探究最小二乘配置法在高層建筑物中的應(yīng)用

曾 致，雷 剛

（西安市勘察測繪院，陜西 西安 710054）

0 引言

隨著社會技術(shù)的進步和中國現(xiàn)代化進程的不斷加快，城市各類高層、超高層建筑越來越普及化和密度化[1]。城市建筑物高度以及承載度的增加，使得地基基礎(chǔ)及周邊的地層發(fā)生形變，建筑物發(fā)生不可預(yù)估的沉降，如果沉降形變值超過某一限值時，將會嚴重影響建筑物安全和人民生命安全[2-3]。因此，城市高層建筑物在建設(shè)過程中必須對其進行不定周期的沉降監(jiān)測，以便對建筑物以及周邊地質(zhì)的沉降量及沉降速率進行分析和預(yù)測，這也是保障建筑物安全和順利完工的關(guān)鍵[4-5]。

目前，很多學(xué)者針對建筑物的沉降觀測展開了多層次的研究。熊俊楠等[6]利用平差模型與基點穩(wěn)定性的聯(lián)系對高程建筑物沉降進行了分析；牟洪洲[7]針對GM（1，1）模型、多元回歸分析模型及時間序列分析模型，得出組合模型比單一模型在擬合和預(yù)測上更具有優(yōu)勢；閆宏亮和馬得花[8]對無偏灰色模型、時間序列線性移動平均法及馬爾科夫模型進行研究，并在此基礎(chǔ)上建立時間序列—馬爾科夫組合模型對建筑物沉降進行預(yù)測；王海城和徐進軍[9]針對構(gòu)造方法的不嚴密性，給出了灰導(dǎo)數(shù)法背景值構(gòu)造模型和參數(shù)最優(yōu)估值的計算方法，對南水北調(diào)工程沉降監(jiān)測實例進行建模預(yù)測，收到了良好效果；孫策等[10]提出了一種基于小波分解的SVM-AR組合預(yù)測模型，得出在小樣本、低信噪比條件下具有更好的預(yù)測性能，能夠?qū)Ω邔咏ㄖ锍两颠M行準確模擬與預(yù)報；徐飛[11]針對高層建筑物沉降預(yù)測模型精度低、與實測值不符等問題，提出了基于時序SAR技術(shù)的高層建筑物沉降變形預(yù)測方法。通過計算，結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高層建筑物沉降變形模型，實現(xiàn)沉降變形預(yù)測，王洪德和李騫[12]為了對地鐵車站深基坑施工過程引起的周邊建筑物沉降進行預(yù)警，利用改進的灰色Markov模型，預(yù)測地鐵車站施工過程中周邊建筑物的沉降量。研究結(jié)果表明：與改進的灰色模型相比，改進的灰色Markov模型預(yù)測的相對誤差從4.2%降到2.1%，程朋歡和盧德基[13]提出一種使用辛普森公式優(yōu)化背景值的灰色模型，以新的積分方式優(yōu)化背景值以提高模型預(yù)測精度。通過基坑沉降與地表沉降兩組實例進行實驗，結(jié)果表明，使用辛普森公式優(yōu)化背景值后，模型的預(yù)測精度更高。但是對高層建筑沉降普遍性研究較少。

基于此，文章利用MATLAB對最小二乘配置法、時間序列進行建模，對高層建筑物實測沉降數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，對幾期沉降形變進行預(yù)測，將預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)進行比對分析，從而探究最小二乘配置法在高層建筑物形變監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的可行性及適用性，為高層建筑施工提供參考依據(jù)。

1 研究方法

1.1 最小二乘配置法

最小二乘配置模型和隨機模型為[14-17]：

式中：L為觀測向量；Y為非隨機參數(shù)向量；X為信號；Δ 為觀測噪聲；X=（X1，X2）T，X1為觀測點信號，X2為未測點信號，R（B）=m；R（G）=t，分別為系數(shù)矩陣的秩。

