基于結(jié)構(gòu)化“數(shù)的運(yùn)算”單元整體教學(xué)實(shí)踐研究

廣東深圳市坪山區(qū)坑梓中心小學(xué) （518118） 王銳利

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱《2022 年課程標(biāo)準(zhǔn)》）延續(xù)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱《2011 年課程標(biāo)準(zhǔn)》）對領(lǐng)域的分類，仍為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，《2022 年課程標(biāo)準(zhǔn)》將《2011 年課程標(biāo)準(zhǔn)》的“數(shù)的認(rèn)識”和“數(shù)的運(yùn)算”兩個(gè)主題整合為“數(shù)與運(yùn)算”主題，這樣“數(shù)的運(yùn)算”就從之前的單獨(dú)主題調(diào)整為“數(shù)與運(yùn)算”主題中的子主題。

加、減、乘、除四則運(yùn)算是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的育人價(jià)值，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算能力和推理意識。以北師大版教材編排為例，教材對“數(shù)的運(yùn)算”的編排常以自然單元呈現(xiàn)。例如，100 以內(nèi)的整數(shù)加減法就是分為6 個(gè)相互銜接的單元，編排在一年級上、下兩冊教材中。

那么，在組織“數(shù)的運(yùn)算”單元教學(xué)時(shí)，教師要如何凸顯“數(shù)與運(yùn)算”主題的結(jié)構(gòu)化特征，從而實(shí)施“數(shù)的運(yùn)算”單元整體教學(xué)呢？

一、從“數(shù)與運(yùn)算”主題整合的視角分析“數(shù)的運(yùn)算”

“數(shù)與運(yùn)算”包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識及相應(yīng)的加、減、乘、除四則運(yùn)算。學(xué)生對整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的認(rèn)識主要依托生活情境，并由此理解數(shù)的意義。數(shù)的運(yùn)算需要以數(shù)的意義、運(yùn)算的意義和運(yùn)算律為基礎(chǔ)。

1.結(jié)構(gòu)化視角“研究對象+”的內(nèi)涵與價(jià)值

將“數(shù)的認(rèn)識”與“數(shù)的運(yùn)算”整合為一個(gè)主題，可以凸顯兩者的緊密性。數(shù)的運(yùn)算是在數(shù)的認(rèn)識基礎(chǔ)上的結(jié)構(gòu)化表達(dá)，形式上是基于抽象的結(jié)構(gòu)，可以表述為“研究對象+”。其中，“研究對象”可理解為數(shù)的概念，也就是整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。基于研究對象的“+”則指的是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)各自的意義、性質(zhì)、四則運(yùn)算方法和混合運(yùn)算方法，以及它們之間的聯(lián)系。史寧中教授認(rèn)為，這樣的主題調(diào)整可使相同學(xué)科本質(zhì)的內(nèi)容更具結(jié)構(gòu)化，凸顯學(xué)科核心內(nèi)容的穩(wěn)定性，強(qiáng)化內(nèi)容的整體性和結(jié)構(gòu)性，體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容本質(zhì)。

2.數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性

《2022 年課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識?！睌?shù)的運(yùn)算的重點(diǎn)在于理解算理、掌握算法，算法是對算理的抽象概括，對算理的理解最終都要追溯到數(shù)的意義和運(yùn)算的意義上。

從數(shù)的意義上分析，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念本質(zhì)都是計(jì)數(shù)單位的累加。例如：23.5是由十位上的2 個(gè)計(jì)數(shù)單位“十”、個(gè)位上的3 個(gè)計(jì)數(shù)單位“一”和十分位上的5個(gè)計(jì)數(shù)單位“0.1”組成的；分?jǐn)?shù)是由5 個(gè)計(jì)數(shù)單位組成。從運(yùn)算的意義上分析，所有的運(yùn)算都可以還原成加法（減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是求幾個(gè)相同數(shù)字相加的簡便運(yùn)算，除法是求減去幾個(gè)相同的數(shù)字的簡便運(yùn)算），可見加法是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)。從抽象運(yùn)算算法的角度分析，所有運(yùn)算均可還原為計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位，以及計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字（計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字的運(yùn)算。例如，。理解了數(shù)的概念本質(zhì)和運(yùn)算的意義（見表1），有助于學(xué)生提煉“數(shù)的運(yùn)算”單元大概念，挖掘知識內(nèi)部之間的聯(lián)系，體會數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性。

