探析核心素養(yǎng)背景下培養(yǎng)初中生建模素養(yǎng)

馬海濤 庫(kù)俊華

摘 要：信息化、智能化、網(wǎng)絡(luò)化、移動(dòng)互聯(lián)互通、大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)等高科技蓬勃發(fā)展，很多知識(shí)的更新周期縮短為2～3年，信息量和知識(shí)量以幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)能夠充分體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)，能夠考核一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是逐步培養(yǎng)的，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中慢慢培養(yǎng)的，如雨滴潤(rùn)物細(xì)無聲的一個(gè)過程。本文首先介紹了模型觀念的內(nèi)涵，進(jìn)而闡述如何培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，最后給出了模型思維教學(xué)的兩點(diǎn)建議，即創(chuàng)設(shè)問題情景，培養(yǎng)學(xué)生建模思維；參與探究，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)建模

21世紀(jì)，人類進(jìn)入信息化時(shí)代和智能化時(shí)代，隨著大數(shù)據(jù)、云計(jì)算、人工智能、互聯(lián)網(wǎng)、移動(dòng)通信等信息技術(shù)蓬勃發(fā)展。很多知識(shí)的更新周期縮短為2～3年，信息量和知識(shí)量以幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。這樣的時(shí)代特點(diǎn)要求教育工作者，既要具備終身教育的理念，也要保持終身學(xué)習(xí)的觀念。這是知識(shí)爆炸的時(shí)代，我們不僅要傳道授業(yè)解惑，還要有終身學(xué)習(xí)的態(tài)度。過去一本備課本可以授課很多年，知識(shí)觀和教育觀已經(jīng)不適應(yīng)我們現(xiàn)在的時(shí)代要求。作為一名中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，我們要深化基礎(chǔ)教育課程改革，就必須將培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)放在第一位。

學(xué)科核心素養(yǎng)能夠充分體現(xiàn)我們?nèi)绾卧诮虒W(xué)過程發(fā)揮育人的價(jià)值，學(xué)生在相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中，逐步形成正確的價(jià)值觀、必備的品質(zhì)和解決問題的能力。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)，即培養(yǎng)初中生具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀，讓初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步養(yǎng)成學(xué)科核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)學(xué)科有6大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。該論斷的提出凸顯初中數(shù)學(xué)學(xué)科的育人導(dǎo)向。

一、模型觀念的內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》（以下簡(jiǎn)稱：新課標(biāo)）明確數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一建模素養(yǎng)，小學(xué)段為模型意識(shí)，初中段為模型觀念。首先，模型觀念主要是指學(xué)生能夠清晰認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型，能認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型可以解決實(shí)際問題。其次，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的基本途徑。最后，要讓學(xué)生初步掌握數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實(shí)生活一個(gè)具體的實(shí)例問題，解決實(shí)際問題通常是非常困難的，需要我們根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，才能運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，其中數(shù)量關(guān)系可以是方程、不等式或者函數(shù)等，進(jìn)而求出數(shù)量關(guān)系的結(jié)果并討論結(jié)果的意義。模型觀念既能讓我們感受數(shù)學(xué)的魔力，又能感悟數(shù)學(xué)廣闊的應(yīng)用天地。

2011版課標(biāo)中的“模型思想”與新課標(biāo)初中階段的“模型觀念”比較接近。新課標(biāo)提出核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段有不同的表現(xiàn)，因此新課標(biāo)將“模型思想”細(xì)化成“模型意識(shí)”與“模型觀念”。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平以及學(xué)習(xí)內(nèi)容，使得中小學(xué)不同年齡段所側(cè)重的方向各不相同。小學(xué)更側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的“模型意識(shí)”和對(duì)數(shù)學(xué)模型初步的感悟、運(yùn)用。而初中階段側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的“模型觀念”，二者在義務(wù)教育階段，均是數(shù)學(xué)語言的主要表現(xiàn)之一。

二、如何發(fā)展學(xué)生模型觀念

（一）讓探索成為學(xué)生的建模行為常態(tài)

