基于壓縮感知的圖像去噪的綜述

張麗娟　紀(jì)峰

摘 要

壓縮感知是近年來新興的一門數(shù)據(jù)采樣技術(shù)，其主要思想就是利用較少的采樣數(shù)據(jù)對信號進行重構(gòu)恢復(fù)。壓縮感知顛覆了傳統(tǒng)的信號采樣方法，它采用信號的稀疏表示法來保證原始信號的主要結(jié)構(gòu)，再通過重構(gòu)算法對原始信號進行精確重構(gòu)。本文將對圖像去噪運用壓縮感知理論，利用壓縮感知的優(yōu)點，對含噪圖像進行稀疏表示，再采用不同的重構(gòu)算法對原始圖像進行恢復(fù)，從而完成噪聲的去除。

【關(guān)鍵詞】壓縮感知 重構(gòu)算法 圖像去噪 稀疏表示

1 圖像去噪介紹

1.1 圖像去噪意義

圖像去噪結(jié)合了信號處理、傳感器、人工智能和計算機等現(xiàn)代高科技技術(shù)，其原理是：將獲得和輸入過程中受到各種噪聲污染的圖像，利用有關(guān)計算機的一定算法去除噪聲并且盡可能多的保留原始圖像主要特征，更重要的是保護邊緣和細(xì)節(jié)信息，輸出一幅更適合于人眼觀察或計算機能夠進一步研究的去噪圖像。去噪后的圖像可信度更高，圖像更清晰，更適合人眼檢測和計算機識別，分析。目前圖像去噪技術(shù)在遙感圖像、自動識別、醫(yī)學(xué)圖像處理、計算機視覺等更多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。

1.2 圖像去噪的研究現(xiàn)狀

近年來，國內(nèi)外對圖像去噪的研究算法有很多種，現(xiàn)在主要的方法是稀疏分解去噪方法，稀疏分解去噪原理是把帶噪信號在過完備原子庫上進行稀疏表示，僅用若干個較大的表示系數(shù)重構(gòu)原信號，而屏蔽了部分小系數(shù)包含的噪聲成分，從而實現(xiàn)信號的去噪。稀疏分解使信號更加簡潔、自適應(yīng)的表示成若干基的線性組合，更加全面詳細(xì)地表示信號涵蓋的某些特征，更加有效地將信號和噪聲分離開來。基于稀疏表示的圖像去噪方法是根據(jù)所研究對象是否為圖像的稀疏成分把圖像中的有用信息和噪聲進行區(qū)分。圖像中的有用信息一般具有一定結(jié)構(gòu)，稀疏表示過程中選取的原子能夠表示這些特定結(jié)構(gòu)；然而圖像中的噪聲是隨機的，且沒有結(jié)構(gòu)的，因此無法用字典中的原子表示。這樣就可以將圖像與噪聲相區(qū)別，以達(dá)到去除噪聲的目的。

2 壓縮感知的理論

壓縮感知（CS）是一種利用信號的可壓縮性或者稀疏性對信號進行重構(gòu)的技術(shù)。壓縮感知的優(yōu)勢是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號表示，大大縮減了數(shù)據(jù)信息的獲取時間和存儲空間。圖1給出了壓縮感知的理論過程。

壓縮感知包括三個方面：

2.1 信號的稀疏表示

文獻(xiàn)[10]給出了稀疏表示的數(shù)學(xué)定義：信號X在正交基Ψ下的變換系數(shù)向量為Θ=ΨTX，假如對于00，這些系數(shù)滿足： ，則說明系數(shù)向量Θ在一定的意義下是稀疏的。文獻(xiàn)[11]給出另一種定義：如果變換系數(shù)θi=〈X，Ψi〉的支撐域{i：θi≠0}的勢≤K ，則可以表明信號X是K-項稀疏。

如何找到信號最合適的稀疏系數(shù)向量？這是壓縮感知理論的基本和前提，只有找到最佳的基表示，才能確保信號的稀疏度，從而確保信號的恢復(fù)精度。而信號的稀疏化是由稀疏系數(shù) 的衰減速度決定的，衰減的越快表示信號的稀疏性越好，其滿足以下式子：