表1 數(shù)的概念本質(zhì)和運(yùn)算的意義

二、“數(shù)的運(yùn)算”單元整體教學(xué)的原則

1.概念本質(zhì)和算法的一致性

“數(shù)的運(yùn)算”自然單元教材的編排是基于相同研究對象結(jié)構(gòu)化的呈現(xiàn)，隱含數(shù)的概念的一致性：同一單元課時(shí)均聚焦于相同的研究對象，前后課時(shí)關(guān)于運(yùn)算的方法也存在一致性。

例如，一年級下冊“加與減（三）”單元中，學(xué)生主要學(xué)習(xí)兩位數(shù)的進(jìn)位加法和退位減法，解決“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法（28+4）”“兩位數(shù)加兩位數(shù)的進(jìn)位加法（38+17）”“兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法（30-7）”和“兩位數(shù)減兩位數(shù)的退位減法（40-28）”四個(gè)問題。學(xué)生在探索解決第一個(gè)問題“28+4”的過程中，逐步明白其算理是將相同數(shù)位上的計(jì)數(shù)單位相加，即兩位數(shù)“28”十位上的數(shù)字“2”不變，只需將個(gè)位上的數(shù)字“8”和“4”相加得12，滿十進(jìn)一，結(jié)果為32。教師強(qiáng)調(diào)“相同的計(jì)數(shù)單位相加”和“滿十進(jìn)一”的意義，有助于學(xué)生進(jìn)一步探索解決“38+17”“30-7”和“40-28”三個(gè)問題。

2.基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一致性

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在探索與學(xué)習(xí)活動(dòng)中所形成的感性意識和個(gè)性化感受。學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有助于學(xué)生探索算理并提煉算法，是學(xué)生個(gè)性化理解算理、掌握算法的基礎(chǔ)。教師在設(shè)計(jì)“數(shù)的運(yùn)算”單元整體教學(xué)時(shí)，要充分考慮單元內(nèi)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的可遷移性和一致性。

例如，三年級下冊“除法”單元中，學(xué)生要學(xué)習(xí)并掌握兩位數(shù)、三位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算方法，依次解決“兩位數(shù)除以一位數(shù)”“三位數(shù)除以一位數(shù)、商是三位數(shù)（包括被除數(shù)中沒有0 和有0 的情況）”“三位數(shù)除以一位數(shù)、商是兩位數(shù)”和“除法的驗(yàn)算”等問題。分析本單元的知識結(jié)構(gòu)，筆者發(fā)現(xiàn)在第一課時(shí)“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的探索活動(dòng)中，教材借助實(shí)物圖、小棒、除法豎式等多樣化表征“平均分物”的過程，使學(xué)生積累了用不同抽象水平的方式解決平均分問題的經(jīng)驗(yàn)，掌握了兩位數(shù)除以一位數(shù)的算法，也為繼續(xù)學(xué)習(xí)其他平均分問題和包含除問題奠定了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。通過遷移、類比兩位數(shù)除以一位數(shù)的直觀操作經(jīng)驗(yàn)或者抽象的算式表達(dá)方式來解決更復(fù)雜的平均分問題和包含除問題，凸顯了學(xué)生對該單元認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的一致性，有助于學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的單元知識體系。

3.數(shù)學(xué)思維方式及其抽象水平的一致性

數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維方面有著不可替代的作用，在不同領(lǐng)域和主題中都有相應(yīng)的思維方式，不同的思維方式之間呈現(xiàn)不同層級的抽象水平。通常，同樣的思維方式會在同一個(gè)“數(shù)的運(yùn)算”單元中反復(fù)出現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維方式的一致性。

例如，四年級下冊“小數(shù)的意義和加減法”單元中，學(xué)生先學(xué)習(xí)小數(shù)的意義，再探索小數(shù)加減法運(yùn)算（1.25+2.41）。教師要怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解算理、概括算法，感悟“小數(shù)加減法計(jì)算中小數(shù)點(diǎn)要對齊”的道理呢？在經(jīng)歷借助“元、角、分模型”等實(shí)物表示小數(shù)—脫離實(shí)物借助面積模型理解小數(shù)—用小數(shù)的計(jì)數(shù)單位理解小數(shù)的意義三個(gè)過程后，學(xué)生可能出現(xiàn)三種抽象水平的思維方式：一是仍然借助“元、角、分模型”，將相同面值的人民幣擺放在一起，得到計(jì)算結(jié)果；二是借助面積模型“百格圖”表示小數(shù)1.25 和2.41，直觀表征小數(shù)的意義，進(jìn)而得出計(jì)算結(jié)果；三是根據(jù)小數(shù)的概念，通過相同計(jì)數(shù)單位相加來嘗試兩位小數(shù)的加減法豎式計(jì)算。本單元在解決兩位小數(shù)進(jìn)位加法和退位減法計(jì)算問題時(shí)，將繼續(xù)遷移使用相同抽象水平的思維方式。

