混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間間歇模糊同步控制

閆麗宏，陳 楠，石 磊，胡鵬超，陳西西，張 娜

（1.咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 咸陽 712000；2.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000）

0 引 言

眾所周知，混沌是一個(gè)存在于自然界和工程領(lǐng)域的典型非線性動(dòng)力系統(tǒng)。一般地，當(dāng)研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)，遵循由確定系統(tǒng)到隨機(jī)系統(tǒng)再到不確定系統(tǒng)的研究思路。對(duì)于確定和隨機(jī)混沌系統(tǒng)，許多學(xué)者從不同角度進(jìn)行了深入研究，并取得了相應(yīng)成果，如混沌模型構(gòu)造[1-2]、混沌性質(zhì)刻畫與分析[3-4]、混沌控制與同步[5-7]。但是，對(duì)于不確定混沌系統(tǒng)同步控制的研究仍較少。

T-S 模糊理論是解決不確定復(fù)雜系統(tǒng)甚至是病態(tài)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[8-10]建模和控制方面問題的非常有效的方法。通過T-S 模糊理論，可以將非線性混沌系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為含有非線性系數(shù)的線性系統(tǒng)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的性能分析與控制[11-13]。同時(shí)可以將模糊控制理論應(yīng)用到混沌系統(tǒng)的同步控制中，主要包括基于模糊的控制[14-16]、自適應(yīng)模糊同步控制[17-19]、脈沖模糊控制[20]、模糊滑?？刂芠21]、模糊間歇同步控制等[22]。間歇控制方法基于受控系統(tǒng)狀態(tài)，將控制作用間歇地作用到受控系統(tǒng)中，可以節(jié)約控制成本，提高控制效率，目前在復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)等非線性系統(tǒng)的同步控制中得到應(yīng)用。

基于以上考慮，本文針對(duì)一類低維的非自治混沌系統(tǒng)，通過理論分析和數(shù)值模擬，闡述基于T-S 模糊理論與自適應(yīng)反饋控制策略實(shí)現(xiàn)耦合混沌系統(tǒng)同步的基本思想。

1 問題描述

考慮如下混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

式中：x=(x1,x2,...,xn)T∈Rn表示驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)；A∈Rn×n是線性參數(shù)矩陣；f(x(t))是混沌系統(tǒng)的非線性部分。

相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

式中：y=(y1,y2,...,yn)T∈Rn表示混沌響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u(t)是待設(shè)計(jì)的外部控制器。

這里采用如下的模糊規(guī)則：

規(guī)則l：θi(t)是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的先驗(yàn)變量，i=1, 2,...,m；Flm是具有隸屬函數(shù)特征的模糊集。如果θ1是Fl1，θ2是Fl2,...,θm是Flm，那么：

式中：r是IF-THEN 規(guī)則的數(shù)量；Al∈R3×3是模糊矩陣。采用標(biāo)準(zhǔn)的模糊推理方法，通過單點(diǎn)模糊推理、乘積模糊推理和中心平均去模糊法，模糊混沌系統(tǒng)可以推導(dǎo)成如下形式：

式中：θ(t) =[θ1(t),θ2(t), ???,θm(t)]；；。

模糊權(quán)函數(shù)μl(θ(t))滿足：

同步誤差為：

式中，e(t)=(e1(t),e2(t),...,en(t))T。

在模糊規(guī)則l(l=1, 2,...,r)下，誤差系統(tǒng)為：

式中，u(t)是待設(shè)計(jì)的有限時(shí)間間歇控制器。

如果θ1是Fl1，θ2是Fl2,...,θm是Flm，那么：

式中，對(duì)角矩陣Kl是正的控制增益矩陣，l=1, 2,...,r。參數(shù)ζ>0 是可調(diào)實(shí)常數(shù)，實(shí)數(shù)α滿足0<α<1，T>0 是控制周期，δ>0 是控制寬度，m∈Z/Z-。向量sgn(e(t))|e(t)|α=(sgn(e1)|e1|α,sgn(e2)|e2|α,..., sgn(en)|en|α)T。

控制器設(shè)計(jì)如下：

將模糊控制器設(shè)計(jì)公式（9）代入到誤差系統(tǒng)公式（7）中，可以推導(dǎo)出模糊控制系統(tǒng)公式（10）的T-S 模型。

為了進(jìn)一步討論方便，首先介紹如下引理。

引理1[20]：假設(shè)連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足如下微分不等式：

式中，常數(shù)α>0，0<ε<1，那么對(duì)于任意給定t0，V(t)滿足如下不等式：

式中：

引理2[21]：如果x1,x2,...,xn是任意整數(shù)，0

引理3[22]：假設(shè)連續(xù)正定函數(shù)V(t)滿足如下微分不等式：

式中，0<ε<1，I>0，κ>0，那么駐留時(shí)間t2滿足：

引理4[23]：假設(shè)函數(shù)V(t)在t∈[0, ∞)是連續(xù)且非負(fù)的，并且滿足如下條件：

式中，α，β>0，T>0，0<η，θ<0，那么如下不等式成立：

2 模糊間歇同步控制

本節(jié)將給出驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)式（1）和式（2）實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步的結(jié)論。