美國(guó)心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：探索是數(shù)學(xué)的生命線。新課標(biāo)也明確指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)該是一個(gè)充滿探索的、發(fā)現(xiàn)的過程，是一個(gè)具有生命力的過程。而數(shù)學(xué)建模是需要學(xué)生主體自我體驗(yàn)、自我感受、自我領(lǐng)悟才能逐漸搭建起來的模型。數(shù)學(xué)建模的課堂中，學(xué)生的探索活動(dòng)是開放的、自主的，是實(shí)際生活問題和內(nèi)在心理活動(dòng)共同存在的，這樣的活動(dòng)中建模素養(yǎng)的發(fā)生是必然存在的。同時(shí)，我們要給予學(xué)生足夠的探索時(shí)空，學(xué)生在積極地探索過程中運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行理性的思考和探究，進(jìn)而促進(jìn)建模素養(yǎng)的發(fā)展。

建模課堂中要設(shè)計(jì)有梯度的探索活動(dòng)。所謂梯度就是指在建模教學(xué)過程中做到由易到難、由簡(jiǎn)到繁、層次遞進(jìn)、步步深入，把學(xué)生建模思維一步一個(gè)臺(tái)階地引向新高度。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)就是讓學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，即能夠用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而通過解決數(shù)學(xué)問題來解決現(xiàn)實(shí)問題。主要包括：用數(shù)學(xué)語言從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，驗(yàn)證求解結(jié)果合理性并優(yōu)化改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題，可以用下面所示的流程圖表示。

數(shù)學(xué)建模流程圖

（二）讓質(zhì)疑成為學(xué)生的建模思維常態(tài)

數(shù)學(xué)模型建起美妙數(shù)學(xué)王國(guó)與我們現(xiàn)實(shí)生活的橋梁，在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中感悟到數(shù)學(xué)之美。我們運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問題，也推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。通過培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，讓學(xué)生懂得掌握了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題，能夠針對(duì)問題通過一定的建設(shè)條件抽象出數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解數(shù)學(xué)模型。最后基于現(xiàn)實(shí)情景來驗(yàn)證模型和完善模型；學(xué)生在解決現(xiàn)實(shí)問題的過程中提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，增強(qiáng)其創(chuàng)新意識(shí)。

數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建需要不斷地質(zhì)疑，質(zhì)疑即“提出疑問”，質(zhì)疑是建模開始的發(fā)源地，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新建模能力的源泉?！缎抡n標(biāo)》也明確指出：數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生面對(duì)知識(shí)內(nèi)容只有產(chǎn)生了疑問，才能真正地進(jìn)行思維活動(dòng)，在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程中要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力，形成獨(dú)到的處理實(shí)際問題的角度，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型并求解模型，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

（三）讓關(guān)聯(lián)成為學(xué)生的建模意識(shí)常態(tài)

數(shù)學(xué)本身知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系是很緊密的，各部分知識(shí)都不是孤立的，而是一個(gè)結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的整體。數(shù)學(xué)建模的過程，就是讓實(shí)際問題相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)抽象出一個(gè)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生用學(xué)到的知識(shí)構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成新的知識(shí)系統(tǒng)，進(jìn)而促進(jìn)建模思維的發(fā)展。

三、模型思維教學(xué)的幾點(diǎn)建議

（一）創(chuàng)設(shè)問題情景，培養(yǎng)學(xué)生建模思維

教師在講解數(shù)學(xué)模型知識(shí)時(shí)，要精心設(shè)計(jì)課堂提問，預(yù)估學(xué)生的起點(diǎn)問題和生成問題，以此來提高學(xué)習(xí)的有效性。要通過小組合作學(xué)習(xí)，創(chuàng)設(shè)情景突破教學(xué)重難點(diǎn)，提高課堂效率。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程可認(rèn)為類似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過程?，F(xiàn)實(shí)生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、生命科學(xué)家等科學(xué)家們把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各種科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過艱辛地研究創(chuàng)造出來的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。

例如，手機(jī)月話費(fèi)的收費(fèi)問題，教師可將其整合為數(shù)學(xué)建模問題。某移動(dòng)公司對(duì)客戶提供月話費(fèi)收費(fèi)方式：（1）每月30元包通話分鐘數(shù)300分鐘，超出費(fèi)用每分鐘015元；（2）每月60元包通話分鐘數(shù)800分鐘，超出費(fèi)用每分鐘0.12元；（3）每月120元通話分鐘數(shù)不限制。讓學(xué)生們通過小組討論，最后確定最合適的手機(jī)話費(fèi)收費(fèi)方式，要引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為收費(fèi)y與通話分鐘數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系。