其中r=1/p – 1/2，0

除了標(biāo)準(zhǔn)正交基之外，冗余字典法是現(xiàn)在研究的另外一個熱點。它是由一組正交基構(gòu)成的超完備的冗余字典，該方法能夠稀疏的表示信號。如何構(gòu)造一組最佳的某類信號的正交基，以求得信號的最稀疏表示，有利于進一步研究。

2.2 觀測矩陣的設(shè)計

設(shè)計觀測矩陣在壓縮感知理論中起著至關(guān)重要的作用，如何設(shè)計測量矩陣是壓縮感知中的一個難點。

信號的稀疏化是由稀疏系數(shù)t決定的。所以，選取一個大小為M×N（M<

y= Φx （2.1）

而 ，則得

y= Φx=Φψt=Θt （2.2）

其中Φ為測量矩陣，大小為M×N。Θ=Φψ為M×N的矩陣，叫作投影矩陣，y被叫做t在投影矩陣下的測量值，大小為M×1，則壓縮感知的測量過程如圖2所示。

目前，如何設(shè)計觀測矩陣是壓縮感知理論的一個重要方面。在該理論中，對觀測矩陣的束縛是比較松弛的，Donoho給出了構(gòu)成觀測矩陣的三個條件，并指出大多數(shù)一致分布的隨機矩陣都具有這三個條件，都可作為觀測矩陣，如：部分Fourier集、部分Hadamard集、一致分布的隨機投影（uniform Random Projection）集等，這與RIP性質(zhì)進行研究得出的結(jié)論相一致.但是，使用上述各種觀測矩陣進行觀測后，都僅僅能保證以高概率去恢復(fù)信號，而不能完全地精確的重構(gòu)信號。對于任何一個穩(wěn)定的重構(gòu)算法是否存在一個真正的確定性的觀測矩陣仍是一個有待探討的問題。

2.3 信號重構(gòu)

對于壓縮感知理論的信號重構(gòu)問題，首先定義向量X={x1，x2，…xn}的p-范數(shù)

（3.1）

當(dāng)p=0時得到0-范數(shù)，它表示的是x中非零項的個數(shù)。

因此，在信號x壓縮或稀疏的條件下，對欠定方程組Y= ΦΘ=ΦψTX的求解問題就轉(zhuǎn)化為最小0-范數(shù)問題：

s.t. Y= ΦΘ=ΦψTX （3.2）

但是，它需要找出X中所有非零項位置的 種可能的線性組合，才能求得最優(yōu)解。因此，式（3.2）數(shù)值計算的求解是很不穩(wěn)定的。所以，Chen，Donoho和Saunders提出，求解一個更加簡易的l1優(yōu)化問題會產(chǎn)生同樣的解（要求Φ與Ψ不相關(guān)）：

s.t. Y= ΦΘ=ΦΨTX （3.3）

細(xì)微的差別就將問題變成了一個凸優(yōu)化問題，于是可以化簡為線性規(guī)劃問題。而基于1-范數(shù)的重構(gòu)經(jīng)典算法有內(nèi)點法（Basis Pursuit，BP）和梯度投影法（Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR）。由于1-范數(shù)下的算法速率慢，因此，新的快速貪婪算法被逐漸使用，如匹配追蹤法（MP）、正交匹配追蹤算法（OMP）、壓縮采樣匹配追蹤算法（CoSaMP）、正則正交匹配追蹤法（ROMP）和迭代閾值（IHT）等。

3 基于壓縮感知的去噪方法

與傳統(tǒng)的去噪方法相比，基于壓縮感知的去噪方法能夠充分發(fā)揮稀疏表示的優(yōu)點，靈活的適應(yīng)實際問題，降低采樣率和數(shù)據(jù)處理的成本，獲取較好的去噪效果。

3.1 基于壓縮感知并運用OMP算法的椒鹽去噪

椒鹽噪聲是圖像處理中一種十分常見的噪聲，其特點是噪聲點勻稱分散于整幅圖像，由于椒鹽噪聲只破壞了圖像結(jié)構(gòu)的一部分，其他大部分的圖像信息都是精確的，因此，可以充分利用這部分精確的數(shù)據(jù)，通過求解最優(yōu)化問題，重構(gòu)原圖像。