三、基于結(jié)構(gòu)化的“數(shù)的運(yùn)算”單元整體教學(xué)實(shí)施步驟

指向?qū)W科核心素養(yǎng)的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)按單元整體教學(xué)模型指導(dǎo)教學(xué)。邵朝友教授和崔允漷教授認(rèn)為，實(shí)施大觀念統(tǒng)領(lǐng)下的單元整體教學(xué)包括“確定核心素養(yǎng)”“確定大觀念等既有目標(biāo)”“形成一致性目標(biāo)體系”“設(shè)計(jì)單元評價(jià)方法”和“圍繞主要問題創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)活動(dòng)”五個(gè)關(guān)鍵行動(dòng)。馬云鵬教授深刻分析了基于主題的大單元整體教學(xué)，認(rèn)為基于主題的大單元整體教學(xué)有“提煉核心概念，形成系列單元”“整體分析單元學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)”和“針對關(guān)鍵內(nèi)容，設(shè)計(jì)體現(xiàn)知識與方法遷移的單元整體教學(xué)活動(dòng)”三個(gè)關(guān)鍵要素，這里的核心概念也就是數(shù)學(xué)大概念。張丹教授和于國文教研員則提煉出了具體的實(shí)施流程（如圖1），他們認(rèn)為在數(shù)學(xué)大概念統(tǒng)領(lǐng)下實(shí)施促進(jìn)理解與遷移的單元整體教學(xué)需依照教學(xué)模型。

圖1 大概念統(tǒng)領(lǐng)下的單元教學(xué)實(shí)施流程

分析發(fā)現(xiàn)，許多專家均將單元教學(xué)方案設(shè)計(jì)聚焦在“確定學(xué)科核心素養(yǎng)”“確定大概念”“明確單元學(xué)習(xí)目標(biāo)”“形成單元關(guān)鍵問題”“設(shè)計(jì)系列單元學(xué)習(xí)任務(wù)”和“設(shè)計(jì)匹配的單元體系”等重要元素上。

1.從結(jié)構(gòu)化主題提煉大概念

提煉核心大概念是實(shí)施單元整體教學(xué)的關(guān)鍵。如何提煉大概念是一直以來困擾教師的現(xiàn)實(shí)問題，究其原因是國內(nèi)外關(guān)于大概念的本質(zhì)與內(nèi)涵的理解未達(dá)成一致，具體可以從“學(xué)科本質(zhì)”“專家思維”“生活價(jià)值”“高通路的遷移”等不同方面進(jìn)行闡述。

為便于小學(xué)數(shù)學(xué)教師提煉大概念，實(shí)施單元整體教學(xué)，馬云鵬教授建議在聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)化主題內(nèi)容的前提下提煉數(shù)學(xué)大概念，這是一種更容易實(shí)踐的策略。“數(shù)的運(yùn)算”是“數(shù)與運(yùn)算”的重要組成內(nèi)容，是基于研究對象“數(shù)的概念”的“+”。提煉“數(shù)的運(yùn)算”單元大概念需考慮數(shù)的概念本質(zhì)和運(yùn)算的意義。從數(shù)的概念的一致性上分析，計(jì)數(shù)單位是構(gòu)建數(shù)的基礎(chǔ)，由計(jì)數(shù)單位理解整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的構(gòu)建是關(guān)鍵；從運(yùn)算的意義的一致性上分析，減法、乘法和除法都可以由加法衍生而來。由此可以得到數(shù)的概念和運(yùn)算的一致性的框架（如圖2）。加、減法的一致性體現(xiàn)為相同計(jì)數(shù)單位的累加（減），乘法的一致性體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位（計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字）與計(jì)數(shù)單位（計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字）相乘，除法的一致性體現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位（計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字）與計(jì)數(shù)單位（計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字）相除。

圖2 數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性的框架

經(jīng)過以上分析，筆者發(fā)現(xiàn)計(jì)數(shù)單位是“數(shù)的運(yùn)算”的單元大概念，延續(xù)到“分?jǐn)?shù)乘法”單元，則是“計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘”“計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字與計(jì)數(shù)單位上的數(shù)字相乘”這兩種情況。