進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)比這三個(gè)函數(shù)的大小，學(xué)生在解方程或不等式可以得出省錢的前提條件。這道實(shí)際問題的解題過程，通過問題情景的導(dǎo)學(xué)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，還鍛煉了學(xué)生們分析問題及解決問題的能力，有利于學(xué)生建模素養(yǎng)的提升。

（二）積極參與探究，主動(dòng)刻畫數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)任務(wù)之一就是將生活的種種現(xiàn)實(shí)問題抽象出一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)模型。一個(gè)個(gè)現(xiàn)實(shí)的情境問題是生動(dòng)具體的，如果教師在課堂上忽視了從具體問題到抽象的數(shù)學(xué)模型探究過程，那就扼殺了學(xué)生的創(chuàng)新思維。讓學(xué)生在實(shí)際生活中主動(dòng)探究出數(shù)學(xué)模型，通過抽象出數(shù)學(xué)模型才能真正讓數(shù)學(xué)走入學(xué)生的生活。數(shù)學(xué)建模的過程讓學(xué)生探究用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，這既培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，又能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，還可以促進(jìn)學(xué)生的探索自然的自信心、發(fā)現(xiàn)問題的敏銳度、創(chuàng)新意識(shí)的形成和實(shí)踐能力的提高，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用過程中找出新問題、解決新知識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和提升自己的信心。

下面以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)一卷第4題“斷臂維納斯選擇題”為例。

人們?cè)诠畔ＥD認(rèn)為最美人體滿足：頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比、頭頂至咽喉的長(zhǎng)度之比都是5-12。若某人滿足最美人體要求且腿長(zhǎng)105cm，頭頂至脖子下端長(zhǎng)度26cm，問該人身高可能是A.165cm、B.175cm、C.185cm、D.190cm。

解：設(shè)斷臂維納斯其頭頂?shù)蕉悄毜木嚯x為a，頭到咽喉的距離為c，咽喉到肚臍的距離為d，肚臍到足底的距離為b，“斷臂維拉斯”身高為h，已知ab=cd=5-12≈0.618，c<26，b>105，c+d=a，則a+b=h。

此題以探討最美人體為入手，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育，在培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的同時(shí)，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。試題的命制把數(shù)學(xué)的美和人體之美結(jié)合一起，當(dāng)在解決最美人體的過程中體會(huì)到數(shù)學(xué)的美。斷臂維納斯這道高考選擇題讓我們認(rèn)識(shí)到黃金分割點(diǎn)的美妙之處，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)可以解決現(xiàn)實(shí)生活的問題，進(jìn)而拉近數(shù)學(xué)與生活的距離。最后學(xué)生感受數(shù)學(xué)壓根都不枯燥，而是生活中跳動(dòng)的音符，學(xué)生在美妙的現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，用優(yōu)美曼妙的數(shù)學(xué)去創(chuàng)造更加美好的生活。

結(jié)語

數(shù)學(xué)建模讓我們認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中處處皆數(shù)學(xué)。很多人覺得數(shù)學(xué)是枯燥的、乏味的，理解為一堆單調(diào)的數(shù)學(xué)公式。作為新時(shí)代的一名教師，我們?cè)诮虒W(xué)中不能只關(guān)注解題、做題，而要重視學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的世界是一個(gè)充滿了美的世界：數(shù)的美、式的美、形的美……在這里我們也可以感受到合理的整體布局，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，和諧的數(shù)學(xué)關(guān)系以及簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。這在一定程度上有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的能力和主動(dòng)調(diào)整適應(yīng)現(xiàn)實(shí)社會(huì)的能力。

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作者簡(jiǎn)介：馬海濤（1979— ），男，漢族，山東臨沂人，本科，中教一級(jí)，研究方向：數(shù)學(xué)教育。

*通訊作者：庫(kù)俊華（1978— ），男，漢族，山東平邑人，研究生，教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育、人工智能及網(wǎng)絡(luò)安全。