在傳統(tǒng)去噪模型 subject to 下，提出了一種椒鹽噪聲檢測的采樣，利用階梯觀測矩陣良好的0稀疏定位能力，并利用OMP算法的低復(fù)雜性和穩(wěn)定性，來對信號進行重構(gòu)。

算法步驟：（1）已知原始含噪信號Z；（2）噪聲檢測采樣，構(gòu)造階梯觀測矩陣，首先檢測信號Z中噪聲的位置， 然后將對應(yīng)的行刪除作為階梯觀測矩陣ΦZ；（3）將DCT基作為稀疏變換基；（4）采用OMP算法進行重構(gòu)。

椒鹽去噪算法流程圖如1：

3.2 基于壓縮感知并運用K-SVD算法的圖像去噪

3.2.1 K-SVD算法

為了逼近的得到式（信號yi，最稀疏的解的表示xi和未知字典A），的解，訓(xùn)練一個字典A能夠稀疏表示數(shù)據(jù) 。初始化k=0，并且初始化字典：構(gòu)建 ，要么使用隨機的條目進行計算，要么使用m隨機選擇的例子來進行計算。標(biāo)準(zhǔn)化A0的數(shù)組。k每次增加1，然后開始迭代，并最終得到結(jié)果A（k），此過程如圖3所示。

稀疏編碼階段：采用一個追求算法來逼近下式的解

s.t. （3.1）

得到了在1≤i≤M下的稀疏表示，它們構(gòu)成了矩陣X（k）。

更新階段：使用下面的步驟來更新字典的數(shù)組并得到A（k），j0=1，2，…，m對 重復(fù)以下步驟：

（1）定義使用原子aj0的例子的組合 （3.2）

（2）計算剩余矩陣，其中xj是矩陣X（k）的j列 （3.3）

（3）約束Ej0，使其選擇的數(shù)組與Ωj0相一致，并得到 ；

（4）應(yīng)用SVD分解，通過 來更新字典原子aj0=u1。

停止規(guī)則：如果 中的改變足夠的小，則停止，否則繼續(xù)迭代。

3.2.2 去噪算法步驟

（1）將零均值的高斯白噪聲加入原始的干凈圖像中；（2）對X進行初始化，假設(shè)X=Y， D=DCT字典；使用OMP算法對每一小塊圖像求出近似解；（3）對字典進行升級，用K-SVD算法找到最優(yōu)的D，并求出近似原始圖像的稀疏表示；（4）通過OMP算法重構(gòu)恢復(fù)出原始圖像，噪聲去除。

3.3 基于壓縮感知并運用TV重建算法的圖像去噪

3.3.1 圖像去噪的基本原理

為了得到圖像去噪，首先將含有噪聲的圖像X進行稀疏域變換（X+z）= ψs，式中z為加性噪聲。然后對變換后稀疏系數(shù)向量s進行測量，即y=Φs。

3.3.2 TV重建算法

重建就是在滿足觀測值的基礎(chǔ)上尋找最稀疏解的過程：s.t Af=p 但是上式是個非凸優(yōu)化問題，是一個典型的NP-hard問題，不易求解。因此Candes和Donoho提出用1-范數(shù)l1來代替0-范數(shù)l0進行求解。圖像重建問題中，f代表離散化的圖像的灰度。這里，我們用fs，t表示圖像s行，第t列像素的灰度值，則圖像的TV可以表示為：

（3.5）

圖像的TV就是其梯度圖像的l1范數(shù)（一幅圖像的l1范數(shù)就是圖像中每個像素的值的絕對值之和）。在實際的TV范數(shù)計算中，式（3.5）對于求導(dǎo)運算不太容易，大多采用l2范數(shù)來近似l1范數(shù)，并引進一個正的較小的參數(shù)τ，以防對TV（f）求導(dǎo)后為無窮大。