2.明確單元學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)評價(jià)體系

根據(jù)威金斯在《追求理解的教學(xué)設(shè)計(jì)（第二版）》的單元設(shè)計(jì)理念，以目標(biāo)為導(dǎo)向的逆向設(shè)計(jì)是最佳的。確定單元學(xué)習(xí)目標(biāo)是設(shè)計(jì)教學(xué)的前提，教師在明確單元具體目標(biāo)后能更有針對性地設(shè)計(jì)單元整體教學(xué)?！?022 年課程標(biāo)準(zhǔn)》將教學(xué)內(nèi)容分為“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”“評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)”和“教學(xué)提示”三個(gè)部分，教師確定單元整體教學(xué)目標(biāo)需要以此為基礎(chǔ)。理解為先的教學(xué)目標(biāo)包括遷移目標(biāo)（T 目標(biāo)）、理解目標(biāo)（U 目標(biāo)）、技能目標(biāo)（K 目標(biāo)）?！胺?jǐn)?shù)乘法”單元的TUK目標(biāo)和具體行為表現(xiàn)如表2所示。

表2 “分?jǐn)?shù)乘法”單元TUK目標(biāo)及具體行為表現(xiàn)

3.確定單元關(guān)鍵問題

單元關(guān)鍵問題指向單元具體觀念。通過關(guān)鍵問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深度思考、開展合作與探究，是達(dá)成理解目標(biāo)的關(guān)鍵途徑。大概念統(tǒng)領(lǐng)下的單元整體教學(xué)的開展需要教師依托單元具體觀念，提出驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考的關(guān)鍵問題。提煉單元關(guān)鍵問題可以根據(jù)實(shí)際情況，采取“于知識遷移中提煉核心問題”“于知識對比中提煉核心問題”和“于學(xué)科知識本質(zhì)中提煉核心問題”等策略。

例如，在五年級下冊“分?jǐn)?shù)乘法”單元中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分別從“幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)相加”和“求一個(gè)數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩種）的幾分之幾”兩個(gè)不同角度，探索并理解整數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法的一致性。為了讓學(xué)生在對比遷移中體會“求幾個(gè)相同整數(shù)相加的和”與“求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)相加的和”的算法一致性，教師需要提出關(guān)鍵問題：“如何求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)相加的和?！蓖瑫r(shí)為學(xué)生提供面積模型圖、方格紙等直觀學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算意義、算理并提煉算法。（見表3）

表3 “分?jǐn)?shù)乘法”單元的關(guān)鍵問題

4.設(shè)計(jì)單元核心任務(wù)序列

學(xué)習(xí)任務(wù)是學(xué)生在關(guān)鍵問題和好奇心的驅(qū)動(dòng)下，通過合作探究完成的具體學(xué)習(xí)活動(dòng)。學(xué)習(xí)任務(wù)相比關(guān)鍵問題而言更加直觀，它是將學(xué)生的注意力聚焦在某一個(gè)或某一系列問題的具體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是形成并理解單元具體觀念的依托。學(xué)習(xí)任務(wù)具體指導(dǎo)學(xué)生需要學(xué)習(xí)什么，決定了他們怎么思考、發(fā)展和理解數(shù)學(xué)活動(dòng)。

例如，在“分?jǐn)?shù)乘法”單元中，教師要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題解決和意義構(gòu)建的學(xué)習(xí)任務(wù)序列（見表4），讓學(xué)生在核心問題的引領(lǐng)下明確思考的方向，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的腳手架。

表4 “分?jǐn)?shù)乘法”單元學(xué)習(xí)任務(wù)序列

根據(jù)《2022 年課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念，“數(shù)的運(yùn)算”是以數(shù)的概念為研究對象的“+”，其單元整體教學(xué)更加需要注重?cái)?shù)的概念與運(yùn)算的一致性，從而凸顯“數(shù)與運(yùn)算”主題知識的結(jié)構(gòu)化。在實(shí)施單元整體教學(xué)時(shí)，教師要基于核心概念計(jì)數(shù)單位、運(yùn)算的意義和數(shù)學(xué)思想提煉單元大概念，明確單元學(xué)習(xí)目標(biāo)和評價(jià)體系，提出符合生活情境的關(guān)鍵問題及子問題，進(jìn)而設(shè)計(jì)出與問題對接的學(xué)習(xí)任務(wù)序列，促使學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生。