誤差方程為：

按照最小二乘配置原理估計的準則有：

該公式為最小二乘配置原理，式中P為對稱正定方陣，是觀測值L的權(quán)；R為一個適當給定的正定矩陣，稱為正規(guī)化矩陣；利用拉格朗日乘數(shù)法，構(gòu)造如下函數(shù)：

式中：KT=[K1，K2，...，Kn]，分別令

由此得到法方程為：

由于G，B 列滿秩，故可證明法方程系數(shù)陣可逆，未知量X?和Y?有唯一解。由法方程可以得到：

式中：M=B（BTPB+R）-1BTP，I為單位矩陣，當R矩陣正定時，就可以得到X?和Y?的唯一解。

通過上述計算可得觀測值的估值為：

令

則L?=J(α)L

在這里稱J(α)為帽子矩陣。

其中，

Y?的方差陣為

V 的方差為：DV=J(α)DΔJ(α)T

最小二乘配置法的特點：

（1）函數(shù)模型中引入了隨機參數(shù)Y，并且已知了先驗期望和方差，這是最小二乘配置最大的特點，因此這種方法的應(yīng)用前提是必須要求比較準確的已知先驗統(tǒng)計特性。

（2）求參數(shù)的估值可稱為擬合，求已測點信號S為濾波。估計與S 之間存在協(xié)方差關(guān)系，而與觀測無直接關(guān)系的未測點信號稱為推估。

（3）由于模型中導(dǎo)入了信號，隨機量方差不再等于其誤差方差，而是誤差方差和信號方差合成的一種方差，但其衡量觀測精度的指標仍是其誤差方差。

1.2 時間序列

按時間順序排列的一組隨機數(shù)據(jù)稱為隨機時間序列。在工程建設(shè)中，時間序列也得到了廣泛應(yīng)用，時間序列可以預(yù)測邊坡的位移、建筑地基的沉降量、隧道變形、基坑支撐軸力等。

設(shè)有連續(xù)觀測樣本序列{x1，x2，…，xn}，對應(yīng)的白噪聲序列{a1，a2，…，an}，白噪聲的序列均值為0，且相互獨立。其具有以下優(yōu)勢：

（1）時間序列模型是動態(tài)模型，它對動態(tài)數(shù)據(jù)具有外延特性。

（2）時間序列模型能描述隨機變量與其他變量之間的相關(guān)關(guān)系，以及時間序列內(nèi)部的相關(guān)關(guān)系。

（3）由于時間序列分析是建立在輸出等價的基礎(chǔ)之上，可將所觀測到的時序作為系統(tǒng)的一維或多維的輸出。變形體位移構(gòu)成時序，從統(tǒng)計角度來揭示各時序內(nèi)部與各時序之間的統(tǒng)計關(guān)系。

2 高層建筑物沉降量預(yù)測

2.1 沉降觀測點分布情況

本工程以某29層高的建筑物為研究對象，現(xiàn)場沉降觀測點分布情況如圖1所示。監(jiān)測網(wǎng)由逆時針方向布設(shè)在墻體上的15個監(jiān)測點組成，點間距分布均勻，形變監(jiān)測點埋于室內(nèi)地面上方20～40 cm處。

圖1 沉降觀測點分布圖

為確保觀測成果可靠性和正確性，監(jiān)測網(wǎng)數(shù)據(jù)處理分析采用采用已知的控制點進行聯(lián)測，利用幾何水準測量的方法進行現(xiàn)場觀測，觀測精度符合二等水準測量規(guī)范要求。通過檢核，在觀測中最大沉降量為7.2 mm，最小沉降量為0.8 mm，累計沉降量為42.8 mm，平均沉降量4.12 mm＜200 mm，未出現(xiàn)沉降異常變化，所有觀測結(jié)果均符合《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》《建筑形變測量規(guī)范》《建筑物沉降觀測方法》等[18]國家規(guī)范中高層建筑物沉降的要求。