（3.6）

式（3.6）對某個像素fs，t求導(dǎo)，得（3.7）式：

（3.7）

通過測量向量y來實現(xiàn)圖像X的重建和去噪，實現(xiàn)重建的一個重要前提是信號為稀疏的。圖像絕大多數(shù)是稀疏的，但是噪聲在常規(guī)域下是不稀疏的。通過壓縮感知理論對噪聲進行稀疏變換，然后對變換后的系數(shù)進行M維向量，使得多數(shù)噪聲已經(jīng)被去除，僅含有M維的噪聲向量。如果M值越小，將會有更多的噪聲信息被去除。通過對測量的M維噪聲向量進行重建，去除混有的少量噪聲，同時可以精準(zhǔn)重建具有稀疏性的圖像，從而達(dá)到去除圖像中混有的噪聲。

3.3.3 去噪算法步驟

（1）對含有噪聲的圖像X進行DCT變換，獲得變換后的稀疏系數(shù)s，表示為（X+z）=ψs。（2）構(gòu)造M× N維測量矩陣Φ，該測量矩陣Φ與稀疏基矩陣ψ是不相干的。然后，通過測量矩陣Φ實現(xiàn)對部分稀疏系數(shù)s的測量，獲得測量向量y，表示為y=Φs。（3）對測量向量y進行TV重建算法來恢復(fù)圖像信號x'。

4 小結(jié)與研究展望

本文首先介紹了圖像去噪和壓縮感知的相關(guān)理論，并將壓縮感知運用到圖像去噪中，基于壓縮感知，提出了三種去噪方法：基于壓縮感知并運用OMP算法的椒鹽去噪；基于壓縮感知并運用K-SVD算法的圖像去噪；基于壓縮感知并運用TV重建算法的圖像去噪。壓縮感知壓縮感知的突出優(yōu)點是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號的表示，大大減少了數(shù)據(jù)信息的獲取時間以及存儲空間，以獲取較好的去噪效果。

壓縮感知在應(yīng)用于圖像去噪時，應(yīng)該將重建算法繼續(xù)加強改進，另外可以將測量矩陣構(gòu)造和重建算法的構(gòu)建同時進行改進；同時壓縮感知中的觀測矩陣絕大多數(shù)是隨機矩陣，如何用一個穩(wěn)定的確定性的矩陣來得到觀測矩陣，以此來達(dá)到更好的去噪效果；此外壓縮感知是門新興的技術(shù)，如何進一步的應(yīng)用到更多的領(lǐng)域也是以后要研究的問題。

參考文獻(xiàn)

[1]曹殿元.壓縮感知理論及其算法[D].南京郵電大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.

[2]屈冉.壓縮感知算法及其應(yīng)用研究[D].南京郵電大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013，5.

[3]李博.壓縮感知理論的重構(gòu)算法研究[D].吉林大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013，5.

[4]樊立.壓縮感知在圖像去噪中的應(yīng)用研究[D].北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文， 2013，5.

[5]趙彥孟，宋建新.一種基于壓縮感知全變差算法的圖像去噪方法[J].電視技 術(shù)，2014，38（5）.

[6]趙可，潘晉孝，孔慧華.一種改進的自適應(yīng)TV圖像重建算法[J].核電子學(xué)與 探測技術(shù)，2013，33（10）.

[7]史久根，吳文婷，劉勝.基于壓縮感知的圖像重構(gòu)算法[J].計算機工程， 2014，40（2）.

[8]石光明，劉丹華，高大化等.壓縮感知理論及其研究進展[J].電子學(xué)報， 2009，37（5）.

[9]劉鋼.基于壓縮感知和稀疏表示理論的圖像去噪研究[D].電子科技大學(xué)碩士 學(xué)位論文，2013，5.

[10]D L Donoho.Compressed sensing[J].IEEE Trans.On Information Theory.2006，52（4）：1289-1306.

[11]E Candes.Compressive Sampling[A].Proceedings of the International Congress of Mathematicians[C].Madrid，Spain，2006，3：1433-1452.