定理1：假設(shè)存在正定對(duì)角矩陣Kl使得如下不等式成立：

那么在控制器設(shè)計(jì)公式（9）的作用下，驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)式（1）和式（2）在時(shí)間tf內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步，則有：

證明：構(gòu)造如下Lyapunov 函數(shù)：

情形1：當(dāng)mT≤t

所以：

其中，sym(Al)=Al+AlT，sym(Kl)=Kl+KlT。根據(jù)引理2，則有：

所以：

根據(jù)式（19）的條件，則有：

情形2：當(dāng)mT+δT≤t

簡(jiǎn)化上述方程可得：

結(jié)合式（27）和式（29），可得：

根據(jù)引理3，則有：

結(jié)合引理4，可得：

證畢。

值得注意的是，如果控制寬度δ=1，那么間歇控制器簡(jiǎn)化為連續(xù)控制輸入，有如下推論。

推論1：假設(shè)存在正定對(duì)角矩陣Kl使得如下不等式成立：

那么利用控制器設(shè)計(jì)公式（9）和驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)式（1）和式（2）在時(shí)間te內(nèi)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間同步，則有：

3 數(shù)值仿真

本節(jié)中，我們將利用數(shù)值計(jì)算說明驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)式（1） 和式（2）的有限時(shí)間同步控制結(jié)論。不失一般性，選擇Chen 混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真。

當(dāng)參數(shù)α=0.2、β=5.7 時(shí)，系統(tǒng)是混沌的。選擇x1、x3作為觀測(cè)變量，通過計(jì)算，可知變量x1和x3的取值區(qū)間分別是[-9.2 11.5]和[0.01 22.96]。矩陣Ai，i=1, 2 分別表示為：

進(jìn)一步，特征值分別為：λmax(sym(A1))=0.039 1，λmax(sym(A2))=28.504 2，所以可知λA=28.504 2。根據(jù)條件式（19），反饋矩陣分別取為：K1=diag{29 0.6 0.3}，K2=diag{28.6 0.3 0.2}；模糊權(quán)函數(shù)μl(θ(t))在l=1, 2 時(shí)分別為：μ1(θ(t))=(1+2 sin2t)/3，μ2(θ(t))=2 cos2t/3。調(diào)節(jié)因子ζ=1.5，正指數(shù)α=0.5。仿真過程中，間歇控制器設(shè)計(jì)公式（9）的參數(shù)分別取為：T=1，δ=0.2。系統(tǒng)初始條件為：x(0)=[2 -1 3]，y(0)=[1 -3 4.5]，迭代步長h=0.000 1。

數(shù)值仿真結(jié)果如圖1 ～圖6 所示。圖1 展示了驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差演化過程，可以看到系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)趨于0，這與理論分析結(jié)果一致。圖2 是模糊周期間歇控制器的狀態(tài)，該控制器在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定到0。而且，當(dāng)增加反饋控制增益的值由K1=diag{30 2 1}到K2=diag{29.6 1.3 1.2}時(shí)，通過仿真發(fā)現(xiàn)，反饋增益越大，實(shí)現(xiàn)同步的時(shí)間越短。仿真結(jié)果如圖3 和圖4 所示。

圖1 驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)

圖2 模糊周期間歇控制器的狀態(tài)

圖3 反饋控制增益增加時(shí)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)

圖4 反饋控制增益增加時(shí)模糊間歇控制器的狀態(tài)

當(dāng)控制寬度δ=1 時(shí)，間歇控制器轉(zhuǎn)化為連續(xù)控制輸入，相應(yīng)的系統(tǒng)誤差演化與間歇控制器的狀態(tài)如圖5 和圖6 所示，其參數(shù)選取與圖1 和圖2 相同。

圖5 模糊連續(xù)控制作用下的誤差系統(tǒng)狀態(tài)

圖6 模糊連續(xù)控制作用下控制器的狀態(tài)

4 結(jié) 語

本文研究了周期間歇控制作用下驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步問題。通過加入合適的外部模糊間歇控制作用，受控模糊混沌系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了同步，控制效果理想。進(jìn)一步，通過仿真發(fā)現(xiàn)，同步時(shí)間隨著反饋增益的增大而縮短。后續(xù)將繼續(xù)考慮非周期間歇控制作用下混沌系統(tǒng)的固定時(shí)間同步問題。