2.2 沉降數(shù)據(jù)獲取與處理

文章以S1為模型計算點，沉降觀測時間選取為2022 年3 月15 日—2022 年9 月28 日，共獲得30 期沉降數(shù)據(jù)，其中1～21 期為實測數(shù)據(jù)，22～30 期為預(yù)測數(shù)據(jù)。對所獲的1～21 期實測數(shù)據(jù)利用MATLAB軟件，用最小二乘配置法對時間序列進行建模以及平差解算，獲得22～30期的預(yù)測沉降高程及精度，為后文的沉降分析及變形異常提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。實測高程與預(yù)測高程相關(guān)數(shù)據(jù)詳見表1、表2。

表1 S1點觀測次數(shù)與實測高程值

表2 實測高程與預(yù)測高程

由表2分析可知，殘差絕對值介于0～0.112 mm，相對誤差最小為0，最大為20%，平均相對誤差為3.81%。其中，隨著預(yù)測期數(shù)增加，實測沉降量與預(yù)測沉降量差值越來越大，從28期開始殘差絕對值和相對誤差呈倍數(shù)增加，說明了最小二乘配置在高層建筑物沉降量適合短期預(yù)測，而長期預(yù)測與實測數(shù)據(jù)還是存在一定的差距，并且隨著時間的增加而增加。同時，從圖2可看出，預(yù)測數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)相對沉降趨勢呈一致性變化，表明了該建筑物地基的穩(wěn)定性。

圖2 實測高程和預(yù)測高程變化趨勢

從表3 和圖3 分析可得出，預(yù)測沉降變化趨勢與實測沉降變化趨勢基本保持一致，但由于未能考慮沉降監(jiān)測存在的外部誤差，導(dǎo)致部分點位變化異常，這對整體預(yù)測趨勢精度有所降低。

表3 實測高程與預(yù)測高程沉降量

圖3 實測高程與預(yù)測高程沉降趨勢變化

綜上所述，最小二乘配置法適合對短期沉降進行預(yù)測，而對于高精度、觀測時間長的建筑物，不適合定量預(yù)測，只能從沉降量趨勢變化分析建筑物沉降。同時，下一步將最小二乘配置法與小波變換、灰色預(yù)測模型結(jié)合，處理觀測數(shù)據(jù)噪聲后預(yù)測沉降變化。

3 結(jié)論

基于MATLAB 對最小二乘配置法及時間序列對高層建筑物實測沉降數(shù)據(jù)建立預(yù)測模型，對幾期沉降形變進行預(yù)測，將預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)進行比對分析，從而探究最小二乘配置法在高層建筑物形變監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中應(yīng)用的可行性及適用性。

（1）從預(yù)測數(shù)據(jù)和實測數(shù)據(jù)對比分析可知，最小二乘配置法方法簡單、預(yù)測精度高，在高層建筑物沉降中適合進行短期預(yù)測，但長期預(yù)測與實測數(shù)據(jù)還存在一定的差距，殘差絕對值和相對誤差呈倍數(shù)增加。

（2）從沉降趨勢變化可知，最小二乘配置法在沉降趨勢變化中具有優(yōu)勢性，并對部分點位異常變化能夠及時反應(yīng)，這為判斷沉降量是否出現(xiàn)異常提供了參考。

（3）該方法未能對觀測數(shù)據(jù)噪聲進行去除，使預(yù)測數(shù)據(jù)精度有所降低。下一步將最小二乘配置法與小波變換、灰色預(yù)測模型結(jié)合，對高層建筑物進行預(yù)測分析。

（4）將最小二乘配置法與時間序列組合，同時利用MATLAB 優(yōu)勢，對最小二乘配置法進行了改進和程序化，提高了對大型建筑物變形數(shù)據(jù)的處理能力，縮短了變形監(jiān)測的周期，便于對某一建筑進行動態(tài)監(jiān)測。