作者簡介

張麗娟（1991-），現(xiàn)就讀北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向為圖形圖像處理。

作者單位

北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 寧夏回族自治區(qū)銀川市 750000endprint

3 基于壓縮感知的去噪方法

與傳統(tǒng)的去噪方法相比，基于壓縮感知的去噪方法能夠充分發(fā)揮稀疏表示的優(yōu)點，靈活的適應(yīng)實際問題，降低采樣率和數(shù)據(jù)處理的成本，獲取較好的去噪效果。

3.1 基于壓縮感知并運用OMP算法的椒鹽去噪

椒鹽噪聲是圖像處理中一種十分常見的噪聲，其特點是噪聲點勻稱分散于整幅圖像，由于椒鹽噪聲只破壞了圖像結(jié)構(gòu)的一部分，其他大部分的圖像信息都是精確的，因此，可以充分利用這部分精確的數(shù)據(jù)，通過求解最優(yōu)化問題，重構(gòu)原圖像。

在傳統(tǒng)去噪模型 subject to 下，提出了一種椒鹽噪聲檢測的采樣，利用階梯觀測矩陣良好的0稀疏定位能力，并利用OMP算法的低復(fù)雜性和穩(wěn)定性，來對信號進行重構(gòu)。

算法步驟：（1）已知原始含噪信號Z；（2）噪聲檢測采樣，構(gòu)造階梯觀測矩陣，首先檢測信號Z中噪聲的位置， 然后將對應(yīng)的行刪除作為階梯觀測矩陣ΦZ；（3）將DCT基作為稀疏變換基；（4）采用OMP算法進行重構(gòu)。

椒鹽去噪算法流程圖如1：

3.2 基于壓縮感知并運用K-SVD算法的圖像去噪

3.2.1 K-SVD算法

為了逼近的得到式（信號yi，最稀疏的解的表示xi和未知字典A），的解，訓(xùn)練一個字典A能夠稀疏表示數(shù)據(jù) 。初始化k=0，并且初始化字典：構(gòu)建 ，要么使用隨機的條目進行計算，要么使用m隨機選擇的例子來進行計算。標(biāo)準(zhǔn)化A0的數(shù)組。k每次增加1，然后開始迭代，并最終得到結(jié)果A（k），此過程如圖3所示。

稀疏編碼階段：采用一個追求算法來逼近下式的解

s.t. （3.1）

得到了在1≤i≤M下的稀疏表示，它們構(gòu)成了矩陣X（k）。

更新階段：使用下面的步驟來更新字典的數(shù)組并得到A（k），j0=1，2，…，m對 重復(fù)以下步驟：

（1）定義使用原子aj0的例子的組合 （3.2）

（2）計算剩余矩陣，其中xj是矩陣X（k）的j列 （3.3）

（3）約束Ej0，使其選擇的數(shù)組與Ωj0相一致，并得到 ；

（4）應(yīng)用SVD分解，通過 來更新字典原子aj0=u1。

停止規(guī)則：如果 中的改變足夠的小，則停止，否則繼續(xù)迭代。

3.2.2 去噪算法步驟

（1）將零均值的高斯白噪聲加入原始的干凈圖像中；（2）對X進行初始化，假設(shè)X=Y， D=DCT字典；使用OMP算法對每一小塊圖像求出近似解；（3）對字典進行升級，用K-SVD算法找到最優(yōu)的D，并求出近似原始圖像的稀疏表示；（4）通過OMP算法重構(gòu)恢復(fù)出原始圖像，噪聲去除。

3.3 基于壓縮感知并運用TV重建算法的圖像去噪

3.3.1 圖像去噪的基本原理

為了得到圖像去噪，首先將含有噪聲的圖像X進行稀疏域變換（X+z）= ψs，式中z為加性噪聲。然后對變換后稀疏系數(shù)向量s進行測量，即y=Φs。

3.3.2 TV重建算法

重建就是在滿足觀測值的基礎(chǔ)上尋找最稀疏解的過程：s.t Af=p 但是上式是個非凸優(yōu)化問題，是一個典型的NP-hard問題，不易求解。因此Candes和Donoho提出用1-范數(shù)l1來代替0-范數(shù)l0進行求解。圖像重建問題中，f代表離散化的圖像的灰度。這里，我們用fs，t表示圖像s行，第t列像素的灰度值，則圖像的TV可以表示為：

