，殷俊鋒.線性代數(shù)習(xí)題全解與學(xué)習(xí)指導(dǎo)［M］.北京：人民郵電出版社，2018.

［3］馬銳，羅兆富.線性代數(shù)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2021.

基金項(xiàng)目：2023年度云南省教育廳科學(xué)研究基金教師類項(xiàng)目“‘線性代數(shù)’課程思政策略實(shí)踐研究”（2023J1261）；滇西科技師范學(xué)院2022年度校級科研項(xiàng)目“新時(shí)代邊境地區(qū)國門高校師范生教學(xué)技能培養(yǎng)策略研究——以滇西科技師范學(xué)院為例”（DXXY202208）；滇西科技師范學(xué)院2022年度校級科研項(xiàng)目“滇西科技師范學(xué)院少數(shù)民族大學(xué)生思想教育方法及策略研究”（DXXY202207）

作者簡介：黃成興（1988—?），男，彝族，云南云縣人，碩士研究生，滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)教育、課程與教學(xué)論研究。

*通訊作者：王志敏（1983—?），女，彝族，云南云縣人，碩士研究生，滇西科技師范學(xué)院生物技術(shù)與工程學(xué)院講師，主要從事化學(xué)教育、食品加工研究。