（3.5）

圖像的TV就是其梯度圖像的l1范數(shù)（一幅圖像的l1范數(shù)就是圖像中每個像素的值的絕對值之和）。在實際的TV范數(shù)計算中，式（3.5）對于求導(dǎo)運算不太容易，大多采用l2范數(shù)來近似l1范數(shù)，并引進一個正的較小的參數(shù)τ，以防對TV（f）求導(dǎo)后為無窮大。

（3.6）

式（3.6）對某個像素fs，t求導(dǎo)，得（3.7）式：

（3.7）

通過測量向量y來實現(xiàn)圖像X的重建和去噪，實現(xiàn)重建的一個重要前提是信號為稀疏的。圖像絕大多數(shù)是稀疏的，但是噪聲在常規(guī)域下是不稀疏的。通過壓縮感知理論對噪聲進行稀疏變換，然后對變換后的系數(shù)進行M維向量，使得多數(shù)噪聲已經(jīng)被去除，僅含有M維的噪聲向量。如果M值越小，將會有更多的噪聲信息被去除。通過對測量的M維噪聲向量進行重建，去除混有的少量噪聲，同時可以精準(zhǔn)重建具有稀疏性的圖像，從而達(dá)到去除圖像中混有的噪聲。

3.3.3 去噪算法步驟

（1）對含有噪聲的圖像X進行DCT變換，獲得變換后的稀疏系數(shù)s，表示為（X+z）=ψs。（2）構(gòu)造M× N維測量矩陣Φ，該測量矩陣Φ與稀疏基矩陣ψ是不相干的。然后，通過測量矩陣Φ實現(xiàn)對部分稀疏系數(shù)s的測量，獲得測量向量y，表示為y=Φs。（3）對測量向量y進行TV重建算法來恢復(fù)圖像信號x'。

4 小結(jié)與研究展望

本文首先介紹了圖像去噪和壓縮感知的相關(guān)理論，并將壓縮感知運用到圖像去噪中，基于壓縮感知，提出了三種去噪方法：基于壓縮感知并運用OMP算法的椒鹽去噪；基于壓縮感知并運用K-SVD算法的圖像去噪；基于壓縮感知并運用TV重建算法的圖像去噪。壓縮感知壓縮感知的突出優(yōu)點是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號的表示，大大減少了數(shù)據(jù)信息的獲取時間以及存儲空間，以獲取較好的去噪效果。

壓縮感知在應(yīng)用于圖像去噪時，應(yīng)該將重建算法繼續(xù)加強改進，另外可以將測量矩陣構(gòu)造和重建算法的構(gòu)建同時進行改進；同時壓縮感知中的觀測矩陣絕大多數(shù)是隨機矩陣，如何用一個穩(wěn)定的確定性的矩陣來得到觀測矩陣，以此來達(dá)到更好的去噪效果；此外壓縮感知是門新興的技術(shù)，如何進一步的應(yīng)用到更多的領(lǐng)域也是以后要研究的問題。

參考文獻(xiàn)

[1]曹殿元.壓縮感知理論及其算法[D].南京郵電大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013.

[2]屈冉.壓縮感知算法及其應(yīng)用研究[D].南京郵電大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013，5.

[3]李博.壓縮感知理論的重構(gòu)算法研究[D].吉林大學(xué)碩士學(xué)位論文，2013，5.

[4]樊立.壓縮感知在圖像去噪中的應(yīng)用研究[D].北方工業(yè)大學(xué)碩士學(xué)位論文， 2013，5.

[5]趙彥孟，宋建新.一種基于壓縮感知全變差算法的圖像去噪方法[J].電視技 術(shù)，2014，38（5）.

[6]趙可，潘晉孝，孔慧華.一種改進的自適應(yīng)TV圖像重建算法[J].核電子學(xué)與 探測技術(shù)，2013，33（10）.

[7]史久根，吳文婷，劉勝.基于壓縮感知的圖像重構(gòu)算法[J].計算機工程， 2014，40（2）.

[8]石光明，劉丹華，高大化等.壓縮感知理論及其研究進展[J].電子學(xué)報， 2009，37（5）.

[9]劉鋼.基于壓縮感知和稀疏表示理論的圖像去噪研究[D].電子科技大學(xué)碩士 學(xué)位論文，2013，5.

[10]D L Donoho.Compressed sensing[J].IEEE Trans.On Information Theory.2006，52（4）：1289-1306.

[11]E Candes.Compressive Sampling[A].Proceedings of the International Congress of Mathematicians[C].Madrid，Spain，2006，3：1433-1452.

作者簡介

張麗娟（1991-），現(xiàn)就讀北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向為圖形圖像處理。

作者單位

北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 寧夏回族自治區(qū)銀川市 750000endprint

3 基于壓縮感知的去噪方法

與傳統(tǒng)的去噪方法相比，基于壓縮感知的去噪方法能夠充分發(fā)揮稀疏表示的優(yōu)點，靈活的適應(yīng)實際問題，降低采樣率和數(shù)據(jù)處理的成本，獲取較好的去噪效果。

3.1 基于壓縮感知并運用OMP算法的椒鹽去噪

椒鹽噪聲是圖像處理中一種十分常見的噪聲，其特點是噪聲點勻稱分散于整幅圖像，由于椒鹽噪聲只破壞了圖像結(jié)構(gòu)的一部分，其他大部分的圖像信息都是精確的，因此，可以充分利用這部分精確的數(shù)據(jù)，通過求解最優(yōu)化問題，重構(gòu)原圖像。

在傳統(tǒng)去噪模型 subject to 下，提出了一種椒鹽噪聲檢測的采樣，利用階梯觀測矩陣良好的0稀疏定位能力，并利用OMP算法的低復(fù)雜性和穩(wěn)定性，來對信號進行重構(gòu)。

算法步驟：（1）已知原始含噪信號Z；（2）噪聲檢測采樣，構(gòu)造階梯觀測矩陣，首先檢測信號Z中噪聲的位置， 然后將對應(yīng)的行刪除作為階梯觀測矩陣ΦZ；（3）將DCT基作為稀疏變換基；（4）采用OMP算法進行重構(gòu)。

椒鹽去噪算法流程圖如1：

3.2 基于壓縮感知并運用K-SVD算法的圖像去噪

3.2.1 K-SVD算法

為了逼近的得到式（信號yi，最稀疏的解的表示xi和未知字典A），的解，訓(xùn)練一個字典A能夠稀疏表示數(shù)據(jù) 。初始化k=0，并且初始化字典：構(gòu)建 ，要么使用隨機的條目進行計算，要么使用m隨機選擇的例子來進行計算。標(biāo)準(zhǔn)化A0的數(shù)組。k每次增加1，然后開始迭代，并最終得到結(jié)果A（k），此過程如圖3所示。

稀疏編碼階段：采用一個追求算法來逼近下式的解

s.t. （3.1）

得到了在1≤i≤M下的稀疏表示，它們構(gòu)成了矩陣X（k）。

更新階段：使用下面的步驟來更新字典的數(shù)組并得到A（k），j0=1，2，…，m對 重復(fù)以下步驟：

（1）定義使用原子aj0的例子的組合 （3.2）

（2）計算剩余矩陣，其中xj是矩陣X（k）的j列 （3.3）

（3）約束Ej0，使其選擇的數(shù)組與Ωj0相一致，并得到 ；

（4）應(yīng)用SVD分解，通過 來更新字典原子aj0=u1。

停止規(guī)則：如果 中的改變足夠的小，則停止，否則繼續(xù)迭代。

3.2.2 去噪算法步驟

（1）將零均值的高斯白噪聲加入原始的干凈圖像中；（2）對X進行初始化，假設(shè)X=Y， D=DCT字典；使用OMP算法對每一小塊圖像求出近似解；（3）對字典進行升級，用K-SVD算法找到最優(yōu)的D，并求出近似原始圖像的稀疏表示；（4）通過OMP算法重構(gòu)恢復(fù)出原始圖像，噪聲去除。

3.3 基于壓縮感知并運用TV重建算法的圖像去噪

3.3.1 圖像去噪的基本原理

為了得到圖像去噪，首先將含有噪聲的圖像X進行稀疏域變換（X+z）= ψs，式中z為加性噪聲。然后對變換后稀疏系數(shù)向量s進行測量，即y=Φs。

3.3.2 TV重建算法

重建就是在滿足觀測值的基礎(chǔ)上尋找最稀疏解的過程：s.t Af=p 但是上式是個非凸優(yōu)化問題，是一個典型的NP-hard問題，不易求解。因此Candes和Donoho提出用1-范數(shù)l1來代替0-范數(shù)l0進行求解。圖像重建問題中，f代表離散化的圖像的灰度。這里，我們用fs，t表示圖像s行，第t列像素的灰度值，則圖像的TV可以表示為：

（3.5）

圖像的TV就是其梯度圖像的l1范數(shù)（一幅圖像的l1范數(shù)就是圖像中每個像素的值的絕對值之和）。在實際的TV范數(shù)計算中，式（3.5）對于求導(dǎo)運算不太容易，大多采用l2范數(shù)來近似l1范數(shù)，并引進一個正的較小的參數(shù)τ，以防對TV（f）求導(dǎo)后為無窮大。

（3.6）

式（3.6）對某個像素fs，t求導(dǎo)，得（3.7）式：

（3.7）

通過測量向量y來實現(xiàn)圖像X的重建和去噪，實現(xiàn)重建的一個重要前提是信號為稀疏的。圖像絕大多數(shù)是稀疏的，但是噪聲在常規(guī)域下是不稀疏的。通過壓縮感知理論對噪聲進行稀疏變換，然后對變換后的系數(shù)進行M維向量，使得多數(shù)噪聲已經(jīng)被去除，僅含有M維的噪聲向量。如果M值越小，將會有更多的噪聲信息被去除。通過對測量的M維噪聲向量進行重建，去除混有的少量噪聲，同時可以精準(zhǔn)重建具有稀疏性的圖像，從而達(dá)到去除圖像中混有的噪聲。

3.3.3 去噪算法步驟

（1）對含有噪聲的圖像X進行DCT變換，獲得變換后的稀疏系數(shù)s，表示為（X+z）=ψs。（2）構(gòu)造M× N維測量矩陣Φ，該測量矩陣Φ與稀疏基矩陣ψ是不相干的。然后，通過測量矩陣Φ實現(xiàn)對部分稀疏系數(shù)s的測量，獲得測量向量y，表示為y=Φs。（3）對測量向量y進行TV重建算法來恢復(fù)圖像信號x'。

4 小結(jié)與研究展望

本文首先介紹了圖像去噪和壓縮感知的相關(guān)理論，并將壓縮感知運用到圖像去噪中，基于壓縮感知，提出了三種去噪方法：基于壓縮感知并運用OMP算法的椒鹽去噪；基于壓縮感知并運用K-SVD算法的圖像去噪；基于壓縮感知并運用TV重建算法的圖像去噪。壓縮感知壓縮感知的突出優(yōu)點是降低了采樣率，直接獲得稀疏的信號的表示，大大減少了數(shù)據(jù)信息的獲取時間以及存儲空間，以獲取較好的去噪效果。

壓縮感知在應(yīng)用于圖像去噪時，應(yīng)該將重建算法繼續(xù)加強改進，另外可以將測量矩陣構(gòu)造和重建算法的構(gòu)建同時進行改進；同時壓縮感知中的觀測矩陣絕大多數(shù)是隨機矩陣，如何用一個穩(wěn)定的確定性的矩陣來得到觀測矩陣，以此來達(dá)到更好的去噪效果；此外壓縮感知是門新興的技術(shù)，如何進一步的應(yīng)用到更多的領(lǐng)域也是以后要研究的問題。

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作者簡介

張麗娟（1991-），現(xiàn)就讀北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院碩士研究生，研究方向為圖形圖像處理。

作者單位

北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 寧夏回族自治區(qū)銀川市 750000endprint